精品解析：重庆市部分区县2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

重庆市高二数学考试 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，当自变量由5变到5.1时，函数的平均变化率为（ ） A. 1 B. 1.1 C. 5.1 D. 10.1 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的平均变化率定义直接计算即可. 【详解】由题函数的平均变化率为. 故选：D 2. 已知数列的首项为1，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由递推公式即可写出的值. 【详解】当时，∵，∴， 当时，∵，∴， 当时，∵，∴. 故选：A. 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的标准方程即可得到焦点坐标. 【详解】由得，，故抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例．为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音．从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第六个单音的频率为，则第十二个单音的频率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 【详解】因为每一个单音与前一个单音频率比为， 所以，故， 又，则. 故选：D 5. 直线的图象如图所示，则圆与直线的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】由圆心到直线的距离小于半径可得. 【详解】由题意可得圆心坐标，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交. 故选：C 6. 已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且，，当取得最小值时，（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】把等差数列的前n项和设为二次函数，利用二次函数的对称性可求最值. 【详解】设等差数列的公差为，则， 令，因为，所以， 所以二次函数的图象关于直线对称． 又因为，可得，所以当取得最小值时，． 故选：B 7. 等差数列前项和分别是，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由与的关系计算可得. 【详解】由可设， 则，， 所以 故选：D 8. 已知正项数列的前项和为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知等式变形为，利用累乘法求出数列的通项公式，即可得出的值. 【详解】因为正项数列的前项和为，，且， 可得，则， 所以，，，，，， 上述等式相乘得， 则， 故当且时，，且满足， 对任意的，，故. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 是的极小值点 D. 是的极小值点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数与函数的单调性、极值点之间的关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由图象可知，当时，，则函数在上单调递增，A对； 对于B选项，当时，，则函数在上单调递增，B错； 对于C选项，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，是的极小值点，C对； 对于D选项，当时，，此时函数单调递增， 所以，不是函数的极小值点，D错. 故选：AC. 10. 已知点，，，，点P曲线C：上一点，则（ ） A. 存在无数个点P，使得为定值 B. 存在无数个点P，使得为定值 C. 仅存在2个点P，使得 D. 仅存在4个点P，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】曲线代表的是椭圆和椭圆，进而逐项判断即可. 【详解】由曲线C：， 可知曲线为：椭圆和椭圆， 易知，为的焦点，，，为的焦点， 存在无数个点P，使得为定值，存在无数个点P，使得为定值，故AB正确； 由图象可知：两椭圆共有4个交点， 所以仅存在4个点P，使得，故C错，D对， 故选：ABD 11. 若存在点，使得过点可作曲线的两条切线，切点为和，且是锐角，则可能为（ ） A. B C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，得到两切线交点坐标满足的关系，结合图象与数量积的符号逐一判断可知. 【详解】若过点可作曲线的两条切线， 设切点，不妨设， 则函数在处的切线方程为， 在处的切线方程为，则两切线交点为， 所以有，且， 即，， 由，， 则可得 . A项，，则， 所以， 由函数有两条渐近线，轴与直线， 两渐近线夹角为，如图1可知，，又不共线， 可能为锐角. 例如：当时， 此时，又不共线， 则为锐角，故A正确； B项，，则， 所以， 如图可知，，则， 故，又不共线，所以恒为钝角，故B错误； C项，，则， 所以，其中， 若，且，则， 如图所示，不共线，可以取到锐角，故C正确； D项，，则， 故，， 故曲线在处的切线为，在处的切线为， 此时两切线夹角为. ， 结合图可知，，则， 故，所以，故D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在数列中，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】令，得到的比值是定值，由等比数列的定义知道数列是等比数列，并知道首项和公比，由等比数列的通项公式得到. 【详解】当时，，即 ， ∴数列是首项，公比的等比数列， ∴. 故答案：. 13. 已知函数在上单调递减，则______． 【答案】 【解析】 【分析】写出函数导数，令导数小于0得到不等式，即不等式在上恒成立，求出参数的值. 【详解】， ∵，∴当时，， 即不等式在上恒成立， 的解集为， 即，∴，解得，即. 故答案为： 14. 若偶函数的定义域为，满足，且当时，，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，分析该函数的奇偶性与奇偶性，求得，不等式变形为，可得出或，结合函数的单调性可得出原不等式的解集. 【详解】构造函数，则该函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则，即函数为偶函数， 因为，则， 当时，， 所以，函数在区间上为增函数，故函数在区间上为减函数， 则，即， 当时，则，可得； 当时，则，可得. 因此，不等式的解集是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线经过双曲线的焦点，且的离心率为． （1）求的方程； （2）与的4个交点围成一个梯形，求该梯形的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线方程求出双曲线焦点，再由离心率和可得； （2）将抛物线方程代入双曲线方程求出可得. 【小问1详解】 因为抛物线过双曲线的焦点，所以令可得， 所以，又， 解得， 所以的方程. 【小问2详解】 由抛物线可得， 代入双曲线的方程可得，， 解得或， 所以梯形的高为. 16. 已知函数． （1）若，求在上的值域； （2）若，求在上的零点个数． 