第19章 一次函数（导图+知识梳理+易错点拨+19大考点讲练+优选压轴题专练 共65题）-2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）

2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第19章 一次函数 （知识梳理+易错点拨+19个重难点考点讲练+压轴题专练 共65题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 3 知识精讲 复习回顾 3 知识点梳理01：函数的相关概念 3 知识点梳理02：一次函数的相关概念 3 知识点梳理04：用函数的观点看方程、方程组、不等式 5 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：函数基本概念 5 易错知识点02：一次函数解析式与图像性质 6 易错知识点03：函数与方程、不等式的综合应用易错点 6 易错知识点04：分类讨论与几何结合问题 7 易错知识点05：实际应用问题易错点 7 重点难点 考点讲练 7 重点难点考点讲练01：一次函数的图像 7 重点难点考点讲练02：一次函数的性质 8 重点难点考点讲练03：待定系数法求一次函数解析式 10 重点难点考点讲练04：一次函数与一元一次方程 11 重点难点考点讲练05：一次函数与一元一次不等式 12 重点难点考点讲练06：一次函数与二元一次方程（组） 14 重点难点考点讲练07：根据实际问题列一次函数关系式 15 重点难点考点讲练08：一次函数的应用 16 重点难点考点讲练09：一次函数综合题 17 重点难点考点讲练10：一次函数图像的位置与系数的关系 20 重点难点考点讲练11：求直线与坐标轴围成的图形的面积 21 重点难点考点讲练12：一次函数与方程（组）之间的关系 22 重点难点考点讲练13：一次函数与不等式（组）之间的关系 24 重点难点考点讲练14：一次函数图像的平移、旋转、对称 25 重点难点考点讲练15：一次函数的实际应用（拓展） 26 重点难点考点讲练16：一次函数与几何、代数的综合应用 28 重点难点考点讲练18：两直线垂直在函数中的应用 30 重点难点考点讲练19：两直线平行在函数中的应用 32 压轴专练 拔尖冲刺 34 知识点梳理01：函数的相关概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 知识点梳理02：一次函数的相关概念 一次函数的一般形式为，其中、是2·常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数. 知识点梳理03：一次函数的图象及性质 1、函数的图象 　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 【易错点剖析】 直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化. 2、一次函数性质及图象特征 掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质） 【易错点剖析】 理解、对一次函数的图象和性质的影响： （1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． （2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： 与相交； ，且与平行； ，且与重合； （3）直线与一次函数图象的联系与区别 一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象. 知识点梳理04：用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 易错知识点01：函数基本概念 1. 常量与变量的混淆 在分析实际问题时，学生容易误判变化的量。例如：汽车以60 km/h匀速行驶，时间 t 和路程 s 是变量，而速度60 km/h是常量 关键点：明确“变化过程中”的数值是否改变。 2. 函数定义的三个条件 函数需满足：①两个变量；② x 每取一个值， y 有唯一对应值。 典型错误：将非唯一对应关系（如y²=x）误认为函数 3. 自变量取值范围 解析式为分式时，分母≠0（如，x=2）； 实际问题中需符合现实意义（如人数不能为负数）。 易错知识点02：一次函数解析式与图像性质 1. 待定系数法求解析式 正比例函数： y=kx （k≠0 ）；一次函数： y=kx+b （k≠0，b为常数）。 易错点：忽略k≠0的条件，或代入坐标时符号错误。 示例：已知直线过点(1,2) (1,2) (1,2)和(0,3) (0,3) (0,3)，正确解得 y=-x+3 ，但可能误代入导致符号错误。 2. 图像性质理解偏差 截距：直线 y=kx+b 与y轴交于(0,b)，与x轴交于(,0)； 增减性： k>0 时y随x增大而增大， k<0 时相反； 画图错误：未正确标出截距点或忽略直线延伸趋势。 3. 正比例函数与一次函数关系 正比例函数是 b=0 的特殊情况，但学生可能误认为“正比例函数不属于一次函数” 易错知识点03：函数与方程、不等式的综合应用易错点 1. 图像法解方程与不等式 方程 kx+b=0 的解是直线与x轴交点的横坐标； 不等式 kx+b>0 的解集需根据图像判断区域（ k>0 时，解集为x>）。 易错点：混淆直线左右侧对应的解集方向，或未标注边界点是否包含46。 2. 两直线交点与方程组解的关系 联立方程组 y=k1x+b1和 y=k2+b2，交点的坐标即为解。 典型错误：直接通过图像估算坐标，未代数求解验证 易错知识点04：分类讨论与几何结合问题 1. 存在性问题中的分类讨论 等腰三角形：需分三种情况讨论（如两点固定，第三点坐标满足两边相等）； 平行四边形：需考虑不同边为对角线的情况。 示例：若点A(1,2) A(1,2) A(1,2)、B(3,4) B(3,4) B(3,4)，求点 C 使△ABC为等腰三角形，需分 AB=AC 、 AB=BC 、 AC=BC 三种情况。 2. 面积计算问题 坐标轴上三角形面积公式：S=×∣x轴截距∣×∣y轴截距∣； 易错点：忽略绝对值或参数问题中的符号变化（如动态直线与坐标轴围成的面积）45。 易错知识点05：实际应用问题易错点 1. 分段函数理解错误 如“阶梯电价”问题，需分段写出不同区间的函数表达式。 典型错误：未正确划分区间或忽略端点值的归属 2. 最值问题 利用一次函数的增减性求最值时，需结合自变量取值范围。 示例：若 y=2x+1 （1≤x≤5），最大值在 x=5 处，而非无限延伸 重点难点考点讲练01：一次函数的图像 【例题精讲】（2024秋•古田县期中）已知函数的图象如图所示，函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【训练1】（2024春•船营区校级期中）下列函数图象中，有可能是一次函数图象的是　　 A． B． C． D． 重点难点考点讲练02：一次函数的性质 【例题精讲】（2024春•门头沟区校级期中）萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质，此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整． （1）列表： 0 1 2 3 4 5 1 0 0 （1）直接填空：　　； （2）描点并正确地画出该函数图象； （3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为 　　； ②观察函数的图象，写出该图象的两条性质：　　． 【训练1】（2024春•新华区校级期中）在学习了用描点法画函数图象之后，小马同学对某个一次函数列表取对应值如表： 0 1 2 0 3 他在最后描点连线时发现有一个点明显不对，这个点是　　 A． B． C． D． 【训练2】（2019春•新乐市期中）小东根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成： （1）函数的自变量的取值范围是　 　； （2）已知： ①当时，； ②当时， ③当时，； 显然，②和③均为某个一次函数的一部分． （3）由（2）的分析，取5个点可画出此函数的图象，请你帮小东确定下表中第5个点的坐标，其中　 　；　 　；： 0 1 5 1 0 1 （4）在平面直角坐标系中，作出函数的图象； （5）根据函数的图象，写出函数的一条性质． 重点难点考点讲练03：待定系数法求一次函数解析式 【例题精讲】（2024秋•扶风县期中）已知与成正比例，当时，． （1）求出与的函数关系式； （2）设点在这个函数的图象上，求的值． （3）试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 【训练1】（2024春•青秀区校级期中）在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，． （1）求所在直线的表达式； （2）如图，点，，点从点沿以每秒2个单位长度的速度运动到点，设运动时间为秒． ①连接，，当的周长最短时，求点的坐标； ②当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围． 【训练2】（2023春•新野县期中）如图，已知正方形的边长为2，顶点、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，是的中点．是线段上一动点点除外），直线交的延长线于点． （1）求点的坐标（用含的代数式表示）； （2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 重点难点考点讲练04：一次函数与一元一次方程 【例题精讲】（2021春•衡阳期中）如图是一次函数与的图象，则下列结论：①；②；③；④方程的解是，错误的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练1】（2023春•卧龙区期中）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于的方程的解为；③关于的方程的解为；④当时，．其是正确的是 　　． 【训练2】（2023春•栾城区校级期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的方程的解是　　 A． B． C． D． 重点难点考点讲练05：一次函数与一元一次不等式 【例题精讲】（2024春•阳信县期中）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【训练1】（2024春•长清区期中）【问题探究】 某学习小组同学按照以下思路研究不等式组的解集： 首先令，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究． 列表： 0 1 2 3 4 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 描点与连线： （1）在列表的空格处填对应的值，在图1给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； （2）若，为该函数图象上不同的两点，则　　； （3）观察图象，当时，自变量的取值范围是 　　； 【拓展运用】 函数的图象如图2所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象草图，并求出它与函数的图象所围成的图形面积． 【训练2】（2022秋•花山区校级期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，设点的横坐标为． （1）求点的坐标及的值； （2）求直线、直线与轴所围成的的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 重点难点考点讲练06：一次函数与二元一次方程（组） 【例题精讲】（2024春•湛江校级期中）一次函数和的图象如图所示，则方程组的解为　　 A． B． C． D． 【训练1】（2024春•东山县期中）一次函数和的图象如图所示，三位同学根据图象得到了下面的结论： 甲：关于，的二元一次方程组的解是； 乙：关于的一元一次方程的解是； 丙：关于的一元一次方程的解是． 丁：关于的一元一次不等式的解集是； 四人中，判断正确的是　　 A．甲，丙 B．甲，丙，丁 C．乙，丙 D．乙，丙，丁 【训练2】（2024秋•杭州期中）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程组的解为， ③当时，； ④方程的解为； ⑤不等式的解集是． 其中结论正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 重点难点考点讲练07：根据实际问题列一次函数关系式 【例题精讲】（2023秋•让胡路区校级期中）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为 　　． 【训练1】（2023春•泊头市期中）漳州市出租车价格是这样规定的：不超过2公里，付车费5元，超过的部分按每千米1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费元，则所付车费元与出租车行驶的路程千米之间的函数关系为　　． 【训练2】（2023秋•新城区校级期中）如果弹簧原长为，每挂重物弹簧伸长，假设重物质量为，受力后的弹簧长度为，则与的函数关系式是　　． 