专题8.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积（3类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

专题8.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 【考点1：棱柱的表面积与体积】 1 【考点2：棱锥的表面积与体积】 8 【考点3：棱台的表面积与体积】 13 【基础知识】 空间几何体的表面积与体积公式 　名称　 几何体　　　 表面积 体积 棱柱 S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 棱锥 S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 棱台 S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h [方法技巧]　求空间几何体表面积的常见类型及思路 求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求不规则 几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 [方法技巧]　求空间几何体体积的常见类型及思路 规则 几何体 若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法 不规则 几何体 若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解 三视图 形式 若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 【考点1：棱柱的表面积与体积】 【知识点：棱柱的表面积与体积】 1．（2025高二上·上海·阶段练习）已知长方体的长、宽、高的和为384，的长为366，则该长方体的表面积为 . 【答案】 【分析】有题意得到和两个等式，将两边同时平方并将代入得到，即为长方体表面积. 【详解】如图，， ， ∴ ∴ 该长方体的表面积为：13500 故答案为：13500 2．（24-25高二上·上海·期中）已知长方体的三个不同表面的面积分别为，，，则长方体的对角线长为 . 【答案】 【分析】根据长方体的三个不同表面的面积分别为，，，求得相邻的三条棱长，再利用长方体的对角线长公式求解. 【详解】解：设长方体的相邻的三条棱长为a，b，c， 因为长方体的三个不同表面的面积分别为，，， 所以，解得， 所以长方体的对角线长为， 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·期中）已知一个正六棱柱底面边长为，高为，则这个正六棱柱的侧面积为 . 【答案】36 【分析】根据正棱柱的侧面积公式求解. 【详解】由正棱柱的侧面积公式可得， 故答案为：36 4．（2025·甘肃·一模）用一个平面截正方体，截面形状为正六边形，则截出的两部分几何体的体积之比是 . 【答案】 【分析】画出正六边形截面，根据对称性求得体积比. 【详解】如图所示，正方体中， 分别是的中点， 连接，则六边形是正六边形， 根据对称性可知，截出的两部分几何体的体积之比是. 故答案为： 5．（2025高三下·辽宁·阶段练习）如图，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.现制作一件三层六角宫灯模型，三层均为正六棱柱（内部全空），其中模型上、下层的底面周长均为120cm，高为5cm.现在其内部放入一个体积为的球形灯，且球形灯球心与各面的距离不少于9cm.则该模型的侧面积至少为 【答案】 【分析】由球心到各面距离为9，求出对应正棱柱的侧面积，即可得解. 【详解】依题意，上下两层是底面周长，高为的正六棱柱， 其侧面积为， 当球形灯球心到各面的距离等于时，中层正六棱柱的高为， 由球心到侧面距离为9，得中层正六棱柱底面边长为， 因此中层正六棱柱的侧面积， 所以该模型的侧面积至少为， 故答案为： 6．（2025高三下·全国·专题练习）一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用补形法将五面体补成一个棱柱，再利用体积公式求解即可. 【详解】如图，用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为的等边三角形， 侧棱长为， 故． 故选：C. 7．（2025高三下·重庆·阶段练习）《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作， 成书于公元一世纪左右， 是《算经十书》中最重要的一部. 书中商功章第二题至第七题涉及到城、 垣、堤、沟、堑、渠这些建筑，其形状都是底面为等腰梯形的直四棱柱. 以“城”为例，有如下问题:“今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺. 问积几何？答曰:（    ）立方丈. ”（注:一丈等于十尺） A．1265.5 B．1897.5 C．2846.5 D．3795.5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用棱柱的体积公式计算得解. 【详解】依题意，“城”的形状是底面为等腰梯形的直四棱柱， 其中等腰梯形的两底分别为2丈、4丈，高为5丈，因此底面积（平方丈） 直四棱柱的高为126.5丈，所以体积（立方丈）. 故选：B 8．（24-25高三下·天津·开学考试）某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】将几何体补全为长方体，包装盒的容积为，进而可得. 