复数概念及运算 讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【复数的概念及运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：复数的有关概念】 知识讲解 1. 复数的定义： · 我们把形如（，为虚数单位）的数叫做复数。其中，称为实部，称为虚部。例如，就是一个复数，这里实部，虚部。引入虚数单位是为了解决方程在实数范围内无解的问题，规定。 2. 复数的表示形式： · 代数形式：即，这是最常见的表示方式，清晰地展示了实部和虚部。比如，通过这种形式能直接看出实部为，虚部为。 · 几何形式：复数可以用复平面内的点来表示。复平面是用水平的实轴（轴）表示实数部分，垂直的虚轴（轴）表示虚数部分的平面。例如，复数对应复平面内的点。同时，复数也可以用平面向量来表示，其中为坐标原点，为点，向量的坐标与复数的实部和虚部相对应。 3. 复数的分类： · 实数：当时，复数就变为实数。例如，可以写成，它是实数。所有实数构成的集合就是我们熟悉的实数集。 · 虚数：当时，复数称为虚数。比如$4i$（此时），等都是虚数。 · 纯虚数：当且时，复数称为纯虚数。像$7i$就是纯虚数。 4. 复数相等： · 对于两个复数，（），若，则且。例如，若，那么根据复数相等的条件可得且。 5. 共轭复数： · 对于复数（），其共轭复数记为。也就是说，实部不变，虚部取相反数。比如的共轭复数。共轭复数在复数的运算以及一些实际应用中都有重要作用。 6. 复数的模： · 复数（）的模，记作，且。它表示复平面内该复数对应的点到原点的距离。例如，复数，其模 。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）已知i是虚数单位，复数的实部为（   ） A．0 B．1 C． D．i 【例题2】（24-25高一下·重庆·阶段练习）若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一下·福建三明·阶段练习）若（，是虚数单位），则的值分别等于（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·新疆喀什·二模） 的虚部为 ． 【相似题2】（22-23高一下·浙江嘉兴·阶段练习）已知是关于的方程的一个根. (1)求的值； (2)若是纯虚数，求实数的值和. 【题型二：复数的几何意义】 知识讲解 1. 复数与复平面内点的对应： · 复数（）可以与复平面内的点建立一一对应关系。复平面是一个特殊的平面直角坐标系，其中轴称为实轴，单位为，表示复数的实部；轴称为虚轴，单位为，表示复数的虚部。例如，复数，它在复平面内对应的点就是。通过这种对应，我们可以将复数的抽象代数形式直观地用平面上的点表示出来，有助于我们从几何角度理解复数。 2. 复数与向量的对应： · 复数还可以与平面向量（为坐标原点）一一对应。向量的坐标为，与复数的实部和虚部相对应。比如复数，对应的向量，其起点为原点，终点坐标为。向量的长度和方向可以反映复数的一些性质，这种对应关系为利用向量知识解决复数问题提供了可能。 3. 复数模的几何意义： · 复数的模，它在几何上表示复平面内点到原点的距离。例如，对于复数，其模，这意味着点到原点的距离为。模的大小可以用来比较复数的 “大小”（虽然复数本身不能像实数那样直接比较大小，但模可以作为一种衡量标准），在一些问题中，如求复数的最值等，模的几何意义起着关键作用。 4. 共轭复数的几何意义： · 若复数，其共轭复数。在复平面内，与对应的点关于实轴对称。例如，对应的点为，其共轭复数对应的点为，这两个点关于轴对称。这种对称关系在复数的运算和一些几何问题中有着重要应用，比如在证明某些关于复数的等式或不等式时，可以利用共轭复数的几何对称性质简化证明过程。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 (1)求的值； (2)在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 【例题2】（24-25高一下·天津滨海新·阶段练习）已知i为虚数单位，若复数，则复数z在复平面上对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例题3】（2025·江西赣州·一模）已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【相似题2】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二，四象限； 【相似题3】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知复数，，． (1)若，求角； (2)复数，对应的向量分别是，， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围． 【题型三：复数的模长】 知识讲解 复数的模： · 复数（）的模，记作，且。它表示复平面内该复数对应的点到原点的距离。例如，复数，其模 。 复数模的几何意义： · 复数的模，它在几何上表示复平面内点到原点的距离。例如，对于复数，其模，这意味着点到原点的距离为。模的大小可以用来比较复数的 “大小”（虽然复数本身不能像实数那样直接比较大小，但模可以作为一种衡量标准），在一些问题中，如求复数的最值等，模的几何意义起着关键作用。