压轴题08 几何证明压轴题（4大题型）-2025年中考数学压轴题专项训练（广东专用）

压轴题08 几何证明压轴题（4大题型） 1.平行四边形的性质：1)对边平行且相等； 2)对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分； 4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心. 2.矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质； 2）矩形的四个角都是直角； 3）对角线互相平分且相等； 4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心. 3.菱形的性质： 1）具有平行四边形的所有性质； 2）四条边都相等； 3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心. 4.正方形的性质： 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 3）正方形对边平行且相等. 4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 压轴题型一：探究线段数量关系 √满分技法 考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，平行公理的推理，余角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 1．（2024年广东省东莞市初中学业水平考试模拟）综合与实践：折纸是中国的传统艺术活动之一，折纸的过程蕴含着丰富的数学知识，深受学生们的喜欢．如图1，在正方形纸片中，M，N 分别是边上的点，将正方形纸片沿直线折叠，点A，D 的对应点分别是． (1)如图2，P，Q分别是边的中点，连接． 若 点M 与点A重合，点落在线 段上，则 (2)如图3，若点落在边上，与相交于点E， 连 接，．试猜想之间的数量关系并证明． (3)在（2）的条件下，已知，求的面积． 2．（2024年广东省梅州市中考一模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“两个相似矩形的平移”为主题探究线段之间的数量关系：如图，矩形与矩形相似，其中，，点E、F在直线上，且点C、D、G、H在直线的同侧，矩形沿直线左右平移，O为的中点，直线与直线相交于点P（点P、D不重合），直线与直线相交于点Q（点Q、C不重合），试探究与之间的数量关系． 【操作判断】 （1）如图1，平移矩形，当，点A、E重合时，线段与之间的数量关系是 ； 【迁移探究】 （2）继续平移矩形，对任意正数k，（1）中的判断是否都成立，请就图2的情形说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，若，，，平移矩形，连接交于点M，当是直角三角形时，请直接写出OA的长． 3．（2024年广东省汕头市澄海实验学校中考二模）综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点． (1)【感知】如图，若点是边的中点，小南经过探索发现了线段与之间的数量关系 ． (2)【探究】如图，小阳说“点为上任意一点时，（）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由； (3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 4．（2024年广东省江门市新会区尚雅学校中考四模）综合运用 在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点E在线段上，求证：D是的中点； (2)如图2，在（1）的条件下，连接并延长至点G，使得，连接，，请判断的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，请判断的大小，并说明理由． 5．（2023年广东省惠州市惠东县中考三模）综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师出示了两张全等的三角形纸片，其中 ，，．如图，三角形纸片与三角形纸片重合，然后将纸片绕点顺时针旋转（旋转角不超过），与交于点，与交于点． 操作与计算 （）如图，当时，求的长． 深度思考 （）“雄鹰”小组受到了启发，提出了问题：如图，当 时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （）“智慧”小组进一步研究．如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，连接．当 时，直接写出四边形的面积． 压轴题型二：定值问题 √满分技法 考查了四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、坐标与图形、平行四边形的性质、正方形的性质．解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形，记住一些基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想到解题方法．找到定值量与已知定量的数量关系可以迅速找到解题思路。 6．（2024年广东省惠州市惠城区中考二模）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结交于点，平分交于点G． (1)求证：. (2)若． ①求菱形的面积. ②求的值. (3)若，当的大小发生变化时（），在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值． 7．（2021年广东省广州市黄埔区华南师大附中中考数学二模）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，sin∠BAC．