浙江省强基联盟2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

浙江强基联盟2025年3月高二联考 数学卷参考答案与评分标准 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 4 5 6 8 答案 C A B D A C A B 1.CA∩B={x|1≤x<3}∩{x2≤x<4}={x2≤x<3}.故选C. 2.A由a1·a5=a=1,可得a4=士1，“a,=1”是“a1·a5=1”的充分不必要条件.故选A. 3,B三棱台的体积为号×(5+45十25)X1=7.故选B 4.D在13张牌中随机抽取3张牌，一共有C=286种取法，且每种取法的可能性相同.由题意可知，“顺子” 牌型一共有12个，放组成颗子的概率为P-品=品放选D 5.Af(x)=e-1,当f(x)≥0时，x≥0：当f(x)<0时，x<0,f(x)在[0，+o∞)上单调递增，在 (一o,0)上单调递减，所以f(x2)<f(4)等价于x<4,解得一2<x<2.故选A. 6.C解法1：设C(2cos0,2sin0),0∈[0,2x),则C才=(1-2cos0,-2sin8),CB=(-1-2cos8,-2sin0). ∴2Ci+Cb=(1-6cos0.-6sin0).∴.2Ci+Cb1=√37-12cos0. ,cos0∈[-1,1]，∴.当cos0=-1时，2CA+CB引mx=7.故选C 解法2：如图，C市=2C才，点G与点O关于点A中心对称，取BD中点 为E,DE中点为F.点D的轨迹为以G(2,0)为圆心，2为半径的圆，点 F的轨迹为以H(号0)为圆心，三为半径的圆.：1CD+Cb1 2|AE+AD1=4|AF|≤4(A方|+|HF1)=7,即|2C才+C$|的 最大值为7.故选C. 7.Af(x)=(x一a一b)(lnx一1)≥0恒成立，则由函数图像可知 4十b=e,则d+公≥士-号故选N 2 9,可得c 8B如图.由椭圆的定义可知OH=专FF,=a,则a=2,当PF,⊥上R时，Sa所，A=8 85,即2-4c+l6y-0,设f(x)=-4+16,5(0<<2).因为 9 9 x21 f()=3x-4,所以f(x)在(o,2）上单调递减，在(25,2)上单调递 增()≥f(）=0,则c=2,所以e=复故选R 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 CD BCD ABC 9.CD|十1十3i=1,A选项错误：*的虚部是一2，B选项错误；之在复平面内所对应的点是（一1，一2），位于 第三象限，C正确：方程x2十2x+5=0在复数范围内的解是一1士2i,因此D选项正确.故选CD. 10.BCD由题意可知数列{a。}为等差数列，公差为d.由a十a2>0,a1十a<0可知d<0,当a1=4,d=一2 时，S,>0,A错误；若a:=0,则S=S十a,=S,B正确：S.=兰+(a,一号)n为开口向上的抛物线，存 在最小值，C正确；由S=S得a十a,十…十ao=0,则有as=0,S=15as=0,D正确.故选BCD. 【数学卷参考答案第1页（共4页）】 11.ABC点M是AB的中点，点N是AD的中点，MN∥BD,因此MN∥BD.因此A选项正确：以AB,AD, AA1分别为x轴，y轴，g轴的正方向建立空间直角坐标系，设A(0,0,0),C(a,a,0),C(a,a,a), Q(a,a,ta),平面MNP的法向量是n1=(1,1,1),平面MNQ的法向量n2=(2t,2t,一3)，由n1·m2=0,解得 ∈[01门，因此B选项正确：点Q到平面MNP的距离是d= t=- +a ,当t=0时，d取到最小值 5 山=受，因此C选项正确：P内-(e8a一号)=a(11一），设直线PQ与平商MNP所成的角为 V8+2-7·后设m=21+3∈[3,5]，则ina=1os(T夜，n)= 21+3 a,则sina m 3·√(m-4)十8 1 √品+1x()+写 53,D选项错误，故选ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.