专题06 人造卫星 双星模型（考题猜想）-2024-2025学年高一物理下学期期中考点大串讲（人教版2019必修第二册）

专题06 人造卫星 双星模型 考点1 卫星参数的比较 考点2 变轨问题 考点3 天体的追及相遇问题 考点4 双星模型 考点一 卫星参数的比较 人造卫星 1、地球静止轨道卫星的6个“一定” 轨道面一定 轨道平面与赤道平面共面 周期一定 与地球自转周期相同，即T＝24 h 角速度一定 与地球自转的角速度相同 高度一定 由G＝m(R＋h)得同步卫星离地面的高度h＝ －R≈6R(恒量) 速率一定 运行速率v＝ 绕行方向一定 与地球自转的方向一致 2、地球静止轨道卫星与同步卫星的关系 地球同步卫星位于地面上方，其离地面高度约为 36 000 km，周期与地球自转周期相同，但轨道平面与绕行方向可以是任意的。地球静止轨道卫星是一种特殊的同步卫星。 3、规律方法 如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星 (r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体 (r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 由G＝mω2r得ω＝，故ω1>ω2 同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3 ω1>ω2＝ω3 线速度 由G＝m得v＝ ，故v1>v2 由v＝rω得v2>v3 v1>v2>v3 向心加速度 由G＝ma得a＝，故a1>a2 由a＝ω2r得 a2>a3 1．（多选）我国发射了宇宙探测卫星“慧眼”，卫星携带了X射线调制望远镜，在离地550 km的轨道上观察遥远天体发出的X射线，为宇宙起源研究提供新的证据，则卫星的(　　) A.角速度大于地球自转角速度 B.线速度小于第一宇宙速度 C.周期大于同步卫星的周期 D.向心加速度小于地面的重力加速度 2．(多选)关于环绕地球运行的卫星，下列说法正确的是(　　) A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期 B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率 C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同 D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合 3．如图所示是在同一轨道平面上的三颗不同的人造地球卫星，关于各物理量的关系，下列说法正确的是(　　) A．根据v＝可知vA<vB<vC B．根据万有引力定律可知FA>FB>FC C．角速度ωA>ωB>ωC D．向心加速度aA<aB<aC 4．(多选)如图所示，赤道上空的卫星A距地面高度为R，质量为m的物体B静止在地球表面的赤道上，卫星A绕行方向与地球自转方向相同。已知地球半径也为R，地球自转角速度为ω0，地球的质量为M，引力常量为G。若某时刻卫星A恰在物体B的正上方(已知地球同步卫星距地面高度比卫星A大很多)，下列说法正确的是(　　) A．物体B与卫星A的向心加速度大小之比为 B．卫星A的线速度为2ω0R C．卫星A的角速度大于ω0 D．物体B受到地球的引力为mRω 5．“太空电梯”的概念最初出现在1895年，由康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基提出。如今，目前世界上已知的强度最高的材料——石墨烯的发现使“太空电梯”制造成为可能，人类将有望通过“太空电梯”进入太空。设想在地球赤道平面内有一垂直于地面并延伸到太空的轻质“太空电梯”，如图所示，假设某物体b乘坐太空电梯到达了图示位置并相对电梯静止，与同高度运行的卫星a、更高处同步卫星c相比较。下列说法正确的是(　 ) A．a与b都是高度相同的人造地球卫星 B．b的线速度小于c的线速度 C．b的线速度大于a的线速度 D．b的加速度大于a的加速度 考点2 变轨问题 1．变轨原理及过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2．各物理量的比较 (1)两个不同轨道的“切点”处线速度不相等。图中vⅢB>vⅡB，vⅡA>vⅠA。 (2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点的线速度大小不相等。从远地点到近地点万有引力对卫星做正功，卫星的动能增大(引力势能减小)。图中vⅡA>vⅡB，EkⅡA>EkⅡB，EpⅡA<EpⅡB。 (3)两个不同圆轨道上线速度大小不相等。轨道半径越大，线速度越小，图中vⅠ>vⅢ。 (4)卫星在不同轨道上的机械能E不相等，“高轨高能，低轨低能”。卫星变轨过程中机械能不守恒。图中EⅠ<EⅡ<EⅢ。 (5)卫星运行的加速度与卫星和中心天体间的距离有关，与轨道形状无关，图中aⅢB＝aⅡB，aⅡA＝aⅠA。 6．(2024广东清远诊断)2021年1月，“天通一号”03星发射成功。发射过程简化为如图所示：火箭先把卫星送上轨道1(椭圆轨道，P、Q是远地点和近地点)后火箭脱离；卫星再变轨，到轨道2(圆轨道)；卫星最后变轨到轨道3(同步圆轨道)。轨道1、2相切于P点，轨道2、3相交于M、N两点，忽略卫星质量变化，下列说法正确的是(　　) A．卫星在三个轨道上的周期T3>T2>T1 B．由轨道1变至轨道2，卫星在P点向前喷气 C．卫星在三个轨道上机械能E3＝E2>E1 D．卫星在轨道1的Q点的线速度小于在轨道3的线速度 7．