【详解】 如图，把几何体补全为长方体，则， ， 所以该包装盒的容积为， 故选：C 9．（2025·江西·模拟预测）在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】应用锥体体积及柱体体积公式结合图形特征计算求解即可. 【详解】设三棱柱的体积为，因为侧棱上各有一动点， 满足，所以四边形与四边形的面积相等， 故四棱锥的体积等于三棱柱的体积的，即， 则几何体的体积等于， 故过的截面将三棱柱分成上，下两个部分的体积之比为或. 故选：A. 10．（2025高二下·上海宝山·阶段练习）中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积. 【详解】如图所示，    该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成. 记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为， 则， 由于是两个相同的直三棱柱，所以 . 所以 . 故选：D. 【考点2：棱锥的表面积与体积】 【知识点：棱锥的表面积与体积】 1．（2025高三下·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用直观图和原图面积关系求出底面积，结合正三棱锥体积公式建立方程，求解高即可. 【详解】设底面三角形面积为，三棱锥的高为， 由直观图的性质得，解得， 因为正三棱锥的体积为，所以，解得，故A正确. 故选：A 2．（2025·陕西西安·一模）正三棱锥侧棱长为1，E，F分别是SA，SC上的动点，当△BEF周长的最小值为时，三棱锥的侧面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】将正三棱锥侧面沿侧棱剪开并展开在同一平面内，利用最小周长求出侧面顶角大小即可. 【详解】将正三棱锥的侧面沿侧棱剪开并展开在同一平面内，如图， 连接，当分别为与的交点时，的周长最小， 此时，而，，则，， 所以三棱锥的侧面积为. 故选：A 3．（2025高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可． 【详解】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体的棱长为，它的表面积是， 因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为． 故选：D． 4．（2025·江西·模拟预测）在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】应用锥体体积及柱体体积公式结合图形特征计算求解即可. 【详解】设三棱柱的体积为，因为侧棱上各有一动点， 满足，所以四边形与四边形的面积相等， 故四棱锥的体积等于三棱柱的体积的，即， 则几何体的体积等于， 故过的截面将三棱柱分成上，下两个部分的体积之比为或. 故选：A. 5．（2025高二下·陕西商洛·阶段练习）已知正方体的棱长为3，E为CD的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用体积法求点到平面的距离. 【详解】如图：    因为. 在中，,. 所以边上的高为：， 所以. 设点到平面的距离为，由. 故选：A 6．（2025高三下·河南新乡·阶段练习）已知正三棱锥底面边长为，且其侧面积是底面积的倍，则此正三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设顶点在底面的射影点为，延长交于点，则为的中点，连接，根据题意求出、的长，可求出的长，再利用锥体的体积公式可求得该正三棱锥的体积. 【详解】在正三棱锥中，设顶点在底面的射影点为，则为正的中心， 延长交于点，则为的中点，连接， 因为正的边长为，为的中点，则， 因为，则， 则， ， 由题意可知，正三棱锥的侧面积为，则， 即，故， 因为为正的中心，则， 因为平面，平面，则， 所以，， 因此，该三棱锥的体积为. 故选：D. 7．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）边长为的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可以围成一个正四棱锥，若内部小正方形的边长为，则此正四棱锥的体积为 . 【答案】/ 【分析】求出正四棱锥的高，利用锥体的体积公式可求得该正四棱锥的体积. 【详解】设底面的中心为，设线段的中点为，连接、， 因为，则， 因为为的中点，则，， 且，所以，， 翻折前，则、、三点共线，则，可得， 翻折后，在正四棱锥中，如下图所示： 由正四棱锥的几何性质可得平面， 因为平面，所以，， 由勾股定理可得， 正方形的面积为， 因此，正四棱锥的体积为. 故答案为：. 【考点3：棱台的表面积与体积】 【知识点：棱台的表面积与体积】 1．（2025高三下·重庆·阶段练习）西安大雁塔始建于唐代永辉三年，是中国古代佛教建筑的杰作．若将大雁塔的塔身近似看成正四棱台，上下底面的边长分别为13m和25m，塔身高度为60m．则其体积约为（    ）． A．15880 B．22380 C．47640 D．67140 【答案】B 【分析】根据棱台的体积公式计算即可. 【详解】由题意，上下底面的边长分别为13m和25m，塔身高度为60m， 则其体积为. 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）斗不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，其可近似看作正四棱台，现制作一上底面的面积为81平方分米，侧面积为120平方分米，侧高为5分米的米斗，若斗面的厚度忽略不计，则该斗可以装米（1立方分米1升）（    ） A．