设AP的长为x． (1)如图1，过点作PM⊥AB于M交CD于N，求证：△BMP∽△PNE． (2)①试探究：是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． ②连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值． (3)当△PCE是等腰三角形时，请求出x的值． 8．（2023年广东省清远市清新区中考二模）已知，如图①，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，点E是BC边上的动点，把点E绕着点A逆时针旋转60°得到点F，连接AE、AF、EF、DF． (1)当点A、F、C三点在同一条直线上时，求DF的长； (2)如图②，点M在CB的延长线上，且，连接AM，当点E在BC上运动时，的面积的值是否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由． (3)在点E由B向C运动的过程中，求DF的取值范围． 9．（2023年广东省广州市天河区中考数学二模）如图，矩形中，，点E是边上的一点，点F是边延长线上的一点，且．连接，交于点O，过E作，垂足为P． （1）求证：； （2）求证：长为定值； （3）记与的交点为Q，当时，直接写出此时的长． 10．(23-24·广东江门福泉奥林匹克学校·二模)如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点． (1)①直接写出点的坐标； ②求证： (2)如图2，若，在上找一点，使四边形是平行四边形，求点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接FM，下列两个结论：①的长为定值：②平分，其中只有一个正确，选择并证明． 压轴题型三：最值问题 √满分技法 主要考查了正方形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理与翻折问题、全等三角形的性质与判定、二次函数的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何知识储备和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生．最值问题需要利用函数和几何性质来解答。 11．(24-25九下·广东深圳31校·第一次模拟)综合与探究 在正方形中，，点是边上的动点，连接． (1)【探索发现】如图1，过点作，求证：； (2)【类比探究】如图2，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积； (3)【拓展延伸】如图3，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，请直接写出线段的最小值． 12．（2024年广东省广州市黄埔区中考二模）如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得DF，连接，． (1)求证：； (2)若，，三点共线，连接，求线段的长． (3)当线段取最小值时，求． 13．（2023年广东省中山市中考二模）在平行四边形中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，连接交于点H，连接，若点H为线段的中点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点P，连接，直接写出线段长度的最小值． 14．（2024年广东省珠海市第九中学中考模拟）如图，在中，，，点分别在边上，，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)[问题发现]当时，_____；当时，____； (2)[拓展研究]试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明； (3)[问题解决]在旋转过程中，的最大值为_______． 15．(2024年广东省广州市天河区华南师范大学附属中学中考模拟)在和中，，，（k是常数），点E在内部运动（不包含边界），直线与交于点F． (1)如图（1），若，并且点D、F重合时，求证：； (2)如图（2），一般情形下，探究之间的数量关系，并给出证明； (3)如图（3），与交于点G，若，求的最大值． 压轴题型四：动点问题 √满分技法 主要考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，添加恰当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．动点问题还可以结合函数思考。 16．(2023年广东省广州市天河区九年级一模)综合与探究 问题情境： 在正方形中，是边上的一个动点，连接将沿直线翻折，得到，点的对应点落在正方形内． 猜想证明： （1）如图，连接并延长，交边于点求证：． （2）如图，当是边的中点时，连接并延长，交边于点，将沿直线翻折，点恰好落在直线上的点处，交于点，交于点试判断四边形的形状，并说明理由． 问题解决： （3）在（2）的条件下，若，请直接写出四边形的面积． 17．(2025年广东省连州市初中学业水平考试数学模拟)【知识技能】 （1）如图1，在三角形纸片中，，点D在上，将沿直线翻折后，点B落在点E处，如果，那么线段的长为多少？ 【数学理解】 （2）如图2矩形中，，点E为上一点：且，将沿翻折，得到，连接并延长，与相交于点F，则的值为： 【拓展探索】 （3）如图3，在矩形纸片中，，点E为射线上的一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 18．(2024年广东省清远市中考二模)如图① ，在正方形 中，点 E 是边 上的一动点(不与 B 、C 重 合) ，连接 ，将 沿 翻折，使点 B 落在点 F 处，延长 交 于点 G ，连接 ，过点 E 作 交 的延长线于点 H，连接． (1)观察猜想：吗？