4.5 增长速度的比较（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

4．5　增长速度的比较 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 栏目索引 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 必备知识 自主学习 函数值的改变量 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 增函数 增长速度 越来越慢 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 关键能力 互动探究 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 谢谢观看！ 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 课程标准 学科素养 1.理解平均变化率在判断函数增长中的应用． 2．理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义及三种函数模型的性质的比较． 3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题． 通过对增长速度的比较的学习，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． eq \a\vs4\al(知识点1　平均变化率) 函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2)上的平均变化率为 eq \f(Δf,Δx) ＝ eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1) ，平均变化率实质上是______________与自变量的改变量之比，也可理解为：自变量每增加一个单位，函数值将增加 eq \f(Δf,Δx) 个单位，因此可以用平均变化率来比较函数值变化的快慢． 1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　) A．在[x0，x1]上的平均变化率 B．在x0处的变化率 C．在x1处的变化率 D．以上都不对 A　解析：由平均变化率的定义知当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在[x0，x1]上的平均变化率． 2．(教材改编)如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．－1 C．2 D．－2 B　解析： eq \f(Δf,Δx) ＝ eq \f(f（3）－f（1）,3－1) ＝ eq \f(1－3,2) ＝－1. eq \a\vs4\al(知识点2　增长速度的比较) 1．在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是______，但________不同，且不在同一个“档次”上． 2．在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会________． 3．存在一个x0，使得当x>x0时，有____________________． 1．当x增大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(　　) A．y＝10x B．y＝lg x C．y＝x10 D．y＝10x D　解析：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x增大时，函数y＝10x增长速度最快． 2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有(　　) A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1 B　解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2，4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3. eq \a\vs4\al(探究一　平均变化率的求法) 已知函数f(x)＝x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率： (1)[1，3]；(2)[1，2]；(3)[1，1.1]；(4)[1，1.001]. 解：(1)因为 eq \f(Δf,Δx) ＝ eq \f(32－12,3－1) ＝4，所以f(x)在区间[1，3]上的平均变化率是4； (2)因为 eq \f(Δf,Δx) ＝ eq \f(22－12,2－1) ＝3，所以f(x)在区间[1，2]上的平均变化率是3； (3)因为 eq \f(Δf,Δx) ＝ eq \f(1.12－12,1.1－1) ＝2.1，所以f(x)在区间[1，1.1]上的平均变化率是2.1； (4)因为 eq \f(Δf,Δx) ＝ eq \f(1.0012－12,1.001－1) ＝2.001，所以f(x)在区间[1，1.001]上的平均变化率是2.001. 平均变化率的求法 (1)计算函数值的改变量Δf＝f(x2)－f(x1). (2)计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率 eq \f(Δf,Δx) ＝ eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1) . [训练1]　求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率． 解：∵ eq \f(Δf,Δx) ＝ eq \f(（3×2.12＋2）－（3×22＋2）,2.1－2) ＝12.3，∴函数在区间[2，2.1]上的平均变化率是12.3. eq \a\vs4\al(探究二　平均变化率的应用) 已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x，h(x)＝log2x在区间[a，a＋1](a>1)上的平均变化率，并比较它们的大小． 解： eq \f(Δf,Δx) ＝ eq \f(2a＋1－2a,（a＋1）－a) ＝2a， eq \f(Δg,Δx) ＝ eq \f(（a＋1）－a,（a＋1）－a) ＝1， eq \f(Δh,Δx) ＝ eq \f(log2（a＋1）－log2a,（a＋1）－a) ＝log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a))) ， ∵a>1，∴2a>21>1，log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a))) <log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1))) ＝1， 因此在区间[a，a＋1]上f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小． 由此可知，f(x)在区间[a，a＋1]上增长的最快，h(x)增长的最慢． 1．当自变量每增加1个单位，区间长不变的条件下，端点值之和越大，函数值增加越快． 2．自变量每增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快． [训练2]　已知函数g(x)＝2x＋3，h(x)＝3x－2，判断g(2)与h(2)的大小，并求出使得h(2＋Δx)>g(2＋Δx)成立的Δx的取值范围． 解：g(2)＝7，h(2)＝4，∴g(2)>h(2). 因为h(2＋Δx)>g(2＋Δx)，所以2(2＋Δx)＋3>3(2＋Δx)－2，∴Δx<3. eq \a\vs4\al(探究三　增长速度的比较) 研究函数y＝0.5ex－2，y＝ln (x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增长情况． 解：分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图，从图象上可以看出函数y＝0.5ex－2的图象首先超过了函数y＝ln (x＋1)的图象，然后又超过了y＝x2－1的图象，即存在一个满足0.5e eq \o\al(\s\up1(x),\s\do1(0)) －2＝x2－1的x0，当x＞x0时，ln (x＋1)＜x2－1＜0.5ex－2. 不同的函数增长模型描述增长速度的差异 (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律； (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律． [训练3]　三个变量y1，y2，y3随着自变量x的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4 则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为(　　) A．y1，y2，y3　　　　　　　 B．y2，y1，y3 C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2 C　解析：通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律． 1．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是(　　) A．y＝x2　　　　　 B．y＝log2 x C．y＝2x D．y＝2x 答案：D 2．以下四种说法中，正确的是(　　) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的x>0，xn>logax C．对任意的x>0，ax>logax D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax 答案：D 3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据： x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则下列函数中与x，y的函数关系最接近的是(其中a，b为待定系数)(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝ax2＋b D．y＝a＋ eq \f(b,x) 答案：B 4．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2 x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案． 答案：乙，甲，丙 5．在同一坐标系中，画出函数y＝x＋5和y＝2x在(0，＋∞)上的图象，并比较x＋5与2x的大小． 解：函数y＝x＋5与y＝2x的图象如图所示． 当0<x<3时，x＋5>2x； 当x＝3时，x＋5＝2x； 当x>3时，x＋5<2x. $$