重点难点考点讲练08：一次函数的应用 【例题精讲】（2021春•顺庆区校级期中）甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个过行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离与甲车行驶时间之间的函数关系如图示．请回答下列问题． （1），两城相距 　　，甲车的速度是 　　．乙车的速度是 　　． （2）求乙车追上甲车所用的时间． 【训练1】（2021春•罗湖区校级期中）某玩具批发市场、玩具的批发价分别为每件30元和50元，张阿姨花1200元购进、两种玩具若干件，并分别以每件35元与60元价格出售．设购入玩具为件，玩具为件． （1）若张阿姨将玩具全部出售赚了220元，那么张阿姨购进、型玩具各多少件？ （2）若要求购进玩具的数量不得少于玩具的数量，则怎样分配购进玩具、的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为多少？ 【训练2】（2024春•市南区期中）“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： （1）设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出，关于的函数表达式； （2）当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同； （3）根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算． 重点难点考点讲练09：一次函数综合题 【例题精讲】（2024春•丰泽区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点、交轴于点，点与点关于轴对称，动点、分别在线段、上（点不与点、重合），满足．当为等腰三角形时，点的坐标是 　 ． 【训练1】（2024春•龙海区期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别与轴、轴交于点、，经过点的直线交轴于点，且． （1）求直线的解析式； （2）点从点出发沿线段以每秒1个单位长度向终点运动，过点作轴的平行线交直线于点．交直线于点．设线段的长为，运动时间为（秒，求与时间（秒的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的值． 【训练2】（2023春•南安市期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，点在轴的负半轴上，且，点是线段上的动点（点不与，重合），以为斜边在直线的右侧作等腰直角三角形． （1）求直线的函数表达式； （2）如图1，当时，求点的坐标； （3）如图2，连接，点是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 重点难点考点讲练10：一次函数图像的位置与系数的关系 【例题精讲】（2024春•通州区期中）已知函数的图象为，函数的图象为． （1）在同一个直角坐标系中画出这两个函数的图象（不要求列表计算）； （2）一次函数的图象为，请在坐标系中画出，，不能围成三角形的情形，并直接写出相对应的的值． 【训练1】（2022春•平潭县校级期中）平面直角坐标系中，设一次函数的图象是直线． （1）如果直线经过点，求与的关系式； （2）当直线过点和点时，且，求的取值范围； （3）若坐标平面内有点，不论取何值，点均不在直线上，求、所需满足的条件． 【训练2】（2021春•天元区校级期中）如果一次函数，随的增大而减小，且图象经过第一象限，那么常数的取值范围为 　　． 重点难点考点讲练11：求直线与坐标轴围成的图形的面积 【例题精讲】（2024春•重庆期中）如图，直线经过，． （1）求直线的解析式； （2）直线的解析式为与直线交于点，与轴交于点，求的面积． 【训练1】（2023春•巫溪县校级期中）在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点．直线与交于点．若点坐标为． （1）求的坐标和的值； （2）点在直线上，若，求点的坐标． 重点难点考点讲练12：一次函数与方程（组）之间的关系 【例题精讲】（2024秋•瑶海区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则下列说法错误的是　　 A．， B．经过一、二、四象限的直线是 C．关于、的方程组的解为 D．关于的不等式的解集是 【训练1】（2023春•密云区校级期中）如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，正方形边长为2，点是的中点，点是上一个动点，当取得最小值时，此时最小值是 　　，点的坐标是 　　． 【训练2】（2023春•南岗区校级期中）如图1，平面直角坐标系中，为原点，直线的解析式为，分别交轴、轴于、两点，过点作交轴于． （1）直接写出点，点的坐标； （2）如图1，点在点上方的轴上，连接，延长交于，，作交延长线于，若线段的长度为，四边形的面积为，用含的式子表示； （3）如图2，在（2）问条件下，在线段上取一点，使，为第一象限内部一点，连接，，，过点作于，，连接，当 时，求线段的长度． 重点难点考点讲练13：一次函数与不等式（组）之间的关系 【例题精讲】（2024春•甘州区期中）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【训练1】（2024春•埇桥区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线和交于点，则关于的不等式的解集为 　　． 【训练2】（2024春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列结论中所有正确的序号有 　 　．①直线与轴所夹锐角等于； ②； ③关于的不等式的解集是； ④． 重点难点考点讲练14：一次函数图像的平移、旋转、对称 【例题精讲】（2024春•晋江市期中）已知是的正比例函数，且当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）将该函数图象向下平移2个单位，判断点是否在平移后的图象上？ 【训练1】（2024春•海门区校级期中）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为 　　． 【训练2】（2024春•中山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 　　． 重点难点考点讲练15：一次函数的实际应用（拓展） 【例题精讲】（2024春•沙坪坝区校级期中）“梨花风起正清明，游子寻春半出城．日暮笙歌收拾去，万株杨柳属流莺．”古人在春季里都有踏青游乐的习俗，古时也叫行青、探春、寻春等，人们聚亲约友，承大好春光到郊外游玩，然后围坐野宴，抵暮而归．小明与家人乘车去阳屏湖游玩然后返回家中，小明与小明家的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法错误的是　　 A．小明全家去阳屏湖时的平均速度为 B．小明全家停车游玩了4.5小时 C．小明全家返回时的平均速度为 D．小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时 【训练1】（2024春•长沙期中）漏刻（如图）是我国古代的一种计时工具．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．小浔同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，并进行了测试．下表是小浔记录的部分数据，如果她从上午9时开始记录，那么上午11时25分，箭尺的示数应为　　 时间 箭尺示数 2.2 3.0 4.6 7.0 A．13.8 B．14.20 C．14.6 D．15 【训练2】（2024春•西城区校级期中）倡导垃圾分类，共享绿色生活：为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，已知1台型机器人每小时分拣垃圾0.4吨，1台型机器人每小时分拣垃圾0.2吨． （1）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批型和型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买型机器人台，型机器人台，请用含的代数式表示； （2）机器人公司的报价如表： 型号 原价 购买数量少于30台 购买数量不少于30台 型 20万元台 原价购买 打九折 型 12万元台 原价购买 打八折 在（1）的条件下，设购买总费用为万元，问如何购买使得总费用最少？请说明理由． 重点难点考点讲练16：一次函数与几何、代数的综合应用 【例题精讲】（2024春•锦江区校级期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称点为点关于点的“位移点”．如图，已知直线过点，与轴，轴分别交于点，．直线与直线交于点，作关于的“位移点” ，连接，，记△的面积为，若，则的取值范围为 　　． 【训练1】（2024春•凤翔区期中）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处，则点的坐标为 　　； （2）感悟应用：如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点． ①点的坐标为 　　，点的坐标为 　　； ②直接写出点的坐标 　　； （3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，的顶点、分别在轴、轴上，且，．若点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限时，请求出点的坐标． 【训练2】（2024春•福田区校级期中）阅读理解： 【新定义】对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． （1）已知4个点：、、、，以上这四个点中 　、、　是线段的“等距点”，　　是线段的“完美等距点”（填写大写字母）． （2）若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； （3）当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”且为线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点的坐标 　　． 重点难点考点讲练18：两直线垂直在函数中的应用 【例题精讲】（2024春•西城区校级期中）在平面直角坐标系中，如果点，为某个菱形一组对角的顶点，且点，在直线上，那么称该菱形为点，的“关联菱形”．例如，图1中的四边形为点，的“关联菱形”． 已知点，点． （1）当时， ①在点，，中，点 　　能够成为点，的“关联菱形”的顶点； ②当点，的“关联菱形” 的面积为8时，求点的坐标． （2）已知直线与轴交于点，与轴交于点，若线段，且点是点，的“关联菱形”的顶点，直接写出的取值范围． 【训练1】（2019春•岳麓区校级期中）在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直，如直线与直线，因为，所以相互垂直． 根据以上定义内容，解答下面的问题： （1）求过点且与已知直线垂直的直线的函数表达式，并在如图所示的坐标系中画出直线的图象． （2）求（1）问中的两条直线与轴所围的三角形的面积； （3）已知点，点，分别是（1）问中直线和轴上的动点，求出周长的最小值． 【训练2】（2022春•盘龙区校级期中）通过以后的学习，同学们会发现一个有趣的结论： 当直线与直线中的时，两直线互相垂直；反之亦然，即：若两直线互相垂直时，除外）．下面，请同学们利用上面的结论和学过的知识解决以下问题： （1）若直线过点，和点，直接写出该直线的函数解析式． （2）若直线过点，请问：直线与（1）中直线互相垂直吗？试说明理由． 重点难点考点讲练19：两直线平行在函数中的应用 【例题精讲】（2024春•海淀区校级期中）已知函数． （1）若函数的图象平行于直线，求的值； （2）若这个函数是一次函数，且与轴的交点在轴的下方，求的取值范围． 【训练1】（2016春•东城区校级期中）已知直线与直线平行，且与直线交于点，直线的解析式为　　． 【训练2】（2023春•普陀区期中）如图，在平面直角坐标中，已知直线与直线相交于点，且直线与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）求四边形的面积； （3）在轴上取一点，如果以、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点的坐标． 1．（22-23八年级上·山东济南·期末）已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是（   ） ①乙的速度为5米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是；④乙到达终点时，甲距离终点还有68米 A．①②③ B．①③④ C．③④ D．