精品解析：2025届贵州省黔东南苗族侗族自治州高三模拟统测数学试题

黔东南州2025届高三模拟统测 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 现有一组数据12，13，12，15，18，19，20，则这组数据的第40百分位数为（ ） A. 12 B. 13 C. 15 D. 18 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 4. 若是最小正周期为的偶函数，则的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 5. 已知第一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在规定时间内，甲、乙、丙能完成某项学习任务的概率分别为0.5，0.6，0.5，且这三人是否能按时完成任务相互独立．记甲、乙、丙三人中能按时完成这项学习任务的人数为，则（ ） A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设直线：，：．若存在定圆Q，使得这两条直线与圆Q都相切，则圆Q上一点到点的距离的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，，则（ ） A. B. 中元素的个数为8 C. 是A的一个真子集 D. 从中取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有20种 10. 已知点，，，，点P为曲线C：上一点，则（ ） A. 存在无数个点P，使得为定值 B. 存在无数个点P，使得为定值 C. 仅存在2个点P，使得 D. 仅存在4个点P，使得 11. 若存在点P，使得过点P可作曲线的两条切线，切点为A和B，且是锐角，则可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最大值为______，此时______． 13. 若函数满足，则______． 14. 在三棱锥中，O为的外心，底面ABC，，，且，则三棱锥外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线C：经过双曲线D：的焦点，且D的离心率为． （1）求D的方程； （2）C与D的4个交点围成一个梯形，求该梯形的高． 16. 如图，平面，，点，位于平面的两侧，，，，四点共面，且，，． （1）证明：平面． （2）过点作平面ABC的垂线，指出垂足的位置，并说明理由． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知数列满足，且．设． （1）求； （2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和． 18. 若函数的导函数满足对恒成立，则称为T函数． （1）试问是否为T函数？说明你的理由． （2）若为T函数，求a的取值范围． 19. 现有位编号为1到2n的玩家，房间里有2n个盒子（盒子的编号为1到2n），将2n张编号为1到2n的纸条随机放入这2n个盒子内（每个盒子内只放1张纸条）．玩家依次进入房间，且每人可以打开其中的任意n个盒子，只有当每个玩家都找到与自己编号相同的纸条时，才算挑战成功．每个玩家开完盒子后都将盒子盖上（纸条放回原处），恢复盒子的原状．设各玩家开盒相互独立，在挑战开始后，各玩家不准交流． 为了提升挑战成功的概率，有人设计了一个新方案：让每一位玩家进入房间后，先打开编号为自己编号的盒子（例如编号为2的玩家打开编号为2的盒子），若盒子里的纸条编号恰为玩家自己的编号，则该玩家退出房间，让下一位玩家进入房间；若盒子里的纸条编号（设该编号为X）不是该玩家自己的编号，则该玩家接着去打开编号为X的盒子，依此类推，直到打开的盒子里的纸条编号与自己的编号相同，且前提是打开盒子的个数不能超过n． （1）当时，设第个盒子内放的纸条编号为，试问采用新方案后，挑战是否能成功？说明你的理由． （2）当时，在第1个和第6个盒子内放的纸条编号分别为6和1的前提下，求采用新方案挑战成功的概率． （3）当时，求采用新方案挑战成功的概率． 参考数据：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔东南州2025届高三模拟统测 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 现有一组数据12，13，12，15，18，19，20，则这组数据的第40百分位数为（ ） A. 12 B. 13 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】将这组数据按从小到大排列为：12，12，13，15，18，19，20， 因为，所以这组数据的第40百分位数为13. 故选：B 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由模长公式及复数的除法运算即可求解； 【详解】， 所以虚部为， 故选：B 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量数量积及模长的坐标表示即可求解. 【详解】由条件可得， 两边平方得， 解得， 故选：A 4. 若是最小正周期为的偶函数，则的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期性公式及偶函数的概念即可求解. 【详解】对于A，为常函数，故最小正周期为错误； 对于B，，奇函数，故错误； 对于C，由周期公式可知：的最小正周期为：， 所以，故周期为，故错误； 对于D，，偶函数，由周期公式可得最小正周期为，故正确； 故选：D 5. 已知第一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合正四棱台性质求出第一个正四棱台的高，进而得到第二个正四棱台的高，再根据棱台的体积公式计算求解即可. 