ξ13.-214.(-0,0 12.号了)=cs(十g,:x=吾为一条对称轴吾十9=r,ke1.即g=km-晋，又0<g<,g-经 13.一2由题意知，a.=S。一S.-1=2·3-1,又因为{a.}是等比数列，故n∈N,am=2·3-1,则a1=S, 4十a=2×3°，故a=-2. 14(-s=e-小0台g=e-a-小0.是然有g0=0,g四=e+1-2ae) 当心时，g(水e(x+1-e)水0，g)在0+n)上单调递减，∴g长g(o)-0,不合题意： 当0<a<时，取()-x+1-2a心，易知行在60+m),使得(6)-%+1-20小-0，当x0,)时. 1(x)>0,g'(x)>0,g(x)单调递增，∴g(x)≥g(0)=0,不合题意： 当≤0时，g(x)≥0，∴g(x)在[0，+o)上单调递增，∴g(x)≥g(0)=0,符合题意综上，a的取值范围是(-∽，0 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.[题A]解：(1)由题意得SAm= 2AB:AC·sin∠BAC=号E, 易知Sam+Sac=专2：AM:sin吾+号·5·AM·sn吾-=号AM ………3分 又：Saw=Saw+SAM=9原， sin∠AMB-AB 2_7③ 15 6分 L8in∠ABC AM1OS (②由题意得成=号迹+号花， …9分 “1-号花+号-√后在+成+专迹，成= 3 13分 [题B]解：(1)甲先选2本，有C号种方法，然后乙选2本，有C种方法，剩下的给丙， 综上，总方法数为CC号=210。…………6分 (2)由(1)可知，若甲同学2本，乙同学2本，丙同学3本，有C学C种方法： 同理，若甲同学2本，丙同学2本，乙同学3本，有CC种方法： 若乙同学2本，丙同学2本.甲同学3本，有CC塔种方法： 综上，总方法数为3C号C限=630.………13分 16.解：(1)取AB中点G,连FG,CG, 由题意得：FG∥DC,且FG=DC,'.四边形DCGF为平行四边形. 【数学卷参考答案第2页（共4页）】 ∴.DF∥CG,又，CGC平面ABC,DF过平面ABC, DF∥平面ABC.… ……6分 (2)因为△ABC是等边三角形，.CG⊥AB, 又EA⊥平面ABC,.EA⊥CG,.CG⊥平面ABE .∠CFG为CF与平面ABE所成角，.CFG=60°，…9分 FG-AE-1.CG-/5.AB-2. 设平面CEF与平面DEF夹角为O,也即平面CEB与平面DEB夹角为O, 以点G为原点，GC,GB,GF分别为x轴，y轴，≈轴正方向建立空间直角坐 标系， 则有B(0,1,0),C(5,0,0),E(0,-1,2),D(3,0.1) EC=(5,-1,0),BE=(0,-2,2),Bd=(3,-1,1) 设平面CEB的一个法向量为m=(,M): 平面DEB的一个法向量为n=(,,) DCm=5xy=0.可取m=（1w尽w3),… 由 11分 BE·m=-2为+2=0， Bd,=5-为十对07可取川0.1，)，…p 由 13分 BE·n=-22+2=0, 则cos0= m·n 3+8 √42 mn 7X2 71 综上·所求两平面的夹角余弦值为平。 ………15分 17.解：(1)已知C=2,………………2分 将点(1)代人C得后-六=1 解得2=2，即C的方程为：号-兰.