①② 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟，哥哥骑自行车每分钟行驶，如图是两人之间的距离，与弟弟步行时间之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（  ） A．点表示哥哥已经到达学校 B．哥哥与弟弟相距的最大距离是米 C．他们家与学校之间的距离为米 D．的函数表达式为 4．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线a：y＝x，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某水果店销售某种水果，销售额y（元）与一次销售量与之间的函数关系如图所示．若王叔叔从该水果店一次性购买该种水果，需要付款 元． 6．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图①所示，正方形的边长为，动点P从点A出发，在正方形的边上沿运动，设运动的时间为，的面积为，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题： （1）点P在上运动的时间为 s； （2）当t为 时，三角形的面积为．. 7．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 8．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与轴、轴分别交于，两点，直线的图象与轴交于，直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积为，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得：，直接写出点坐标． 9．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点处．则： ①的长为__________； ②点B的坐标为__________．（直接写结果） （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． （3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点过点B作轴，垂足为点A，作轴，垂足为点C，P是线段上的一个动点，点Q是直线上一动点且在第一象限，问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出Q的坐标，若不能，请说明理由．    10．（22-23八年级下·四川达州·期中）【模型建立】 （）如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：； 【模型应用】 （）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转至直线；求直线的函数表达式； （）如图，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点、轴于点，点是直线上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，求出点的坐标，若不能，请说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第19章 一次函数 （知识梳理+易错点拨+19个重难点考点讲练+压轴题专练 共65题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 3 知识精讲 复习回顾 3 知识点梳理01：函数的相关概念 3 知识点梳理02：一次函数的相关概念 3 知识点梳理04：用函数的观点看方程、方程组、不等式 5 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：函数基本概念 5 易错知识点02：一次函数解析式与图像性质 6 易错知识点03：函数与方程、不等式的综合应用易错点 6 易错知识点04：分类讨论与几何结合问题 7 易错知识点05：实际应用问题易错点 7 重点难点 考点讲练 7 重点难点考点讲练01：一次函数的图像 7 重点难点考点讲练02：一次函数的性质 8 重点难点考点讲练03：待定系数法求一次函数解析式 12 重点难点考点讲练04：一次函数与一元一次方程 16 重点难点考点讲练05：一次函数与一元一次不等式 18 重点难点考点讲练06：一次函数与二元一次方程（组） 23 重点难点考点讲练07：根据实际问题列一次函数关系式 26 重点难点考点讲练08：一次函数的应用 26 重点难点考点讲练09：一次函数综合题 30 重点难点考点讲练10：一次函数图像的位置与系数的关系 36 重点难点考点讲练11：求直线与坐标轴围成的图形的面积 41 重点难点考点讲练12：一次函数与方程（组）之间的关系 43 重点难点考点讲练13：一次函数与不等式（组）之间的关系 48 重点难点考点讲练14：一次函数图像的平移、旋转、对称 51 重点难点考点讲练15：一次函数的实际应用（拓展） 53 重点难点考点讲练16：一次函数与几何、代数的综合应用 57 重点难点考点讲练18：两直线垂直在函数中的应用 63 重点难点考点讲练19：两直线平行在函数中的应用 70 压轴专练 拔尖冲刺 73 知识点梳理01：函数的相关概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 知识点梳理02：一次函数的相关概念 一次函数的一般形式为，其中、是2·常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数. 知识点梳理03：一次函数的图象及性质 1、函数的图象 　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 【易错点剖析】 直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化. 2、一次函数性质及图象特征 掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质） 【易错点剖析】 理解、对一次函数的图象和性质的影响： （1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． （2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： 与相交； ，且与平行； ，且与重合； （3）直线与一次函数图象的联系与区别 一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象. 知识点梳理04：用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 易错知识点01：函数基本概念 1. 常量与变量的混淆 在分析实际问题时，学生容易误判变化的量。例如：汽车以60 km/h匀速行驶，时间 t 和路程 s 是变量，而速度60 km/h是常量 关键点：明确“变化过程中”的数值是否改变。 2. 函数定义的三个条件 函数需满足：①两个变量；② x 每取一个值， y 有唯一对应值。 典型错误：将非唯一对应关系（如y²=x）误认为函数 3. 自变量取值范围 解析式为分式时，分母≠0（如，x=2）； 实际问题中需符合现实意义（如人数不能为负数）。 易错知识点02：一次函数解析式与图像性质 1. 待定系数法求解析式 正比例函数： y=kx （k≠0 ）；一次函数： y=kx+b （k≠0，b为常数）。 易错点：忽略k≠0的条件，或代入坐标时符号错误。 示例：已知直线过点(1,2) (1,2) (1,2)和(0,3) (0,3) (0,3)，正确解得 y=-x+3 ，但可能误代入导致符号错误。 2. 图像性质理解偏差 截距：直线 y=kx+b 与y轴交于(0,b)，与x轴交于(,0)； 增减性： k>0 时y随x增大而增大， k<0 时相反； 画图错误：未正确标出截距点或忽略直线延伸趋势。 3. 正比例函数与一次函数关系 正比例函数是 b=0 的特殊情况，但学生可能误认为“正比例函数不属于一次函数” 易错知识点03：函数与方程、不等式的综合应用易错点 1. 图像法解方程与不等式 方程 kx+b=0 的解是直线与x轴交点的横坐标； 不等式 kx+b>0 的解集需根据图像判断区域（ k>0 时，解集为x>）。 易错点：混淆直线左右侧对应的解集方向，或未标注边界点是否包含46。 2. 两直线交点与方程组解的关系 联立方程组 y=k1x+b1和 y=k2+b2，交点的坐标即为解。 典型错误：直接通过图像估算坐标，未代数求解验证 易错知识点04：分类讨论与几何结合问题 1. 存在性问题中的分类讨论 等腰三角形：需分三种情况讨论（如两点固定，第三点坐标满足两边相等）； 平行四边形：需考虑不同边为对角线的情况。 示例：若点A(1,2) A(1,2) A(1,2)、B(3,4) B(3,4) B(3,4)，求点 C 使△ABC为等腰三角形，需分 AB=AC 、 AB=BC 、 AC=BC 三种情况。 2. 面积计算问题 坐标轴上三角形面积公式：S=×∣x轴截距∣×∣y轴截距∣； 易错点：忽略绝对值或参数问题中的符号变化（如动态直线与坐标轴围成的面积）45。 易错知识点05：实际应用问题易错点 1. 分段函数理解错误 如“阶梯电价”问题，需分段写出不同区间的函数表达式。 典型错误：未正确划分区间或忽略端点值的归属 2. 最值问题 利用一次函数的增减性求最值时，需结合自变量取值范围。 示例：若 y=2x+1 （1≤x≤5），最大值在 x=5 处，而非无限延伸 重点难点考点讲练01：一次函数的图像 【例题精讲】（2024秋•古田县期中）已知函数的图象如图所示，函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据一次函数的图象可知，，然后根据一次函数是性质即可判断． 【规范解答】解：由一次函数的图象可知，， 所以一次函数的图象应该见过一、二、四象限， 故选：． 【考点评析】本题考查一次函数的图象，熟知一次函数的性质是解答此题的关键． 【训练1】（2024春•船营区校级期中）下列函数图象中，有可能是一次函数图象的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据一次函数的性质和题目中的解析式，可以得到函数的图象经过第一、三、四象限，从而可以解答本题． 【规范解答】解：一次函数，，， 该函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：． 【考点评析】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确在中，当，时，该函数图象经过第一、三、四象限． 重点难点考点讲练02：一次函数的性质 【例题精讲】（2024春•门头沟区校级期中）萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质，此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整． （1）列表： 0 1 2 3 4 5 1 0 0 （1）直接填空：　1　； （2）描点并正确地画出该函数图象； （3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为 　　； ②观察函数的图象，写出该图象的两条性质：　　． 【思路点拨】（1）把代入函数关系式进行计算即可； （2）描点、连线画出函数图象即可； （3）①观察图形可知是该函数图象的最低点，即可解答， ②观察图象可从该图象的对称性，增减性解答即可． 【规范解答】解：（1）当时，， ， 故答案为：1； （2）描点、连线画出该函数图象如图； （3）①根据函数图象可得，该函数的最小值为：； ②观察函数的图象，写出该图象的两条性质： 第一条：图象关于直线对称； 第二条：当时，随着的增大而增大． 【考点评析】本题考查了求函数值，画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键． 【训练1】（2024春•新华区校级期中）在学习了用描点法画函数图象之后，小马同学对某个一次函数列表取对应值如表： 0 1 2 0 3 他在最后描点连线时发现有一个点明显不对，这个点是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据函数的性质即可判断． 【规范解答】解：当或或0时，函数的值分别或或， 即自变量增加1，则函数值增加2， 所以当，函数的值应该等于， 所以点明显不对， 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是关键． 【训练2】（2019春•新乐市期中）小东根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成： （1）函数的自变量的取值范围是　全体实数　； （2）已知： ①当时，； ②当时， ③当时，； 显然，②和③均为某个一次函数的一部分． （3）由（2）的分析，取5个点可画出此函数的图象，请你帮小东确定下表中第5个点的坐标，其中　 　；　 　；： 0 1 5 1 0 1 （4）在平面直角坐标系中，作出函数的图象； （5）根据函数的图象，写出函数的一条性质． 【思路点拨】（1）函数的自变量的取值范围是全体实数； （3）取，把代入计算即可； （4）根据（3）中的表格描点连线即可； （5）根据函数的图象，即可求解． 