“神舟十一号”飞船与“天宫二号”空间实验室在太空中自动交会对接成功，是我国航天史上的一个重要里程碑。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(　 ) A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 8．我国在西昌卫星发射中心发射“中星9A”广播电视直播卫星，按预定计划，“中星9A”应该首先被送入近地点约为200公里，远地点约为3.6万公里的转移轨道Ⅱ(椭圆)，然后通过远地点Q变轨，最终进入地球同步轨道Ⅲ(圆形)(如图所示)。但是由于火箭故障，卫星实际入轨后初始轨道远地点只有1.6万公里，科技人员没有放弃，通过精心操作，利用卫星自带燃料在近地点点火，尽量抬高远地点的高度，经过10次轨道调整，终于将其成功定位于预定轨道，下列说法正确的是(　 ) A．卫星从轨道Ⅰ的P点进入轨道Ⅱ后机械能不变 B．卫星在轨道Ⅲ经过Q点时和轨道Ⅱ经过Q点时的速度相同 C．卫星在轨道Ⅰ经过P点时和轨道Ⅱ经过P点时的加速度相同 D．“中星9A”发射失利原因可能是发射速度没有达到7.9 km/s 9．(多选)若“嫦娥五号”从距月面高度为100 km的环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入近月点为15 km的椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q落月，如图所示。关于“嫦娥五号”，下列说法正确的是(　　) A．沿轨道Ⅰ运动至P时，需制动减速才能进入轨道Ⅱ B．沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期 C．沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度大于在Q点的加速度 D．在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，机械能不变 10．(2023湛江测试一)2022年11月30日，“神舟十五号”载人飞船与“天和”核心舱完成对接，航天员费俊龙、邓清明、张陆进入“天和”核心舱．对接过程的示意图如图所示，“天和”核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；“神舟十五号”飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与“天和”核心舱对接，则“神舟十五号”飞船(　　) A．由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需在B点减速 B．沿轨道 Ⅱ 运行的周期为T2＝T1 C．在轨道Ⅰ上A点的加速度大于在轨道Ⅱ上A点的加速度 D．在轨道Ⅲ上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度 考点3 天体的追及相遇问题　 1．相距最近 当两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星的角度关系为(ωA－ωB)t＝2πn(n＝1，2，3，…)(同向)或(ωA＋ωB)t＝2πn(n＝1，2，3，…)(反向)，两卫星转过的圈数关系为－＝n(n＝1，2，3，…)(同向)或＋＝n(n＝1，2，3，…)(反向)。 2．相距最远 当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动角度关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)(同向)，或(ωA＋ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)(反向)。两卫星转过的圈数关系为－＝(n＝1，2，3，…)(同向)，或＋＝(n＝1，2，3，…)(反向)。 11.(多选)假设三颗卫星a、b、c均在赤道平面上空绕地球做匀速圆周运动，其中a、b转动方向与地球自转方向相同，c转动方向与地球自转方向相反，a、b、c三颗卫星的周期分别为Ta＝6 h、Tb＝24 h、Tc＝12 h，某一时刻三个卫星位置如图所示．从该时刻起，下列说法中正确的是(　　) A．a、b每经过4 h相距最近一次 B．a、b经过8 h第一次相距最远 C．a、c经过2 h第一次相距最远 D．a、c经过8 h相距最近 12．(2023湖北卷)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”．火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示．根据以上信息可以得出(　　) A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8 B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4 D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前 13．(2023广雅中学)如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0．某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为(　　) A． B． C． D． 14.