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·云南文山·阶段练习）已知，若为纯虚数，则 . 【例题2】（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知复数满足，则复数 ． 【例题3】（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知复数满足，则的最小值为 ． 相似练习 【相似题1】 （24-25高三下·上海·阶段练习）已知复数满足，则的最大值为 【相似题2】（24-25高一下·全国·课后作业）若，且为纯虚数，则复数 ． 【相似题3】（2024·上海徐汇·一模）已知复数和复数满足（为虚数单位），则 . 【题型四：复数的四则运算】 知识讲解 1. 复数的加法： · 设，（），那么。 · 从几何意义上看，若复数，在复平面内对应的向量分别为，，则对应的向量就是，符合向量加法的平行四边形法则或三角形法则。例如，，，则。复数加法满足交换律和结合律。 2. 复数的减法： · 复数的减法是加法的逆运算，，即。 · 从几何意义上讲，若复数，在复平面内对应的向量分别为，，则对应的向量为 。例如，，，那么。 3. 复数的乘法： · 设，（），则。因为，所以。 · 例如，，，。复数乘法满足交换律、结合律以及分配律 。 4. 复数的除法： · 复数的除法是乘法的逆运算，设，（，即），。为了将分母实数化，给分子分母同时乘以的共轭复数，则。 · 例如，计算，分母实数化得。 5. 与一元二次方程的关系： · 对于一元二次方程（），其判别式。当时，在实数范围内方程无解，但在复数范围内有解。 · 根据求根公式，此时（因为）。例如方程，这里，，，。 · 则。在求解过程中，充分运用了复数的四则运算，将转化为$4i$，然后进行除法运算得到方程的两个复数根。这体现了复数运算为解决原本在实数范围内无解的一元二次方程提供了可能，拓展了方程解的范围。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知是方程的一个根，则 ． 【例题2】（24-25高三下·天津河西·阶段练习）已知，则的虚部为 . 【例题3】（24-25高三下·北京·阶段练习）已知为虚数单位，若复数满足，则 ． 相似练习 【相似题1】（24-25高三下·上海·阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，则 . 【相似题2】（24-25高三下·北京·开学考试）复数（i是虚数单位）的虚部是 ． 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个等式：（1）；（2）；（3）；（4）.其中恒成立的等式的个数是 【题型五：复数的三角表示】 知识讲解 1. 复数三角形式的定义： · 任何一个复数（）都可以表示成的形式，其中是复数的模，；称为复数的辐角，它满足，在范围内的辐角称为辐角的主值，记作。例如，对于复数，其模，，因为对应的点在第一象限，所以，则的三角形式为。 2. 复数的代数形式与三角形式的转换： · 代数形式转三角形式：已知复数，先求模，再根据，的正负确定辐角所在象限，通过求出（注意要取辐角主值），从而得到三角形式。例如，，，，对应的点在第二象限，所以，其三角形式为。 · 三角形式转代数形式：若复数，展开可得，令，，就得到代数形式。比如，则。 3. 复数三角形式的乘法运算： · 设，，那么。根据两角和的余弦公式与两角和的正弦公式，可得。这表明，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和。例如，，，则。 4. 复数三角形式的除法运算： · 设，（），。分母，分子展开并利用两角差的余弦和正弦公式可得。即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角。例如，，，则。 5. 复数三角形式的乘方运算（棣莫弗定理）： · 对于复数，，有。例如，，先将化为三角形式，则。棣莫弗定理在计算复数的高次幂时非常简便。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例题2】（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二上·云南昭通·期中）棣莫佛定理：若复数，则，计算（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（20-21高一下·福建泉州·期末）已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（    ） A．若i，则i B．若i，则i C．若i，i，则i D．若i，i，则i 【相似题2】多选题（24-25高一下·云南玉溪·阶段练习）欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（    ） A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 【相似题3】多选题（23-24高三上·广东广州·期中）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫佛发现：，我们称这个结论为棣莫佛定理.根据以上信息，则下列说法正确的是（    ） A．当，时， B．当，时， C．当，且为偶数时，为实数 D． 【题型六：复数的综合练习】 例题精选 【例题1】多选题（24-25高三上·江西南昌·期末）已知，，关于的方程有一个根为，为虚数单位，另一个根为，则（ ） A．