压轴题06 二次函数应用题压轴（5大题型）-2025年中考数学压轴题专项训练（广东专用）

压轴题06二次函数应用题压轴（5大题型） 知识点1．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点2．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 压轴题型一：抛物线型建筑 √满分技法 主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、正方形的性质、解一元二次方程以及一元二次方程根的情况，解题的关键是熟练二次函数的性质和点的几何意义． 1．（2024年广东省深圳市桂园中学中考模拟）拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式．现在某地，有一座拱桥，跨度为，拱顶C离地面高，拱桥的形状是一条抛物线； (1)以的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施； (3)某人在拱顶C处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为，竖直距离为，已知足球的运动轨迹为一条抛物线，请问足球会落在桥上吗？ 2．（2024年广东省肇庆市四会市中考一模）在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为，双向行驶车道宽度为（路面两侧各预留给非机动车），隧道顶部最高处距路面，矩形的高为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式； (2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？ 3．（2024年广东省佛山市顺德区中考一模）综合与实践 主题：设计高速公路的隧道 情境素材 素 材 1 高速公路隧道设计及行驶常识：为了行驶安全，高速公路的隧道设计一般是单向行驶车道，要求货车靠右行驶． 素 材 2 据调查，一般的大型货车宽，车货总高度从地面算起不超过．为了保证行驶的安全，货车右侧顶部与隧道的竖直距离不小于． 素 材 3 某高速公路准备修建一个单向双车道（两个车道的宽度一样）的隧道，隧道的截面近似看成由抛物线和矩形构成（如图）．每条车道的宽为（其中），车道两端（、）与隧道两侧的距离均为． 问题解决 问 题 1 确定单向双车道隧道的宽度 估计将要修建的隧道宽度的合理范围． 问 题 2 设计隧道的抛物线部分 已知要修建的隧道矩形部分，．求抛物线的解析式． 4．(23-24九下·广东深圳翠园文锦中学·月考)蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间． 如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：    (1)如图2，抛物线的顶点，求抛物线的解析式； (2)如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长； (3)如图4，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 5．(2023年广东省广州市天河区九年级一模)根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．    素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．    问题解决： 任务1：确定桥拱形状是抛物线： 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2：拟定设计方案：在任务1的基础上， 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 任务3：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长 任务4：拟定通行方案：在任务3的基础上，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高米，船体宽9米需要从拱桥下通过，给出船航行线路，并判断是否能顺利通行． 压轴题型二：运动轨迹为抛物线 √满分技法 考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式是解题的关键． 6．（2023年广东省广州市黄埔区中考二模） 如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点O处）正前方的A处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）； (3)已知点C为上一点，，若该球员带球向正后方移动再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过区域（含点O和点C），求n的取值范围． 7．（2024年广东省惠州市惠城区中考模拟）如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求y与的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 8．（2023年广东省清远市清新区中考二模）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． (1)求篮圈中心到地面的距离为多少米． (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 9．（2024年广东省深圳市福田区中考模拟）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 10．（2024年广东省广州市增城区中考二模）【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型，菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 素材二：乙小组测得种植农民的身高为米，他常常往返于菜地之间． 素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 【项目任务】 (1)任务一：丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆的顶部F处，木杆高米，距离喷水口米，求出水柱所在抛物线的函数解析式． (2)任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，求p的取值范围． (3)任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米？（直接写出答案，精确到米）． 压轴题型三：动点几何与二次函数 √满分技法 考查三角形，四边形知识的综合题，题目结合点的运动考查了解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例、等边三角形、轴对称等知识．解答本题的关键是要学会分类讨论的思想，并找到各类之间的临界点，最后准确作出相应几何图形． 11．（2023年广东省东莞市虎门第三中学中考一模）如图，四边形中，，，，，，点、同时从点出发，沿射线向右匀速移动．已知点移动速度是点移动速度的倍，以为一边在的上方作等边设点移动距离为． (1)点在四边形的边上时，______；点与点重合时，______； (2)求出使成为等腰三角形的的值； (3)求与四边形重叠部分的面积与之间的函数关系式，并直接写出的最大值． 12．（2024年广东省佛山市华英学校中考二模）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．交于点F，连接．设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 13．（2024年广东省梅州市中考一模）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为． (1)当点在边上时，的长为 ；（用含的代数式表示） (2)当点落在边上时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 14．(2022年广东省珠海市香洲区珠海市容闳中学九年级一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=8cm，点D是AB中点，连接CD，动点P从点C出发以cm/s的速度向终点D运动．