(多选)(2024广东汕头质检)如图所示，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有(　　) A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8 B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4 C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次 D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次 15．如图所示，A是地球同步卫星，另一个卫星B的圆轨道位于赤道平面内，距离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。 (1)卫星B的运行周期是多少？ (2)如果卫星B的绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，求至少再经过多长时间，它们再一次相距最近？ 考点4 双星模型 1．双星模型 (1)模型构建 绕相同圆心转动的两个星体组成的系统，称之为双星系统，如图所示． (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，＝m1ωr1，＝m2ωr2． ②两颗星的周期及角速度都相同，T1＝ T2，ω1＝ω2． ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L． 2．多星模型 (1)模型构建 所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力．除中央星体外，各星体的角速度或周期相同． (2)三星模型 ①三颗星体位于同一直线上．两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，如图甲所示． ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，如图乙所示． 甲 乙 丙 丁 (3)四星模型 ①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接正方形的圆形轨道做匀速圆周运动，如图丙所示． ②另一种是三颗质量相等的星体始终位于等边三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动，如图丁所示． 16.(多选)天文学家通过观测两个黑洞并合的事件，间接验证了引力波的存在。该事件中甲、乙两个黑洞的质量分别为太阳质量的36倍和29倍，假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且两个黑洞的间距缓慢减小。若该双星系统在运动过程中，各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是(　 ) A．甲、乙两个黑洞运行的线速度大小之比为36∶29 B．甲、乙两个黑洞运行的角速度大小始终相等 C．随着甲、乙两个黑洞的间距缓慢减小，它们运行的周期也在减小 D．甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等 17.(多选)根据科学家们的推测，双星的运动是产生引力波的来源之一。假设宇宙中有一由a、b两颗星组成的双星系统，这两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两星间的距离为l，轨道半径之差为Δr，已知a星的轨道半径大于b星的轨道半径，则(　 ) A．b星的周期为T B．b星的线速度大小为 C．a、b两星的轨道半径之比为 D．a、b两星的质量之比为 18．由于潮汐等因素影响，月球以每年约3～5cm 的速度远离地球．地球和月球可以看作双星系统，它们绕O点做匀速圆周运动．多年以后，地球(　　) A．与月球之间的万有引力变大 B．绕O点做圆周运动的周期不变 C．绕O点做圆周运动的角速度变小 D．绕O点做圆周运动的轨道半径变小 19．太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统，它们运行的原理可以理解为：质量为m0的恒星和质量为m的行星(m0>m)，在它们之间的万有引力作用下有规律地运动着。如图所示，我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星)。设引力常量为G，恒星和行星的大小可忽略不计。 (1)试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置。 (2)试计算恒星与点C间的距离和恒星的运行速率v。 20．如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O点始终共线，A和B分别在O点的两侧。引力常量为G。 (1)求两星球做圆周运动的周期T。 (2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1的二次方的比值。(结果保留三位小数) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 人造卫星 双星模型 考点1 卫星参数的比较 考点2 变轨问题 考点3 天体的追及相遇问题　 考点4 双星模型 考点一 卫星参数的比较 人造卫星 1、地球静止轨道卫星的6个“一定” 轨道面一定 轨道平面与赤道平面共面 周期一定 与地球自转周期相同，即T＝24 h 角速度一定 与地球自转的角速度相同 高度一定 由G＝m(R＋h)得同步卫星离地面的高度h＝ －R≈6R(恒量) 速率一定 运行速率v＝ 绕行方向一定 与地球自转的方向一致 2、地球静止轨道卫星与同步卫星的关系 地球同步卫星位于地面上方，其离地面高度约为 36 000 km，周期与地球自转周期相同，但轨道平面与绕行方向可以是任意的。