专题5.3 利用导数研究函数的单调性（4类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.3 利用导数研究函数的单调性 【知识梳理】 1 【考点1：利用导数求不含参函数的单调性】 2 【考点2：由函数的单调性求参】 4 【考点3：分类讨论法求含参函数的单调区间】 5 【考点4：函数单调性的应用】 8 【知识梳理】 1．函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数． 2．由函数的单调性与导数的关系可得的结论 (1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.当x∈(a，b)时， f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增； f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减． (2)f′(x)>0(<0)在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充分条件． [方法技巧] 导数法研究函数f(x)在(a，b)内单调性的步骤 (1)求f′(x)； (2)确定f′(x)在(a，b)内的符号； (3)作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数． [提醒]　研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．　　 [方法技巧]　用导数求函数单调区间的三种类型及方法 f′(x)>0(<0)可解 先确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间 f′(x)＝0可解 先确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间 f′(x)>0(<0)及f′(x)＝0不可解 先确定函数的定义域，当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时，求导并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间 [方法技巧] 由函数的单调性求参数取值范围的方法 (1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围，注意检验等号成立时导数是否在(a，b)上恒为0. (2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，即f′(x)max>0(或f′(x)min<0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围． (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围． 【考点1：利用导数求不含参函数的单调性】 1．（2025高二下·山东聊城·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D．和 2．（2025高二下·湖南常德·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东梅州·期中）已知函数，则在下列区间上，单调递增的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·天津·期末）函数的单调递减区间为 ． 5．（2025高二下·天津武清·阶段练习）已知函数，则的单调减区间为 ． 6．（2025高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 7．（2025高二下·陕西商洛·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； 8．（2025高二下·上海·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值： (2)求的单调增区间． 【考点2：由函数的单调性求参】 1．（2025高二下·重庆·阶段练习）若函数在上为增函数，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三下·湖北·开学考试）函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高二下·江苏无锡·阶段练习）若函数在定义域内的区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025高二下·上海·阶段练习）已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 8．（2025高二下·河南郑州·阶段练习）已知函数. (1)若，求的单减区间； (2)若函数在区间上存在减区间，求a的取值范围. 【考点3：分类讨论法求含参函数的单调区间】 1．（2025高二下·河北张家口·阶段练习）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； (2)讨论函数的单调性. 3．（2025高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若函数在上为增函数，求实数a的取值范围. 4．（2025高三下·河南新乡·阶段练习）已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)试讨论的单调性． 5．（2025高二下·湖北十堰·阶段练习）已知函数． (1)当时，求在处切线方程； (2)讨论的单调区间． 6．（2025高二下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数. (1)试讨论的单调性； (2)当时，求的单调区间. 【考点4：函数单调性的应用】 1．（2025届黑龙江省齐齐哈尔市高考二模数学试题）已知函数，则不等式的解集为 ． 2．（2025高三下·全国·专题练习）在上的导函数为，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025届黑龙江省齐齐哈尔市高考二模数学试题）函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   4．（多选）（2025高二下·重庆·阶段练习）已知函数，若，则实数t的值不可能是（   ） A． B．1 C．2 D．0 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.3 利用导数研究函数的单调性 【知识梳理】 1 【考点1：利用导数求不含参函数的单调性】 2 【考点2：由函数的单调性求参】 6 【考点3：分类讨论法求含参函数的单调区间】 10 【考点4：函数单调性的应用】 17 【知识梳理】 1．函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数． 2．由函数的单调性与导数的关系可得的结论 (1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.当x∈(a，b)时， f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增； f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减． (2)f′(x)>0(<0)在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充分条件． [方法技巧] 导数法研究函数f(x)在(a，b)内单调性的步骤 (1)求f′(x)； (2)确定f′(x)在(a，b)内的符号； (3)作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数． [提醒]　研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．　　 [方法技巧]　用导数求函数单调区间的三种类型及方法 f′(x)>0(<0)可解 先确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间 f′(x)＝0可解 先确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间 f′(x)>0(<0)及f′(x)＝0不可解 先确定函数的定义域，当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时，求导并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间 [方法技巧] 由函数的单调性求参数取值范围的方法 (1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围，注意检验等号成立时导数是否在(a，b)上恒为0. (2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，即f′(x)max>0(或f′(x)min<0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围． (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围． 【考点1：利用导数求不含参函数的单调性】 1．（2025高二下·山东聊城·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D．和 【答案】D 【分析】根据导数和函数单调性的关系，即可求解. 【详解】，解得：或， 所以函数的单调递增区间是和. 故选：D 2．（2025高二下·湖南常德·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接求导，令，解出即可. 【详解】由已知， 定义域为，由得． ∴的增区间为． 故选：B． 3．（24-25高二下·广东梅州·期中）已知函数，则在下列区间上，单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，令，结合选项中角的范围求得x的范围，即可得出单调递增区间. 【详解】因为，所以， 令，则， 根据四个选项，可知 则，所以，所以， 所以的单调递增区间为， 因为，所以为函数的一个单调递增区间. 故选：B. 4．（24-25高二上·天津·期末）函数的单调递减区间为 ． 【答案】/ 【分析】先求出导函数，再根据，计算求解即可. 【详解】因为函数，定义域为， 所以， 令，所以， 的单调递减区间为. 故答案为：或. 5．（2025高二下·天津武清·阶段练习）已知函数，则的单调减区间为 ． 【答案】 【分析】求导，根据导数为负解不等式即可求解. 【详解】的定义域为, ， 令，则或， 故的单调减区间为， 故答案为： 6．（2025高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1)； (2) 的单调增区间是，无减区间； 【分析】（1）先求和，则切线方程为即可求解； （2）先求函数的定义域，利用导数求单调区间即可. 【详解】（1）由题意有，， 所以， 所以的切线方程为； （2）函数的定义域为， 所以， 所以在上为增函数， 所以函数的增区间为，无减区间； 7．（2025高二下·陕西商洛·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； 【答案】(1) (2)函数的递增区间为，递减区间为. 【分析】（1）求函数的导数，得到和，由点斜式得到切线方程； （2）令导数，得到对应区间导数的正负，从而得到函数的单调区间. 【详解】（1）， ∴， ， ∴切线方程为：，即 （2）由（1）知， 令，则或， 当时，，函数递增， 当时，，函数递减， 当时，，函数递增， 所以函数的递增区间为，递减区间为. 8．（2025高二下·上海·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值： (2)求的单调增区间． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义即可求得的值. （2）由（1）求出导函数大于0的不等式的解集即可得解. 【详解】（1）函数，求导得， 由曲线在点处的切线与平行，得 即，解得，此时，点不在直线上， 所以. （2）由（1）知，其定义域为，， 由，即，解得， 所以的单调增区间是. 【考点2：由函数的单调性求参】 1．（2025高二下·重庆·阶段练习）若函数在上为增函数，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为，即对恒成立，进而得解. 【详解】由题意函数在上为增函数， 可知， 即对恒成立， 所以． 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，对进行分类讨论，结合二次函数特征计算即可. 【详解】因为，若，则在上递增，不符合题意； 若，当时，，则在上单调递增，不符合题意； 若，当时，， 则的减区间为，结合在上单调递减，得，解得． 故选：D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的部分利用导数转换成不等式恒成立问题；的部分利用二次函数的性质即可判定；分段点处也要满足递减的性质，然后取交集即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时，恒成立，则； 当时，由在上递减， 若，，合题意， 若，则，故; 又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得. 综上所述，， 故选：C． 4．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将题干问题转化为在区间上恒成立，参变分离得，利用对勾函数单调性求得，即可得解. 【详解】由已知得， 函数在区间上单调递增， 在区间上恒成立． 对于恒成立． 而由对勾函数的单调性可知在区间上单调递减， ． 的取值范围是． 故选：D 5．（2025高三下·湖北·开学考试）函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由有解，结合三角函数的值域来求得正确答案. 【详解】， 因为函数在上不单调， 所以函数有零点， 所以方程 有根， 所以函数与 有交点（且交点非最值点）， 因为函数的值域为， 所以 . 故选：D 6．（2025高二下·江苏无锡·阶段练习）若函数在定义域内的区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，求出导数，判断出函数的单调性；再根据题目信息列出不等式组求解即可. 【详解】由函数可知函数定义域为，且. 令，可得；令，可得， 即函数在区间上单调递减；在区间上单调递增. 因为函数在定义域内的区间上不是单调函数， 所以，解得：. 故选：B 7．（2025高二下·上海·阶段练习）已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】令，由题意可得函数在R上单调递增，由在R上恒成立，可得在R上恒成立，令，利用导数求出函数的最小值，即可得答案. 【详解】解：因为对任意两个不相等的实数，都有， 即， 令，不妨设， 则有， 所以， 所以在R上单调递增， 所以在R上恒成立， 即在R上恒成立， 令， 则，令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 所以. 即的最大值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：在解答已知函数的单调性求参数的范围这类题目时，常转化为其导函数的恒正(负)，再参变分离求解即可. 8．（2025高二下·河南郑州·阶段练习）已知函数. (1)若，求的单减区间； (2)若函数在区间上存在减区间，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把代入，利用导数求出单调递减区间. （2）求出函数的导数，再将问题转化为在上有解即可. 【详解】（1）当时，的定义域为， 求导得，由，得， 所以的单减区间为. （2）函数，求导得， 由函数在上存在减区间，得，使得成立， 即，使得成立，函数在上单调递增， ，则，解得， 所以的取值范围为. 【考点3：分类讨论法求含参函数的单调区间】 1．（2025高二下·河北张家口·阶段练习）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过求导，再依据和分类讨论求其单调区间即可. 【详解】，则， ， 当，即时，，则在上单调递增，不满足题意，舍； 当，即或时，的两根为，且， 则得或；得， 则 在和上单调递增，在上单调递减， 则恰好有三个单调区间，满足题意，故实数的取值范围是. 故选：C. 2．（2025高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，由导数的几何意义，解方程即可； （2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性， 【详解】（1）由,得． 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得． （2）, ①当时,,为上的增函数, ②当时,令,得,则． ,；,． 所以在上单调递减,在上单调递增, 综上,当时, 为上的增函数, 当,在上单调递减,在上单调递增. 3．（2025高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若函数在上为增函数，求实数a的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， (2) 【分析】（1）对函数进行求导，参数进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系即得；（2）由题可得函数在上为增函数，在上恒成立，再利用导数求函数的最值即可. 【详解】（1）由题意得，， 当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得， ，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， （2）因为函数在上为增函数， 所以，在上恒成立． 即在上恒成立． 令，当时，， 所以，在上单调递增，． 所以，，解得， 所以，实数的取值范围为． 4．（2025高三下·河南新乡·阶段练习）已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)试讨论的单调性． 【答案】(1). (2)见解析 【分析】（1）先求导，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，最后利用点斜式求出切线方程； （2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出. 【详解】（1）当，， 所以， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）因为， 所以. 当时，，令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，令，解得或. 当时，，所以在上单调递增. 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时， 在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 5．（2025高二下·湖北十堰·阶段练习）已知函数． (1)当时，求在处切线方程； (2)讨论的单调区间． 【答案】(1)． (2)答案见解析 【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义求曲线在点处的切线斜率，再根据点斜式写出直线方程； （2）先求出函数的导数，通过讨论的取值范围求出函数的单调区间． 【详解】（1）， 当时，，， 所以在处切线方程为， 化简得：， 即． （2）， 函数的定义域为， 当时，当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数增区间为，减区间为； 当时，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增； 所以函数增区间为，，减区间为； 当时，，函数单调递增区间为，无减区间； 当时，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数增区间为，，减区间为． 综上，当时，函数增区间为，减区间为； 当时，函数增区间为，，减区间为； 当时，函数单调递增区间为，无减区间； 当时，函数增区间为，，减区间为． 6．（2025高二下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数. (1)试讨论的单调性； (2)当时，求的单调区间. 【答案】(1)答案见解析 (2)单调增区间 【分析】（1）求出导函数，按的不同取值分类讨论的符号即可； （2）利用导数的符号判断单调区间即可. 【详解】（1）由可得 ，， 令，解得或， ①当时，在小于0，即，单调递减， 在大于0，即，单调递增， ②当时，在，大于0，即，单调递增， 在小于0，即，单调递减， ③当时，在恒成立，即恒成立，当且仅当时等号成立， 所以在单调递增， ④当时，在，大于0，即，单调递增， 在小于0，即，单调递减， 综上所述，当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在单调递减，在，单调递增， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减，在，单调递增. （2）当时， ，，， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又因为，所以当时恒成立，即恒成立， 所以在上单调递增， 所以的单调增区间为. 【考点4：函数单调性的应用】 1．（2025届黑龙江省齐齐哈尔市高考二模数学试题）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用导数判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，即可求解不等式． 【详解】的定义域为， ∵，∴函数是上的增函数， ∵，∴函数是奇函数， ∴由得， ∴， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 2．（2025高三下·全国·专题练习）在上的导函数为，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件构造函数，利用导数判断其单调性，从而得到不等关系，即可判断. 【详解】令， 则， ，， 在上单调递增， ，即， . 故选：A. 3．（多选）（2025届黑龙江省齐齐哈尔市高考二模数学试题）函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABD 【分析】根据的定义域为，然后通过求导分析函数的单调性，再根据的不同取值情况来判断函数图象的大致形状. 【详解】的定义域为，排除C； 对求导可得，. 当时，，. 所以在上单调递增，且函数图象从右侧开始上升，B选项满足. 当时，在上，，，所以， 这表明函数在上单调递增，，A选项满足. 当时，. 令，对求导得， 在上，，所以在上单调递增. 又，当时，，所以存在，使得，即. 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增，D选项满足. 故选：ABD. 4．（多选）（2025高二下·重庆·阶段练习）已知函数，若，则实数t的值不可能是（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】AD 【分析】首先根据题意得到为奇函数且在为增函数，再解不等式即可. 【详解】函数，定义域为， ，所以为奇函数， ， 当且仅当，即取等号. 所以在为增函数. ， 即，解得. 故选：AD 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$