4.6 函数的应用(二)&4.7 数学建模活动：生长规律的描述（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

4． 6　函数的应用(二) 4．7　数学建模活动：生长规律的描述 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 栏目索引 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 必备知识 自主学习 定义域 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 关键能力 互动探究 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 高效课堂 达标训练 A 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 谢谢观看！ 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 课程标准 学科素养 1.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． 2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题． 通过对函数的应用的学习，加强数学建模、数学运算的核心素养． 知识点　建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤 1．对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主、被动关系，并用x，y分别表示(关键词：抽象概括). 2．建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的_________(关键词：建模). 3．求解函数模型，并还原为实际问题的解(关键词：解模、还原). 1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是(　　) A．y＝2x　　　　　　 B．y＝2x－1 C．y＝2x D．y＝2x＋1 D　解析：分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个． 2．现测得(x，y)的两组值为(1，2)，(2，5).现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用__________作为拟合模型较好． 甲　解析：作出三个点，比较两个函数图象，选甲更好． eq \a\vs4\al(探究一　二次函数模型) 据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低，为17.5万元，构成二次函数对应图象的顶点． (1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式； (2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？ 解：(1)由题意设二次函数为y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)， 将x＝10，y＝20代入上式， 得20＝25a＋17.5.解得a＝ eq \f(1,10) . 所以y＝ eq \f(1,10) (x－15)2＋17.5(10≤x≤25). (2)设利润为Q(x)， 则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)x2－3x＋40)) ＝－ eq \f(1,10) (x－23)2＋12.9(10≤x≤25). 因为x＝23∈[10，25]，Q(x)取得最大值12.9， 所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元． 利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)一般方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意点：利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符． [训练1]　2016年汕头市开展了一场创文行动，一直以来，汕头市部分市民文明素质有待提高、环境脏乱差现象突出、交通秩序混乱、占道经营和违章搭建问题严重，为了解决这一老大难问题，汕头市政府打了一场史无前例的“创文”仗，目的是全力改善汕头市环境、卫生道路、交通各方面不文明现象，同时争夺2020年“全国文明城市”称号．随着创文活动的进行，我区生活环境得到了很大的改善，但因为违法出行的三轮车减少，市民出行偶有不便．有一商人从中看到商机，打算开一家汽车租赁公司，他委托一家调查公司进行市场调查，调查公司的调查结果如表： 每辆车月租金定价(元) 3 000 3 050 3 100 3 150 3 200 3 250 …… 能出租的车辆数(辆) 100 99 98 97 96 95 …… 若他打算购入汽车100辆用于租赁业务，通过调查发现租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．由上表，他决定每辆车月租金定价满足： ①为方便预测，月租金定价必须为50的整数倍；②不低于3 000元；③定价必须使得公司每月至少能出租10辆汽车．设租赁公司每辆车月租金定价为x元时，每月能出租的汽车数量为y辆． (1)按调查数据，请将y表示为关于x的函数； (2)当x为何值时，租赁公司月收益最大，最大月收益是多少？ 解：(1)由表格可知，当定价为3 000元时，能出租100辆，当定价每提升50元时能出租的车辆将减少1辆，则y＝100－ eq \f(1,50) (x－3 000)＝－ eq \f(1,50) x＋160， 令y≥10，得－ eq \f(1,50) x＋160≥10， 得 eq \f(1,50) x≤150，得x≤7 500， 所以所求函数y＝－ eq \f(1,50) x＋160，(3 000≤x≤7 500，且x＝50k，k∈Z). (2)由(1)知，租赁公司的月收益为f(x)， 则f(x) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(160－\f(1,50)x)) (x－150)－50 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100－160＋\f(1,50)x)) ＝－ eq \f(1,50) x2＋162x－21 000 ＝－ eq \f(1,50) (x－4 050)2＋307 050，(3 000≤x≤7 500且x＝50k，k∈Z)， ∴当x＝4 050时，f(x)取得最大值为307 050，即月租金定为4 050时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元． eq \a\vs4\al(探究二　指对函数模型) 某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题： (1)写出该城市人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年). 解：(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2% ＝100×(1＋1.2%)， 2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2， 3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)3， …… x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N). (2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)10 ＝100×1.01210≈112.7(万人). (3)设x年后人口将达到120万人， 即可得到100×(1＋1.2%)x＝120， x＝log1.012 eq \f(120,100) ＝log1.0121.2＝ eq \f(lg 1.2,lg 1.012) ≈15.28. 所以大约16年后该城市人口总数达到120万人． 指数函数与对数函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题． [训练2]　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现v与log3 eq \f(Q,100) 成正比，且当Q＝900时，v＝1(m/s). (1)求出v关于Q的函数解析式； (2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数； (3)一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s，其耗氧量的单位数应怎样变化？ 