地球静止轨道卫星是一种特殊的同步卫星。 3、规律方法 如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星 (r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体 (r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 由G＝mω2r得ω＝，故ω1>ω2 同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3 ω1>ω2＝ω3 线速度 由G＝m得v＝ ，故v1>v2 由v＝rω得v2>v3 v1>v2>v3 向心加速度 由G＝ma得a＝，故a1>a2 由a＝ω2r得 a2>a3 1．（多选）我国发射了宇宙探测卫星“慧眼”，卫星携带了X射线调制望远镜，在离地550 km的轨道上观察遥远天体发出的X射线，为宇宙起源研究提供新的证据，则卫星的(　　) A.角速度大于地球自转角速度 B.线速度小于第一宇宙速度 C.周期大于同步卫星的周期 D.向心加速度小于地面的重力加速度 答案　ABD 解析　万有引力提供向心力G＝mr 解得T＝2π 该卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，同步卫星相对地球静止，则T＜T同步＝T地球，选项C错误； 根据ω＝可知ω＞ω同步＝ω地球，A正确； 万有引力提供向心力G＝m 解得v＝ 第一宇宙速度为卫星贴近地球表面运行的速度大小，该卫星的轨道半径大于地球半径，所以该卫星线速度小于第一宇宙速度，B正确； 万有引力提供加速度G＝ma 解得a＝ 贴近地表运行的卫星的向心加速度近似等于地表的重力加速度，该卫星的轨道半径大于地球半径，所以该卫星向心加速度小于地面的重力加速度，D正确。 2．(多选)关于环绕地球运行的卫星，下列说法正确的是(　　) A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期 B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率 C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同 D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合 答案AB　 解析 分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期，故A正确；沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道对称的不同位置具有相同的速率，故B正确；根据万有引力提供向心力，列出等式：G＝m(R＋h)，其中R为地球半径，h为同步卫星离地面的高度。由于同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，所以T为一定值，根据上面等式得出：同步卫星离地面的高度h也为一定值，故C错误；沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面不一定重合，但圆心都在地心，故D错误。 3．如图所示是在同一轨道平面上的三颗不同的人造地球卫星，关于各物理量的关系，下列说法正确的是(　　) A．根据v＝可知vA<vB<vC B．根据万有引力定律可知FA>FB>FC C．角速度ωA>ωB>ωC D．向心加速度aA<aB<aC 答案C　 解析 由题图知三颗不同的人造地球卫星的轨道半径关系为rA<rB<rC，由万有引力提供向心力得＝m＝mrω2＝ma可知v＝，所以vA>vB>vC，选项A错误；由于三颗卫星的质量关系不确定，故万有引力大小不确定，选项B错误；ω＝，所以ωA>ωB>ωC，选项C正确；a＝，所以aA>aB>aC，选项D错误。 4．(多选)如图所示，赤道上空的卫星A距地面高度为R，质量为m的物体B静止在地球表面的赤道上，卫星A绕行方向与地球自转方向相同。已知地球半径也为R，地球自转角速度为ω0，地球的质量为M，引力常量为G。若某时刻卫星A恰在物体B的正上方(已知地球同步卫星距地面高度比卫星A大很多)，下列说法正确的是(　　) A．物体B与卫星A的向心加速度大小之比为 B．卫星A的线速度为2ω0R C．卫星A的角速度大于ω0 D．物体B受到地球的引力为mRω 答案AC　 解析 卫星A运动过程中，万有引力充当向心力，故有G＝maA，解得aA＝，物体B的向心加速度aB＝ωR，因此向心加速度之比为＝，A正确；绕地卫星受到的万有引力提供向心力，＝mω2r，解得ω＝，和同步卫星相比，卫星A的轨道半径远小于同步卫星轨道半径，故卫星A的运行角速度大于同步卫星的运行角速度，而同步卫星的运行角速度和地球自转角速度相等，所以卫星A的角速度大于ω0，C正确；卫星A的线速度v＝ω·2R>ω0·2R，B错误；物体B受到万有引力分解为两部分，一部分为重力，一部分为随地球自转需要的向心力，而向心力为mωR，所以两者不等，D错误。 5．“太空电梯”的概念最初出现在1895年，由康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基提出。