如相等，请说明理由； (2)尝试探究：如图② ， 若 ，求 的长； (3)解决问题：如题图③ ， 连接，分别与 、 交于点 M、N．若 ，，求 的长． 19．（2024年广东省深圳市宝安区中考模拟）【几何探究】 【教材呈现】如图1，，，点是边上一点，且，若，则 ； 【探究发现】如图2，在正方形中，点是上动点，点是上一点，且，将绕点逆时针旋转，点落在射线上的点处，点对应点为点，连接． （1）当点为中点时，求证：为等腰直角三角形； （2）如果点为上任意一点，试探究：与之间的数量关系，写出你的结论并加以证明； 【迁移运用】如图3，在菱形中，，点是上动点，点是上一点，且，将绕点逆时针旋转，点落在射线上的点处，点对应点为点，连接，直接写出与之间的数量关系（用含有的式子表示）． 20．（2024年广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学中考三模）综合探究 【问题思考】 （1）如图1，已知正方形，M，N分别是边上一点，连接，且，若延长到P，使得，连接．运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段之间的数量关系是______； 【探究应用】 （2）如图2，正方形的边长为5，点E是射线上一动点（不与点B重合），连接，以为边长在的上方作正方形，交射线于点H，连接． ①当点E在上时，若是等腰三角形，求此时的长． ②当点E在的延长线上时，若，请直接写出线段的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题08 几何证明压轴题（4大题型） 1.平行四边形的性质：1)对边平行且相等； 2)对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分； 4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心. 2.矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质； 2）矩形的四个角都是直角； 3）对角线互相平分且相等； 4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心. 3.菱形的性质： 1）具有平行四边形的所有性质； 2）四条边都相等； 3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心. 4.正方形的性质： 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 3）正方形对边平行且相等. 4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 压轴题型一：探究线段数量关系 √满分技法 考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，平行公理的推理，余角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 1．（2024年广东省东莞市初中学业水平考试模拟）综合与实践：折纸是中国的传统艺术活动之一，折纸的过程蕴含着丰富的数学知识，深受学生们的喜欢．如图1，在正方形纸片中，M，N 分别是边上的点，将正方形纸片沿直线折叠，点A，D 的对应点分别是． (1)如图2，P，Q分别是边的中点，连接． 若 点M 与点A重合，点落在线 段上，则 (2)如图3，若点落在边上，与相交于点E， 连 接，．试猜想之间的数量关系并证明． (3)在（2）的条件下，已知，求的面积． 【答案】(1)75 (2)，理由见解析 (3)15 【来源】2024年广东省东莞市初中学业水平考试模拟卷 【分析】（1）由折叠的性质得到，根据题意得到，求出，进而得到，即可求解； （2）如图，过点D作于点G，证明，得到，再证明，得到，即可得出结论； （3）根据题意得到，设，则，由（2）知，利用勾股定理求出，则，再根据即可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质得到， P，Q分别是边的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点D作于点G， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （3）解：， ， 设，则， 由（2）知， ， 即， 解得：， ，则， ， 的面积为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查翻折变换及正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2．（2024年广东省梅州市中考一模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“两个相似矩形的平移”为主题探究线段之间的数量关系：如图，矩形与矩形相似，其中，，点E、F在直线上，且点C、D、G、H在直线的同侧，矩形沿直线左右平移，O为的中点，直线与直线相交于点P（点P、D不重合），直线与直线相交于点Q（点Q、C不重合），试探究与之间的数量关系． 【操作判断】 （1）如图1，平移矩形，当，点A、E重合时，线段与之间的数量关系是 ； 【迁移探究】 （2）继续平移矩形，对任意正数k，（1）中的判断是否都成立，请就图2的情形说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，若，，，平移矩形，连接交于点M，当是直角三角形时，请直接写出OA的长． 【答案】（1）相等，（2）成立，见解析；（3）或 【分析】（1）设根据中点列出比例式，表示出与的长度即可, （2）设根据相似列出比例式，表示出与的长度即可, （3）证，得出，再根据是直角三角形，分类讨论，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）设则 ∵O为的中点， ∴ ∴， ∴， ，， ∴， 故答案为：相等； （2）成立． 