4.1.1 实数指数幂及其运算（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

4．1　指数与指数函数 4．1.1　实数指数幂及其运算 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 栏目索引 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 必备知识 自主学习 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 as＋t as t asbs 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 实数 as＋t as t asbs 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 关键能力 互动探究 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 谢谢观看！ 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 课程标准 学科素养 1.理解根式的概念，掌握n次方根的性质． 2．理解分数指数幂的含义，掌握分数指数幂和根式之间的相互互化． 3．掌握有理数指数幂的运算法则并推广到实数指数幂． 4．理解无理数指数幂的含义． 通过对实数指数幂的学习，达成数学抽象、数学运算的核心素养． eq \a\vs4\al(知识点1　根式) 1．n次方根：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根． 2．根式：当 eq \r(n,a) 有意义的时候， eq \r(n,a) 称为根式，n称为根指数，a称为被开方数． 3．根式的性质：(1)( eq \r(n,a) )n＝a；(2)当n为奇数时， eq \r(n,an) ＝a；当n为偶数时，____________． eq \r(n,an) ＝|a| 1．已知m10＝2，则m等于(　　) A． eq \r(10,2) 　　 B．－ eq \r(10,2) 　　 C． eq \r(210) 　　 D．± eq \r(10,2) D　解析：由m10＝2，所以m＝± eq \r(10,2) . 2．若m<n，则 eq \r(（m－n）2) ＝________． n－m　解析：∵m<n，∴m－n<0, eq \r(（m－n）2) ＝|m－n|＝n－m. eq \a\vs4\al(知识点2　有理指数幂) 1．分数指数幂的意义：为了方便起见，我们约定底数a＞0.于是，当a＞0时，规定a eq \s\up16(\f(1,n)) ＝ eq \r(n,a) ，_________________ (n，m∈N＋，且 eq \f(m,n) 为既约分数).需要注意的是，上式在 eq \f(m,n) 不是既约分数(既m，n有大于1的公因数)时可能会有歧义．因此，以后无特别说明时，我们都认为分数指数幂中的指数都是既约分数．负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似，即a＞0时，规定＝ eq \f(1,a\s\up16(\f(m,n))) (n，m∈N＋). a eq \s\up16(\f(m,n)) ＝( eq \r(n,a) )m＝ eq \r(n,am) 2．有理数指数幂的运算法则 (1)asat＝__________ (a>0，s，t∈Q)； (2)(as)t＝__________ (a>0，s，t∈Q)； (3)(ab)s＝__________ (a>0，b>0，s∈Q). 1．(教材改编)3 eq \s\up16(\f(3,2)) 可化为(　　) A． eq \r(2) B． eq \r(3,3) C． eq \r(3,27) D． eq \r(27) D　解析：3 eq \s\up16(\f(3,2)) ＝ eq \r(33) ＝ eq \r(27) . 2．把根式a eq \r(a) 化成分数指数幂是(　　) A．(－a) eq \s\up16(\f(3,2)) B．－(－a) eq \s\up16(\f(3,2)) C．a eq \s\up16(\f(3,2)) D．－a eq \s\up16(\f(3,2)) C　解析：由题意可知a≥0，a· eq \r(a) ＝a·a eq \s\up16(\f(1,2)) ＝a eq \s\up16(\f(3,2)) . eq \a\vs4\al(知识点3　实数指数幂) 1．无理数指数幂的意义：当a＞0且t是无理数时，at都是一个确定的____． 2．实数指数幂的运算法则 (1)asat＝__________ (a＞0，s，t∈R). (2)(as)t＝__________ (a＞0，s，t∈R). (3)(ab)s＝__________ (a＞0，b＞0，s∈R). 1．式子 eq \f(a2,\r(a)·\r(3,a2)) (a＞0)经过计算可得到(　　) A．a B．－ eq \r(6,a5) C． eq \r(5,a6) D． eq \r(6,a5) D　解析：原式＝ eq \f(a2,a\s\up16(\f(1,2))·a\s\up16(\f(2,3))) ＝ eq \f(a2,a\f(1,2)＋\f(2,3)) ＝ eq \f(a2,a\s\up16(\f(7,6))) ＝a eq \s\up16(\f(5,6)) ＝ eq \r(6,a5) . 2．