【答案】（1） （2）答案见解析； 【解析】 【分析】（1）多次求导后，可判断在上单调递增，据此可得值域； （2）时，多次求导后，可得在上单调递增，在上单调递减，其中，然后由零点存在性定理可得答案. 【小问1详解】 时，，此时， 令，. 则，则在上单调递增， 则，故在上单调递增， 则； 【小问2详解】 由题，令，. 则，，， 时，，根据正弦函数性质知在上的零点个数为0； 时，所以， 故在上单调递减. 又，则，使. 则， 故在上单调递增，在上单调递减. 又注意到，，结合在上单调递增， 则时，，，又， 结合在上单调递减.则存在，使. 综上，当时，在上的零点个数为0， 当时，在上的零点个数为1. 17. 如图，平面，点、位于平面的两侧，、、、四点共面，且． （1）证明：平面． （2）过点作平面的垂线，指出垂足的位置，并说明理由． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）是的中点，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）因为平面平面，所以有，结合再应用线面垂直的判定定理证明即可； （2）先应用面面垂直判定定理得出平面平面，再结合平面即可证明； （3）先建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再利用向量法求平面夹角即可. 【小问1详解】 ∵平面平面， ， ， 平面平面，， 平面. 【小问2详解】 过点作平面的垂线，垂足是的中点， 因为平面平面，所以平面平面， 又平面平面， 取的中点，因为， 所以平面，所以平面； 【小问3详解】 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又因为，所以 则，，， 设平面的法向量为，， 则， 取，平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，， 则， 取，平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， ， 即平面与平面所成角的余弦值为. 18. 若函数的导函数满足对恒成立，则称为函数． （1）试问是否为函数？说明你的理由； （2）若为函数，求的取值范围． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用函数的单调性结合函数的定义验证即可； （2）令，令，分析可知，对任意的，，对实数的取值进行分类讨论，结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 令，其中， 因为、在上为增函数，故函数在上为增函数， 所以，， 所以，函数是函数. 【小问2详解】 因为，则， 令， 设， 因为函数为函数，则对任意的，，即， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，即当时，则函数在区间上为增函数， 只需，解得，此时，； 当时，即当时，只需，解得，舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 19. 已知是由自然数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为． （1）若，写出的值． （2）若（为定值，且），证明：是等比数列． （3）若，证明：的项只能是4或3或2，且有无穷多项为2． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）写出数列，再结合数列新定义求出即可； （2）由数列新定义结合等比数列的性质证明； （3）采用反证法，先假设中存在大于4的项利用数列新定义得到与矛盾；再假定有有穷多项为2利用数列新定义得到与矛盾可证明. 【小问1详解】 由可得为， 又， ，所以， ，所以， ，所以， ，所以. 【小问2详解】 若，则， 因为，所以， 于是， 所以，即是公比为等比数列. 【小问3详解】 因为，所以， ，即对任意，， 假设中存在大于4的项， 设为满足的最小正整数，则，并且对任意， 因为，所以，且， 于是， 与矛盾，从而对于任意，都有，即的项只能是4或3或2， 因为对任意，，所以. 假定有有穷多项为2，且是中最后一个2，则或4，而， 于是或1，与矛盾. 综上，的项只能是4或3或2，且有无穷多项为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市高二数学考试 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，当自变量由5变到5.1时，函数的平均变化率为（ ） A. 1 B. 1.1 C. 5.1 D. 10.1 2. 已知数列首项为1，则（ ） A 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例．为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音．从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第六个单音的频率为，则第十二个单音的频率为（ ） A. B. C. D. 5. 直线图象如图所示，则圆与直线的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 6. 已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且，，当取得最小值时，（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 9 7. 等差数列前项和分别是，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正项数列的前项和为，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 是的极小值点 D. 是的极小值点 10. 已知点，，，，点P为曲线C：上一点，则（ ） A. 存在无数个点P，使得为定值 B. 存在无数个点P，使得为定值 C. 仅存在2个点P，使得 D. 仅存在4个点P，使得 11. 若存在点，使得过点可作曲线的两条切线，切点为和，且是锐角，则可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在数列中，，则______． 13. 已知函数在上单调递减，则______． 14. 若偶函数的定义域为，满足，且当时，，则不等式的解集是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线经过双曲线的焦点，且的离心率为． （1）求的方程； （2）与的4个交点围成一个梯形，求该梯形的高． 16. 已知函数． （1）若，求在上的值域； （2）若，求在上的零点个数． 17. 如图，平面，点、位于平面两侧，、、、四点共面，且． （1）证明：平面． （2）过点作平面的垂线，指出垂足的位置，并说明理由． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 若函数的导函数满足对恒成立，则称为函数． （1）试问是否为函数？说明你的理由； （2）若为函数，求的取值范围． 19. 已知是由自然数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为． （1）若，写出的值． （2）若（为定值，且），证明：是等比数列． （3）若，证明：的项只能是4或3或2，且有无穷多项为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$