…产 6分 (2)设A(y),B(),设直线1的方程为y=V2x+t, 联立直线（与双曲线： y=√2x+t, 得到x2+2√2tx+t+2=0, 由4=(22)2-4(+2)>0，得>2， 因为直线l与C的交于两点，所以<一2，而1十2=一2√2.…9分 记M为线段AB的中点，则M(-E,-),可得重心N(-2号，-导)小， 3 ……12分 将点N带入双曲线可得产=号所以1=一 2 即直线1的方程为y=2x-32 2· 15分 18.解：(1)由f(x)=c+1-x-1得切点为(0，e-1). 函数f(.x)求导得f'(x)=e+1-1,故k=f(0)=e-1. ……2分 所以切线方程为：y=(e一1)(x十1)，… …4分 (2)=0等价转换为：a=出，记p()-出， e'+n, 对(r)求导可得：p(r)=二， ……6分 ,x<0时，p'(r)>0:x>0时，p(r)<0, 【数学卷参考答案第3页（共4页）】 所以p(r)在（一o,0)上单调递增，在(0，十∞）上单调递减. 又因为当x→一∞时，p(x)→一o,→十oo时，p(r)→0， 且p(0)=是0<a<。a的取值范围为(0) ……………10分 (3)由(2)可得，p(-1)=0,∴.-1<x1<0<x2,且ae1+1=x1十1，ae+1=2十1. 设t=x1十1，lg=rz十1，则a=4e1=t2eg,其中0<t4<1<4, 两式相乘得：a=tt妇内).……………………12分 需证明：a<台e<台(a)<心2h4+h)4十， 构造函数m()=1一2lnt,m'(1)=1-2=一2， 1∈(0,2)时，m(t)单调递减：1∈(2，十6∞)时，m(t)单调递增. ∴.m(t)≥m(2)=2-2ln2>0,∴.t>2lnt, 综上，t>2n1,>2nt2,因此t1十2>2(lnt十lnt2),原不等式得证.…17分 19.解：(1)①a3=7a2-1241=7×3-12×1=21-12=9, a:=7a-12a2=7×9-12×3=63-36=27, b3=7b-126=7×5-12×2=35-24=11, b,=7b-126=7×11-12×5=77-60=17. 综上，=9,44=27，b3=11,b=17. …小…4分 ②设{cn〉=入{an}+u{bn}, 则n=1时，c=入·1+g·2=4:n=2时，c:=入·3十以·5=11， 解得：=2，以=1.…6分 .c=7c2-12c1=7(λ·3+4·5)-12（λ·1+4·2）=9λ+11=2ag+b, 同理：c4=7c-12c2=2a:十b:, 归纳可得：cn=7c,-1-12c-±=2am十b。, 综上，{Cm}的线性表示为：{c}=2{am十(b。》.………10分 (2):a+b所≠0，ai十房≠0，且a1bm≠a2b, ∴.不存在常数a,使得{a,}=a(h}(i∈N), 对于任意的{cn}∈S,给定c1c· A·a十·='可唯一解得 1=26-c2 考虑方程组以·十以·m=· azb-ab:' 12分 1a:-c2d1 agh一d6' am+2=7a+1-12am,b+:=7b+1-12b.cw+=7cm+1-12cn ∴.ca=7c-12c1=7(a2十)-12(a:+uh)=a(7a4-12a1）+u(7h-12h)=a3十b, 假设n=i时，c=入·a,十以·b,则当n=i+1时， +1=7c-12c-1=7(aa4十b)-12(aa-1+b-1)=1(7a:-12a-1)十u(7h-12h-1)=Aa+1十b+1, 综上，有且只有一对实数入，使G,=入·4，十·b成立. ∴.数列{ca》可唯一线性表示为{c.}=入{am)十r{h}, .{an},{bn}是S的一组基底。……… ……17分 【数学卷参考答案第4页（共4页）】书 【数学　第１　页（共４页）】 浙江强基联盟２０２５年３月高二联考 数学　试题 浙江强基联盟研究院 命制 考生注意： １．