若10x＝3，10y＝4，则102x－y＝________． eq \f(9,4) 　解析：∵10x＝3，10y＝4，∴102x－y＝ eq \f(102x,10y) ＝ eq \f(32,4) ＝ eq \f(9,4) . eq \a\vs4\al(探究一　根式的性质) 求下列各式的值： (1) eq \r(3,（－7）3) ＋ eq \r(4,（5－2π）4) ； (2)( eq \r(5,a－b) )5＋( eq \r(6,b－a) )6(b>a). 解：(1)原式＝－7＋|5－2π|＝－7＋2π－5＝2π－12. (2)原式＝a－b＋b－a＝0. 1．化简 eq \r(n,an) 时，首先明确根指数n是奇数还是偶数，然后再依据根式的性质进行化简． 2．化简( eq \r(n,a) )n时，关键是明确 eq \r(n,a) 是否有意义，只要 eq \r(n,a) 有意义，则( eq \r(n,a) )n＝a eq \o(.,\s\do4(　,)) [训练1]　求下列各式的值： (1) eq \r(（π－4）2) ＋ eq \r(3,（π－4）3) ； (2)|x|－ eq \r(x2) ＋ eq \f(\r(x2),|x|) . 解：(1)原式＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0. (2)原式＝|x|－|x|＋1＝1. eq \a\vs4\al(探究二　根式与分数指数幂的互化) 下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式(式中字母都是正数). (1) eq \r(3,x5) ；(2) eq \f(1,\r(x3)) ；(3)x－ eq \f(3,4) ；(4)x eq \s\up16(\f(1,2)) y－ eq \f(2,3) . 解：(1) eq \r(3,x5) ＝x eq \s\up16(\f(5,3)) . (2) eq \f(1,\r(x3)) ＝ eq \f(1,x\s\up16(\f(3,2))) ＝x－ eq \f(3,2) . (3)x－ eq \f(3,4) ＝ eq \f(1,x\s\up16(\f(3,4))) ＝ eq \f(1,\r(4,x3)) . (4)x eq \s\up16(\f(1,2)) y－ eq \f(2,3) ＝ eq \r(x) eq \f(1,\r(3,y2)) ＝ eq \f(\r(x),\r(3,y2)) . 根式与分数指数幂互化的规律与技巧 (1)规律：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)技巧：当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出 eq \o(.,\s\do4(　,)) [训练2]　下列各式正确的是(　　) A． eq \r(3,m2＋n2) ＝(m＋n) eq \s\up16(\f(2,3)) B．( eq \f(b,a) )2＝a eq \s\up16(\f(1,2)) b eq \s\up16(\f(1,2)) C． eq \r(6,（－3）2) ＝(－3) eq \s\up16(\f(1,3)) D． eq \r(\r(3,4)) ＝2 eq \s\up16(\f(1,3)) D　解析：A.(m＋n) eq \s\up16(\f(2,3)) ＝ eq \r(3,（m＋n）2) ，因此不正确；B.( eq \f(b,a) )2＝b2·a－2，因此不正确；C. eq \r(6,（－3）2) ＝ eq \r(6,32) ＝3 eq \s\up16(\f(1,3)) ，因此不正确；D. eq \r(\r(3,4)) ＝2 eq \f(2,3) × eq \f(1,2) ＝2 eq \s\up16(\f(1,3)) ，正确． eq \a\vs4\al(探究三　分数指数幂的运算法则及应用) 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)， (1)a2 eq \r(a) ；(2) eq \r(a\r(a)) ；(3) eq \r(3,a2) · eq \r(a3) ；(4)( eq \r(3,a) )2· eq \r(ab3) . 解：(1)原式＝a2a eq \s\up16(\f(1,2)) ＝a2＋ eq \f(1,2) ＝a eq \s\up16(\f(5,2)) .(2)原式＝ eq \r(a·a\s\up16(\f(1,2))) ＝ eq \r(a\s\up16(\f(3,2))) ＝a eq \f(3,4) . (3)原式＝a eq \s\up16(\f(2,3)) ·a eq \s\up16(\f(3,2)) ＝a eq \f(2,3) ＋ eq \f(3,2) ＝a eq \s\up16(\f(13,6)) .(4)原式＝(a eq \s\up16(\f(1,3)) )2·(ab3) eq \s\up16(\f(1,2)) ＝a eq \s\up16(\f(2,3)) ·a eq \s\up16(\f(1,2)) b eq \s\up16(\f(3,2)) ＝a eq \f(2,3) ＋ eq \f(1,2) b eq \s\up16(\f(3,2)) ＝a eq \s\up16(\f(7,6)) b eq \s\up16(\f(3,2)) . 将根式转化为分数指数幂，再利用分数指数幂的运算法则进行化简． [训练3]　将下列各式化为分数指数幂的形式． (1) eq \f(1,\r(3,x·（\r(5,x2)）2)) (x>0)； (2) eq \r(ab3\r(ab5)) (a>0，b>0). 