压轴题07 二次函数综合压轴题（4大题型）-2025年中考数学压轴题专项训练（广东专用）

压轴题07二次函数综合压轴题（4大题型） 一、二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 二、二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 压轴题型一：面积和周长最值 √满分技法 考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，构造二次函数求解最值。 1．（2024年广东省惠州市惠城区中考模拟）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点是第一象限内的抛物线上的一个动点． ①当为抛物线的顶点时，求证：直角三角形； ②求出的最大面积及此时点的坐标； ③过点作轴，垂足为，与交于点．当的值最大时，求点的坐标． 2．（2024年广东省清远市连山县中考二模）综合探究 如图，在中，，经过点C的直线交x轴正半轴于点，一抛物线经过点A、B、C，顶点为D，对称轴交x轴于点E． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)若点G是在第一象限内抛物线上的一动点，求使面积达到最大时点G的坐标，并求出此时面积的最大值； (3)若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024年广东省东莞市中考一模）如题，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式． (2)点为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点的坐标． (3)点是的中点，射线交抛物线于点，是抛物线上一动点，过点作轴的平行线，交射线与点，是否存在点使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2023年广东省肇庆市高要区中考三模）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)作射线，将射线绕点A顺时针旋转交抛物线于另一点D，在射线上是否存在一点H，使的周长最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点Q为抛物线的动点，过Q点作x轴的垂线交射线与P点，点Q从A点出发，P点随之运动，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出Q点的坐标． 5．（2023年广东省湛江市霞山区银帆学校中考一模）抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．    (1) (2)求抛物线的解析式 (3)在抛物线对称轴上找一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和的周长 (4)若点P是x轴上的一个动点，过点P作交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由． 压轴题型二：二次函数角相关 √满分技法 主要考查了图形与坐标、二次函数的综合运用、相似三角形的判定与性质、特殊四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、分类讨论是解题的关键．相似三角形和三角函数式解决角相关问题的关键。 6．（2024年广东省东莞市长安实验中学中考三模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求E，F两点间距离的最大值； (3)如图2，连接，在抛物线上存在点Q，使，请直接写出符合题意的点Q坐标． 7．（2024年广东省惠州市多校联考中考二模）如图，已知抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方的抛物线上一点，过点作轴交于点，垂足为，，垂足为，求出周长的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 8．（2024年广东省广州市黄埔区中考一模）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标； (2)点F是线段上一动点，求周长的最小值； (3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 9．（2023年广东省江门市新会区尚雅学校中考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，过点P作交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线上一点G，使得，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标． 10．（2023年广东省中山市中考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接，，． (1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)设直线与直线交于点，若存在与中一个是另一个的2倍，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴题型三：存在性特殊三角形 √满分技法 二次函数与几何的综合；考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正切函数，解一元二次方程等知识，综合性强，注意分类讨论与数形结合思想的应用． 11．（2024年广东省汕头市潮阳区铜盂镇中考模拟）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为． ①连接交于点，求的最大值； ②点在轴上，是否存在点，使得是等腰直角三角形，若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2024年广东省珠海市第九中学中考二模）如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作轴于N，是否存在点M，使为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2024年广东省梅州市中考一模）如图所示，已知二次函数的图像经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)直线交二次函数的图像于点，交直线于点，是否存在实数，使为等腰三角形，若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由． 