4.3 指数函数与对数函数的关系（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

4．3　指数函数与对数函数的关系 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 栏目索引 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 必备知识 自主学习 任意 唯一 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 值域 定义域 直线y＝x 相同 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 关键能力 互动探究 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 谢谢观看！ 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 课程标准 学科素养 1.理解反函数的概念，能判定一个函数是否存在反函数，并能求出简单函数的反函数． 2．掌握互为反函数的函数图象间的关系及其性质． 通过对指数函数与对数函数的关系的学习，强化直观想象、逻辑推理以及数学运算的核心素养． eq \a\vs4\al(知识点1　反函数的概念) 如果在函数y＝f(x)中，给定值域中_______一个y的值，只有_______的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数，此时称y＝f(x)存在反函数，而且函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x). 1．(教材改编)已知函数f(x)与函数g(x)＝ex互为反函数，则(　　) A．f(x)＝lg x(x∈R)　　 B．f(x)＝lg x(x＞0) C．f(x)＝ln x(x∈R) D．f(x)＝ln x(x＞0) D　解析：∵g(x)＝ex的反函数为y＝ln x(x＞0)，只有D正确． 2．函数y＝ eq \r(－x) (x≤0)的反函数是(　　) A．y＝x2 B．y＝－x2 C．y＝－x2(x≤0) D．y＝－x2(x≥0) D　解析：由y＝ eq \r(－x) 得y2＝－x，∴x＝－y2，∴反函数是y＝－x2(x≥0). eq \a\vs4\al(知识点2　反函数的性质) 1．y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的______相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的________相同． 2．y＝f(x)与y＝f－1(x)的图象关于____________对称． 3．y＝f(x)与y＝f－1(x)具有______的单调性． 1．函数y＝ eq \r(－x2－2x＋3) (－3≤x≤－1)的反函数的定义域是________． [0，2]　解析：∵t＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，－3≤x≤－1，∴t∈[0，4]，∴y＝ eq \r(t) ∈[0，2]，反函数的定义域就是原函数的值域，即[0，2]. 2．函数y＝ eq \f(1,2x＋1) (x＞0)与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，解f(x)＝________． eq \f(1,2x) － eq \f(1,2) 　解析：y＝ eq \f(1,2x＋1) 的反函数是y＝ eq \f(1－x,2x) ＝ eq \f(1,2x) － eq \f(1,2) ，所以f(x)＝ eq \f(1,2x) － eq \f(1,2) . eq \a\vs4\al(探究一　反函数存在的条件) 试判断函数y＝ eq \f(x,x2＋1) 是否存在反函数． 解：任取R中x1＜x2，则有 f(x1)－f(x2)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(x1,x＋1) －eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) eq \f(x2,x＋1) ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(（x1－x2）（1－x1x2）,（x＋1）（x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＋1）) 这里1－x1x2的正负无法确定，且当x1＝2，x2＝ eq \f(1,2) 时，f(x1)＝f(x2)，即函数在R上不具有单调性，故它不存在反函数． 