39升 B．156升 C．201升 D．210升 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正棱台的侧面积及体积公式求解即得. 【详解】设米斗的下底面边长为分米，高为分米， 由上底面的面积为81平方分米，得上底面边长为9分米， 由侧面积为120平方分米，侧高为5分米，得平方分米，解得， 即该米斗的下底面边长为3分米，因此分米， 则该米斗的体积为立方分米， 所以该斗可以装米156升. 故选：B 3．（2025高三下·山东青岛·开学考试）《九章算术》中记载：“今有台，上广二尺，下广四尺，高五尺．”其大致意思为：“现有一个棱台，上底面为边长为2的正方形，下底为边长为4的正方形，高为5”，则这个棱台的体积为（   ） A． B． C．100 D．140 【答案】B 【分析】由棱台体积公式可得答案. 【详解】由题可得上底面积为，下底面积为，高为， 则棱台体积为：. 故选：B 4．（2025高三下·贵州·开学考试）已知正四棱台的体积为，则正四棱台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意及台体体积公式可得台体的高，据此可得侧棱长及侧面梯形的高，然后可得答案. 【详解】如图，连接，BD，取，BD中点为，连接， 过做平行线，交BD为E. 由题，台体体积公式为， 其中，h为台体的高，即，. 则. 注意到， 则. 过做DC垂线，垂足为F，注意到， 则侧面梯形的高为， 得四个侧面面积之和为：， 又上下底面面积之和为：. 故表面积为：. 故选：C 5．（2025·云南昭通·一模）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 【答案】A 【分析】设，则，根据侧面积求出，再根据正棱台的结构特征结合勾股定理即可得解. 【详解】设，则， 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形， 如图1，在四边形中，过点作于点， ，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高， 则， 所以， 即该正四棱台的高为. 故选：A. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱台中，，，侧棱，则该棱台的体积为 ． 【答案】/ 【分析】将其补成正三棱锥，利用相似比可得，则正三棱锥为正方体的一角，再将三棱锥的体积转化为求正方体的体积，求出两个正三棱锥体积再作差即可. 【详解】补成正三棱锥， 因，，则为三棱锥侧棱的中点， 又，则， 则由勾股定理可知两两垂直，故该图形为正方体的一角， 所以， 同理，得， 所以正三棱台的体积．    故答案为： 7．（24-25高三上·河南周口·期末）已知一个正六棱台两底面的面积分别为，，体积为，则该棱台的侧面积为 . 【答案】/ 【分析】先根据上下底面积求出，再根据体积计算求出，最后求出正六棱台的斜高后根据侧面积公式计算． 【详解】如图，分别是上,下底面中心，分别是棱中点，由正棱台性质知，，，所以， 因为体积为,所以， 是斜高，，， ∵，∴，， 在直角梯形中，， ∴侧面积为． 故答案为：． 8．（2025高二上·广西南宁·阶段练习）如图是一个正四棱台的石料，上、下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的体积； (2)求四棱台的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用台体的体积公式可求得该四棱台的体积； （2）计算出正四棱台侧面梯形的高，即可计算出该正四棱台的表面积. 【详解】（1）由题意可知：四棱台的体积 ， （2）分别取、中点、，连接、、， 过点在平面内作，垂足为点， 由正四棱台的几何性质可知，平面，因为平面，则， 易知，因为，，则四边形为矩形， 因为正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 则，，，， 可得， 所以四棱台的表面积 . 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 【考点1：棱柱的表面积与体积】 1 【考点2：棱锥的表面积与体积】 4 【考点3：棱台的表面积与体积】 5 【基础知识】 空间几何体的表面积与体积公式 　名称　 几何体　　　 表面积 体积 棱柱 S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 棱锥 S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 棱台 S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h [方法技巧]　求空间几何体表面积的常见类型及思路 求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求不规则 几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 [方法技巧]　求空间几何体体积的常见类型及思路 规则 几何体 若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法 不规则 几何体 若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解 三视图 形式 若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 【考点1：棱柱的表面积与体积】 【知识点：棱柱的表面积与体积】 1．