14．（2023年广东省佛山市华英学校中考二模）如图，抛物线过点和．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知该抛物线与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C． ①若点P是该抛物线位于第一象限部分上的一动点，过点P作x轴的垂线交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； ②若点M是抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请在备用图上画出符合条件的图形，并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2023年广东省汕头市澄海实验学校中考二模）如图，点A、B在x轴正半轴上，点C、D在y轴正半轴上，且，过A、B、C三点的抛物线上有一点E，使得． (1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式． (2)求点E的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 压轴题型四：存在性特殊四边形 √满分技法 主要考查了图形与坐标、二次函数的综合运用、相似三角形的判定与性质、特殊四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、分类讨论是解题的关键． 16．（2024年广东省惠州市惠城区中考模拟）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2024年广东省梅州市五华县中考模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点P是线段BC（不与端点重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM． ①如图3，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求证：四边形PCNM为菱形； ②当△PCM和△ABC相似时，求点P的坐标． 18．（2024年广东省惠州市惠东县中考一模）综合探究：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点在第一象限抛物线上一点，连接、，若，求点的坐标； (3)若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2023年广东省广州市执信中学南沙学校中考二模）如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若在线段上存在一点，使得，过点作交的延长线于点，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，点是在对称轴上一动点，是否存在点，，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标，请说明理由． 20．（2023年广东省清远市清新区中考三模）如图，抛物线L：经过点和，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，若使以P、E、F为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 　 ； (3)点Q是y轴上的一点，在抛物线L上，是否存在点P，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题07二次函数综合压轴题（4大题型） 一、二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 二、二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 压轴题型一：面积和周长最值 √满分技法 考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，构造二次函数求解最值。 1．（2024年广东省惠州市惠城区中考模拟）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点是第一象限内的抛物线上的一个动点． ①当为抛物线的顶点时，求证：直角三角形； ②求出的最大面积及此时点的坐标； ③过点作轴，垂足为，与交于点．当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)①是直角三角形；②；③ 【来源】2024年广东省惠州市惠城区中考模拟数学试题 【分析】（1）把A、B两点坐标代入求解即可； （2）①作轴于点H，易证和是等腰直角三角形，即可求出； ②先求出直线的解析式，过点P作轴于点D，交于点E，设点，则，故，，然后根据二次函数的性质求解即可； ③过点P作轴于点N，交于点E，设点，则，故，判断是等腰直角三角形得出，即可求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入解析式得： ，解得：， ∵抛物线的解析式为； （2）解：①配方得， ∴点P的坐标为， 令，则， ∴ 作轴于点H，则， ∴ 又∵在中，， ∴， ∴ ∴是直角三角形； ②设直线的解析式为，将点B、C代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设点（），过点P作轴于点D，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∴， 当时，的最大面积为， ， ∴ ③设点，过点P作轴于点N，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 2．（2024年广东省清远市连山县中考二模）综合探究 如图，在中，，经过点C的直线交x轴正半轴于点，一抛物线经过点A、B、C，顶点为D，对称轴交x轴于点E． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)若点G是在第一象限内抛物线上的一动点，求使面积达到最大时点G的坐标，并求出此时面积的最大值； (3)若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)最大值为4，点G坐标为 (3)存在，点P的坐标为或 【来源】2024年广东省清远市连山县中考模拟数学试题（二） 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， ∵，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， 又∵点B的坐标为， ∴将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得： ，解得， ∴抛物线的表达式为． 