如今，目前世界上已知的强度最高的材料——石墨烯的发现使“太空电梯”制造成为可能，人类将有望通过“太空电梯”进入太空。设想在地球赤道平面内有一垂直于地面并延伸到太空的轻质“太空电梯”，如图所示，假设某物体b乘坐太空电梯到达了图示位置并相对电梯静止，与同高度运行的卫星a、更高处同步卫星c相比较。下列说法正确的是(　 ) A．a与b都是高度相同的人造地球卫星 B．b的线速度小于c的线速度 C．b的线速度大于a的线速度 D．b的加速度大于a的加速度 答案B 解析　a是人造地球卫星，但b不是，故A错误；b与c的角速度相同，但b运动半径小于c运动半径，所以b的线速度小于c的线速度，故B正确；b与c的角速度相同，a的角速度大于c的角速度，故b的角速度小于a的角速度，又由于a、b做圆周运动的半径相同，故b的线速度小于a的线速度，b的加速度小于a的加速度，故C、D错误。 考点2 变轨问题 1．变轨原理及过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2．各物理量的比较 (1)两个不同轨道的“切点”处线速度不相等。图中vⅢB>vⅡB，vⅡA>vⅠA。 (2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点的线速度大小不相等。从远地点到近地点万有引力对卫星做正功，卫星的动能增大(引力势能减小)。图中vⅡA>vⅡB，EkⅡA>EkⅡB，EpⅡA<EpⅡB。 (3)两个不同圆轨道上线速度大小不相等。轨道半径越大，线速度越小，图中vⅠ>vⅢ。 (4)卫星在不同轨道上的机械能E不相等，“高轨高能，低轨低能”。卫星变轨过程中机械能不守恒。图中EⅠ<EⅡ<EⅢ。 (5)卫星运行的加速度与卫星和中心天体间的距离有关，与轨道形状无关，图中aⅢB＝aⅡB，aⅡA＝aⅠA。 6．(2024广东清远诊断)2021年1月，“天通一号”03星发射成功。发射过程简化为如图所示：火箭先把卫星送上轨道1(椭圆轨道，P、Q是远地点和近地点)后火箭脱离；卫星再变轨，到轨道2(圆轨道)；卫星最后变轨到轨道3(同步圆轨道)。轨道1、2相切于P点，轨道2、3相交于M、N两点，忽略卫星质量变化，下列说法正确的是(　　) A．卫星在三个轨道上的周期T3>T2>T1 B．由轨道1变至轨道2，卫星在P点向前喷气 C．卫星在三个轨道上机械能E3＝E2>E1 D．卫星在轨道1的Q点的线速度小于在轨道3的线速度 答案C　 解析 根据开普勒第三定律＝k可知，卫星在三个轨道上的周期T3＝T2>T1，故A错误；由轨道1变至轨道2做离心运动，卫星在P点向后喷气，故B错误；由轨道1变至轨道2做离心运动，卫星在P点向后喷气，机械能增大，而在轨道2、3上，高度相同，根据v＝可知，速度大小相同，动能相同，则机械能相同，故E3＝E2>E1，故C正确；卫星在轨道1的Q点的线速度大于对应圆轨道的线速度，根据v＝可知卫星在Q点对应圆轨道的线速度大于在轨道3的线速度，故卫星在轨道1的Q点的线速度大于在轨道3的线速度，故D错误。 7．“神舟十一号”飞船与“天宫二号”空间实验室在太空中自动交会对接成功，是我国航天史上的一个重要里程碑。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(　 ) A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 答案C 解析 　若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速，所需向心力变大，则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，A错误；若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速，所需向心力变小，则空间实验室将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，B错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径较小的轨道上加速，飞船将进入较高的空间实验室轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，C正确；若飞船在比空间实验室半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，D错误。 8．我国在西昌卫星发射中心发射“中星9A”广播电视直播卫星，按预定计划，“中星9A”应该首先被送入近地点约为200公里，远地点约为3.6万公里的转移轨道Ⅱ(椭圆)，然后通过远地点Q变轨，最终进入地球同步轨道Ⅲ(圆形)(如图所示)。但是由于火箭故障，卫星实际入轨后初始轨道远地点只有1.6万公里，科技人员没有放弃，通过精心操作，利用卫星自带燃料在近地点点火，尽量抬高远地点的高度，经过10次轨道调整，终于将其成功定位于预定轨道，下列说法正确的是(　 ) A．卫星从轨道Ⅰ的P点进入轨道Ⅱ后机械能不变 B．卫星在轨道Ⅲ经过Q点时和轨道Ⅱ经过Q点时的速度相同 C．卫星在轨道Ⅰ经过P点时和轨道Ⅱ经过P点时的加速度相同 D．“中星9A”发射失利原因可能是发射速度没有达到7.9 km/s 答案　C 解析　卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ轨道半径变大，要做离心运动，卫星应从轨道Ⅰ的P点加速后才能做离心运动从而进入轨道Ⅱ，卫星加速过程机械能增加，故A错误；卫星由Ⅱ的Q点加速后才能进入Ⅲ，由此可知，卫星在轨道Ⅲ经过Q点时的速度大于轨道Ⅱ经过Q点时的速度，故B错误；根据牛顿第二定律可知，在同一个点卫星所受的万有引力相同，故卫星在不同轨道上的同一点P上的加速度相同，故C正确；卫星的最小发射速度为7.9 km/s，卫星已经发射，失利原因不可能是发射速度没有达到7.9 km/s，故D错误。 