【规范解答】解：（1）函数的自变量的取值范围是全体实数； 故答案为全体实数； （3）、的取值不唯一，取， 把代入，得， 即，． 故答案为3，5； （4）图象如右： （5）当时，函数有最小值0． 【考点评析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 重点难点考点讲练03：待定系数法求一次函数解析式 【例题精讲】（2024秋•扶风县期中）已知与成正比例，当时，． （1）求出与的函数关系式； （2）设点在这个函数的图象上，求的值． （3）试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 【思路点拨】（1）设，将、值代入求出值即可求解； （2）将点代入（1）中函数关系式中求解即可； （3）将代入（1）中函数关系式中求解判断即可． 【规范解答】解：（1）根据题意，设， 当时，， ， 解得：， ，即， 与的函数关系式为； （2）将点代入得：， 解得：； （3）当时，， 则点不在此函数的图象上． 【考点评析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上的点的坐标特征、解一元一次方程，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键． 【训练1】（2024春•青秀区校级期中）在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，． （1）求所在直线的表达式； （2）如图，点，，点从点沿以每秒2个单位长度的速度运动到点，设运动时间为秒． ①连接，，当的周长最短时，求点的坐标； ②当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围． 【思路点拨】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①根据将军饮马作辅助线，求出直线的解析式，继而得到点坐标； ②分别求出直线和的解析式，分别解得时，点的路程，再分别求出时间即可知道有交点时的范围． 【规范解答】解：（1）设直线的解析式为，将，代入得， 解得， 直线的解析式为； （2）①作点关于直线的对称点，连接交于点． 点，， 直线为：， ， 点关于直线的对称点为， 设直线的解析式为，将，代入得：， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ； ②设直线的解析式为，将坐标代入得：， 的解析式为，令，则， 此时长， 点从点沿以每秒2个单位长度的速度运动， ； 同理得到的解析式为，令，则， 此时长， ， 当直线与线段有交点时的取值范围为：． 【考点评析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和最短路径问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． 【训练2】（2023春•新野县期中）如图，已知正方形的边长为2，顶点、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，是的中点．是线段上一动点点除外），直线交的延长线于点． （1）求点的坐标（用含的代数式表示）； （2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【思路点拨】（1）证明，即可证明，，从而求解； （2）分，，两种情况，根据勾股定理即可求解． 【规范解答】解：（1）由题意得， ， ， ， ，， 点的坐标为． （2）分二种情况 ①若，则，解得； ②若 过作于点（如图）， 则 又， 则． 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或． 【考点评析】此题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，以及分类讨论思想的渗透． 重点难点考点讲练04：一次函数与一元一次方程 【例题精讲】（2021春•衡阳期中）如图是一次函数与的图象，则下列结论：①；②；③；④方程的解是，错误的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据一次函数的性质对①②③进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对④进行判断． 【规范解答】解：一次函数经过第一、二、四象限， ，，所以①③正确； 直线的图象与轴的交点在轴下方， ，所以②错误； 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 时，，所以④正确． 综上所述，错误的个数是1． 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【训练1】（2023春•卧龙区期中）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于的方程的解为；③关于的方程的解为；④当时，．其是正确的是 　②③④　． 【思路点拨】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解． 【规范解答】解：把点，点代入得，， 解得：， 一次函数的解析式为， 当时，， 图象不经过点；故①不符合题意； 由图象得：关于的方程的解为，故②符合题意； 关于的方程的解为，故③符合题意； 当时，，故④符合题意； 故答案为：②③④． 【考点评析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键． 【训练2】（2023春•栾城区校级期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的方程的解是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由直线与直线相交于点即可得出方程的解． 【规范解答】解：直线与直线相交于点， 关于的方程的解是， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了利用图象法解一元一次方程，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键． 重点难点考点讲练05：一次函数与一元一次不等式 【例题精讲】（2024春•阳信县期中）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【思路点拨】（1）把点分别代入函数和，求出、的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出、两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论． 【规范解答】解：（1）将点代入，得，解得，将点代入，得，解得， 这两个函数的解析式分别为和； （2）在中，令，得， ，． 在中，令，得， ． ． （3）由函数图象可知，当时，． 【考点评析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键． 【训练1】（2024春•长清区期中）【问题探究】 某学习小组同学按照以下思路研究不等式组的解集： 首先令，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究． 列表： 0 1 2 3 4 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 描点与连线： （1）在列表的空格处填对应的值，在图1给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； （2）若，为该函数图象上不同的两点，则　　； （3）观察图象，当时，自变量的取值范围是 　　； 【拓展运用】 函数的图象如图2所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象草图，并求出它与函数的图象所围成的图形面积． 【思路点拨】【问题探究】（1）将值代入，求出对应值即可；在平面直角坐标系中描出表格中各坐标对应的点，并将它们用平滑的线条连接起来即可； （2）将和分别代入，得到关于和的二元一次方程组，解出的值即可（注意的取值要符合题意）； （3）通过观察图象，可直接写出的取值范围． 【拓展运用】两图象所围成的图形是三角形，可以证明它为直角三角形．两函数联立，求出其交点坐标，从而求出两直角边，利用三角形面积公式求解即可． 【规范解答】解：【问题探究】（1）当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故答案为：，0，1，2，3，2，1，0，． 描点并画出该函数的图象： （2）将（1）中的函数图象左右延长，如图． 函数的图象关于轴对称， ，关于轴对称， ． 故答案为：． （3）由图象可知，当时，自变量的取值范围是或． 故答案为：或． 【拓展运用】函数与的图象交于点、，即为所求． 的图象与轴夹角的正切值为1， 的图象与轴的夹角为， ． ． 由题意，得，解得或． ，． ，， ． 两图象所围成的图形面积为12． 【考点评析】本题考查一次函数的图象及性质和一元一次不等式的应用．这部分内容非常重要，必须能够熟练掌握、灵活运用． 【训练2】（2022秋•花山区校级期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，设点的横坐标为． （1）求点的坐标及的值； （2）求直线、直线与轴所围成的的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【思路点拨】（1）对于，计算自变量为时的函数值可得到点坐标，然后把点坐标代入可得到的值； （2）先确定两直线与轴的交点、的坐标，然后利用三角形面积公式求解； （3）观察函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【规范解答】解：（1）当时，，则． 把代入得，解得； （2）当时，，则； 当时，，则 所以， 所以； （3）． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合 重点难点考点讲练06：一次函数与二元一次方程（组） 【例题精讲】（2024春•湛江校级期中）一次函数和的图象如图所示，则方程组的解为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【规范解答】解：把代入得，， 一次函数和的交点坐标为， 方程组的解为． 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【训练1】（2024春•东山县期中）一次函数和的图象如图所示，三位同学根据图象得到了下面的结论： 甲：关于，的二元一次方程组的解是； 乙：关于的一元一次方程的解是； 丙：关于的一元一次方程的解是． 丁：关于的一元一次不等式的解集是； 四人中，判断正确的是　　 A．甲，丙 B．甲，丙，丁 C．乙，丙 D．乙，丙，丁 【思路点拨】根据和的图象的交点坐标即为的解，可判定甲说法；根据丙直线交点横坐标为方程的解，可判定乙说法；根据直线与轴交点的横坐标即为的解，可判定丙说法；根据两直线交点，结合图象可得不等式的解集，可判定丁说法． 【规范解答】解：一次函数和的图象相交于， 关于，的二元一次方程组的解是，故甲说法正确； 关于的一元一次方程的解是，故乙说法错误； 直线与轴交点坐标是， 关于的一元一次方程的解是，故丙说法正确； 一次函数和的图象相交于， 关于的一元一次不等式的解集是，故丁说法正确． 故选：． 【考点评析】本题考查了两直线交点问题，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与不等式的关系，掌握一次函数与方程（组、不等式的关系是解题的关键． 【训练2】（2024秋•杭州期中）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程组的解为， ③当时，； ④方程的解为； ⑤不等式的解集是． 其中结论正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程，一次函数与不等式对各项判断即可解答． 【规范解答】解：由图象可知一次函数，的值随着值的增大而减小； 故①错误； 由图象可知：一次函数与的图象相交点， 方程组的解为， 故②正确； 由图象可知：一次函数与轴的交点为， 当时，， 故③错误； 由图象可知：一次函数与轴的交点为， 方程的解为， 故④正确； 由图象可知：一次函数图象在的图象下方的时， 故⑤正确； 正确的有3个； 故选：． 【考点评析】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程，一次函数与不等式，一次函数与坐标轴的交点，掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 重点难点考点讲练07：根据实际问题列一次函数关系式 【例题精讲】（2023秋•让胡路区校级期中）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为 　　． 【思路点拨】根据乘车费用起步价超过3千米的付费得出． 【规范解答】解：依题意有：． 故答案为：． 【考点评析】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题乘车费用起步价超过3千米的付费． 