该方程不存在实数根 B．， C．对应的点在第三象限 D． 【例题2】多选题（24-25高三上·江苏南通·期末）已知，是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若为实数，则z是实数 B．若为虚数，则z是虚数 C．若，则是实数 D．若，则 【例题3】多选题（24-25高三上·辽宁锦州·期末）已知复数，，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是的充分不必要条件 D．，，，则 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高三上·河南·期末）已知复数，是方程的两个不同的根，且在复平面内所对应的点位于第二象限，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】多选题（24-25高三上·重庆·阶段练习）在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．复数，则在复平面内对应的点位于第一象限 B．若复数满足，则 C．若，则的最小值为1 D．若是关于的方程的根，则 【相似题3】多选题（2022·广东茂名·二模）（多选）已知复数，，若为实数，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．为纯虚数 D．对应的点位于第三象限 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高三上·福建福州·期末）已知复数，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东·阶段练习）若复数满足，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·模拟预测）已知复数（其中为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江杭州·开学考试）记复数的共轭复数为，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（23-24高一下·广西河池·期末）欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（23-24高一下·福建厦门·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D．2 7．（23-24高一下·福建福州·期末）若复数满足，则在复平面中对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、多选题 8．（23-24高一下·福建福州·期末）设复数 ，其中是虚数单位，下列判断中正确的是（   ） A． B． C．是方程 一个根 D．复数满足 ，则的最大值为 9．（23-24高一下·山东·期中）若复数满足，则（    ） A．为纯虚数 B． C． D． 10．（23-24高一下·福建泉州·期末）已知为复数，则下列命题正础的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 11．（23-24高一下·福建漳州·期末）在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．复数，则在复平面内对应的点位于第四象限 B． C．若复数满足，则 D．若，则的最大值为 三、填空题 12．（23-24高一下·福建莆田·期末）写出满足的一个复数 ． 四、解答题 13．（23-24高一下·福建漳州·期末）已知复数为纯虚数. (1)求的值； (2)在复平面内，若对应的向量分别为，其中为原点，求. 14．（23-24高一下·福建南平·期末）已知复数（，），为纯虚数，且． (1)求复数z； (2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值． 2024-2025高一下学期重难点题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【复数的概念及运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：复数的有关概念】 知识讲解 1. 复数的定义： · 我们把形如（，为虚数单位）的数叫做复数。其中，称为实部，称为虚部。例如，就是一个复数，这里实部，虚部。引入虚数单位是为了解决方程在实数范围内无解的问题，规定。 2. 复数的表示形式： · 代数形式：即，这是最常见的表示方式，清晰地展示了实部和虚部。比如，通过这种形式能直接看出实部为，虚部为。 · 几何形式：复数可以用复平面内的点来表示。复平面是用水平的实轴（轴）表示实数部分，垂直的虚轴（轴）表示虚数部分的平面。例如，复数对应复平面内的点。同时，复数也可以用平面向量来表示，其中为坐标原点，为点，向量的坐标与复数的实部和虚部相对应。 3. 复数的分类： · 实数：当时，复数就变为实数。例如，可以写成，它是实数。所有实数构成的集合就是我们熟悉的实数集。 · 虚数：当时，复数称为虚数。比如$4i$（此时），等都是虚数。 · 纯虚数：当且时，复数称为纯虚数。像$7i$就是纯虚数。 4. 复数相等： · 对于两个复数，（），若，则且。例如，若，那么根据复数相等的条件可得且。 