反函数的存在条件：原函数中x、y是“一对一”确定的．一般来说，若f(x)在区间A上是单调的，那么f(x)在A上有反函数． [训练1]　函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1，2]上存在反函数的充要条件是(　　) A．a∈(－∞，1]　　　　　　 B．a∈[2，＋∞) C．a∈(－∞，1]∪[2，＋∞) D．a∈[1，2] C　解析：因为二次函数f(x)＝x2－2ax－3不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间(－∞，a]或[a，＋∞)上是单调函数． 而已知函数f(x)在区间[1，2]上存在反函数 所以[1，2]⊆(－∞，a]或者[1，2]⊆[a，＋∞) 即a≤1或a≥2. eq \a\vs4\al(探究二　反函数的求法) 求下列函数的反函数： ①y＝3x－1(x∈R)； ②y＝x3＋1(x∈R)； ③y＝ eq \r(x) ＋1(x≥0)； ④y＝ eq \f(2x＋3,x－1) (x∈R，且x≠1). 解：①由y＝3x－1解得x＝ eq \f(y＋1,3) ， ∴函数y＝3x－1(x∈R)的反函数是y＝ eq \f(x＋1,3) (x∈R). ②由y＝x3＋1(x∈R)解得x＝ eq \r(3,y－1) ， ∴函数y＝x3＋1(x∈R)的反函数是y＝ eq \r(3,x－1) (x∈R). ③由y＝ eq \r(x) ＋1解得x＝(y－1)2， ∵x≥0，∴y≥1. ∴函数y＝ eq \r(x) ＋1(x≥0)的反函数是y＝(x－1)2(x≥1). ④由y＝ eq \f(2x＋3,x－1) 解得x＝ eq \f(y＋3,y－2) ∵x∈{x∈R，且x≠1}，∴y∈R且y≠2. ∴函数y＝ eq \f(2x＋3,x－1) (x∈R，且x≠1)的反函数是y＝ eq \f(x＋3,x－2) (x∈R，x≠2). 求函数y＝f(x)的反函数的步骤 (1)从原函数y＝f(x)的表达式中反解出x＝f－1(y)； (2)互换x，y，得到y＝f－1(x)； (3)求出反函数的定义域，即原函数的值域． [训练2]　求函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1　（x≤－1），,－x＋1 （x＞－1）)) 的反函数． 解：当x≤－1时，y＝x2＋1≥2，且有x＝－ eq \r(y－1) ，此时反函数为y＝－ eq \r(x－1) (x≥2)， 当x＞－1时，y＝－x＋1＜2，且有x＝－y＋1，此时反函数为y＝－x＋1(x＜2). ∴f(x)的反函数f－1(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\r(x－1)　（x≥2），,－x＋1 （x＜2）.)) eq \a\vs4\al(探究三　反函数的性质) 已知f(x)＝2x＋1的反函数为f－1(x)，求f－1(x)＜0的解集． 解：由f(x)＝2x＋1＞1得f－1(x)中的x＞1. 又∵f－1(x)＜0且f(x)＝2x＋1在R上为增函数， ∴f[f－1(x)]＜f(0)， ∴x＜f(0)＝2. 故f－1(x)＜0的解集为{x|1＜x＜2}． 1．若函数y＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数，且(a，b)在y＝f(x)的图象上，则(b，a)在y＝f－1(x)图象上． 2．若函数y＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数，若f(a)＝b，则f－1(b)＝a. 3．互为反函数的函数具有相同的单调性，利用这个结论，可以避免求反函数的过程，直接利用原函数的性质求解，减少失误． [训练3]　若点(2， eq \f(1,4) )既在函数y＝2ax＋b的图象上，又在它的反函数的图象上，则a＝________，b＝______． － eq \f(12,7) 　 eq \f(10,7) 　解析：∵点(2， eq \f(1,4) )在函数y＝2ax＋b的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系， ∴点( eq \f(1,4) ，2)在函数y＝2ax＋b的图象上． 