本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟。 ２．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径０．５毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效 獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉 ，在试题卷 獉獉獉獉 、草稿纸上作答无效 獉獉獉獉獉獉獉獉 。 一、选择题：本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 　　１．设集合犃＝｛狓｜１≤狓＜３｝，犅＝｛狓｜２≤狓＜４｝，则犃∩犅＝ Ａ．｛狓｜１＜狓＜４｝ Ｂ．｛狓｜１≤狓＜４｝ Ｃ．｛狓｜２≤狓＜３｝ Ｄ．｛狓｜２＜狓≤３｝ ２．若数列｛犪狀｝为等比数列，则“犪３＝１”是“犪１·犪５＝１”的 Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ３．已知正三棱台犃犅犆 犃１犅１犆１的上、下底面的边长分别为２和４，高为１，则此三棱台的体积是 Ａ．槡７３ Ｂ． 槡７３ ３ Ｃ．槡５３ Ｄ． 槡５３ ３ ４．一副扑克牌中，同一花色有１３张牌，分别为 “Ａ，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，Ｊ，Ｑ，Ｋ”，我们把满足 “Ａ２３”、“２３４”、…、“１０ＪＱ”、“ＪＱＫ”、“ＱＫＡ”的牌型称为“顺子”．现在，我们将同一花色的 １３张牌洗匀后，随机抽取３张，恰好能组成“顺子”的概率是 Ａ． １ ２２ Ｂ． １ ２６ Ｃ． ７ １４３ Ｄ． ６ １４３ ５．已知函数犳（狓）＝ｅ 狓－狓，则不等式犳（狓 ２）＜犳（４）的解集是 Ａ．（－２，２） Ｂ．（－∞，－２）∪ （２，＋∞） Ｃ．（－∞，２） Ｄ．（２，＋∞） ６．在平面直角坐标系中，点犃（１，０）和犅（－１，０），点犆在以坐标原点为圆心，２为半径的圆上运 动，则 ２ →犆犃＋ →犆犅 的最大值是 Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８ ７．设函数犳（狓）＝ 狓－犪－（ ）犫 （ｌｎ狓－１），其中犪＞０，犫＞０，若犳（狓）≥０恒成立，则犪 ２＋犫２ 的最小 值是 Ａ． ｅ２ ２ Ｂ． ｅ２ ４ Ｃ．ｅ２ Ｄ．２ｅ２ 【数学　第２　页（共４页）】 ８．已知椭圆犆： 狓２ 犪２ ＋ 狔 ２ 犫２ ＝１犪＞犫＞（ ）０ 的左、右焦点分别为犉１，犉２，犘为椭圆犆上除顶点外的任意 一点，椭圆犆在点犘 点处的切线为直线犾，过犉２作直线犾的垂线，垂足犎 在圆狓 ２＋狔 ２＝４上， 当犘犉２⊥犉１犉２时，犛△犘犉１犉２＝ 槡８３ ９ ，则椭圆犆的离心率是 Ａ． 槡３ ２ Ｂ． 槡３ ３ Ｃ． １ ３ Ｄ． 槡３ ４ 二、多项选择题：本大题共３小题，每小题６分，共１８分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９．已知复数狕＝－１－２ｉ，则 Ａ．｜狕＋１＋３ｉ｜＝ｉ Ｂ．复数狕的虚部是－２ｉ Ｃ．复数狕在复平面内所对应的点位于第三象限 Ｄ．复数狕是方程狓２＋２狓＋５＝０在复数范围内的一个解 １０．已知数列｛犪狀｝满足 犪犿－犪狀 犿－狀 ＝犱（犿，狀∈犖，犿≠狀），其前狀项和为犛狀，下列选项中正确的有 Ａ．若犪１＋犪２＞０，犪３＋犪４＜０，则犛４＜０ Ｂ．若犪５＝０，则犛４＝犛５ Ｃ．若犱＞０，则犛狀存在最小值 Ｄ．若犛５＝犛１０，则犛１５＝０ １１．