设则 ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 同理， 设，则，， ∵， ∴ ， ∴； （3）∵，，， ∴，，， 由（2）得， ∵，， ∴， ∴， 如图，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 解得，或（舍去） 如图，当时， 同理可得， ∴， 则， 解得，或（舍去）， ， 综上，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是准确证明三角形相似，利用相似三角形的性质进行推理证明． 3．（2024年广东省汕头市澄海实验学校中考二模）综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点． (1)【感知】如图，若点是边的中点，小南经过探索发现了线段与之间的数量关系 ． (2)【探究】如图，小阳说“点为上任意一点时，（）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由； (3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)； (2)同意，理由见解析； (3)或． 【详解】（1）解：连接， ∵在菱形中，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴ 故答案为：； （2）解：同意，理由如下： 连接， 同理（）可得， ∴； （3）解：过点作于点， 同理（）可知，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由（）知，， ∴， ∴或． 4．（2024年广东省江门市新会区尚雅学校中考四模）综合运用 在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点E在线段上，求证：D是的中点； (2)如图2，在（1）的条件下，连接并延长至点G，使得，连接，，请判断的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，请判断的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【来源】2024年广东省江门市新会区尚雅学校中考四模数学试题 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴D是的中点； （2）解：，证明如下： ∵， ∴E是的中点， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴； （3）解：延长至H，使，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（2023年广东省惠州市惠东县中考三模）综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师出示了两张全等的三角形纸片，其中 ，，．如图，三角形纸片与三角形纸片重合，然后将纸片绕点顺时针旋转（旋转角不超过），与交于点，与交于点． 操作与计算 （）如图，当时，求的长． 深度思考 （）“雄鹰”小组受到了启发，提出了问题：如图，当 时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （）“智慧”小组进一步研究．如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，连接．当 时，直接写出四边形的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（）． 【详解】（）解：如图， 当，有，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （）解：，理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴四边形的面积． 压轴题型二：定值问题 √满分技法 考查了四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、坐标与图形、平行四边形的性质、正方形的性质．解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形，记住一些基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想到解题方法．找到定值量与已知定量的数量关系可以迅速找到解题思路。 6．（2024年广东省惠州市惠城区中考二模）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结交于点，平分交于点G． (1)求证：. (2)若． ①求菱形的面积. ②求的值. (3)若，当的大小发生变化时（），在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①24，② (3)＝，理由见解析 【分析】（1）由菱形的性质可证得∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，由平分交于点G，得到∠CBG＝∠EBG＝∠CBE，进一步即可得到答案； （2）①连接AC交BD于点O,Rt△DOC中，OC＝，求得AC＝8，由菱形的面积公式可得答案；②由BGAC，得到，DH＝HG，DG＝2DH，又由DG＝2GE，得到EG＝DH＝HG，则，再证明△CDH∽△AEH，CH＝AC＝，OH＝OC－CH＝4－＝，利用正切的定义得到答案； （3）过点G作GTBC，交AE于点T，△BGE∽△AHE，得AB＝BE＝5，则EG＝GH，再证△DOH∽△DBG，得DH＝GH＝EG，由△EGT∽△EDA得，GT＝，为定值，即可得到ET的值． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC，ABCD， ∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD， ∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC， ∵平分交于点G， ∴∠CBG＝∠EBG＝∠CBE， ∴∠CBD＋∠CBG＝（∠ABC＋∠CBE）＝×180°＝90°， ∴∠DBG＝90°； （2）解：①如图1，连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形，BD＝6， ∴OD＝BD＝3，AC⊥BD， ∴∠DOC＝90°， 在Rt△DOC中，OC＝， ∴AC＝2OC＝8， ∴， 即菱形的面积是24． ②如图2，连接AC，分别交BD、DE于点O、H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵∠DBG＝90° ∴BG⊥BD， ∴BGAC， ∴， ∴DH＝HG，DG＝2DH， ∵DG＝2GE， ∴EG＝DH＝HG， ∴， ∵ABCD， ∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH， ∴△CDH∽△AEH， ∴， ∴CH＝AC＝， ∴OH＝OC－CH＝4－＝， ∴tan∠BDE＝； （3）如图3，过点G作GTBC交AE于点T，此时ET＝． 理由如下：由题（1）可知，当∠DAB的大小发生变化时，始终有BGAC， ∴△BGE∽△AHE， ∴， ∵AB＝BE＝5， ∴EG＝GH， 同理可得，△DOH∽△DBG， ∴， ∵BO＝DO， ∴DH＝GH＝EG， ∵GTBC， ∴GTAD， ∴△EGT∽△EDA， ∴， ∵AD＝AB＝5， ∴GT＝，为定值， 此时ET＝AE＝（AB＋BE）＝． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 7．（2021年广东省广州市黄埔区华南师大附中中考数学二模）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，sin∠BAC．设AP的长为x． (1)如图1，过点作PM⊥AB于M交CD于N，求证：△BMP∽△PNE． (2)①试探究：是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． ②连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值． (3)当△PCE是等腰三角形时，请求出x的值． 【答案】(1)见解析 (2)①的值为定值；② (3)或4 【来源】2021年广东省广州市黄埔区华南师大附中中考数学二模试题 【分析】（1）由相似三角形的判定可得出结论； （2）①为定值．证明，可得出答案； ②利用勾股定理求出，根据三角形的面积公式得出二次函数，再利用二次函数的性质即可解决问题． （3）分两种情形讨论由等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ，， ， ； （2）解：①结论：的值为定值．理由如下： 四边形是矩形， ，， ， ， ． 当点在点左侧时，如图1所示： 由，可得． ，，， ， ． 当点在点右侧时，如图1所示： 同理得出． 综上所述：的值为定值． ②在中，， ． ， ， ， 时，有最小值． （3）解：①当点在线段上时，连接交于． ，所以只能， ， ， ， ， 垂直平分线段， 在中，， ， ， ， ． ②当点在的延长线上时，设交于． ，所以只能． ， ，， ， ，， ， 综上所述，的值为或4． 8．（2023年广东省清远市清新区中考二模）已知，如图①，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，点E是BC边上的动点，把点E绕着点A逆时针旋转60°得到点F，连接AE、AF、EF、DF． (1)当点A、F、C三点在同一条直线上时，求DF的长； (2)如图②，点M在CB的延长线上，且，连接AM，当点E在BC上运动时，的面积的值是否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由． (3)在点E由B向C运动的过程中，求DF的取值范围． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）根据三角函数的定义求得∠CAB=60°，点E与点B重合，据此求解即可； （2）证明△APF≌△EBA，即可求解； （3）以AD为边向右侧作等边△ADQ，证明△ADF≌△AQE，得到DF=QE，当E在B（或C）时，QE最大，当E在BC中点时，QE最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：连接AC， 在Rt△ABC中，AB=，AD=BC=3， ∴tan∠CAB=， ∴∠CAB=60°， ∴点E与点B重合， ∴AF=AB==AC， ∴F为AC中点 ∴DF=AC=； （2）解：不变， 理由如下： 过F作MA的垂线，垂足为P， 在Rt△ABM中，AB=，BM=1， ∴AM=2，tan∠MAB=， ∴∠MAB=30°， ∵∠MAF=∠P+∠PFA=90°+∠PFA， ∠MAF=∠FAE+∠BAE +∠MAB=60°+∠BAE +30°=90°+∠BAE， ∴∠PFA=∠BAE， ∵AE=AF，∠P=∠ABE=90°， ∴△APF≌△EBA， ∴FP=AB=， S△AMF=AM•FP=； （3）解：以AD为边向右侧作等边△ADQ，连接QE， ∵△ADQ、△AEF等边三角形， ∴∠DAQ=∠FAE=60°，AF=AE，AD=AQ， ∴∠DAF=∠QAE， ∴△ADF≌△AQE， ∴DF=QE， 当E在B（或C）时，QE最大， 同（1）得∠ADB=30°，则∠QDB=30°，又AD=AQ， ∴DB是线段AQ的垂直平分线， ∴QE最大=AB=； 过点Q作QG⊥AD于点G，交BC于点H， 当E与点H重合时，此时当E在BC中点，QE最小， QG=ODsin60°=， QE最小=QG-EG=； ∴≤DF≤． 9．（2023年广东省广州市天河区中考数学二模）如图，矩形中，，点E是边上的一点，点F是边延长线上的一点，且．