解：(1)设v＝k·log3 eq \f(Q,100) ， ∵当Q＝900时，v＝1，∴1＝k·log3 eq \f(900,100) ， ∴k＝ eq \f(1,2) ，∴v关于Q的函数解析式为v＝ eq \f(1,2) log3 eq \f(Q,100) . (2)令v＝1.5，则1.5＝ eq \f(1,2) log3 eq \f(Q,100) ，∴Q＝2 700， 故一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位． (3)设鲑鱼耗氧量为Q1，Q2时，游速分别为v1、v2， 由题意：v2－v1＝1，即 eq \f(1,2) log3 eq \f(Q2,100) － eq \f(1,2) log3 eq \f(Q1,100) ＝1. ∴ eq \f(1,2) log3 eq \f(Q2,Q1) ＝1，∴ eq \f(Q2,Q1) ＝9，即Q2＝9Q1. 故鲑鱼要想把游速提高1 m/s，其耗氧量单位数应变为原来的9倍． eq \a\vs4\al(探究三　分段函数模型) 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元，某月甲、乙两用户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨． (1)求y关于x的函数； (2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费． 解：(1)当甲用户的用水量不超过4吨，即5x≤4时，乙用户的用水量也不超过4吨，即y＝(5x＋3x)×1.80＝14.4x； 同理可得，当 eq \f(4,5) <x≤ eq \f(4,3) ，即甲用户用水量超过4吨，乙用户用水量未超过4吨时，y＝20.4x－4.8；当x> eq \f(4,3) ，即甲，乙两用户用水都超过4吨时，y＝24x－9.6. ∴y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(14.4x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(4,5)))，,20.4x－4.8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)<x≤\f(4,3)))，,24x－9.6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>\f(4,3)))．)) (2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增， 所以当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,5))) 时，y≤f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) <26.40； 当x∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(4,3))) 时，y≤f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) <26.40； 当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) 时，令24x－9.6＝26.40， 得x＝1.5.∴甲用户用水量为5x＝7.5(吨)， 付费y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元). 乙用户用水量为3x＝4.5(吨)， 付费y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元). 1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各个边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式． 2．本题在求解过程中，个别同学常因不理解“超过部分”而导致运算出错． [训练3]　目前，成都市B档出租车的计价标准是：路程2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9元/km收取，但超过10km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km).(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑) (1)将乘客搭乘一次B档出租车的费用f(x)(元)表示为行程x(0＜x≤60，单位：km)的分段函数； (2)某乘客行程为16 km，他准备先乘一辆B档出租车行驶8 km，然后再换乘另一辆B档出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆B档出租车完成全部行程更省钱？ 解：(1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为： f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8（0＜x≤2）,8＋1.9（x－2）（2＜x≤10），,8＋1.9×8＋2.85（x－10）（10＜x≤60）)) 化简得f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8（0＜x≤2）,4.2＋1.9x（2＜x≤10）,2.85x－5.3（10＜x≤60）)) . (2)只乘一辆车的车费为： f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)， 换乘2辆车的车费为：2f(8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元). ∵40.3＞38.8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱． 1．“红豆生南国，春来发几枝？”下图给出了红豆生长时间t(单位：月)与枝数y的散点图，那么红豆的枝数与生长时间的关系用下列函数模型拟合最好的是(　　) A．指数函数y＝2t　　 B．对数函数y＝log2t C．幂函数y＝t3 D．二次函数y＝2t2 2．如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比2005年翻两番的年份大约是(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 109≈2.037 4，lg 0.09≈－1.045 8)(　　) A．2025年 B．2021年 C．2020年 D．2018年 答案：B 3．已知某工厂生产某种产品的月产量y(单位：万件)与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月，2月生产该产品分别为1万件，1.5万件，则此厂3月份该产品产量为________万件． 答案：1.75 4．某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t(单位：分钟)之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈(14，40]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0，且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳． (1)试求p＝f(t)的函数关系式； (2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． 解：(1)当t∈(0，14]时， 设p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)， 将点(14，81)代入得c＝－ eq \f(1,4) ， 所以当t∈(0，14]时，p＝f(t)＝－ eq \f(1,4) (t－12)2＋82； 当t∈(14，40]时，将点(14，81)代入y＝loga(t－5)＋83，得a＝ eq \f(1,3) . 所以p＝f(t)＝eq \s\do19(\f(1,3)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)（t－12）2＋82，t∈（0，14]，,log（t－5）＋83，t∈（14，40].)) (2)当t∈(0，14]时，－ eq \f(1,4) (t－12)2＋82≥80， 解得12－2 eq \r(2) ≤t≤12＋2 eq \r(2) ，所以t∈(12－2 eq \r(2) ，14]； 当t∈(14，40]时，log eq \s\do19(\f(1,3)) (t－5)＋83≥80， 解得5＜t≤32，所以t∈(14，32]. 所以t∈[12－2 eq \r(2) ，32]时学生听课效果最佳． 此时Δt＝32－(12－2 eq \r(2) )＝20＋2 eq \r(2) >22. 所以教师能够合理安排时间讲完题目． $$