棱长为犪的正方体犃犅犆犇 犃１犅１犆１犇１ 中，点犕，犖，犘分别是棱犃犅，犃犇，犃犃１ 的中点，点犙 是棱犆犆１ 上的动点，且满足 → 犆犙＝狋犆犆 → １（狋∈［０，１］），以下说法正确的是 Ａ．犕犖∥犅１犇１ Ｂ．存在狋，使得平面犕犖犘⊥平面犕犖犙 Ｃ．点犙到平面犕犖犘 的距离的最小值是 槡３ ２ 犪 Ｄ．直线犘犙与平面犕犖犘 所成角的最大值是 π ２ 三、填空题：本大题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．已知犳′（狓）是函数犳（狓）＝ｓｉｎ（狓＋φ）（０＜φ＜π）的导函数，若犳′（狓）图象的一条对称轴为 狓＝ π ３ ，则φ＝　　▲　　 ． １３．已知等比数列｛犪狀｝的前狀项和是犛狀＝３ 狀＋犪＋１，犪∈犚，则犪＝　　▲　　． １４．已知函数犳（狓）＝ 狓ｅ狓 ｅ狓＋１ －犪（ｅ狓－１）（犪∈犚），对狓∈［０，＋∞），犳（狓）≥０恒成立，则犪的取值 范围是　　▲　　． 【数学　第３　页（共４页）】 四、解答题：本大题共５小题，共７７分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． １５．（１３分）（选做题：请按教学的实际进度选做题Ａ或题Ｂ，两题都做的只按题Ａ给分） ［题Ａ］　在△犃犅犆中，犃犅＝２，犃犆＝５，∠犅犃犆＝ π ３ ，犕 是线段犅犆上的动点． （１）若犃犕 是∠犅犃犆的平分线，求 ｓｉｎ∠犃犕犅 ｓｉｎ∠犃犅犆 的值； （２）若 →犅犕＝ １ ２ → 犕犆，求线段犃犕 的长． ［题Ｂ］　７本不同的书，分给甲、乙、丙３个同学． （１）若甲同学分得２本，乙同学分得２本，丙同学分得３本，共有多少种不同的分法； （２）若其中一人分得２本，另一个人分得２本，第三人分得３本，共有多少种不同的分法． １６．（１５分） 如图，△犃犅犆是等边三角形，直线犈犃⊥平面犃犅犆，直线犇犆⊥平面犃犅犆，且犈犃＝２犇犆＝２， 犉是线段犈犅 的中点． （１）求证：犇犉∥平面犃犅犆； （２）若直线犆犉与平面犃犅犈 所成角为６０°，求平面犆犈犉与平面犇犈犉 夹角的余弦值． 【数学　第４　页（共４页）】 １７．（１５分） 已知双曲线犆： 狓２ 犪２ － 狔 ２ 犫２ ＝１犪＞０，犫＞（ ）０ ，其焦距为４，且双曲线犆经过点 槡３，（ ）１ ． （１）求双曲线犆的标准方程； （２）已知斜率为槡２的直线犾和双曲线犆 的右支交于犃，犅两点，犗为坐标原点，若△犗犃犅的 重心在双曲线犆上，求直线犾的方程． １８．（１７分） 已知函数犳（狓）＝犪ｅ 狓＋１－狓－１，犪∈犚． （１）当犪＝１时，求函数犳（狓）的图象在（０，犳（０））处的切线方程； （２）若函数犳（狓）有两个零点，求犪的取值范围； （３）若函数犳（狓）的两个零点为狓１，狓２（狓１＜狓２），求证：犪 ２ ＜ １ 狓１（ ）＋１ 狓２（ ）＋１ ． １９．（１７分） 定义：对于集合犛＝｛｛狓狀｝，｛狔狀｝，…｝，若不存在常数α，使得α｛狓狀｝＝｛狔狀｝，且对于犛中的任意 数列｛狕狀｝，均有｛狕狀｝＝λ｛狓狀｝＋μ｛狔狀｝，其中常数λ和μ 的值唯一，则称数列｛狕狀｝可用｛狓狀｝， ｛狔狀｝线性表示，其中｛狓狀｝，｛狔狀｝是犛的一组基底． （注：若｛狓狀｝：狓１，狓２，…，狓狀，则λ｛狓狀｝：λ狓１，λ狓２，…，λ狓狀） 已知集合犛中的任意数列｛狋狀｝均满足递推关系：狋狀＋２＝７狋狀＋１－１２狋狀，而｛犪狀｝，｛犫狀｝，｛犮狀｝均为集 合犛中的数列． （１）若犪１＝１，犪２＝３；犫１＝２，犫２＝５；犮１＝４，犮２＝１１， ①求出犪３，犪４和犫３，犫４； ②写出数列｛犮狀｝关于｛犪狀｝，｛犫狀｝的线性表示（无需证明）． （２）若犪２１＋犫 ２ １≠０，犪 ２ ２＋犫 ２ ２≠０，且犪１犫２≠犪２犫１，证明：｛犪狀｝，｛犫狀｝是犛的一组基底．