（2025高二上·上海·阶段练习）已知长方体的长、宽、高的和为384，的长为366，则该长方体的表面积为 . 2．（24-25高二上·上海·期中）已知长方体的三个不同表面的面积分别为，，，则长方体的对角线长为 . 3．（24-25高二上·上海·期中）已知一个正六棱柱底面边长为，高为，则这个正六棱柱的侧面积为 . 4．（2025·甘肃·一模）用一个平面截正方体，截面形状为正六边形，则截出的两部分几何体的体积之比是 . 5．（2025高三下·辽宁·阶段练习）如图，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.现制作一件三层六角宫灯模型，三层均为正六棱柱（内部全空），其中模型上、下层的底面周长均为120cm，高为5cm.现在其内部放入一个体积为的球形灯，且球形灯球心与各面的距离不少于9cm.则该模型的侧面积至少为 6．（2025高三下·全国·专题练习）一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 7．（2025高三下·重庆·阶段练习）《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作， 成书于公元一世纪左右， 是《算经十书》中最重要的一部. 书中商功章第二题至第七题涉及到城、 垣、堤、沟、堑、渠这些建筑，其形状都是底面为等腰梯形的直四棱柱. 以“城”为例，有如下问题:“今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺. 问积几何？答曰:（    ）立方丈. ”（注:一丈等于十尺） A．1265.5 B．1897.5 C．2846.5 D．3795.5 8．（24-25高三下·天津·开学考试）某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（    ） A． B． C． D．20 9．（2025·江西·模拟预测）在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 10．（2025高二下·上海宝山·阶段练习）中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【考点2：棱锥的表面积与体积】 【知识点：棱锥的表面积与体积】 1．（2025高三下·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（2025·陕西西安·一模）正三棱锥侧棱长为1，E，F分别是SA，SC上的动点，当△BEF周长的最小值为时，三棱锥的侧面积为（   ） A． B．1 C． D．2 3．（2025高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江西·模拟预测）在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 5．（2025高二下·陕西商洛·阶段练习）已知正方体的棱长为3，E为CD的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 6．（2025高三下·河南新乡·阶段练习）已知正三棱锥底面边长为，且其侧面积是底面积的倍，则此正三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）边长为的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可以围成一个正四棱锥，若内部小正方形的边长为，则此正四棱锥的体积为 . 【考点3：棱台的表面积与体积】 【知识点：棱台的表面积与体积】 1．（2025高三下·重庆·阶段练习）西安大雁塔始建于唐代永辉三年，是中国古代佛教建筑的杰作．若将大雁塔的塔身近似看成正四棱台，上下底面的边长分别为13m和25m，塔身高度为60m．则其体积约为（    ）． A．15880 B．22380 C．47640 D．67140 2．（2025高三·全国·专题练习）斗不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，其可近似看作正四棱台，现制作一上底面的面积为81平方分米，侧面积为120平方分米，侧高为5分米的米斗，若斗面的厚度忽略不计，则该斗可以装米（1立方分米1升）（    ） A．39升 B．156升 C．201升 D．210升 3．（2025高三下·山东青岛·开学考试）《九章算术》中记载：“今有台，上广二尺，下广四尺，高五尺．”其大致意思为：“现有一个棱台，上底面为边长为2的正方形，下底为边长为4的正方形，高为5”，则这个棱台的体积为（   ） A． B． C．100 D．140 4．（2025高三下·贵州·开学考试）已知正四棱台的体积为，则正四棱台的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·云南昭通·一模）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 6．（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱台中，，，侧棱，则该棱台的体积为 ． 7．（24-25高三上·河南周口·期末）已知一个正六棱台两底面的面积分别为，，体积为，则该棱台的侧面积为 . 8．（2025高二上·广西南宁·阶段练习）如图是一个正四棱台的石料，上、下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的体积； (2)求四棱台的表面积. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$