连接，交于点O，过E作，垂足为P． （1）求证：； （2）求证：长为定值； （3）记与的交点为Q，当时，直接写出此时的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【来源】2023年广东省广州市天河区中考数学二模试卷 【详解】（1）证明：在矩形中，， ， ， ， ， ； （2）证明：如图1，过点E作，交于点G， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 所以是一个定值； （3）如图2，， 由（2）知：， ， ， ， ，解得：， ， ， ． 10．(23-24·广东江门福泉奥林匹克学校·二模)如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点． (1)①直接写出点的坐标； ②求证： (2)如图2，若，在上找一点，使四边形是平行四边形，求点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接FM，下列两个结论：①的长为定值：②平分，其中只有一个正确，选择并证明． 【答案】(1)①②见解析 (2) (3)平分正确，证明见解析 【来源】广东省江门市福泉奥林匹克学校2023-2024学年中考二模数学试题 【详解】（1）①四边形是正方形，， ． ②证明：如图，在上取，连接， ，， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）如图，作于E 由可知， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点， 四边形是平行四边形，，， 由平移的性质可得． （3）结论：平分成立． 证明：如图，在延长线上取， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 过作于，则， 由（2）可知， ，， ，即平分． 压轴题型三：最值问题 √满分技法 主要考查了正方形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理与翻折问题、全等三角形的性质与判定、二次函数的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何知识储备和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生．最值问题需要利用函数和几何性质来解答。 11．(24-25九下·广东深圳31校·第一次模拟)综合与探究 在正方形中，，点是边上的动点，连接． (1)【探索发现】如图1，过点作，求证：； (2)【类比探究】如图2，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积； (3)【拓展延伸】如图3，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)当时，，；当时，， (3) 【来源】广东省深圳市31校2024-2025学年九年级下学期第一次模拟考试数学试卷 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 又， ． （2）解：四边形是正方形， ，，， ， ， 在中，， ， 为等腰三角形， 或； ①当时，如图，作于点H， ，， ，， ， ， ， ， ，即， 又， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 三点共线， 点和点重合， ； ②当时，如图，作于点H， ，， ，， ， 由①中的结论得，， 又， ， ，， 设，则， ， 在 中，， ， 解得：， ， ， ，， ， ，即， 解得：， ； 综上所述，当时，，；当时，，． （3）解：如图，连接交于点K，交于点L， 由翻折的性质得，，， 是的垂直平分线， ，， ， 同理（2）的方法可得，，， ，，，， 设，则，， 由（2）得，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 又， 当时，有最大值20，此时有最小值， 线段的最小值为． 12．（2024年广东省广州市黄埔区中考二模）如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得DF，连接，． (1)求证：； (2)若，，三点共线，连接，求线段的长． (3)当线段取最小值时，求． 【答案】(1)见解析 (2)线段的长为 (3) 【来源】2024年广东省广州市黄埔区中考二模数学试题 【详解】（1）证明：如图1，由旋转得：， 四边形是正方形， ， ， 即， ， 在和中， ， ； （2）解：如图2，过F作的垂线，交的延长线于P， 是的中点，且， ，，三点共线， ， 由勾股定理得： ， ， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， 或（舍去）， ， 由勾股定理得：， 线段的长为； （3）解：如图3，由于，所以E点可以看是以O为圆心，为半径的半圆上运动，延长到P点，使得，连接， ， ， ，, ∴当三点共线时，最小，则最小，则最小， 在中， ， ， ． 13．（2023年广东省中山市中考二模）在平行四边形中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，连接交于点H，连接，若点H为线段的中点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点P，连接，直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)证明，见解析 (3)最小值为 【详解】（1）延长，过点作于点，过点作于点，过点作于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，，，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转为线段， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． （2）连接、、， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 由（1）得，，， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∴点在的延长线上， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）连接，，，， 由（2）得，，点为的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵（当且仅当点在线段上时等号成立）， ∴， ∴的最小值为． 