4.4 幂函数（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

4.4　幂函数 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 栏目索引 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 必备知识 自主学习 y＝xα 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 减函数 四 上凸 大 小 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 关键能力 互动探究 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 谢谢观看！ 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 课程标准 学科素养 1.通过实例，了解幂函数的概念． 2．结合函数y＝x、y＝x2、y＝x3、y＝x eq \s\up16(\f(1,2)) 、y＝ eq \f(1,x) 的图象，了解它们的变化情况及性质． 3．会利用幂函数解决一些问题． 通过对幂函数的学习，强化数学抽象、直观想象、数学运算的核心素养． eq \a\vs4\al(知识点1　幂函数的概念) 1．一般地，函数__________称为幂函数，其中α为常数． 2．幂函数解析式的结构特征 ①指数为常数； ②底数是自变量，自变量的系数为1； ③幂xα的系数为1； ④只有1项． 1．下列函数为幂函数的是(　　) A．y＝2x3　　　　　　　 B．y＝2x2－1 C．y＝ eq \f(1,x) D．y＝ eq \f(3,x2) 答案：C 2．若函数是幂函数，则m的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 A　解析：幂函数是形如f(x)＝xα的函数，∴2m＋3＝1，∴m＝－1. eq \a\vs4\al(知识点2　幂函数的图象及性质) 对于函数而言，其图象有以下特点： (1)恒过点(1，1)，且不过第__象限． (2)当α＞0时，幂函数的图象在[0，＋∞)上都是增函数；当α＜0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是_________． (3)当α>1，图象是下凸的变化趋势，当0<α<1时，图象是_______的变化趋势． (4)在第一象限内，直线x＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由_____变_____． 1．思考辨析 (1)幂函数的图象必过点(0，0)和(1，1).(　　) (2)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限．(　　) (3)幂函数y＝xα(α为常数)的定义域、值域、单调性、奇偶性会因α的不同而不同．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．(教材改编)已知幂函数f(x)的图象经过点(4，2)，则幂函数f(x)具有的性质是(　　) A.在其定义域上为增函数 B．在其定义域上为减函数 C．奇函数 D．定义域为R A　解析：设幂函数f(x)＝xα ∵幂函数图象过点(4，2)，∴4α＝2，∴α＝ eq \f(1,2) ， ∴f(x)＝ (x≥0) ∴由f(x)的性质知，f(x)是非奇非偶函数，值域为[0，＋∞)，在定义域内无最大值，在定义域内单调递增，故A正确． eq \a\vs4\al(探究一　幂函数的概念) 已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 解：∵函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数， 由幂函数的定义得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1,2n－3＝0，)) 解得m＝－3或1，n＝ eq \f(3,2) . 1．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式．反之，若一个函数具有这种形式，则该函数必为幂函数． 2．判断函数解析式以根式形式给出的函数是否为幂函数，要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断． [训练1]　已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9，3)，则f(100)＝________． 10　解析：由题意可知f(9)＝3，即9α＝3， ∴α＝ eq \f(1,2) ，∴f(x)＝x eq \s\up16(\f(1,2)) ，∴f(100)＝100 eq \s\up16(\f(1,2)) ＝10. eq \a\vs4\al(探究二　幂函数的图象) 已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<b<a　　　　　 B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b A　解析：由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0. 由幂函数的性质知，当x>1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.综上所述，可知c<b<a. 幂函数在第一象限内指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小. [训练2]　已知幂函数y＝xn，y＝xm，y＝xp的图象如图，则(　　) A．m＞n＞p B．m＞p＞n C．n＞p＞m D．