【训练1】（2023春•泊头市期中）漳州市出租车价格是这样规定的：不超过2公里，付车费5元，超过的部分按每千米1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费元，则所付车费元与出租车行驶的路程千米之间的函数关系为　　． 【思路点拨】根据题意表述：不超过2公里，付车费5元，超过的部分按每千米1.6元收费，及，可表示出与的函数关系． 【规范解答】解：由题意得，李老师乘出租车行驶了千米， 故可得：． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了有实际问题列函数关系式的知识，解答本题的关键是仔细审题，知道收费标准，另外题意中的是很有用的一个条件，不要忽略． 【训练2】（2023秋•新城区校级期中）如果弹簧原长为，每挂重物弹簧伸长，假设重物质量为，受力后的弹簧长度为，则与的函数关系式是　　． 【思路点拨】由弹簧原长，即时，，又每挂重物弹簧伸长可知，； 【规范解答】解：由题意，得； 故答案为： 【考点评析】本题考查了函数关系式，能够根据题意中的等量关系建立函数关系式是解题关键． 重点难点考点讲练08：一次函数的应用 【例题精讲】（2021春•顺庆区校级期中）甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个过行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离与甲车行驶时间之间的函数关系如图示．请回答下列问题． （1），两城相距 　300　，甲车的速度是 　　．乙车的速度是 　　． （2）求乙车追上甲车所用的时间． 【思路点拨】（1）根据函数图象中的数据，可以解答本题； （2）根据甲、乙两车行驶的路程相等列方程求解即可； 【规范解答】解：（1）由图象可得，，两城相距300千米， 甲的速度为（千米小时）， 乙车的速度为（千米小时）， 故答案为：300；60千米小时；100千米小时； （2）设乙车出发小时追上甲车， 则， 解得， 乙车出发1.5小时追上甲车． 【考点评析】本题考查的是从函数图象中获取信息，一元一次方程的应用，理解坐标含义是解本题的关键． 【训练1】（2021春•罗湖区校级期中）某玩具批发市场、玩具的批发价分别为每件30元和50元，张阿姨花1200元购进、两种玩具若干件，并分别以每件35元与60元价格出售．设购入玩具为件，玩具为件． （1）若张阿姨将玩具全部出售赚了220元，那么张阿姨购进、型玩具各多少件？ （2）若要求购进玩具的数量不得少于玩具的数量，则怎样分配购进玩具、的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为多少？ 【思路点拨】（1）根据总价单价数量列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设利润为元，找出利润关于的函数关系式，由购进玩具的数量不得少于玩具的数量找出关于的一元一次不等式，解不等式得出的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【规范解答】解：（1）由题意可得，， 解得，． 答：张阿姨购进型玩具20件，型玩具12件； （2）设利润为元， ， 购进玩具的数量不得少于玩具的数量， ， 解得：， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值，最大值为225， 此时， 故购进玩具、的数量均为15件并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为225元． 【考点评析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用及一元一次不等式组的应用，解题的关键：（1）列出关于、的二元一次方程组；（2）根据题意得出与的函数关系式，并求出的取值范围． 【训练2】（2024春•市南区期中）“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： （1）设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出，关于的函数表达式； （2）当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同； （3）根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算． 【思路点拨】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得，关于的函数表达式即可； （2）当时，，可得的值； （3）当时，，当时，，当时，，分求得的取值范围即可得出方案． 【规范解答】解：（1）设， 把点代入，可得：， 解得， ； 设， 把代入，可得 ，即， ； （2）当时，， 解得； 答：当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同； （3）由（2）知：当时，； 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当租车时间为小时，任意选择其中的一个方案；当租车时间小于小时，选择方案二合算；当租车时间大于小时，选择方案一合算．（10分）（每少一个扣1分） 【考点评析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时注意：求正比例函数，只要一对，的值；而求一次函数，则需要两组，的值． 重点难点考点讲练09：一次函数综合题 【例题精讲】（2024春•丰泽区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点、交轴于点，点与点关于轴对称，动点、分别在线段、上（点不与点、重合），满足．当为等腰三角形时，点的坐标是 　或，　． 【思路点拨】把和分别代入一次函数的解析式，求出、的坐标，分为三种情况：①，②，③，分别求解即可． 【规范解答】解：， 当时，， 当时，， 即点的坐标是，点的坐标是， 点与点关于轴对称， 的坐标是， 分为三种情况： ①当时， 和关于轴对称， ， ，，， ， 和关于轴对称， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 点的坐标是； ②当时，则， ， ， 而根据三角形的外角性质得：， 此种情况不存在； ③当时，则， 即， 设此时的坐标是， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即此时的坐标是，． 当为等腰三角形时，点的坐标是或，． 故答案为：或，． 【考点评析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是分类思想的运用． 【训练1】（2024春•龙海区期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别与轴、轴交于点、，经过点的直线交轴于点，且． （1）求直线的解析式； （2）点从点出发沿线段以每秒1个单位长度向终点运动，过点作轴的平行线交直线于点．交直线于点．设线段的长为，运动时间为（秒，求与时间（秒的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的值． 【思路点拨】（1）根据条件先求出点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）根据题意，先求出点的横坐标，再将横坐标代入两直线解析式求出点、的坐标，得到与的关系式，再写出自变量取值范围即可； （3）根据条件，令，列出方程求出值即可． 【规范解答】解：（1）对于直线直线， 当时，；当时，， ，， ，， 在△ 中，根据勾股定理得： ， ， ， ， 设解析式为，代入点、坐标得： ，解得， 直线的解析式为； （2）如图， 点从点出发沿线段以每秒1个单位长度向终点运动，运动时间为（秒， 点的横坐标为， 将代入直线得：， ， 将代入直线得：．； ， ， 当时，， 当时，， 综上分析，，； （3）当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ，解得； ，解得； 故当或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【考点评析】本题考查了一次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的判定是解答本题的关键． 【训练2】（2023春•南安市期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，点在轴的负半轴上，且，点是线段上的动点（点不与，重合），以为斜边在直线的右侧作等腰直角三角形． （1）求直线的函数表达式； （2）如图1，当时，求点的坐标； （3）如图2，连接，点是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【思路点拨】（1）在中，令得，得，而，得，用待定系数法可得； （2）设，，由，，知，又，故，可解得，； （3）延长到，使，连接，，设，，根据△△，有，，从而，，再证△△，可得，，故，即得． 【规范解答】解：（1）在中，令得， ， ， ， 设直线的函数表达式为， ， 解得， ； （2）设，， △是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，令得， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ，； （3）是定值，的度数为，理由如下： 延长到，使，连接，，如图： 设，， ，， △△， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， △△， ，， ， ． 【考点评析】本题考查一次函数综合题，涉及的待定系数法，三角形面积，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 重点难点考点讲练10：一次函数图像的位置与系数的关系 【例题精讲】（2024春•通州区期中）已知函数的图象为，函数的图象为． （1）在同一个直角坐标系中画出这两个函数的图象（不要求列表计算）； （2）一次函数的图象为，请在坐标系中画出，，不能围成三角形的情形，并直接写出相对应的的值． 【思路点拨】（1）在函数、函数上分别找到两点，连接并向两端延长，即得两函数的图象； （2），，不能围成三角形，交于同一点或或，可得的值． 【规范解答】解：（1）函数过、，，函数过、， 直线、如图所示， ； （2）可能存在情形如图所示， ①当、、交于同一点时， 联立，解得， 交点坐标为，代入得； ②当时，此时； ， ③当时，此时； ， 综上，或或． 【考点评析】本题考查了两条直线平行问题，关键是根据，，不能围成三角形，推断或． 【训练1】（2022春•平潭县校级期中）平面直角坐标系中，设一次函数的图象是直线． （1）如果直线经过点，求与的关系式； （2）当直线过点和点时，且，求的取值范围； （3）若坐标平面内有点，不论取何值，点均不在直线上，求、所需满足的条件． 【思路点拨】（1）将代入解析式即可得出结论； （2）将两点坐标代入解析式得出方程组，求出、的等量关系式，再根据的取值范围求出的取值范围； （3）先设点，然后根据点坐标找出、之间关系式，利用两直线无交点即平行相等，不等）列出算式求解． 【规范解答】解：（1）由题意可知，在直线的图象上， ， 整理得，． （2）由题意知， ， 两式相减得，， ， ， ， 又， ， ，且； （3）设点坐标为，则， ， 直线与直线无交点， ， 解得． ，满足的条件为且． 【考点评析】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法等相关知识，掌握基本的性质是解题的关键． 【训练2】（2021春•天元区校级期中）如果一次函数，随的增大而减小，且图象经过第一象限，那么常数的取值范围为 　　． 【思路点拨】根据随的增大而减小得出，再根据图象经过第一象限得出，据此可解决问题． 【规范解答】解：由题知， 因为一次函数，随的增大而减小， 所以， 解得． 又因为函数图象经过第一象限， 所以， 解得， 所以的取值范围是：． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 重点难点考点讲练11：求直线与坐标轴围成的图形的面积 【例题精讲】（2024春•重庆期中）如图，直线经过，． （1）求直线的解析式； （2）直线的解析式为与直线交于点，与轴交于点，求的面积． 【思路点拨】（1）将、代入直线，解方程组可得直线的解析式； （2）联立方程组求点，对于，令，求点，根据三角形面积公式可得的面积． 【规范解答】解：（1）将、代入直线， 得， 解得：，， 直线 的解析式为； （2）， 解得：，，即， 对于，令，则，即，0 ， ． 【考点评析】本题考查了两条直线交点与坐标轴交点围成三角形的面积，关键是联立方程组求解． 【训练1】（2023春•巫溪县校级期中）在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点．直线与交于点．若点坐标为． （1）求的坐标和的值； （2）点在直线上，若，求点的坐标． 