14．（2024年广东省珠海市第九中学中考模拟）如图，在中，，，点分别在边上，，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)[问题发现]当时，_____；当时，____； (2)[拓展研究]试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明； (3)[问题解决]在旋转过程中，的最大值为_______． 【答案】(1)；； (2)没有变化，证明见解析； (3)． 【来源】2024年广东省珠海市第九中学中考模拟数学试题 【分析】（）利用等腰三角形的性质判断出， ，进而得出，得出，即可得出结论； 同的方法，即可得出结论； （） 利用两边成比例，夹角相等，判断出，即可得出结论； （）判断出点在的延长线上时，最大，再求出 ，即可得出结论； 此题是考查了旋转的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出两三角形相似熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当时，的大小没有变化； 证明：在中， ∵，， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当点在的延长线上时，最大，其最大值为， 在中，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．(2024年广东省广州市天河区华南师范大学附属中学中考模拟)在和中，，，（k是常数），点E在内部运动（不包含边界），直线与交于点F． (1)如图（1），若，并且点D、F重合时，求证：； (2)如图（2），一般情形下，探究之间的数量关系，并给出证明； (3)如图（3），与交于点G，若，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)的最大值为 【来源】2024年广东省广州市天河区华南师范大学附属中学中考模拟数学试题 【详解】（1）证明：如图： ， ，， ， ， ， ， 即； （2），理由如下： ， ， ， ， ， ， 过点C作交于点M，则， ， ， ， ， ， ， ； （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点F在以AB为直径的圆上，又因为点E在内部运动，所以F点在以AB为直径，弧上运动．过点F作，H为垂足，记中点为O， ∵，， ∴， 由于，所以，设，则，， 当时，最大，且最大值为， 的最大值为． 压轴题型四：动点问题 √满分技法 主要考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，添加恰当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．动点问题还可以结合函数思考。 16．(2023年广东省广州市天河区九年级一模)综合与探究 问题情境： 在正方形中，是边上的一个动点，连接将沿直线翻折，得到，点的对应点落在正方形内． 猜想证明： （1）如图，连接并延长，交边于点求证：． （2）如图，当是边的中点时，连接并延长，交边于点，将沿直线翻折，点恰好落在直线上的点处，交于点，交于点试判断四边形的形状，并说明理由． 问题解决： （3）在（2）的条件下，若，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）四边形是矩形；理由见解析；（3） 【详解】（1）证明：如图，设和相交于点， 四边形是正方形， ，， ， 由折叠可知，垂直平分， ， ， ， 在和中， ， ∴， ； （2）解：四边形是矩形；理由如下： 四边形是正方形， ，， ， 是边的中点， ， 由折叠的性质可知：，， ， ， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形； （3）解：连接交于点，如图， 四边形是正方形， ， 是边的中点， ， 由（2）得，，， ，， ， ， 由折叠可知：， ， ， 在和中， ， ， 同理可证，， ， ，， ， ， ， ， 由折叠可知：，， ，， ， ， 解得， ， ， 四边形的面积为． 17．(2025年广东省连州市初中学业水平考试数学模拟)【知识技能】 （1）如图1，在三角形纸片中，，点D在上，将沿直线翻折后，点B落在点E处，如果，那么线段的长为多少？ 【数学理解】 （2）如图2矩形中，，点E为上一点：且，将沿翻折，得到，连接并延长，与相交于点F，则的值为： 【拓展探索】 （3）如图3，在矩形纸片中，，点E为射线上的一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）2.5或10 【来源】2025年广东省连州市初中学业水平考试数学模拟卷 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵由沿直线翻折后，可知 ∴，        ∵，     ∴，              ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，                       ∴；           （2）解：∵四边形是矩形 ∴， 由沿翻折，得到，可知： ， 如图过点作于M， ∵， ∴， 在中， ∴，， ∴，               ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴            在中，，，， ∴； （3）解：∵四边形是矩形， ∴， 设线段的垂直平分线交于点M，交于点N， 则， ∴四边形为矩形， 则，，   分两种情况： ①如图，当点F在矩形内部时，由折叠的性质得， 在中，由勾股定理得， ∴，                 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得 即的长为；     ②如图，当点F在矩形外部时， 由折叠的性质得， 同①得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 即的长10，     综上所述，当点F刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或10． 18．(2024年广东省清远市中考二模)如图① ，在正方形 中，点 E 是边 上的一动点(不与 B 、C 重 合) ，连接 ，将 沿 翻折，使点 B 落在点 F 处，延长 交 于点 G ，连接 ，过点 E 作 交 的延长线于点 H，连接． (1)观察猜想：吗？如相等，请说明理由； (2)尝试探究：如图② ， 若 ，求 的长； (3)解决问题：如题图③ ， 连接，分别与 、 交于点 M、N．若 ，，求 的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【来源】2024年广东省清远市中考模拟数学试题（二） 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿翻折，使点落在点处， ∴，，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）过作，与延长线交于，如图， 由（1）知，，，， 则， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）延长至，使，连接， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（2024年广东省深圳市宝安区中考模拟）【几何探究】 【教材呈现】如图1，，，点是边上一点，且，若，则 ； 【探究发现】如图2，在正方形中，点是上动点，点是上一点，且，将绕点逆时针旋转，点落在射线上的点处，点对应点为点，连接． （1）当点为中点时，求证：为等腰直角三角形； （2）如果点为上任意一点，试探究：与之间的数量关系，写出你的结论并加以证明； 【迁移运用】如图3，在菱形中，，点是上动点，点是上一点，且，将绕点逆时针旋转，点落在射线上的点处，点对应点为点，连接，直接写出与之间的数量关系（用含有的式子表示）． 【答案】教材呈现：；（1）见解析；（2）与之间的数量关系：；迁移运用：与之间的数量关系： 【来源】2024年广东省深圳市宝安区中考模拟数学备考冲刺试题4 【详解】教材呈现： ∵，，， ∴， 设，则， ∴在中，可有， 即， 解得， ∴． 故答案为：5； 探究发现： （1）如图，作于点，交于点，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 又∵旋转得到， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点为中点，即， ∴， ∴， ∵，， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）与之间的数量关系：． 证明如下：如下图，作于点，交于点， 由（1）可知，，则，， ， ∴， ∴， ∴； 迁移运用： 如下图，过点作，垂足为， ∵四边形为菱形，， ∴，， 设，则， ∵， ∴, ∵旋转得到， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴在中，可有， 即，， ∵，， ∴， ∴． 20．（2024年广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学中考三模）综合探究 【问题思考】 （1）如图1，已知正方形，M，N分别是边上一点，连接，且，若延长到P，使得，连接．运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段之间的数量关系是______； 【探究应用】 （2）如图2，正方形的边长为5，点E是射线上一动点（不与点B重合），连接，以为边长在的上方作正方形，交射线于点H，连接． ①当点E在上时，若是等腰三角形，求此时的长． ②当点E在的延长线上时，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）（2）①的长为或② 【来源】2024年广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学中考三模数学试题 【详解】解：（1），之间的数量关系是：．理由： 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 即． ， ． 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：； （2）①过点作，交的延长线于点，如图，   四边形和四边形为正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 设，则，，． ． Ⅰ．当时，， ． ， ． 此时，不合题意，舍去； Ⅱ．当时，， ， 此时，点与点重合， 点与点重合， ； Ⅲ．当时，． 则， ． ， ． 解得： 综上，若是等腰三角形，的长为或； ②过点作，交的延长线于点，延长，交于点，如图，   四边形和四边形为正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形为矩形， ，， 同理：四边形为矩形， ． ， ． 设，则， ． ， ． ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$