p＞n＞m C　解析：由幂函数的图象知：0<m<1，n>p>1，∴n>p>m. eq \a\vs4\al(探究三　幂函数的性质) 求下列函数的定义域，并指出其奇偶性和单调性． ①y＝x eq \s\up16(\f(2,5)) ；②y＝x eq \s\up16(\f(3,4)) ；③y＝x－2；④y＝x－ eq \f(3,4) . 解：①函数y＝x eq \s\up16(\f(2,5)) ，即y＝ eq \r(5,x2) ，其定义域为R；是偶函数；它在[0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0]上为减函数． ②函数y＝x eq \s\up16(\f(3,4)) ，即y＝ eq \r(4,x3) ，其定义域为[0，＋∞)；既不是奇函数，也不是偶函数；它在[0，＋∞)上为增函数． ③函数y＝x－2，即y＝ eq \f(1,x2) ，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；是偶函数；它在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数． ④函数y＝x－ eq \f(3,4) ，即y＝ eq \f(1,\r(4,x3)) ，其定义域为(0，＋∞)；既不是奇函数，也不是偶函数；它在(0，＋∞)上为减函数． 1．幂函数y＝xα的单调性与α的正负有关，在第一象限，当α>0时为增函数，当α<0时为减函数，在其它象限的单调性由奇偶性探求． 2．幂函数的奇偶性．y＝xα，当α＝ eq \f(p,q) (p，q∈Z)是最简分数时，当p，q均为奇数时，y＝xα是奇函数；当p为偶数，q为奇数时，y＝xα是偶函数；当q为偶数时，y＝xα为非奇非偶函数． [训练3]　f(x)＝x－ eq \f(4,3) 的图象是(　　) A　解析：∵－ eq \f(4,3) <0，∴f(x)＝x－ eq \f(4,3) 在(0，＋∞)是减函数， 而f(x)＝x－ eq \f(4,3) ＝ eq \f(1,\r(3,x4)) ，∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). f(－x)＝ eq \f(1,\r(3,（－x）4)) ＝ eq \f(1,\r(3,x4)) ＝f(x)，∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称． eq \a\vs4\al(探究四　幂函数的性质的应用) 比较下列各组数的大小： (1)3－ eq \f(5,2) 和3.1－ eq \f(5,2) ； (2)－8－ eq \f(7,8) 和－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9))) eq \s\up16(\f(7,8)) ； (3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up12(－\f(2,3)) 和 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))) eq \s\up12(－\f(2,3)) ； (4)4.1 eq \s\up16(\f(2,5)) ，3.8 eq \s\up12(－\f(2,3)) 和(－1.9) eq \s\up12(－\f(3,5)) . 解： [变式]　已知幂函数f(x)＝xm－2(m∈N)的图象关于原点对称，且在(0，＋∞)上是减函数，若(a＋1) eq \s\up12(－\f(m,2)) <(3－2a) eq \s\up12(－\f(m,2)) ，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，3) B．( eq \f(2,3) ， eq \f(3,2) ) C．(－1， eq \f(3,2) ) D．(－∞，－1)∪( eq \f(2,3) ， eq \f(3,2) ) B　解析：∵幂函数f(x)＝xm－2的图象关于原点对称，且在(0，＋∞)上是减函数， 所以m－2<0，解得m<2， 因为m∈N，所以m＝0或m＝1，∴当m＝0时，0－2＝－2，图象关于y轴对称，不满足题意； 当m＝1时，1－2＝－1，图象关于原点对称，满足题意， 即实数a的取值范围是( eq \f(2,3) ， eq \f(3,2) ). 1.比较幂的大小的三种常用方法 2．利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式求参数范围，注意分类讨论思想的应用 eq \o(.,\s\do4(　,)) [训练4]　把下列各数按由小到大的顺序排列： 解： 而函数y＝x eq \s\up16(\f(2,3)) 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以有2 eq \s\up16(\f(2,3)) >( eq \f(3,2) ) eq \s\up16(\f(2,3)) . 所以所给各数按由小到大排列的顺序为 1．下列函数是幂函数的是(　　) A．y＝5x　　　　　　　　 B．y＝x5 C．y＝5x D．y＝(x＋1)3 答案：B 2．函数y＝x3的图象大致是图中的(　　) 答案：B 3．设a＝2－6，b＝3－4，c＝7－2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．a<c<b C．a<b<c D．c<b<a 答案：A 4．已知幂函数f(x)的图象过点(4，2)，则f( eq \f(1,8) )＝________． 答案： eq \f(\r(2),4) 5．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上单调递减，求f(x)的解析式． 解：∵幂函数y＝x3m－9在区间(0，＋∞)上单调递减， ∴3m－9<0，即m<3. 又∵m∈N＋，∴m＝1，2. 又y＝x3m－9的图象关于y轴对称，即该函数是偶函数， ∴3m－9是偶数．∴m＝1. ∴f(x)＝x－6. $$