【思路点拨】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点的横坐标为，则，过点作轴交直线于点，由此可表达的长，根据三角形的面积公式可列出关于的方程，求出，即可得出点的坐标， 【规范解答】解：（1）当时，，即点， 将点的坐标代入得：， 解得：； （2）由（1）知，直线， 设点的横坐标为，则， 过点作轴交直线于点， 则， ， 直线与轴、轴分别交于点，点， ， ，即， 解得或， 或． 【考点评析】本题考查的是一次函数应用，涉及到一次函数的性质，面积的计算等，表达出的长是本题解题的关键． 重点难点考点讲练12：一次函数与方程（组）之间的关系 【例题精讲】（2024秋•瑶海区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则下列说法错误的是　　 A．， B．经过一、二、四象限的直线是 C．关于、的方程组的解为 D．关于的不等式的解集是 【思路点拨】根据一次函数的性质以及一次函数与方程、不等式的关系分析解答即可． 【规范解答】解：、由直线的图象可得随的增大而增大，故，直线与轴的交点在轴的正半轴，故，说法正确，故选项不符合题意； 、直线经过的象限是一、二、四，说法正确，故选项不符合题意； 、关于、的方程组的解为，说法正确，故选项不符合题意； 、关于的不等式的解集是，原说法错误，故选项符合题意． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了一次函数与方程组和不等式，理解两个一次函数图象的交点就是这两个函数的表达式所组成方程组的解是解题的关键． 【训练1】（2023春•密云区校级期中）如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，正方形边长为2，点是的中点，点是上一个动点，当取得最小值时，此时最小值是 　　，点的坐标是 　　． 【思路点拨】作关于的对称点，即点，连接，交于点，连接，因为垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以，两点之间线段最短，连接，此时的值最小，即取得最小值，求出、所在直线的解析式，确定交点坐标即可． 【规范解答】解：作关于的对称点，即点，连接，交于点，连接， 在正方形中，，， ， ，此时的值最小， 四边形为正方形，点是的中点， ，，，， ， 设直线解析式为，代入、两点， 得，， 解得：，， 直线的解析式为， 设直线的解析式为，代入、两点， 得，， 解得：，， 直线的解析式为， ， 解得：，，即，， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了轴对称最短路线问题，一次函数，关键是掌握将军饮马模型． 【训练2】（2023春•南岗区校级期中）如图1，平面直角坐标系中，为原点，直线的解析式为，分别交轴、轴于、两点，过点作交轴于． （1）直接写出点，点的坐标； （2）如图1，点在点上方的轴上，连接，延长交于，，作交延长线于，若线段的长度为，四边形的面积为，用含的式子表示； （3）如图2，在（2）问条件下，在线段上取一点，使，为第一象限内部一点，连接，，，过点作于，，连接，当 时，求线段的长度． 【思路点拨】（1）令，，即可求解； （2）作辅助线，证明，即可求解； （3）作辅助线，证明，推出是等腰直角三角形，证得点与点重合，再证明，得到点的坐标，根据两直线的交点求得点的坐标，同理得证，求得点坐标，据此即可求解． 【规范解答】（1）直线的解析式为， 令，则， 令，则，解得， 点的坐标为，点的坐标为． 答：点的坐标为；点的坐标为． （2），， ， ， ，， ， ， ， 如图，作交的延长线于点， ，， ，，， ， ． 答：． （3）， ，解得， ，， 如图，过点作交于点，连接， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 点于点重合， ， ， ， ，， ， ，， 轴， ， ，， 设直线的解析式为，代入， ，解得， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得， ， 过点作于点，过点作交于点，交轴于点， 同理可证， ， ， ， ， ． 答：线段的长度为． 【考点评析】本题考查了一次函数的综合应用，解题的关键是添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题，根据一次函数，构建方程组确定交点坐标． 重点难点考点讲练13：一次函数与不等式（组）之间的关系 【例题精讲】（2024春•甘州区期中）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】观察函数图象得到当时，直线都在直线的下方，所以不等式的解集为． 【规范解答】解：当时，直线都在直线的下方， 所以关于的不等式的解集为． 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【训练1】（2024春•埇桥区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线和交于点，则关于的不等式的解集为 　　． 【思路点拨】利用数形结合的思想即可解决问题． 【规范解答】解：直线和交于点， ， 解得， 点的坐标为． 将点坐标代入得， ， 解得， ． 令得， ， 解得， 直线与轴的交点坐标为， 当时，直线在轴上方，即； 当时，直线在直线的下方，即， 关于的不等式的解集为． 故答案为：． 【考点评析】本题考查一次函数与一元一次不等式，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 【训练2】（2024春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列结论中所有正确的序号有 　①②④　．①直线与轴所夹锐角等于； ②； ③关于的不等式的解集是； ④． 【思路点拨】结合一次函数的性质、一次函数与不等式的关系，根据图象观察，得出结论． 【规范解答】①②④解：由知：直线与坐标轴的截距相等，所以，直线与轴所夹锐角等于，故①的结论正确； 由图知：当时，函数图象对应的点在轴的上方，因此故②的结论正确； 由图知：当时，函数图象对应的点都在的图象下方，因此关于的不等式的解集是，故③的结论不正确； 由图知：，，因此，故④的结论正确； 答案为：①②④． 【考点评析】本题考查了一次函数与不等式（组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 重点难点考点讲练14：一次函数图像的平移、旋转、对称 【例题精讲】（2024春•晋江市期中）已知是的正比例函数，且当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）将该函数图象向下平移2个单位，判断点是否在平移后的图象上？ 【思路点拨】（1）直接利用待定系数法求出正比例函数解析式即可； （2）根据平移规律“上加下减”求得平移后直线方程，然后将点坐标代入验证即可． 【规范解答】解：（1）设， 当时，． ， 解得， 故关于的函数解析式为； （2）点不在平移后的图象上．理由如下： 将函数的图象向下平移2个单位后，得到直线． 当时，，即点不在平移后的图象上． 【考点评析】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象与几何变换，建立平移前后直线间的联系，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题． 【训练1】（2024春•海门区校级期中）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为 　8　． 【思路点拨】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长，的长，从而可以求得矩形的面积． 【规范解答】解：如图所示，过点、分别作的平行线，交、于点、． 由图象和题意可得，，，， 则，， 矩形的面积为． 故答案为：8． 【考点评析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【训练2】（2024春•中山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 　　． 【思路点拨】根据已知条件得到，，因为求得，所以一次函数的解析式为，过作交于，过作轴于，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为：，解方程组于是得到结论． 【规范解答】解：一次函数的图象分别交轴，轴于，两点， ，， ， ，， ，， 过作交于，过作轴于， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， 直线的函数表达式为：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 重点难点考点讲练15：一次函数的实际应用（拓展） 【例题精讲】（2024春•沙坪坝区校级期中）“梨花风起正清明，游子寻春半出城．日暮笙歌收拾去，万株杨柳属流莺．”古人在春季里都有踏青游乐的习俗，古时也叫行青、探春、寻春等，人们聚亲约友，承大好春光到郊外游玩，然后围坐野宴，抵暮而归．小明与家人乘车去阳屏湖游玩然后返回家中，小明与小明家的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法错误的是　　 A．小明全家去阳屏湖时的平均速度为 B．小明全家停车游玩了4.5小时 C．小明全家返回时的平均速度为 D．小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时 【思路点拨】根据函数图象逐项判断即可． 【规范解答】解：、小明全家去阳屏湖时的平均速度为， 故选项错误，符合题意； 、由图象可知，小明全家停车游玩的时间为， 故选项正确，不符合题意； 、小明全家返回时的平均速度为， 故选项正确，不符合题意； 、设小明全家出发后小时时距家， 根据题意得：或， 解得或， 小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时或小时． 故选项错误，符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数的应用，正确获取信息是解题的关键． 【训练1】（2024春•长沙期中）漏刻（如图）是我国古代的一种计时工具．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．小浔同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，并进行了测试．下表是小浔记录的部分数据，如果她从上午9时开始记录，那么上午11时25分，箭尺的示数应为　　 时间 箭尺示数 2.2 3.0 4.6 7.0 A．13.8 B．14.20 C．14.6 D．15 【思路点拨】由表格中的数据可知：每10分钟，箭尺的示数增加0.8，从而得出箭尺示数与时间（分钟）满足一次函数关系，设九点时，箭尺示数与时间的解析式为，然后用待定系数法求出函数解析式，然后把代入解析式即可． 【规范解答】解：由表格中的数据可知：每10分钟，箭尺的示数增加0.8， 箭尺示数与时间（分钟）满足一次函数关系， 设九点时，箭尺示数与时间的解析式为， 把，代入解析式得， ， 解得， 箭尺示数与时间的解析式为， 上午11时25分，即分时，， 上午11时25分时，箭尺的示数应为13.8， 故选：． 【考点评析】本题主要考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式． 【训练2】（2024春•西城区校级期中）倡导垃圾分类，共享绿色生活：为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，已知1台型机器人每小时分拣垃圾0.4吨，1台型机器人每小时分拣垃圾0.2吨． （1）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批型和型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买型机器人台，型机器人台，请用含的代数式表示； （2）机器人公司的报价如表： 型号 原价 购买数量少于30台 购买数量不少于30台 型 20万元台 原价购买 打九折 型 12万元台 原价购买 打八折 在（1）的条件下，设购买总费用为万元，问如何购买使得总费用最少？请说明理由． 【思路点拨】（1）根据这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨列出等式，整理后用含的代数式表示即可； （2）型机器人的费用型机器人的费用，可分只有型机器人没有优惠；型机器人有优惠和型机器人恰好有优惠；只有型机器人没有优惠三种情况分别得到总费用的最小值，比较后得到总费用最少的购买方案． 【规范解答】解：（1）． 解得：． （2）①当时，． ． ， 随的增大而增大． 当时，有最小值．； ②当时，． ． ， 随的增大而减小． 当时，有最小值．； ③当时，． ． ， 随的增大而减小． 当时，有最小值．． ， 购买型机器人35台，型机器人30台时，总费用最少． 【考点评析】本题考查一次函数的应用．根据购买数量的优惠情况分类探讨总费用的最小值是解决本题的难点．用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，函数值随自变量的增大而增大；一次函数的比例系数小于0，函数值随自变量的增大而减小． 