5. 共轭复数： · 对于复数（），其共轭复数记为。也就是说，实部不变，虚部取相反数。比如的共轭复数。共轭复数在复数的运算以及一些实际应用中都有重要作用。 6. 复数的模： · 复数（）的模，记作，且。它表示复平面内该复数对应的点到原点的距离。例如，复数，其模 。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）已知i是虚数单位，复数的实部为（   ） A．0 B．1 C． D．i 【答案】C 【分析】利用复数的乘方运算及复数的概念计算即可. 【详解】易知，所以其实部为. 故选：C 【例题2】（24-25高一下·重庆·阶段练习）若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的概念得出的值即可. 【详解】为实数，则， 是纯虚数，则， 则 故选：D 【例题3】（24-25高一下·福建三明·阶段练习）若（，是虚数单位），则的值分别等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数相等的定义求值即可. 【详解】根据复数相等的定义，可得. 故选：A. 相似练习 【相似题1】（2025·新疆喀什·二模） 的虚部为 ． 【答案】 【分析】先化简可得，再结合虚部的定义即可求解. 【详解】由， 则其虚部为. 故答案为：. 【相似题2】（22-23高一下·浙江嘉兴·阶段练习）已知是关于的方程的一个根. (1)求的值； (2)若是纯虚数，求实数的值和. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）利用复数的运算法则以及复数相等的条件求解. （2）利用纯虚数的定义以及复数模的定义求解. 【详解】（1）由是方程的一个根，得， 整理得，因此， 所以. （2）由（1）知，， 由是纯虚数，得，解得，则， 所以. 【题型二：复数的几何意义】 知识讲解 1. 复数与复平面内点的对应： · 复数（）可以与复平面内的点建立一一对应关系。复平面是一个特殊的平面直角坐标系，其中轴称为实轴，单位为，表示复数的实部；轴称为虚轴，单位为，表示复数的虚部。例如，复数，它在复平面内对应的点就是。通过这种对应，我们可以将复数的抽象代数形式直观地用平面上的点表示出来，有助于我们从几何角度理解复数。 2. 复数与向量的对应： · 复数还可以与平面向量（为坐标原点）一一对应。向量的坐标为，与复数的实部和虚部相对应。比如复数，对应的向量，其起点为原点，终点坐标为。向量的长度和方向可以反映复数的一些性质，这种对应关系为利用向量知识解决复数问题提供了可能。 3. 复数模的几何意义： · 复数的模，它在几何上表示复平面内点到原点的距离。例如，对于复数，其模，这意味着点到原点的距离为。模的大小可以用来比较复数的 “大小”（虽然复数本身不能像实数那样直接比较大小，但模可以作为一种衡量标准），在一些问题中，如求复数的最值等，模的几何意义起着关键作用。 4. 共轭复数的几何意义： · 若复数，其共轭复数。在复平面内，与对应的点关于实轴对称。例如，对应的点为，其共轭复数对应的点为，这两个点关于轴对称。这种对称关系在复数的运算和一些几何问题中有着重要应用，比如在证明某些关于复数的等式或不等式时，可以利用共轭复数的几何对称性质简化证明过程。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 (1)求的值； (2)在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）令且，根据已知等量关系得，进而求复数的模； （2）由已知有，结合其所在象限列不等式组求参数范围. 【详解】（1）令且，则， 所以，则，可得， 所以，则； （2）由， 故对应点在第三象限，则， 所以，即. 【例题2】（24-25高一下·天津滨海新·阶段练习）已知i为虚数单位，若复数，则复数z在复平面上对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用复数乘方运算得到，从而得到对应的点的坐标，得到所在象限. 【详解】， 故复数z在复平面上对应的点坐标为，故对应的点在第三象限. 故选：C 【例题3】（2025·江西赣州·一模）已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，代入，利用模长公式整理得z在复平面内对应点的轨迹方程． 【详解】z在复平面内对应的点为，则， 由，得， 化简得. 故选：A. 相似练习 【相似题1】（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】先根据复数几何意义得坐标，再根据对称得到坐标，最后根据复数减法几何意义，结合两点间距离公式得结果. 【详解】因为，所以点 因为点与点关于直线对称，所以. 所以 故选:A. 【相似题2】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二，四象限； 【答案】(1)或4． (2)或． 【分析】（1）根据已知得出实部和虚部进而根据点在虚轴上列方程求解； （2）点在二四象限列不等式求解. 【详解】（1）复数的实部为， 虚部为． 由题意得，解得或4． （2）由题意，，或． 