9．(多选)若“嫦娥五号”从距月面高度为100 km的环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入近月点为15 km的椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q落月，如图所示。关于“嫦娥五号”，下列说法正确的是(　　) A．沿轨道Ⅰ运动至P时，需制动减速才能进入轨道Ⅱ B．沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期 C．沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度大于在Q点的加速度 D．在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，机械能不变 答案 AD　 解析 要使“嫦娥五号”从环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，需制动减速做近心运动，A正确；由开普勒第三定律知，沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期，B错误；根据万有引力提供向心力可得＝ma，则沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度小于在Q点的加速度，C错误；月球对“嫦娥五号”的万有引力指向月球，所以在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减小，机械能不变，D正确。 10．(2023湛江测试一)2022年11月30日，“神舟十五号”载人飞船与“天和”核心舱完成对接，航天员费俊龙、邓清明、张陆进入“天和”核心舱．对接过程的示意图如图所示，“天和”核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；“神舟十五号”飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与“天和”核心舱对接，则“神舟十五号”飞船(　　) A．由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需在B点减速 B．沿轨道 Ⅱ 运行的周期为T2＝T1 C．在轨道Ⅰ上A点的加速度大于在轨道Ⅱ上A点的加速度 D．在轨道Ⅲ上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度 答案 D 解析 由低轨道进入高轨道需要点火加速，所以轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需在B点加速，故A错误；根据开普勒第三定律，有＝，解得T2＝T1，故B错误；由于在轨道Ⅰ、Ⅱ上A点的万有引力相同，加速度也相同，故C错误；由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需在B点加速，所以在轨道Ⅲ上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度，故D正确． 考点3 天体的追及相遇问题　 1．相距最近 当两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星的角度关系为(ωA－ωB)t＝2πn(n＝1，2，3，…)(同向)或(ωA＋ωB)t＝2πn(n＝1，2，3，…)(反向)，两卫星转过的圈数关系为－＝n(n＝1，2，3，…)(同向)或＋＝n(n＝1，2，3，…)(反向)。 2．相距最远 当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动角度关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)(同向)，或(ωA＋ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)(反向)。两卫星转过的圈数关系为－＝(n＝1，2，3，…)(同向)，或＋＝(n＝1，2，3，…)(反向)。 11.(多选)假设三颗卫星a、b、c均在赤道平面上空绕地球做匀速圆周运动，其中a、b转动方向与地球自转方向相同，c转动方向与地球自转方向相反，a、b、c三颗卫星的周期分别为Ta＝6 h、Tb＝24 h、Tc＝12 h，某一时刻三个卫星位置如图所示．从该时刻起，下列说法中正确的是(　　) A．a、b每经过4 h相距最近一次 B．a、b经过8 h第一次相距最远 C．a、c经过2 h第一次相距最远 D．a、c经过8 h相距最近 答案CD 解析 a、b转动方向相同，在相遇一次的过程中，a比b多转一圈，设相遇一次的时间为t1，由－＝1，解得 t1＝8 h，a、b每经过8 h相距最近一次，故A、B错误；a、c转动方向相反，设经过时间t2 a、c第一次相距最远，则＋＝，解得t2＝2 h，C正确；a、c转动方向相反，在相距最近的过程中，a、c共转n圈，设相遇的时间为t2，则由＋＝n(n＝1，2，3，…)，当n＝2，t2＝8 h，故D正确． 12．