将点B、C的坐标代入直线得： ，解得， ∴直线BC的表达式为． （2）解：如图，过点G作轴，交直线于点F， 设点G坐标为，点F坐标为， 则， 故， ∴当时，面积取得最大值，最大值为4，此时点G坐标为． （3）解：存在． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点E的坐标为． 设点P的坐标为、点Q的坐标为， 则，，，， ①当点Q在点P的左侧时，如图，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为N、M， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，解得（舍去负值）， 当时，， ∴点P的坐标为． ②当点Q在点P的右侧时，如图，分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N、M， 则，，，， 同理可得：∽，∴， ∴，解得（舍去负值）， ∴当时，， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或 3．（2024年广东省东莞市中考一模）如题，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式． (2)点为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点的坐标． (3)点是的中点，射线交抛物线于点，是抛物线上一动点，过点作轴的平行线，交射线与点，是否存在点使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【来源】2024年广东省东莞市中考一模数学试题 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小，得出直线的解析式为，当时，，得出即可求解； （3）分两种情况：，，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把点，分别代入， 得解得 ∴抛物线的解析式为． （2）∵， ∴对称轴为直线 点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小， 当时，， ∴点． 设直线的解析式为，代入得 ∴ ∴直线的解析式为 当时，， ∴点． （3）存在． ∵，是的中点， ． 又， ∴直线的解析式为，． 联立得． 解得，（舍）． 当时，． ∴． 设，则． ∴． 分以下两种情况： ①如图2，若，则，． ∴轴． ∴． ∴． 解得或（舍）． ∴． ②如图3，若，则，． 过点作于点，则， 即． 解得或（舍）． ∴． 综上，点的坐标为或． 4．（2023年广东省肇庆市高要区中考三模）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)作射线，将射线绕点A顺时针旋转交抛物线于另一点D，在射线上是否存在一点H，使的周长最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点Q为抛物线的动点，过Q点作x轴的垂线交射线与P点，点Q从A点出发，P点随之运动，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出Q点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)点的坐标为或或 【来源】2023年广东省肇庆市高要区中考三模数学试题 【分析】（1）由抛物线与x轴两交点坐标，可得抛物线交点式为，去括号即得到抛物线的表达式； （2）由于点H在射线上运动，点C、B在射线的同侧，求的周长最小即求最小，作点C关于直线的对称点即有，只要点、H、B在同一直线上时，最小．求点C坐标，即求直线解析式，由射线是由射线旋转得到可求得直线解析式．由点A为中点求得点坐标，即求得直线解析式，把直线与直线解析式联立成方程组，求得的解即为点H坐标． （3）设，由直线：可得，则，，分两种情况：①当时，②当时，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和， ∴交点式为， ∴抛物线的表示式为； （2）解：在射线上存在一点H，使的周长最小， 如图，延长到，使，连接，与交点即为满足条件的点H， ∵时，， ∴， ∴， ∴，直线解析式为， ∵射线绕点A顺时针旋转得射线， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵， ∴，垂直平分， ∴， ∴当、H、B在同一直线上时， 最小， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线：， ∵，解得：， ∴点H坐标为； （3）解：设，则， ∴，， ①当时，， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）， ∴Q点的坐标为或； ②当时，如图， ∵轴， ∴， ∴， ∴（舍去）, ∴Q点的坐标为． 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，Q点的坐标为或或． 5．（2023年广东省湛江市霞山区银帆学校中考一模）抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．    (1) (2)求抛物线的解析式 (3)在抛物线对称轴上找一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和的周长 (4)若点P是x轴上的一个动点，过点P作交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)当的周长最小时，点M的坐标为，△MBC的周长为 (3)在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为或或 【来源】2023年广东省湛江市霞山区银帆学校中考一模数学试题 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线，连接，交抛物线对称轴于点M，此时的周长取最小值，由点A，B，C的坐标可得出，的长度及直线的解析式，再结合二次函数图象对称轴的横坐标和直线的解析式可得出点M的坐标和的周长； （3）由点B，C，P的纵坐标可得出点Q的纵坐标为2或，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点Q的坐标． 【详解】（1）解：解：将代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，， ∴点C的坐标为． ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． 连接，交抛物线对称轴于点M，如图1所示．    ∵点A，B关于直线对称， ， ， ∴此时的周长取最小值． ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， ，，直线的解析式为（可用待定系数法求出来）． 当时，， ∴当的周长最小时，点M的坐标为，的周长为． （3）解：∵以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点B，P的纵坐标为0，点C的纵坐标为2， ∴点Q的纵坐标为2或，如图2所示．    当时，， 解得：（舍去）， ∴点Q的坐标为； 当时，， 解得：， ∴点Q的坐标为或． ∴在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为或或． 压轴题型二：二次函数角相关 √满分技法 主要考查了图形与坐标、二次函数的综合运用、相似三角形的判定与性质、特殊四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、分类讨论是解题的关键．相似三角形和三角函数式解决角相关问题的关键。 6．（2024年广东省东莞市长安实验中学中考三模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求E，F两点间距离的最大值； (3)如图2，连接，在抛物线上存在点Q，使，请直接写出符合题意的点Q坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【来源】2024年广东省东莞市长安实验中学中考三模数学试题 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由已知易得是等腰直角三角形，则；求出直线的表达式为，设点，则点，进而可表示出，求出的最大值即可得E，F两点间距离的最大值； （3）分两种情况：点Q在下方时，设交y轴于点H，由题意得，从而其正切值相等，即，从而求得点H的坐标，用待定系数法求出直线的表达式，与抛物线表达式联立即可求得点Q的坐标；点Q在上方时，过点A作轴，使，连接，在线段上截取，连接，易得四边形是矩形，则，；接着用证明，则有，进而得，最后求得点N的坐标；则可求得直线的表达式，联立抛物线表达式即可求得点Q的坐标；综合即可得结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由抛物线的表达式知，点， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，则， ∵轴，轴， ，， 是等腰直角三角形， ， 由点A、C的坐标得：直线的表达式为：， 设点，则点， ， ， 故有最大值，当时，的最大值为：， 则的最大值为：； （3）解：当点Q在下方时，如图，设交y轴于点H， ， ， ， ∴，即， ， 故； 设直线的表达式为，把点A坐标代入得：， 得， 故直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点； 当点Q在上方时，如图，过点A作轴，使，连接，在线段上截取，连接， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， 则，； ， ， ， ， ， ， ； ， ； 设直线解析式为，则有， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点； 综上，点Q的坐标为或． 7．（2024年广东省惠州市多校联考中考二模）如图，已知抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方的抛物线上一点，过点作轴交于点，垂足为，，垂足为，求出周长的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在点或． 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，周长 ∴， 即周长， ∴当取最大值时，的周长取得最大值， 设直线的解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作直线的平行线，设直线的解析式为，可知当直线与抛物线只有一个交点时，最大， 由得，， ∵两函数图象只有一个交点， ∴， ∴， 解得， ∴ ∵轴， ∴ ∴，此时取最大值， ∴周长的最大值； （3）解：有两种情况：过点直线于点，交于点，连接并延长，交抛物线于点， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由得，， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由得，， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由得，或， ∴； 过点作，点在抛物线上，则， ∵直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入得，， ∴直线的解析式为， 由得，或， ∴； 综上，存在点或，使得． 8．（2024年广东省广州市黄埔区中考一模）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标； (2)点F是线段上一动点，求周长的最小值； (3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最小值为 (3)P的坐标为或 【详解】（1）∵顶点D的坐标为， 设二次函数表达式为 将点代入得 ∴抛物线M的表达式为： 当时，或1， ∵点A在点B左侧， ∴点A的坐标为； （2）当时，， ∴点C的坐标为 ∴设直线的表达式为： 故解得 ∴， ， ， ， 作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点 ， ∴所在直线垂直于y轴， 关于的对称点， ∴点的坐标为， ∴点G的横坐标为 将代入得， ∴点G的坐标为， ∵，， ∴， ∴ 即周长的最小值为； （3）∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为 将点代入得：， ∴抛物线N的表达式为 ∴顶点P的坐标为， 将代入，， ∴， 作于H，则， ∵ ∴点H为点P和点Q的中点， ∴ ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴， ∴ 或 ∴解第一个方程可得（舍）， 解第二个方程可得（舍）， 将代入P点坐标， P的坐标为或． 9．