【相似题3】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知复数，，． (1)若，求角； (2)复数，对应的向量分别是，， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ），（ⅱ） 【分析】（1）利用复数相等的性质和特殊角的三角函数值，结合角度的范围即可求解； （2）（ⅰ）利用向量的数量积结合两角差的正弦公式，再由角度的范围即可求出的取值范围； （ⅱ）利用向量数量积的坐标运算化简等式，转化为和三角函数得表达式，求出三角函数的整体范围，进而计算的取值范围. 【详解】（1），，且， ，，即，， 又，故. （2）（ⅰ）由复数的坐标表示可得，，， ， 又，则. 当时，取最大值为，当时，取最小值为， 的取值范围为； （ⅱ），， ， 又，则， 化简得，， ，由小问（ⅰ）的结论可知， ，解得或， 综上所述，的取值范围为：. 【题型三：复数的模长】 知识讲解 复数的模： · 复数（）的模，记作，且。它表示复平面内该复数对应的点到原点的距离。例如，复数，其模 。 复数模的几何意义： · 复数的模，它在几何上表示复平面内点到原点的距离。例如，对于复数，其模，这意味着点到原点的距离为。模的大小可以用来比较复数的 “大小”（虽然复数本身不能像实数那样直接比较大小，但模可以作为一种衡量标准），在一些问题中，如求复数的最值等，模的几何意义起着关键作用。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·云南文山·阶段练习）已知，若为纯虚数，则 . 【答案】 【分析】根据条件，得到，再利用模长的计算公式，即可求解. 【详解】由为纯虚数，得，解得， 所以，则， 故答案为：. 【例题2】（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知复数满足，则复数 ． 【答案】 【分析】首先求出，进一步即可得解. 【详解】因为，所以，所以，. 故答案为：. 【例题3】（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知复数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义，利用数形结合即可得解. 【详解】由复数的几何意义可知，表示复数与对应点之间的距离， 所以复数对应的点是以为圆心为半径的圆，如图， 表示圆上的点到原点的距离， 由图知，的最小值为. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】 （24-25高三下·上海·阶段练习）已知复数满足，则的最大值为 【答案】7 【分析】根据复数运算的几何意义，把问题转化为点到圆上的点的距离的取值范围求解. 【详解】如图： 因为复数满足，所以复数对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上. 又表示点到点的距离. 结合图形可知，当，，三点共线，且，在点两侧时，最大， 此时. 所以. 故答案为：7 【相似题2】（24-25高一下·全国·课后作业）若，且为纯虚数，则复数 ． 【答案】 【分析】设（x，），然后根据题意列方程组可求出，从而可求出复数. 【详解】设复数（x，），则． 由题意知或． 故答案为： 【相似题3】（2024·上海徐汇·一模）已知复数和复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】设，由复数的减法与共轭复数的概念可得，结合复数的乘方运算性质、复数的乘法法则、复数的模长即可得求解的值. 【详解】设， 则， 所以， 因为， 所以， 则. 故答案为：. 【题型四：复数的四则运算】 知识讲解 1. 复数的加法： · 设，（），那么。 · 从几何意义上看，若复数，在复平面内对应的向量分别为，，则对应的向量就是，符合向量加法的平行四边形法则或三角形法则。例如，，，则。复数加法满足交换律和结合律。 2. 复数的减法： · 复数的减法是加法的逆运算，，即。 · 从几何意义上讲，若复数，在复平面内对应的向量分别为，，则对应的向量为 。例如，，，那么。 3. 复数的乘法： · 设，（），则。因为，所以。 · 例如，，，。复数乘法满足交换律、结合律以及分配律 。 4. 复数的除法： · 复数的除法是乘法的逆运算，设，（，即），。为了将分母实数化，给分子分母同时乘以的共轭复数，则。 · 例如，计算，分母实数化得。 5. 与一元二次方程的关系： · 对于一元二次方程（），其判别式。当时，在实数范围内方程无解，但在复数范围内有解。 · 根据求根公式，此时（因为）。例如方程，这里，，，。 · 则。在求解过程中，充分运用了复数的四则运算，将转化为$4i$，然后进行除法运算得到方程的两个复数根。这体现了复数运算为解决原本在实数范围内无解的一元二次方程提供了可能，拓展了方程解的范围。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知是方程的一个根，则 ． 【答案】0 【分析】根据给定条件，利用实系数一元二次方程有虚数根的性质，结合韦达定理求解. 【详解】由是方程的一个根，得是该方程的另一根， 则，，解得， 所以. 故答案为：0 【例题2】（24-25高三下·天津河西·阶段练习）已知，则的虚部为 . 【答案】 【分析】令，将其代入化简得，列方程组即可求得. 【详解】令，则， 因，则， 即，则， 解得，则，故的虚部为. 故答案为： 【例题3】（24-25高三下·北京·阶段练习）已知为虚数单位，若复数满足，则 ． 【答案】 【分析】由复数的除法与乘法，可得复数的标准式，利用模长公式，可得答案. 【详解】由，则， 所以. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高三下·上海·阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，则 . 【答案】 【分析】根据实系数方程虚根成对出现得另一根，再结合韦达定理求得结果. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是关于的实系数方程的另一个复数根， 因此 故答案为： 【相似题2】（24-25高三下·北京·开学考试）复数（i是虚数单位）的虚部是 ． 【答案】 【分析】利用复数模及除法运算计算，进而求出其虚部. 【详解】， 所以所求虚部是. 故答案为： 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个等式：（1）；（2）；（3）；（4）.其中恒成立的等式的个数是 【答案】2 【分析】通过举反例排除（1）；利用复数的四则运算和复数的模的定义推理计算即得（2）；利用平面向量数量积的定义易得（3）成立；利用向量数量积的定义式分析即可排除（4）. 【详解】对于（1），取，则，，显然，（1）错； 对于（2），设，， 则， 所以， ，（2）对； 对于（3），由平面向量数量积的定义可得，（3）对； 对于（4），因为，则， 所以，，（4）错. 故恒成立的等式有（2）、（3）共2个. 故答案为：2 【题型五：复数的三角表示】 知识讲解 1. 复数三角形式的定义： · 任何一个复数（）都可以表示成的形式，其中是复数的模，；称为复数的辐角，它满足，在范围内的辐角称为辐角的主值，记作。例如，对于复数，其模，，因为对应的点在第一象限，所以，则的三角形式为。 2. 复数的代数形式与三角形式的转换： · 代数形式转三角形式：已知复数，先求模，再根据，的正负确定辐角所在象限，通过求出（注意要取辐角主值），从而得到三角形式。例如，，，，对应的点在第二象限，所以，其三角形式为。 · 三角形式转代数形式：若复数，展开可得，令，，就得到代数形式。比如，则。 3. 复数三角形式的乘法运算： · 设，，那么。根据两角和的余弦公式与两角和的正弦公式，可得。这表明，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和。例如，，，则。 4. 复数三角形式的除法运算： · 设，（），。分母，分子展开并利用两角差的余弦和正弦公式可得。即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角。例如，，，则。 5. 复数三角形式的乘方运算（棣莫弗定理）： · 对于复数，，有。例如，，先将化为三角形式，则。棣莫弗定理在计算复数的高次幂时非常简便。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据欧拉公式写出复数的代数形式，进而确定对应点，即可得答案. 【详解】由题可得， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：B 【例题2】（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算化简，再转化为三角形式，从而确定正确答案. 【详解】由题设， ， 故A，C，D错误，B正确． 故选：B 【例题3】（24-25高二上·云南昭通·期中）棣莫佛定理：若复数，则，计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形得出，再由棣莫佛定理可求得的值. 【详解】因为， 所以，. 故选：A. 相似练习 【相似题1】（20-21高一下·福建泉州·期末）已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（    ） A．若i，则i B．若i，则i C．若i，i，则i D．若i，i，则i 【答案】A 【分析】A. ii，所以该选项正确； B. i，所以该选项错误； C. i，所以该选项错误； D. ii.所以该选项错误. 【详解】A. 若i，则ii，所以该选项正确； B. 若i，则i，所以该选项错误； C. 若i，i，则i，所以该选项错误； D. i，i，则ii.所以该选项错误. 故选：A 【相似题2】多选题（24-25高一下·云南玉溪·阶段练习）欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（    ） A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 【答案】BCD 【分析】求出，即可判断A；根据的范围求出的符号，再根据复数的几何意义即可判断B；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据共轭复数的定义即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，，故A错误； 对于B，，而，则、， 故位于第二象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，所以， 又因为，所以，故D正确． 故选：BCD． 【相似题3】多选题（23-24高三上·广东广州·期中）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫佛发现：，我们称这个结论为棣莫佛定理.根据以上信息，则下列说法正确的是（    ） A．当，时， B．当，时， C．当，且为偶数时，为实数 D． 