(2023湖北卷)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”．火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示．根据以上信息可以得出(　　) A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8 B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4 D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前 答案B 解析 火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律有＝，可得＝＝，故A错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确；在星球表面根据万有引力等于重力有G＝mg，由于不知道火星和地球的质量比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度关系，故C错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω火＝，ω地＝，要发生下一次火星冲日，则有t＝2π，解得t＝＞T地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D错误． 13．(2023广雅中学)如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0．某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为(　　) A． B． C． D． 答案C 解析 由开普勒第三定律得＝，设两卫星至少经过时间t距离最远，即B比A多转半圈，－＝，又由A是地球同步卫星知TA＝T0，联立解得t＝，故选C． 14.(多选)(2024广东汕头质检)如图所示，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有(　　) A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8 B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4 C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次 D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次 答案 AD　 解析 根据开普勒第三定律，半径的三次方与周期的二次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A正确，B错误；设图示位置ac连线与bc连线的夹角为θ<，b转动一周(圆心角为2π)的时间为Tb，则a、b相距最远时t1－t1＝(π－θ)＋n·2π(n＝0，1，2，…)，其中t1≤Tb，可知n<6.75，n可取7个值；a、b相距最近时t2－t2＝(2π－θ)＋m·2π(m＝0，1，2，…)，其中t2≤Tb，可知m<6.25，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，C错误，D正确。 15．如图所示，A是地球同步卫星，另一个卫星B的圆轨道位于赤道平面内，距离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。 (1)卫星B的运行周期是多少？ (2)如果卫星B的绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，求至少再经过多长时间，它们再一次相距最近？ 答案　(1)2π　(2) 解析　(1)由万有引力定律和向心力公式得 G＝m(R＋h)， ① G＝mg， ② 联立①②解得　TB＝2π。 ③ (2)由题意得(ωB－ω0)t＝2π ④ 由③得　ωB＝ ⑤ 代入④得t＝。 考点4 双星模型 1．双星模型 (1)模型构建 绕相同圆心转动的两个星体组成的系统，称之为双星系统，如图所示． (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，＝m1ωr1，＝m2ωr2． ②两颗星的周期及角速度都相同，T1＝ T2，ω1＝ω2． ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L． 2．多星模型 (1)模型构建 所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力．除中央星体外，各星体的角速度或周期相同． (2)三星模型 ①三颗星体位于同一直线上．两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，如图甲所示． ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，如图乙所示． 甲 乙 丙 丁 (3)四星模型 ①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接正方形的圆形轨道做匀速圆周运动，如图丙所示． ②另一种是三颗质量相等的星体始终位于等边三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动，如图丁所示． 16.(多选)天文学家通过观测两个黑洞并合的事件，间接验证了引力波的存在。