（2023年广东省江门市新会区尚雅学校中考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，过点P作交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线上一点G，使得，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，P的坐标为 (3)G的横坐标为或 【分析】（1）把A、B坐标代入解析式求解即可； （2）解：设，过A作于G，先求出点C的坐标，然后求出，证明，，可得，求出，则，待定系数法求出直线解析式为，进而求出直线解析式可设为，可求出，，然后利二次函数的性质求解即可； （3）先求平移后的函数解析式，当G在x轴上方时，设直线与y轴交于H点，取，连接，过T作于K，可证明，利用同角的三角函数值相等，可求，利用待定系数法求出直线解析式为，然后求直线与平移后抛物线的交点G坐标即可；当点G在x轴下方时， 作H关于直线的对称点Q，连接，过点M作x轴的平行线，过点A作x轴的垂线，两线相交于M，过Q作于N，可证，求出，利用待定系数法求出直线解析式为，然后求直线与平移后抛物线的交点G坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， 过A作于G， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴直线解析式可设为， 把代入，得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为， 此时，P的坐标为； （3）解：， ∵原抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴抛物线沿x轴负半轴平移2个单位，沿y轴正半轴平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 当G在x轴上方时， 设直线与y轴交于H点，取，连接，过T作于K， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可求直线解析式为， 联立方程组， 整理得， 解得，（舍去）， ∴G的横坐标为； 当点G在x轴下方时， 作H关于直线的对称点Q，连接， ∴，， 过点M作x轴的平行线，过点A作x轴的垂线，两线相交于M，过Q作于N， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同理可求直线解析式为， 联立方程组， 整理得， 解得，（舍去）， ∴G的横坐标为； 综上，G的横坐标为或． 10．（2023年广东省中山市中考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接，，． (1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)设直线与直线交于点，若存在与中一个是另一个的2倍，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)．顶点坐标为：； (2)面积的最大值为，此时点的坐标为，； (3)点的坐标为，或，或，． 【详解】（1）抛物线过点、， ，解得：， 抛物线的表达式为：． ， 即顶点坐标为：； （2）如图1，过点作轴，交于点， ，， 直线的解析式为， 设点的坐标为，则的坐标为， ， ， 当时，面积的最大值为，此时点的坐标为，； （3）设， 当，如图2， ， ， ，即点在线段的垂直平分线上， 抛物线的表达式为：．令，则． 解得或1， ，， ，解得， 点的坐标为，； 当时，如图3， ， ， ， ， 或（舍去）， 点的坐标为，； 当时，，， 设， ，解得或0（舍去）， ， ， 或（舍去）， 点的坐标为，； 综上，点的坐标为，或，或，． 压轴题型三：存在性特殊三角形 √满分技法 二次函数与几何的综合；考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正切函数，解一元二次方程等知识，综合性强，注意分类讨论与数形结合思想的应用． 11．（2024年广东省汕头市潮阳区铜盂镇中考模拟）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为． ①连接交于点，求的最大值； ②点在轴上，是否存在点，使得是等腰直角三角形，若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①1；②存在，或或． 【来源】2024年广东省汕头市潮阳区铜盂镇中考模拟数学试题 【详解】（1）∵抛物线与轴交于、两点， ∴设所求抛物线的解析式为． 把点代入，得， 解得． ∴所求抛物线的解析式为． 即． （2）①设经过、两点的直线的解析式为， 解得： ∴． 如图，过点作轴交于点 则， ∴． 设点的坐标为则点的坐标为． ∴． ∴． ∵，且 当时的最大值为． ②分三种情况讨论： （Ⅰ）如图，当，时，过点作轴于点 在中， ∴． ． 点的横坐标为． （Ⅱ）如图，当，时， 过点作轴于点轴于点同理可得 ∴． ∴． 解得，(舍去)． ∴点的横坐标为． （Ⅲ）如图，当，时，过点作轴于点 同理可得． ． ． ． 解得舍去． 点的横坐标为． 综上所述是等腰直角三角形时点的横坐标为：或或． 12．（2024年广东省珠海市第九中学中考二模）如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作轴于N，是否存在点M，使为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值为．此时 (3)为直角三角形时，点M的坐标为：或 【详解】（1）由题意得，解得：． 则抛物线的解析式为：； （2）过点P作轴于点H，交于点G 当时，，解得或3， ∴ 设直线的解析式为：， 则 解得： ∴ 设点（），则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． ∴当时，取得最大值为．此时． （3）在上存在点M，使为直角三角形． 抛物线顶点，设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴． 设， ①∵，∴，不可能为直角； ②当时，则  ∴轴， 则，∴，∴． ③当时，过点M作轴于点F． ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． ∵，∴不合题意，应舍去，∴ ∴ 综上所述，为直角三角形时，点M的坐标为：或． 13．（2024年广东省梅州市中考一模）如图所示，已知二次函数的图像经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)直线交二次函数的图像于点，交直线于点，是否存在实数，使为等腰三角形，若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或或4时，为等腰三角形 【来源】2024年广东省梅州市中考一模数学试题 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得：， 所以． （2）解：设直线，因为， ∴，解得：， 所以直线， ∴， ∴， 根据题意设有，，，过点作，垂足为点， ∴轴， ∴， ∴； ∴ ∴；； ∴；； 若为等腰三角形，分以下三种情况： ①当时，有，解得：或5或0，而又，因此． ②当时，有，即，解得：或0，而又，因此． ③当时，有，解得：或0，而又，因此． 