解：(1)原式＝ eq \f(1,\r(3,x·（x\s\up16(\f(2,5))）2)) ＝ eq \f(1,\r(3,x·x\s\up16(\f(4,5)))) ＝ eq \f(1,\r(3,x\s\up16(\f(9,5)))) ＝ eq \f(1,（x\s\up16(\f(9,5))）\s\up16(\f(1,3))) ＝ eq \f(1,x\s\up16(\f(3,5))) ＝x－ eq \f(3,5) . (2)原式＝[ab3(ab5) eq \s\up16(\f(1,2)) ] eq \s\up16(\f(1,2)) ＝(a·a eq \s\up16(\f(1,2)) ·b3·b eq \s\up16(\f(5,2)) ) eq \s\up16(\f(1,2)) ＝(a eq \s\up16(\f(3,2)) b eq \s\up16(\f(11,2)) ) eq \s\up16(\f(1,2)) ＝a eq \s\up16(\f(3,4)) b eq \s\up16(\f(11,4)) . 探究四　利用分数指数幂的运算法则化简、求值 计算下列各式：(1)(－3 eq \f(3,8) )－ eq \f(2,3) ＋0.002－ eq \f(1,2) －10( eq \r(5) －2)－1＋( eq \r(2) － eq \r(3) )0； (2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c). 解：(1)原式＝(－1)－ eq \f(2,3) ×(3 eq \f(3,8) )－ eq \f(2,3) ＋( eq \f(1,500) )－ eq \f(1,2) － eq \f(10,\r(5)－2) ＋1＝( eq \f(27,8) )－ eq \f(2,3) ＋500 eq \s\up16(\f(1,2)) －10( eq \r(5) ＋2)＋1＝ eq \f(4,9) ＋10 eq \r(5) －10 eq \r(5) －20＋1＝－ eq \f(167,9) . (2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c) ＝－ eq \f(1,3) a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－ eq \f(1,3) ac－1＝－ eq \f(a,3c) . [变式]　已知a eq \s\up16(\f(1,2)) ＋a－ eq \f(1,2) ＝5，求 eq \f(a\s\up16(\f(3,2))－a－\f(3,2),a\s\up16(\f(1,2))－a－\f(1,2)) 的值． 解：因为a eq \s\up16(\f(3,2)) －a－ eq \f(3,2) ＝(a eq \s\up16(\f(1,2)) )3－(a－ eq \s\up16(\f(1,2)) )3， 所以 eq \f(a\s\up16(\f(3,2))－a－\f(3,2),a\s\up16(\f(1,2))－a－\f(1,2)) ＝ eq \f(（a\s\up16(\f(1,2))－a－\f(1,2)）（a＋a\s\up16(\f(1,2))·a－\f(1,2)＋a－1）,a\s\up16(\f(1,2))－a－\f(1,2)) ＝a＋a－1＋1＝(a eq \s\up16(\f(1,2)) ＋a－ eq \s\up16(\f(1,2)) )2－2＋1＝52－1＝24. (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． [训练4]　设a eq \s\up16(\f(1,2)) －a－ eq \s\up16(\f(1,2)) ＝m，则 eq \f(a2＋1,a) ＝(　　) A．m2－2　　　　　 B．2－m2 C．m2＋2 D．m2 C　解析：将a eq \s\up16(\f(1,2)) －a－ eq \s\up16(\f(1,2)) ＝m两边平方得(a eq \s\up16(\f(1,2)) －a－ eq \s\up16(\f(1,2)) )2＝m2，即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2， 即a＋ eq \f(1,a) ＝m2＋2⇒ eq \f(a2＋1,a) ＝m2＋2. 1．若2＜a＜3，化简 eq \r(（2－a）2) ＋ eq \r(4,（3－a）4) 的结果是(　　) A．5－2a　　　　　　 B．2a－5 C．1 D．－1 答案：C 2．化简[(－ eq \r(3) )2]－ eq \s\up16(\f(1,2)) 的结果是(　　) A．－ eq \f(\r(3),3) B． eq \r(3) C． eq \f(\r(3),3) D．－ eq \r(3) 答案：C 3. eq \r(3,a) · eq \r(6,－a) 等于(　　) A．－ eq \r(－a) B．－ eq \r(a) C． eq \r(－a) D． eq \r(a) 答案：A 4．若a2＋a－2＝7，则a2－a－2＝________． 答案：±3 eq \r(5) 5．已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求 的值． 解：．① ∵a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根， ∴a＋b＝12，ab＝9，② ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108. ∵a＜b，∴a－b＝－6 eq \r(3) .③ 将②③代入①，得 ＝－ eq \f(\r(3),3) . $$