【答案】AD 【分析】运用题意中提供的棣莫弗定理，结合复数的运算规则以及复数模的计算公式，逐项进行运算求解. 【详解】对A，由题意知，正确； 对B，由题意知，错误； 对C，由题意知，令，则，当时，错误； 对D，，，所以，正确. 故选：AD 【题型六：复数的综合练习】 例题精选 【例题1】多选题（24-25高三上·江西南昌·期末）已知，，关于的方程有一个根为，为虚数单位，另一个根为，则（ ） A．该方程不存在实数根 B．， C．对应的点在第三象限 D． 【答案】ABD 【分析】将代入方程，再由复数相等得到方程组，即可求出的值，即可判断A、B；利用韦达定理求出，即可判断C；再根据复数代数形式的除法运算化简，求出其模，即可判断D. 【详解】由是方程的根，得， 整理得，因此，解得， 所以方程为，故B正确； 对于A，根据方程，可得，所以方程无实数根，故A正确； 对于C，方程，由韦达定理可知，得， 对应的点为，在第四象限，故C错误； 对于D，，所以，故D正确． 故选：ABD． 【例题2】多选题（24-25高三上·江苏南通·期末）已知，是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若为实数，则z是实数 B．若为虚数，则z是虚数 C．若，则是实数 D．若，则 【答案】BC 【分析】对于AB，设，由复数概念以及乘法即可判断；对于CD，设，由复数概念以及乘法即可判断. 【详解】对于A，B，设，则， 若为实数，则，但这不一定能得到，比如， 这个时候满足为实数，但不是实数，故A错误； 若为虚数，则，这一定能得到，此时是虚数，故B正确； 对于C，D，设， 若，这表明， 所以是实数，故C正确； 若， 这表明， 但不一定等于0， 比如，这个时候有， 但，故D错误. 故选：BC. 【例题3】多选题（24-25高三上·辽宁锦州·期末）已知复数，，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是的充分不必要条件 D．，，，则 【答案】ABC 【分析】ABC，通过特例即可判断；对于D，通过平方求得，即可求解； 【详解】对于A，令，满足，显然不成立，错误； 对于B，令，满足，显然不成立，错误； 对于C，令，满足，此时不成立，错误； 对于D，由，，可得， 可得：， 所以, 所以，则，正确； 故选：ABC 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高三上·河南·期末）已知复数，是方程的两个不同的根，且在复平面内所对应的点位于第二象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求出，，然后对选项逐个判断即可. 【详解】方程可化为，解得， 因为在复平面内所对应的点位于第二象限， 则， 对于A、，故A正确； 对于B、，故B正确； 对于C、，故C错误； 对于D、，，故D正确. 故选：ABD 【相似题2】多选题（24-25高三上·重庆·阶段练习）在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．复数，则在复平面内对应的点位于第一象限 B．若复数满足，则 C．若，则的最小值为1 D．若是关于的方程的根，则 【答案】ACD 【分析】根据共轭复数的定义，复数模的运算公式，结合复数模的几何意义、实系数一元二次方程根的性质逐一判断即可. 【详解】A：，所以在复平面内对应的点位于第一象限，因此本选项说法正确； B：设，显然有 但是，所以本选项说法不正确； C：因为，所以设， 所以 ，显然当时，的最小值为1，故本选项说法正确； D：因为是关于的方程的根， 所以也是关于的方程的根， 于是有，因此本选项说法正确， 故选：ACD 【相似题3】多选题（2022·广东茂名·二模）（多选）已知复数，，若为实数，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．为纯虚数 D．对应的点位于第三象限 【答案】AC 【分析】根据复数为实数求得，根据复数的模、乘方、纯虚数、复数对应点所在象限对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为为实数，所以，解得， 所以，，所以，故A正确； ，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为，所以， 其对应的点在第四象限，故D错误． 故选：AC 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高三上·福建福州·期末）已知复数，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东·阶段练习）若复数满足，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·模拟预测）已知复数（其中为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江杭州·开学考试）记复数的共轭复数为，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（23-24高一下·广西河池·期末）欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（23-24高一下·福建厦门·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D．