重点难点考点讲练16：一次函数与几何、代数的综合应用 【例题精讲】（2024春•锦江区校级期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称点为点关于点的“位移点”．如图，已知直线过点，与轴，轴分别交于点，．直线与直线交于点，作关于的“位移点” ，连接，，记△的面积为，若，则的取值范围为 　　． 【思路点拨】先求出直线解析式为，得，．联立，，得，，由作关于的“位移点” ，得，．求出直线解析式为，列出不等式，再计算即可． 【规范解答】解：直线过点， ， 直线解析式为， ，． 联立，，得，， 作关于的“位移点” ， ，， 即，． 设直线解析式为， 把，，代入得： ，， 解得：，， 直线解析式为， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，坐标与图形变化平移，掌握一次函数的性质是解题关键． 【训练1】（2024春•凤翔区期中）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处，则点的坐标为 　　； （2）感悟应用：如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点． ①点的坐标为 　　，点的坐标为 　　； ②直接写出点的坐标 　　； （3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，的顶点、分别在轴、轴上，且，．若点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限时，请求出点的坐标． 【思路点拨】（1）作轴于点，轴于点，由可得，，，易证，，，因此； （2）①一次函数，分别令，，即可得点，点的坐标； ②过点作轴于，由，根据全等三角形的性质即可解决问题； （3）过点作轴于，由，根据全等三角形的性质即可解决问题，即可求出点的坐标． 【规范解答】解：（1）如图1，作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）①一次函数，令，则， ， 令，则，， ， 故答案为：，； ②如图2，由（1）知，，， ，， 过点作轴于， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点的坐标为， 故答案为：； （3）如图3，过点作轴于，由， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【考点评析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质与三角形全等的判定是解题的关键． 【训练2】（2024春•福田区校级期中）阅读理解： 【新定义】对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． （1）已知4个点：、、、，以上这四个点中 　、、　是线段的“等距点”，　　是线段的“完美等距点”（填写大写字母）． （2）若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； （3）当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”且为线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点的坐标 　　． 【思路点拨】（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到，的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）设出点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论； （3）假定存在，设出点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论． 【规范解答】解：（1），， ． 是线段的“等距点”， ，， ． 是线段的“等距点”， ，， ． 不是线段的“等距点”， ，， ． 是线段的“等距点”， ， ，，，， 是线段的“完美等距点”． 故答案为：，，；； （2）在上， ． ． ． 点在第三象限， ． 设的坐标为， ． ，， ． 解得：． 点的坐标为； （3）存在． 理由：点是线段的“等距点”，点的坐标为， ， 设点的坐标为， ， ，． 点线段的“完美等距点”， ． ． 解得：． 为线段的“完美等距点”， ． 为等腰直角三角形． ． ，． ． 解得：或． 当时，． 当时，． 点的坐标为或． 故答案为：或． 【考点评析】本题是一次函数综合题，考查了新定义、等腰直角三角形的性质、两点之间的距离公式和勾股定理等知识，本题综合性强，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键． 重点难点考点讲练18：两直线垂直在函数中的应用 【例题精讲】（2024春•西城区校级期中）在平面直角坐标系中，如果点，为某个菱形一组对角的顶点，且点，在直线上，那么称该菱形为点，的“关联菱形”．例如，图1中的四边形为点，的“关联菱形”． 已知点，点． （1）当时， ①在点，，中，点 　，　能够成为点，的“关联菱形”的顶点； ②当点，的“关联菱形” 的面积为8时，求点的坐标． （2）已知直线与轴交于点，与轴交于点，若线段，且点是点，的“关联菱形”的顶点，直接写出的取值范围． 【思路点拨】（1）①根据“关联菱形”的定义即可求解； ②设的中点为，则，由①可知点，在直线上，由菱形的性质可得，进而求出的长，设，最后利用两点间距离公式建立方程求解即可； （2）由题意可得，，于是得到，求得，设点，的“关联菱形”的顶点在直线上，要使“关联菱形”存在，则点不在直线和上，以此可得，，4，设的中点为，则，求得点，的“关联菱形”的顶点在直线上，再将点代入得到，以此即可得的取值范围． 【规范解答】解：（1）①如图， ，． 中点的坐标为， 由菱形的对角线互相垂直平分可知，能够成为点，的“关联菱形”的顶点在直线上，且过点， ， 解得：， 能够成为点，的“关联菱形”的顶点在直线上， 故满足该条件点为，； 故答案为：，； ②如图，设的中点为，则， ， 结合①可知，点，在直线上， 点，的“关联菱形” 的面积为8， ，即， ， 设， ， 解得：，， 或； （2）直线与轴交于点，与轴交于点， ，， ， ， ， ， 设点，的“关联菱形”的顶点在直线上， 当直线过点时，则， 点是点，的“关联菱形”的顶点， ， 解得：，此时无法构成菱形， 当时，在直线上，此时也无法构成菱形， ，且，4， 设的中点为，则， 则， 解得：， 点，的“关联菱形”的顶点在直线上， 点是点，的“关联菱形”的顶点， ， ， ，且，4， ，且，1． 【考点评析】本题主要考查函数中的新定义问题、菱形的性质、两点间的距离公式、两直线垂直在函数中的应用，熟练掌握菱形的性质，利用菱形的对角线互相垂直平分正确设出“关联菱形”的顶点所在直线的解析式是解题关键． 【训练1】（2019春•岳麓区校级期中）在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直，如直线与直线，因为，所以相互垂直． 根据以上定义内容，解答下面的问题： （1）求过点且与已知直线垂直的直线的函数表达式，并在如图所示的坐标系中画出直线的图象． （2）求（1）问中的两条直线与轴所围的三角形的面积； （3）已知点，点，分别是（1）问中直线和轴上的动点，求出周长的最小值． 【思路点拨】（1）直线与已知直线平行，因而直线的一次项系数是，根据待定系数法就可以求出函数解析式； （2）解方程组得到，求得直线与轴的交点为，直线的函数表达式为与轴的交点为，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据轴对称的性质得到点关于轴的对称点为，关于直线的对称点，，连接交直线于，交轴于，则此时，周长的值最小，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：（1）设直线的函数表达式为， 直线与直线垂直， ， 直线过点， ， ． 直线的函数表达式为； 直线的图象如图； （2）解方程组得，， 直线与轴的交点为，直线的函数表达式为与轴的交点为， 两条直线与轴所围的三角形的面积； （3）点关于轴的对称点为，关于直线的对称点，， 连接交直线于，交轴于， 则此时，周长的值最小，周长的最小值． 【考点评析】本题考查了两直线相交于平行问题，待定系数法、勾股定理、轴对称最短路线问题，三角形的面积等知识点正确的作出图象是解题的关键． 【训练2】（2022春•盘龙区校级期中）通过以后的学习，同学们会发现一个有趣的结论： 当直线与直线中的时，两直线互相垂直；反之亦然，即：若两直线互相垂直时，除外）．下面，请同学们利用上面的结论和学过的知识解决以下问题： （1）若直线过点，和点，直接写出该直线的函数解析式． （2）若直线过点，请问：直线与（1）中直线互相垂直吗？试说明理由． 【思路点拨】（1）运用待定系数法，即可得到该直线的函数解析式； （2）将点代入直线，可得，依据，可得两直线不垂直． 【规范解答】解：（1）设该直线的解析式为，则 ， 解得， 直线的函数解析式为； （2）直线与（1）中直线不垂直．理由： 将点代入直线，可得， 因为， 故两直线不垂直． 【考点评析】本题主要考查了两直线相交或平行问题，解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． 重点难点考点讲练19：两直线平行在函数中的应用 【例题精讲】（2024春•海淀区校级期中）已知函数． （1）若函数的图象平行于直线，求的值； （2）若这个函数是一次函数，且与轴的交点在轴的下方，求的取值范围． 【思路点拨】（1）因为函数平行于直线，所以，，可解得的值； （2）因为这个函数与轴的交点在轴的下方，所以，因为这个函数是一次函数，所以，可解得的取值范围． 【规范解答】解：（1）函数平行于直线， ，， 解得：； （2）由题意得，，， 解得：且． 【考点评析】本题考查了两直线平行问题，关键是掌握一次函数的性质以及两直线平行其值相等． 【训练1】（2016春•东城区校级期中）已知直线与直线平行，且与直线交于点，直线的解析式为　　． 【思路点拨】根据直线与直线平行，直线的解析式的一次项系数等于2，再由与直线交于点，求得和直线的解析式的常数项． 【规范解答】解：由直线与直线平行，设直线的解析式为：， 点在直线上， ， ． 故直线的解析式为， 故答案为：． 【考点评析】此题考查两条直线相交或平行问题，用待定系数法确定直线的解析式，是常用的一种解题方法． 【训练2】（2023春•普陀区期中）如图，在平面直角坐标中，已知直线与直线相交于点，且直线与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）求四边形的面积； （3）在轴上取一点，如果以、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点的坐标． 【思路点拨】（1）将点的坐标代入直线的表达式中求出的值，再设直线的表达式为，根据待定系数即可求解； （2）先分别求出点、、的坐标，根据和计算，则； （3）分两种情况：当时，；当时，先求出所在直线解析式为，由两直线平行可设所在直线解析式为，将点的坐标代入求得，再令，即可求出此时点的坐标． 【规范解答】解：（1）直线经过点， ， 解得：， ， 设直线的表达式为， 把点、分别代入，得， 解得：， 直线的表达式为； （2）令中的，得， ， 令中的，得， ， 令中的，得， ， ，，， ， ， ； （3）当时，如图， 此时，； 当时，如图， 设所在直线解析式为， 将点代入得，， 所在直线解析式为， ， 设所在直线解析式为， 将点代入得，， 所在直线解析式为， 令得，， 此时，． 综上，点的坐标为或． 【考点评析】本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式、直线与坐标轴所围成的图形面积问题、梯形的判定，熟练掌握用待定系数法一次函数解析式，并学会利用分类讨论解决问题是解题关键 1．（22-23八年级上·山东济南·期末）已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解进行解答即可． 【规范解答】解：直线与的交点的坐标为， 方程组的解就是两个一次函数的交点坐标， 方程组的解是， 故选：A． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是（   ） ①乙的速度为5米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是；④乙到达终点时，甲距离终点还有68米 A．①②③ B．①③④ C．③④ D．①② 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次函数的应用，方程思想是解答的关键． ①根据速度等于路程除以时间求解． ②先求出甲的速度，再根据相遇时间路程相等，列方程求解． ③根据甲乙两人之间的距离超过米设时间为秒，列出不等式求出的取值，再求当乙到达终点停止运动后的取值，即可求解． ④用总路程减去甲走过的路程即可． 【规范解答】解：①∵乙用秒跑完米 ∴乙的速度为米/秒； 故①正确； ②∵乙出发时，甲先走米，用秒钟， ∴甲的速度为米/秒， ∴乙追上甲所用时间为秒， ， 秒， ∴米， ∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米； 故②不正确； ③甲乙两人之间的距离超过米设时间为秒， ， ， 当乙到达终点停止运动后， ， ， 甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是； 故③正确； ④乙到达终点时， 甲距终点距离为：米， 即甲距离终点还有米． 