综上所述，当或或4时，为等腰三角形． 14．（2023年广东省佛山市华英学校中考二模）如图，抛物线过点和．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知该抛物线与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C． ①若点P是该抛物线位于第一象限部分上的一动点，过点P作x轴的垂线交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； ②若点M是抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请在备用图上画出符合条件的图形，并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①最大值为，点P坐标为； ②点M的坐标为或或或 【详解】（1）解：∵抛物线过点和， ，解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：当时，，点C的坐标为； 当时，，解得或， ∵点A位于点B的左侧，点A的坐标为，点B的坐标为． ①设点P的横坐标为，则点P的纵坐标为， 设直线的函数表达式为， 根据题意得，解得， 直线的函数表达式为，点Q的纵坐标为，， ，此抛物线的开口向下， ，当时，有最大值，此时点P的坐标为； ②存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形． 抛物线的对称轴为直线，设点M的坐标为． 分两种情况：i）以为直角边，如图，则或， 或，解得或， 点的坐标为，点的坐标为； ii）以为斜边，如图，则，，整理得，解得，点的坐标为，点的坐标为， 综上，点M的坐标为或或或．    15．（2023年广东省汕头市澄海实验学校中考二模）如图，点A、B在x轴正半轴上，点C、D在y轴正半轴上，且，过A、B、C三点的抛物线上有一点E，使得． (1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式． (2)求点E的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或或或 【来源】2023年广东省汕头市澄海实验学校中考二模数学试题 【分析】本题主要考查运用待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何综合等知识以及等腰三角形的性质： （1）设抛物线的解析式为，把点，，代入函数解析式，求出的值即可； （2）过点作轴于点，设，证明，得，代入相关数据得，求出的值，再进行判断即可； （3）由得对称轴为直线，设，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，， ∵A、B、C三点在抛物线上， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：过点作轴于点，如图， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 又 ∴， ∴， 设， ∴， ∵ ∴， 解得，或， 经检验，是原方程的解，是增根， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：由知，抛物线的对称轴为直线， 设点， ∵，， ∴，，， ∵是等腰三角形， ∴分三种情况讨论：①当时，即， ∴， 解得，， ∴点的坐标为； ②当时，即， ∴， 解得，或 ∴点的坐标为或； ③当时，即， ∴， 解得，或， ∴点的坐标为或（舍去）； 综上，点的坐标为或或或． 压轴题型四：存在性特殊四边形 √满分技法 主要考查了图形与坐标、二次函数的综合运用、相似三角形的判定与性质、特殊四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、分类讨论是解题的关键． 16．（2024年广东省惠州市惠城区中考模拟）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【来源】2024年广东省惠州市惠城区中考模拟数学试题 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的图像与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是分类讨论思想的运用． （1）分别将，代入抛物线解析式与直线的解析式，即可得解； （2）过点作轴，交直线于点，设点，则点，得到，，结合，当t＝2时，取最大值，求得； （3）分两种情况：当是平行四边形的一条边时，当是平行四边形的对角线时，分别解答即可得解． 【详解】（1）解：将，代入直线得： ， 解得：， 故直线的解析式为：； 将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）如图，过点作轴，交直线于点， 由题意设点，则点， ， ， ， 当时，取最大值， 此时； （3）在抛物线：中，令，则；在直线：中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． 17．（2024年广东省梅州市五华县中考模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点P是线段BC（不与端点重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM． ①如图3，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求证：四边形PCNM为菱形； ②当△PCM和△ABC相似时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或 (3)①见解析；②点P的坐标为或 【来源】2024年广东省梅州市五华县中考模拟数学试题 【详解】（1）解：把代入得， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或． 