【详解】由题意知第一个正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm， 如图：设第一个四棱台上下底面中心为，连接， 结合正四棱台性质可知四边形为直角梯形， 且，故， 即棱台的高为，则第二个正四棱台的高为， 故第二个正四棱台的体积为. 故选：C. 6. 在规定时间内，甲、乙、丙能完成某项学习任务的概率分别为0.5，0.6，0.5，且这三人是否能按时完成任务相互独立．记甲、乙、丙三人中能按时完成这项学习任务的人数为，则（ ） A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 【答案】B 【解析】 【分析】由独立事件概率乘法公式及互斥事件概率加法公式，求得取每一个值得概率，进而可求解； 【详解】由题意可知的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， 所以 所以， 故选：B 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数运算易得，，，根据对数函数的单调性可得，进而结合换底公式得到，进而判断即可. 【详解】， ，， 因为， 所以，则. 故选：A. 8. 设直线：，：．若存在定圆Q，使得这两条直线与圆Q都相切，则圆Q上一点到点的距离的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简直线和的方程，表示出点到直线的距离以及点到直线的距离，结合点为定点，且，即可得到定圆Q的圆心为，半径为1，进而求解即可. 【详解】由：， 得， 由：， 得， 设，则点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 要使点为定点，且，则， 即，此时定圆Q的圆心为，半径为1， 所以圆Q上一点到点的距离的最大值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，，则（ ） A. B. 中元素的个数为8 C. 是A的一个真子集 D. 从中取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有20种 【答案】ABD 【解析】 【分析】由集合的运算可判断ABC，由组合数可判断D. 【详解】， 由条件可得，正确； ，有8个元素，正确； ，，显然C错误； 由条件可知中有个整数，其中有6个奇数， 所以取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有，正确； 故选：ABD 10. 已知点，，，，点P为曲线C：上一点，则（ ） A. 存在无数个点P，使得为定值 B. 存在无数个点P，使得为定值 C. 仅存在2个点P，使得 D. 仅存在4个点P，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】曲线代表的是椭圆和椭圆，进而逐项判断即可. 【详解】由曲线C：， 可知曲线为：椭圆和椭圆， 易知，为的焦点，，，为的焦点， 存在无数个点P，使得为定值，存在无数个点P，使得为定值，故AB正确； 由图象可知：两椭圆共有4个交点， 所以仅存在4个点P，使得，故C错，D对， 故选：ABD 11. 若存在点P，使得过点P可作曲线的两条切线，切点为A和B，且是锐角，则可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，得到两切线交点坐标满足的关系，结合图象与数量积的符号逐一判断可知. 【详解】若过点可作曲线的两条切线， 设切点，不妨设， 则函数在处的切线方程为， 在处的切线方程为，则两切线交点为， 所以有，且， 即，， 由，， 则可得 . A项，，则， 所以， 由函数有两条渐近线，轴与直线， 两渐近线夹角为，如图1可知，，又不共线， 则可能为锐角. 例如：当时， 此时，不共线， 则为锐角，故A正确； B项，，则， 所以， 如图可知，，则， 故，又不共线，所以恒为钝角，故B错误； C项，，则， 所以，其中， 若，且，则， 如图所示，不共线，可以取到锐角，故C正确； D项，，则， 故，， 故曲线在处的切线为，在处的切线为， 此时两切线夹角为. ， 结合图可知，，则， 故，所以，故D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最大值为______，此时______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由，则， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为，此时. 故答案为：；. 13. 若函数满足，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】分别令，，得到，，进而解方程组即可. 【详解】由， 令，得， 令，得， 两式联立，解得. 故答案为：2. 14. 在三棱锥中，O为的外心，底面ABC，，，且，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求底面的外接圆半径，确定三棱锥外接球球心的位置，列方程求出三棱锥外接球半径，进而可求其表面积. 【详解】如图： 设的外接圆半径为，三棱锥外接球的半径为. 在中，，所以. 记三棱锥外接球的球心为， 由. 故三棱锥外接球的表面积为：. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线C：经过双曲线D：的焦点，且D的离心率为． （1）求D的方程； （2）C与D的4个交点围成一个梯形，求该梯形的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线C与轴焦点坐标，可得，再结合双曲线的离心率求出，进而写出双曲线方程； （2）联立抛物线C与双曲线D的方程，解出C与D的4个交点坐标，进而求解即可. 【小问1详解】 抛物线C：与轴焦点坐标为， 则双曲线D：的焦点坐标为， 则，又，则， 所以求双曲线D的方程为. 【小问2详解】 联立，解得或或或， 则C与D的4个交点为，，，， 则该梯形的高为. 16. 如图，平面，，点，位于平面的两侧，，，，四点共面，且，，． （1）证明：平面． （2）过点作平面ABC的垂线，指出垂足的位置，并说明理由． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 又，且，平面， 所以平面. （2）垂足为的中点，理由： 取中点，连接，因为，所以 又与（1）同理可证平面， 因为四点共面，所以平面，所以， 又,平面，所以平面 所以为的中点. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平面，再结合，可证平面. （2）根据线面垂直判定点的位置. （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，，所以 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，可得. 设平面的法向量为， 则， 令，可得. 由， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知数列满足，且．设． （1）求； （2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和． 【答案】（1）4 （2）由，， 则 ，所以， 则得，又， 故数列是以3为首项，3为公比的等比数列， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设代值计算即可； （2）根据递推关系易得，进而得到，进而结合等比数列的定义求解即可； （3）由（2）可得，进而结合分组求和及错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由，， 取，则有，解得. 【小问2详解】 由，， 则 ， 所以，则得， 又， 故数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 则有，则. 【小问3详解】 由（2）知，， 则， 所以， 设， 则， 则， 则， 所以. 18. 若函数的导函数满足对恒成立，则称为T函数． （1）试问是否为T函数？说明你的理由． （2）若为T函数，求a的取值范围． 【答案】（1） 为T函数，理由如下： 由，则， 则， 因为函数在上为增函数， 所以函数在上为增函数， 所以， 所以对恒成立，故为T函数. （2） 【解析】 【分析】（1）根据T函数的定义结合导数判断即可； （2）根据T函数的定义可得对恒成立，设，，进而结合导数分析单调性求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，则， 因为为T函数， 所以对恒成立， 即对恒成立， 设，， 则， 当，即时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意； 当，即时，，此时函数在上单调递增， 则，即. 综上所述，a的取值范围为． 19. 现有位编号为1到2n的玩家，房间里有2n个盒子（盒子的编号为1到2n），将2n张编号为1到2n的纸条随机放入这2n个盒子内（每个盒子内只放1张纸条）．玩家依次进入房间，且每人可以打开其中的任意n个盒子，只有当每个玩家都找到与自己编号相同的纸条时，才算挑战成功．每个玩家开完盒子后都将盒子盖上（纸条放回原处），恢复盒子的原状．设各玩家开盒相互独立，在挑战开始后，各玩家不准交流． 为了提升挑战成功的概率，有人设计了一个新方案：让每一位玩家进入房间后，先打开编号为自己编号的盒子（例如编号为2的玩家打开编号为2的盒子），若盒子里的纸条编号恰为玩家自己的编号，则该玩家退出房间，让下一位玩家进入房间；若盒子里的纸条编号（设该编号为X）不是该玩家自己的编号，则该玩家接着去打开编号为X的盒子，依此类推，直到打开的盒子里的纸条编号与自己的编号相同，且前提是打开盒子的个数不能超过n． （1）当时，设第个盒子内放的纸条编号为，试问采用新方案后，挑战是否能成功？说明你的理由． （2）当时，在第1个和第6个盒子内放的纸条编号分别为6和1的前提下，求采用新方案挑战成功的概率． （3）当时，求采用新方案挑战成功的概率． 参考数据：，． 【答案】（1）能成功，理由如下： 编号为1的玩家先打开编号为1的盒子，该盒子内纸条编号为，该玩家接着去打开编号为6的盒子，该盒子内纸条的编号为，因为，所以玩家1可以挑战成功； 编号为2的玩家先打开编号为2的盒子，该盒子内纸条编号为，该玩家接着去打开编号为5的盒子，该盒子内纸条的编号为，因为，所以玩家2可以挑战成功； 编号为3的玩家先打开编号为3的盒子，该盒子内纸条编号为，该玩家接着去打开编号为4的盒子，该盒子内纸条的编号为，因为，所以玩家3可以挑战成功； … 编号为6的玩家先打开编号为6的盒子，该盒子内纸条编号为，该玩家接着去打开编号为1的盒子，该盒子内纸条的编号为，因为，所以玩家6可以挑战成功. 所以使用新方案后，每个玩家都可以在第二次找到与自己编号相同的纸条，从而挑战成功，所以采用新方案后，挑战能成功. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）逐个分析每个玩家的情况，可得问题答案. （2）利用古典概型可求相应事件的概率. （3）列出挑战成功的概率的公式，计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在第1个，第6个盒子内放的纸条编号分别为6和1的前提下，即编号为1和6的两个玩家能挑战成功的情况下，考虑其余四人的情况如下： 设第2个，第3个，第4个，第5个盒子内放的纸条编号分别为，则的所有情况共有种. 其中采用新方案挑战失败的有，，，，，，共6种. 所以挑战成功的概率为：. 【小问3详解】 采用新方案后，设编号为的玩家恰好打开了个盒子才找到与自己编号相同的纸条，则称数字的循环周期为. 在这100个盒子内有100张编号互不相同的纸条，100个盒子的纸条的每一种投放顺序相当于数字1到100进行一次排列， 循环周期为的排列共有种循环方法（即从这100个数中选个数进入循环），在周期内，循环的这些数字有种排法，其余数字有种排法，因此循环周期为的排列数为：. 记“当时，采用新方案挑战成功”为事件， 则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $