8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.3简单几何体的表面积和体积 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 1.掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式.(重点) 2.理解圆台的表面积与体积公式的推导.(难点) 3.会求简单组合体的表面积和体积. 学习目标 各面面积之和 展开图 棱柱、棱锥、棱台 柱体、锥体、台体的体积 棱锥 棱台 棱柱 棱柱、棱锥、 棱台的体积 棱柱、棱锥、棱台的表面积 复习回顾 与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和. 利用圆柱、圆锥、圆台的展开图，可以得到它们的表面积公式. 导入 之前，我们已经详细研究了基本立体图形的结构特征，以及棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算方法。这些几何体大多是多面体，其表面积和体积的计算相对直观。然而，对于圆柱、圆锥、圆台等由平面图形绕轴旋转而成的旋转体，它们的表面积和体积计算则需要引入新的公式和方法。这些旋转体在日常生活和工程应用中非常常见，因此掌握它们的表面积和体积的计算方法是非常重要的。 新知讲解——圆柱、圆锥、圆台的表面积 思考 圆柱的展开图包括哪些平面图形？ O O' • • 2πr 两个相同的圆以及一个矩形 如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，表面积公式是什么？ l r 思考 圆锥的展开图包括哪些平面图形？ 新知讲解——圆柱、圆锥、圆台的表面积 如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，表面积公式是什么？ O S • 2πr l r 一个扇形和一个圆 思考 圆台的展开图包括哪些平面图形？ 新知讲解——圆柱、圆锥、圆台的表面积 O' O r' r l • • 一个扇环和两个圆 2πr' 2πr 其中 新知讲解——圆柱、圆锥、圆台的表面积 2πr' 2πr ∵圆台侧面展开图是一个扇环   图形 表面积公式 旋转体 圆柱   底面积：S底=_______； 侧面积：S侧=_______； 表面积：S=_________ 圆锥   底面积：S底=_____； 侧面积：S侧=_____； 表面积：S=_________ 新知讲解——圆柱、圆锥、圆台的表面积 2πr2 2πrl 2πr(r+l) πr2 πrl πr(r+l) 新知讲解——圆柱、圆锥、圆台的表面积   图形 表面积公式 旋转体 圆台   上底面面积： S上底=______； 下底面面积： S下底=_____； 侧面积： S侧=__________； 表面积：S=_______________ πr'2 πr2 π(r'l+rl) π(r'2+r2+r'l+rl) 新知讲解——圆柱、圆锥、圆台的表面积 思考 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ r'＝r 上底扩大 r'＝0 上底缩小 l O O' r O S l r O' O r' r l r′=r r′=0 典例分析 1.圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方体，那么这个圆柱的侧面积是（ ） A 4πS B 2πS C πS D 解：选A底面半径是，所以正方形的边长是2π 。故圆柱的 面积是 典例分析 思考 我们以前已经学习过了圆柱、圆锥的体积公式，你还能根据它们的体积公式推导出圆台的体积公式吗？ 新知讲解——圆柱、圆锥、圆台的体积 l O O' r • • O S l r • (r是底面半径，h是高) (r是底面半径，h是高) 新知讲解——圆柱、圆锥、圆台的体积 圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式。因此的体积推导公式如下： 圆锥的高 ∽ S ’ A 思考 圆柱、圆锥体、圆台三者的体积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 新知讲解——圆柱、圆锥、圆台的体积 r’＝r 上底扩大 r’＝0 上底缩小 l O O' r O S l r O' O r' r l S′=S S′=0 新知讲解——圆柱、圆锥、圆台的体积 练习：圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 由题意知，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB. 设圆锥的高为h，底面半径为r， 作圆锥的轴截面，如图所示， 新知讲解——球的表面积 球的表面积的公式又是什么？ 设球的半径为R，它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积是 O 把一个半径为R的球的上半球横向切成n(无穷大)份， 每份等高并且把每份看成一个类似圆柱，球的表面积为所有圆柱的侧面积之和. A O S球 = 4πR2 典例分析——球的表面积 例3 如右图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成, 半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m. 如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料? (π取3.14) 解：一个浮标的表面积为 S表= 2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 =0.8478 (m2) 所以给1000个这样的浮标涂防水漆所需涂料约为 0.8478×0.5×1000 = 423.9 (kg). 新知讲解——球的体积 在小学,我们学习了圆的面积公式,你还记得是如何求得的吗? 类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗? 刘徽的“割圆术” 新知讲解——球的体积 第一步：分割 O 球面被分割成n个网格，连接球心O和每个 小网格的顶点。 则球的体积为： O 设“小锥体”的体积为： O A B C D 新知讲解——球的体积 O 第二步：求近似和 O 由第一步得： 新知讲解——球的体积 如果网格分的越细,则: 因为 所以球的体积为 O “小锥体”就越接近小棱锥。 的值就趋向于球的半径R 典例分析——球的体积 例4. 如图所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径， 求球与圆柱的体积之比. O R 解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径也为R，高为2R. 即球与圆柱的体积之比为2:3. 巩固练习 C 巩固练习 A 巩固练习 巩固练习 巩固练习 8 课堂总结 旋转体表面积、体积体积公式汇总 圆柱 圆锥 圆台 • O R 球 l O O' 2πr r • • O' O r' 2πr' r l 2πr • • 2πr O S l r • 2.已知圆台的上、下底面半径分别是2、6,且侧面面积等于两底面面积之和. (1)求圆台的母线长; (2)求圆台的表面积. 解：(1)设圆台的母线长为l, 则由题意得π(2+6)l=π×22+π×62, ∴8πl=40π,∴l=5, ∴该圆台的母线长为5. (2)由(1)可得圆台的表面积S=π×(2+6)×5+π×22+π×62=40π+4π+36π=80π. 由S侧＝π·r·PB＝16π， 则h＝r，PB＝r. 得πr2＝16π，所以r＝4，则h＝4. 故圆锥的体积V圆锥＝πr2h＝. 1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　) A．1∶2　　　　　　　　 B．1∶eq \r(3) C．1∶eq \r(5) D.eq \r(3)∶2 【解析】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝eq \r(5)r.∴S侧＝πrl＝eq \r(5)πr2，S底＝πr2.则S底∶S侧＝1∶eq \r(5). 2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　) A．7　　　　B．6　　　　C．5　　　　D．3 【解析】设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7. 3．已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为 ． 【解析】由已知圆台上、下底面积分别为 S上＝π，S下＝4π. 则V圆台＝eq \f(1,3)·(π＋eq \r(π·4π)＋4π)·3＝7π. 4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 ． 【解析】由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π. 5．一个正方体的八个顶点都在体积为eq \f(4,3)π的球面上，则正方体的表面积为 ． 【解析】设球的半径为R，正方体的棱长为a， 则eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π，故R＝1，由eq \r(3)a＝2R＝2，所以a＝eq \f(2,\r(3))，所以正方体的表面积为S＝6a2＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))))eq \s\up20(2)＝8. $$