在中， 令，得：， 解得：，， ∴，， 令得， ∴， 存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设点D的坐标为， 如图，分情况讨论： ①当为对角线时，，， 解得：，， ∴； ②当为对角线时，，， 解得：，， ∴； ③当为对角线时，，， 解得：，， ∴； 综上所述，平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或； （3）解：①证明：∵沿对折，P的对应为点N， ∴，，， ∵垂直于x轴在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； ②设直线解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线解析式为：， 设，则， ∴， ∵，，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 要使和相似，共有两种可能： 1）当， ∴，即， 解得：，（不合，舍去）； ∴； 2）当， ∴， 即， 解得：，（不合，舍去）， ∴； 综上所述，点P的坐标为或； 18．（2024年广东省惠州市惠东县中考一模）综合探究：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点在第一象限抛物线上一点，连接、，若，求点的坐标； (3)若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【来源】2024年广东省惠州市惠东县中考一模数学试题 【分析】（1）根据抛物线与轴交于、两点，可设抛物线解析式为，知，代入得到完整解析式即可； （2）作，交延长线于点，交轴于点，根据相似三角形的判定证明，设，得出数据代入中求解，得到点的坐标即可； （3）根据抛物线的解析式为，设，结合已知，，分“以为对角线”、“以为对角线”和“以为对角线”三种情况讨论，根据坐标系中平行四边形顶点的相对位置，用含式子表示出点的坐标，求出完整坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴设抛物线解析式为，， ∴抛物线解析式为，即； （2）解：如图，作，交延长线于点，交轴于点， ∵，，抛物线表达式为， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴数据代入中，得：， 解得：（舍去），， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：存在； ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设， ∵抛物线解析式中， ∴， 当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时， ∵，，， ∴，，则， 把代入，得：， ∴； 当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时， ∵，，， ∴，，则， 把代入，得：， ∴； 当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时， ∵，，， ∴，，则， 把代入，得：， ∴． 综上所述，满足条件的点坐标为或或． 19．（2023年广东省广州市执信中学南沙学校中考二模）如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若在线段上存在一点，使得，过点作交的延长线于点，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，点是在对称轴上一动点，是否存在点，，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）将、两个点的坐标代入关系式，求出，的值即可得出答案； （2）先根据点的坐标求出直线的解析式，即可表示点的坐标，过点作轴于点，过点作轴于点，再证明，可得，，然后表示出点，最后将点代入直线解析式，求出答案即可； （3）先将关系式配方得出点的坐标，再分两种情况讨论：当为菱形的边时，作，再求出，即可求出点的坐标；当为菱形的对角线时，作，可知，，再设，表示，在中，根据勾股定理求出的值， 可得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式是； （2）由（1）得，点， 设直线的解析式为：， 直线经过点，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 如图①所示，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ， ． ，， ， 在和中， ， ， ，． ， 点在直线上， ， 解得：， 把代入中得， 当时，点的坐标为； （3）存在． ， 点的坐标为． 分两种情况讨论： 当为菱形的边时，如图所示②：过作于． ， ， ， ， 点的坐标为或； 当为菱形的对角线时，如图所示③：过点作于． 由题意可知，，， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 点的纵坐标为， 此时点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或或． 20．（2023年广东省清远市清新区中考三模）如图，抛物线L：经过点和，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，若使以P、E、F为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 　 ； (3)点Q是y轴上的一点，在抛物线L上，是否存在点P，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，P的坐标为或或 【来源】2023年广东省清远市清新区中考三模数学试题 【分析】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式．根据题意分情况讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式； （2）根据全等三角形性质得出可得出，然后进行求解即可； （3）设，，根据平行四边形的对角线互相平分，再利用中点坐标公式建立方程组即可求解，可分三种情况进行讨论． 【详解】（1） 解：（1）将和代入得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图： 由得对称轴为直线，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E， ∴， ∵以P、E、F为顶点的三角形与全等， ∴， ∴或， ∴或； （3）解：存在， 设，，而， ①以为对角线，则的中点即为的中点，如图： ∴， 解得， ∴， ②以为对角线， ∴， 解得， ∴， ③以为对角线， ∴， 解得， ∴， 综上所述，P的坐标为或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$