故④正确； 正确的个数为①③④． 故选：B． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟，哥哥骑自行车每分钟行驶，如图是两人之间的距离，与弟弟步行时间之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（  ） A．点表示哥哥已经到达学校 B．哥哥与弟弟相距的最大距离是米 C．他们家与学校之间的距离为米 D．的函数表达式为 【答案】D 【思路点拨】本题考查一次函数的应用，哥哥的速度始终大于弟弟的速度，故在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小，据此判断即可；根据可知，点时二人之间的距离最大，利用路程速度时间，计算二人的路程之差即可判断；由可知，点表示哥哥已经到达学校，利用路程速度时间求出点时哥哥骑行的路程即可判断；设坐标，利用弟弟在段和段的路程速度时间列关于和的二元一次方程组并求解，再利用待定系数法求出的函数表达式即可判断；掌握并灵活运用速度、时间和路程之间的数量关系是解题的关键． 【规范解答】解：、∵哥哥的速度始终大于弟弟的速度， ∴在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小， ∴点表示哥哥已经到达学校， ∴原选项正确，不符合题意； 、哥哥与弟弟相距的最大距离是（米）， ∴原选项正确，不符合题意； 、他们家与学校之间的距离为（米）， ∴原选项正确，不符合题意； 、设坐标， 根据题意，得， 解得， 设的函数表达式为， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴的函数表达式为， ∴原选项错误，符合题意， 故选：． 4．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线a：y＝x，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及点坐标规律探索，首先根据点的变化规律分别求出点、、、的坐标，根据它们的横坐标变化规律，得到点的横坐标，再根据点在直线上求出纵坐标． 【规范解答】点的坐标为，点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在上， 解方程， 解得：， 点的坐标是， 轴， 点的横坐标是， 又点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在直线上， 可得方程， 解得：， 点的坐标是， 根据规律可得：的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， ， 的横坐标为， ， 的横坐标为， 又点在上， 可得：， 点的坐标为 故答案选： A． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某水果店销售某种水果，销售额y（元）与一次销售量与之间的函数关系如图所示．若王叔叔从该水果店一次性购买该种水果，需要付款 元． 【答案】220 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的应用、求一次函数解析式等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键． 先根据题意求出时与y之间的函数关系式，再把代入计算即可解答． 【规范解答】 解：当时，设与之间的函数关系式为， 根据题意得：，解得：， 所以， 当时，， 所以小强同学在该家水果店一次购买该种水果，需要付款元． 故答案为：220． 6．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图①所示，正方形的边长为，动点P从点A出发，在正方形的边上沿运动，设运动的时间为，的面积为，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题： （1）点P在上运动的时间为 s； （2）当t为 时，三角形的面积为．. 【答案】 6 或 【思路点拨】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．（1）直接根据函数图象上坐标，利用速度路程时间即可求解；（2）通过图象可知，的面积为．即，分别在和，上代入即可求得答案． 【规范解答】解：（1）由图象可知，点P在上运动的时间为， 故答案为：6； （2）当P在上运动，即时，速度为，则， ， 的面积为，即时， ∴， ∴， 当P在上运动，的面积为，不符合题意， 当P在上运动，即时， 在上运动的速度为， ∴， ∴， ∵的面积为，即时， ∴， ∴， 所以当t为、时，的面积为． 故答案为：或． 7．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键． 【规范解答】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点， ∴点坐标为， ∴， 过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，    ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴； 而， 同理可得：的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键. 8．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与轴、轴分别交于，两点，直线的图象与轴交于，直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积为，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得：，直接写出点坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【思路点拨】（1）当时，，得到点，再由待定系数法即可求解； （2）当点在点右侧时，由，列出方程求解，得到点；当点在轴右侧时，同理求解即可； （3）先求出点的坐标，再在轴上找点，使得，过点作轴，再进行分类讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，， 解得：，即点， 将点的坐标代入函数得：，则， 则直线的表达式为：； （2）解：∵直线， 将代入得：， ∴点， 设直线交轴于点， 又∵直线， 将代入得：， ∴点， ∴， ①当点在点右侧时，如图     ， ， 解得：， ∴， ∴点； ②当点在点左侧时，如图， ，点在轴的左边，   ， ， 解得：， ∴点， 综上所述，点的坐标为：或； （3）解：存在，理由： 直线的表达式为：，令，则， 解得：， 点， 如图，在轴上找点，使得，过点作轴，   ， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点， 作点关于的对称点，则点也符合要求， ∵点，， ∴点， 综上，或． 【考点评析】本题考查的是一次函数综合运用，坐标与图形，一次函数的图像及性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键． 9．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点处．则： ①的长为__________； ②点B的坐标为__________．（直接写结果） （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． （3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点过点B作轴，垂足为点A，作轴，垂足为点C，P是线段上的一个动点，点Q是直线上一动点且在第一象限，问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出Q的坐标，若不能，请说明理由．    【答案】（1），；（2）；（3）或 【思路点拨】本题考查了一次函数与三角形的全等综合，等腰直角三角形的一线三垂直模型； （1）过作轴于，过作轴于，由可得，，，，易证，得到，，因此； （2）同（1）可证，，，，求得，最后代入求出一次函数解析式即可； （3）先得到，，再设，则，，，然后根据当在下方或上方分两种情况讨论，最后根据等腰构建一线三直角，从而求解． 【规范解答】解：（1）①如图1，过作轴于，过作轴于，则，   ， ，， ∴， ②∵， ∴， ∵等腰的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转， ∴ ∴， ，， ， （2）如图2，过点作轴于，    ∵将等腰如图放置，直角顶点，点， ∴，，，， ∵轴， ∴， ∴， ， ，， ， ， 设直线的表达式为， 将和代入，得 ， 解得， 直线的函数表达式； （3）∵点过点B作轴，垂足为点A，作轴，垂足为点C， ∴，，， ∵P是线段上的一个动点， ∴设，则， ∵点Q是直线上一动点且在第一象限， ∴设，， 当在下方时，如图，过点作轴于，交于，则，    ∴， ∴， ∴， ∵点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，，，，， ∴，解得，符合条件， ，解得，符合条件， ∴； 当在上方时，如图，过点作轴于，交于， 同理可证， ∴，， ∵，，， ∴，，，，， ∴，解得，符合条件， ，解得，符合条件， ∴， 综上所述，或． 10．（22-23八年级下·四川达州·期中）【模型建立】 （）如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：； 【模型应用】 （）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转至直线；求直线的函数表达式； （）如图，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点、轴于点，点是直线上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，求出点的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】（）证明见解析 （） （）能，或或 【思路点拨】（）利用证明即可； （）过点作交直线于点，过点作轴交轴于点，则，首先可证得为等腰直角三角形，同理（）可证得，于是有，，然后求得直线与轴、轴的交点、的坐标，即可求得线段、的长，进而求得线段、的长，于是即可求得点的坐标，最终利用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （）分四种情况讨论：当时；当时；当，且点在上方时；当，且点在下方时；分别求出点的坐标即可得出答案． 【规范解答】（）证明：如图， ，于点，于点， ， ， ， ， 又， ； （）解：如图，过点作交直线于点，过点作轴交轴于点，则， ， ， ，为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， 把代入，得：， 解得：， ， 把代入，得：， ， ，， ，， ， ， 设直线的函数表达式为，把、代入，得： ， 解得：， 直线的函数表达式为； （）解：能成为等腰直角三角形， 理由如下： ，轴于点，轴于点， ， ，，四边形为矩形， 设， 分四种情况： 当时， 如图，，则，过点作轴于点，交的延长线于点， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 将代入，得： ， 解得：， ； 当时， 如图，，则，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ， 又， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 将代入，得： ， 解得：， ； 当，且点在上方时， 如图，，且点在上方，则，过点作交射线于点， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 将代入，得： ， 解得：， ， 不在第四象限， 不符合题意，故舍去； 当，且点在下方时， 如图，，且点在下方，则，过点作交的延长线于点， 则， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 将代入，得： ， 解得：， ； 综上所述：点的坐标为或或． 【考点评析】本题主要考查了垂线的定义，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定（等角对等边），全等三角形的判定与性质，一次函数图象与坐标轴的交点问题，已知两点坐标求两点距离，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，矩形的判定与性质，多边形内角和问题，解一元一次方程等知识点，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想是解题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$