把点(2， eq \f(1,4) )与( eq \f(1,4) ，2)分别代入函数y＝2ax＋b可得 2a＋b＝－2，　① eq \f(1,4) a＋b＝1，　② 解得a＝－ eq \f(12,7) ，b＝ eq \f(10,7) . eq \a\vs4\al(探究四　反函数性质的应用) 已知函数f(x)＝ eq \f(2x＋3,x－1) ，若函数g(x)的图象与y＝f－1(x＋1)的图象关于直线y＝x对称． (1)求g(3)的值； (2)求证：函数g(x)的图象关于直线y＝x对称． (1)解：由f(x)＝ eq \f(2x＋3,x－1) ，得f－1(x)＝ eq \f(x＋3,x－2) (x≠2)， ∴f－1(x＋1)＝ eq \f(x＋4,x－1) . ∵g(x)的图象与y＝f－1(x＋1)的图象关于直线y＝x对称， ∴g－1(x)＝f－1(x＋1)＝ eq \f(x＋4,x－1) (x≠1). 由 eq \f(x＋4,x－1) ＝3，解得x＝ eq \f(7,2) ，∴g(3)＝ eq \f(7,2) . (2)证明：由g－1(x)＝ eq \f(x＋4,x－1) (x≠1)，得g(x)＝ eq \f(x＋4,x－1) (x≠1)， ∴g(x)＝g－1(x)(x≠1)， ∴函数g(x)的图象关于直线y＝x对称． [变式]　函数f(x)＝ eq \f(ax＋b,x＋c) (a、b、c是常数)的反函数是f－1(x)＝ eq \f(3x－1,x＋2) ，求a、b、c的值． 解：∵f－1(x)＝ eq \f(3x－1,x＋2) ， ∴f[f－1(x)] ＝f[ eq \f(3x－1,x＋2) ]＝ eq \f(a（\f(3x－1,x＋2)）＋b,\f(3x－1,x＋2)＋c) ＝ eq \f(（3a＋b）x－a＋2b,（c＋3）x－1＋2c) ＝x， ∴(3a＋b)x－a＋2b＝(c＋3)x2＋(2c－1)x， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＋3＝0，,3a＋b＝2c－1，,－a＋2b＝0.)) ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1，,c＝－3.)) 由互为反函数的两个函数的图象关系可以知道，证明两个函数的图象关于直线y＝x对称，就是证明这两个函数互为反函数；证明一个函数的图象关于直线y＝x对称，就是证明它与自身互为反函数． [训练4]　已知函数f(x)＝ eq \f(3x＋1,x＋a) (x≠－a，a≠ eq \f(1,3) )， (1)求f(x)的反函数； (2)若这个函数图象关于y＝x对称，求a的值． 解：(1)由y＝ eq \f(3x＋1,x＋a) ⇒yx＋ay＝3x＋1⇒x＝ eq \f(1－ay,y－3) . 又y＝ eq \f(3（x＋a）＋1－3a,x＋a) ＝3＋ eq \f(1－3a,x＋a) ≠3， ∴f－1(x)＝ eq \f(1－ax,x－3) (x≠3). (2)由题函数图象关于y＝x对称， 可知f(x)的反函数是它本身，即f(x)＝f－1(x)， ∴ eq \f(3x＋1,x＋a) ＝ eq \f(1－ax,x－3) ， 即3x2－8x－3＝－ax2＋(1－a2)x＋a. ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＝3，,1－a2＝－8，,a＝－2，)) ⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,a＝3或－3，,a＝－3，)) ∴a＝－3. 1．函数y＝x＋2(x∈R)的反函数为(　　) A．x＝2－y　　　　　　　 B．x＝y－2 C．y＝2－x(x∈R) D．y＝x－2(x∈R) 答案：D 2．若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1，5)，则函数y＝f(x)的图象必过点(　　) A．(1，1) B．(1，5) C．(5，1) D．(5，5) 答案：C 3．函数f(x)＝10x与函数g(x)＝lg x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 答案：D 4．已知函数f(x)＝3x＋1，则f－1(9)＝________. 答案：1 5．已知函数f(x)＝3x，且f－1(18)＝a＋2，g(x)＝3ax－4x的定义域为[0，1]. (1)求g(x)的解析式； (2)求g(x)的值域． 解：(1)因为f(x)＝3x，且f－1(18)＝a＋2， 所以f(a＋2)＝3a＋2＝18.所以3a＝2. 因为g(x)＝3ax－4x＝(3a)x－4x， 所以g(x)＝2x－4x(0≤x≤1). (2)令t＝2x(0≤x≤1)，所以t∈[1，2]. 则g(x)＝y＝－t2＋t＝－(t－ eq \f(1,2) )2＋ eq \f(1,4) ， 在t∈[1，2]上单调递减． 所以当t＝1，即x＝0时，g(x)max＝0； 当t＝2，即x＝1时，g(x)min＝－2. 故g(x)的值域为[－2，0]. $$