该事件中甲、乙两个黑洞的质量分别为太阳质量的36倍和29倍，假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且两个黑洞的间距缓慢减小。若该双星系统在运动过程中，各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是(　 ) A．甲、乙两个黑洞运行的线速度大小之比为36∶29 B．甲、乙两个黑洞运行的角速度大小始终相等 C．随着甲、乙两个黑洞的间距缓慢减小，它们运行的周期也在减小 D．甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等 答案　BC 解析　由牛顿第三定律知，两个黑洞做圆周运动的向心力大小相等，它们的角速度ω相等，由Fn＝mω2r可知，甲、乙两个黑洞做圆周运动的半径与质量成反比，由v＝ωr知，线速度之比为29∶36，A错误，B正确；设甲、乙两个黑洞质量分别为m1和m2，轨道半径分别为r1和r2，有＝m12r1，＝m22r2，联立可得＝，C正确；甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心力大小相等，由牛顿第二定律a＝可知，甲、乙两个黑洞的向心加速度大小a1∶a2＝29∶36，D错误。 17.(多选)根据科学家们的推测，双星的运动是产生引力波的来源之一。假设宇宙中有一由a、b两颗星组成的双星系统，这两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两星间的距离为l，轨道半径之差为Δr，已知a星的轨道半径大于b星的轨道半径，则(　 ) A．b星的周期为T B．b星的线速度大小为 C．a、b两星的轨道半径之比为 D．a、b两星的质量之比为 答案 BD 解析 　两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，所以两颗星的周期相等，则Tb＝Ta＝T，A错误。a、b两星间的距离为l，轨道半径之差为Δr，已知a星的轨道半径大于b星的轨道半径，则ra＋rb＝l、ra－rb＝Δr，所以ra＝、rb＝。a、b两星的轨道半径之比＝，b星的线速度大小vb＝＝，B正确，C错误。两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，则G＝mara2＝mbrb2，所以a、b两星的质量之比＝＝，D正确。 18．由于潮汐等因素影响，月球以每年约3～5cm 的速度远离地球．地球和月球可以看作双星系统，它们绕O点做匀速圆周运动．多年以后，地球(　　) A．与月球之间的万有引力变大 B．绕O点做圆周运动的周期不变 C．绕O点做圆周运动的角速度变小 D．绕O点做圆周运动的轨道半径变小 答案 C 解析 多年以后，地球和月球间距离变大，两星的质量不变，由万有引力定律可知，地球与月球之间的万有引力变小，故A错误；地球和月球绕O点做匀速圆周运动的角速度大小ω相等，周期T相等，设地球与月球的质量分别为M1和M2，圆周运动的半径分别为r1和r2，地球和月球间距离为L，则有L＝r1＋r2，由万有引力提供向心力，得＝M1r1＝M1ω2r1，＝M22r2＝M2ω2r2，联立可得＝＝ω2L，r1＝，地球与月球的质量不变，地球和月球间距离增大，地球绕O点做圆周运动的周期T变大，地球绕O点做圆周运动的角速度变小，地球绕O点做圆周运动的轨道半径变大，故B、D错误，C正确． 19．太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统，它们运行的原理可以理解为：质量为m0的恒星和质量为m的行星(m0>m)，在它们之间的万有引力作用下有规律地运动着。如图所示，我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星)。设引力常量为G，恒星和行星的大小可忽略不计。 (1)试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置。 (2)试计算恒星与点C间的距离和恒星的运行速率v。 答案　(1)见解析图　(2)a　 解析　(1)恒星运动的轨道和位置大致如图。 (2)对行星m有 F＝mω2Rm， ① 对恒星m0有 F′＝m0ω2Rm0， ② 根据牛顿第三定律，F与F′大小相等 由①②得Rm0＝a， 对恒星m0有＝G， 代入数据得v＝。 20．如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O点始终共线，A和B分别在O点的两侧。引力常量为G。 (1)求两星球做圆周运动的周期T。 (2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1的二次方的比值。(结果保留三位小数) 答案　(1)2π　(2)1.012 解析　(1)由题意可知，星球A和B为双星模型，A和B有相同的角速度和周期。 设A、B做圆周运动的半径分别为r、R，则有mω2r＝Mω2R，r＋R＝L， 联立解得R＝L，r＝L。 对A，根据向心力公式和万有引力定律得 ＝mL， 解得T＝2π。 (2)设地球质量为M，月球质量为m，地球、月球中心之间的距离为L′，由题意知，可以将地月系统看成双星系统， 由(1)得T1＝2π。 若认为月球绕地心做圆周运动，则根据向心力公式和万有引力定律得＝mL′，解得T2＝2π。 所以T2与T1的二次方的比值为＝＝≈1.012。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$