2 7．（23-24高一下·福建福州·期末）若复数满足，则在复平面中对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、多选题 8．（23-24高一下·福建福州·期末）设复数 ，其中是虚数单位，下列判断中正确的是（   ） A． B． C．是方程 一个根 D．复数满足 ，则的最大值为 9．（23-24高一下·山东·期中）若复数满足，则（    ） A．为纯虚数 B． C． D． 10．（23-24高一下·福建泉州·期末）已知为复数，则下列命题正础的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 11．（23-24高一下·福建漳州·期末）在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．复数，则在复平面内对应的点位于第四象限 B． C．若复数满足，则 D．若，则的最大值为 三、填空题 12．（23-24高一下·福建莆田·期末）写出满足的一个复数 ． 四、解答题 13．（23-24高一下·福建漳州·期末）已知复数为纯虚数. (1)求的值； (2)在复平面内，若对应的向量分别为，其中为原点，求. 14．（23-24高一下·福建南平·期末）已知复数（，），为纯虚数，且． (1)求复数z； (2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值． 2024-2025高一下学期重难点题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C B A D ACD BC AD 题号 11 答案 BD 1．C 【分析】由复数的除法计算化简，然后利用虚部概念求解即可. 【详解】， 的虚部是 故选：C 2．A 【分析】利用复数的除法运算求出，进而求得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 3．C 【分析】借助复数运算法则结合模长定义计算即可得. 【详解】， 故. 故选：C. 4．C 【分析】由复数的除法运算求得，再由可得. 【详解】由得， 所以， 故选：C. 5．B 【分析】根据欧拉公式 ，再分析复数的实部和虚部的符号即可. 【详解】由题意得，又， 所以， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 6．A 【分析】设，结合条件求出，再求模即可． 【详解】设，则, 又，则， 解得，即，故. 故选：A. 7．D 【分析】先计算得到，然后根据定义判断即可. 【详解】由已知条件可得. 故在复平面中对应的点是，在第四象限. 故选：D. 8．ACD 【分析】对于A，利用复数四则运算几何共轭复数计算可得；对于B，利用复数模的公式计算可得；对于C，在复数域内求方程的根可判断；对于D，利用复数模的公式的几何意义，将的模长转化为圆上的点，的最大值为圆心到点的距离加上半径. 【详解】对于A，由，可得，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由，可得，解得：，故是方程 一个根，则C正确； 对于D，设，所以，即，其中点轨迹为圆心为，半径为1的圆， 而，表示圆上的点得到点的距离，因为圆心到的距离为，所以 的最大值为，故D正确； 故选：ACD 9．BC 【分析】设，由，得到，再逐项判断. 【详解】解：设，由，得，解得， A. ，当时，不为纯虚数，故错误； B. 因为，，所以，故正确； C. 由，得，则，故正确； D. 因为，如，两者不等，所以，故错误； 故选：BC 10．AD 【分析】对于A：根据共轭复数结合复数乘法运算求解；对于BC：举反例说明即可；对于D：解法一：根据复数的乘法运算结合模长公式分析判断；解法二：根据复数的三角形式分析判断. 【详解】设复数， 对于选项A：若，则，所以， 所以，故A正确； 对于选项B：例如，则，故B错误； 对于选项C：例如，此时满足，但，故C错误； 对于选项D：解法一： ； 解法二：设， 则， 可得 ， 则，即，故D正确； 故选：AD． 11．BD 【分析】根据复数所在象限判断A,应用求和即可判断B,根据特殊值结合复数的模判断C,应用三角不等式求复数模的最大值判断D选项. 【详解】对于A，复数对于点位于第一象限，错误； 对于B，，正确； 对于C，取，则，错误； 对于D，，当时取最大值，正确. 故选：BD. 12．(答案不唯一) 【分析】设，根据题设条件和复数的相等列出方程组，即可找到符合条件的复数. 【详解】设，由可得，， 化简得，，故有， 可取，即. 故答案为：. 13．(1) (2) 【分析】（1）由复数乘法以及纯虚数的概念即可列式求解； （2）由复数的几何意义得出，结合向量夹角的坐标公式即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为为纯虚数，所以， 解得. （2）由（1）得，又， 所以在复平面内对应点的坐标分别为和， 所以 14．(1) (2)，. 【分析】（1）由题意可得，且，由可得，联立求解即可； （2）由（1）知，从而可得是关于的方程的另一个根，由韦达定理即可求解. 【详解】（1）因为（，）， 且为纯虚数， 所以，且，即，且2， 又，故， 因为，所以，于是， 因此复数； （2）由（1）知，故是关于的方程的另一个根， 所以由韦达定理得，，即，， 因此实数，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$