过点P作PE⊥BC于E，以PE、PD为邻边作平行四边形PDFE．设点P的运动时间为t（s），平行四边形PDFE的面积为S（cm2）． (1)求CD的长； (2)求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值． 15．(2022年广东省惠州市第一中学九年级下学期二模)如图，在中，，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动，当点Р不与点A，B重合时，作，边PD交折线于点D，点A关于直线PD的对称点为E，连接ED，EP得到．设点P的运动时间为t（秒）． (1)直接写出线段PD的长（用含t的代数式表示）； (2)当点E落在边BC上时，求t的值； (3)设与重合部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出S的最大值. 压轴题型四：销售利润 √满分技法 考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．利用二次函数求利润最大值。 16．（2025年广东省连州市初中学业水平考试数学模拟）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团   圆和完 美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的倍，用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个． (1)普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ (2)若某商店把蛋黄豆沙月饼以元销售时，那么半个月可以售出个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高元，销量会相应减少个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 17．（2024年广东省广州市黄埔区华南师大附中中考数学二模）年，第十五届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举行（简称“珠海航展”），某网络经销商购进了一批以这次博览会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式． (2)设每月获得的利润为（元），那么销售单价定为多少元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大？并求出最大利润． 18．（2024年广东省湛江市赤坎区湛江市培才学校九年级中考数学模拟）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系：． (1)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (2)设销售这种文具每天获利（元），求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 19．（2024年广东省深圳市宝安区中考模拟）食品安全是民生工程、民心工程．2024年的报道了多家预制菜制作不规范，存在使用未经严格处理的槽头肉来制作菜品，严重侵害了消费者权益．某食品网店以此为警钟，准备从正规渠道购进A、B两种类型的速食餐进行售卖．已知每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等． (1)求A、B两种速食餐的进价分别是每份多少元？ (2)该网店计划购进A类速食餐若干份．试销时发现，A类速食餐销售量y（份）与每份售价m（元）的关系为，若要求A类速食餐每份的利润率不低于，那么该公司将A类速食餐售价为多少时，获得的利润为W最大？最大值为多少？ 20．（2024年广东省广州市广东番禺中学中考二模）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） (1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ (3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 压轴题型五：跨学科（数学与物理综合） √满分技法 主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．还需了解相应的物理知识。 21．（2023年广东省珠海市第九中学中考一模）综合与实践 【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题． （1）通过观察以下一位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为10，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果） （2）通过观察以下两位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为30，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果） 【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为x，写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）．尝试用二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想； 【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．在如图1所示的电路中，Ω，Ω，滑动变阻器的最大电阻Ω，其等效电路图如图2所示，其中，在滑片从a端滑到b端的过程中，设Ω，请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值． 22．（2024年广东省惠州市惠城区中考一模）图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． (1)求抛物线的表达式； (2)在斜坡上的点A建有垂直于水平线的城墙，且，，，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙． 23．（2024年广东省惠州市惠东县中考二模）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 运动速度 滑行距离 任务二：观察分析 （1）数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的函数知识，发现与的函数关系为一次函数关系，与的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，直接写出与的函数关系式和与的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围．） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑动距离； （3）当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 24．(24-25九上·广东深圳龙岗区龙城天成学校·月考)【项目式学习】 项目主题：高铁建设与运营中的数学挑战 项目背景：随着中国经济的快速发展，高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区．假设某城市计划建设一条新的高铁线路，以缩短与邻近城市的旅行时间．数学小组的同学在查阅相关资料的情况下，开展了相关探究． 素材一：为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中，列车速度随时间变化的关系为：，其中是最终速度，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 素材二：列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离，已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同，均为千米，时间也相同，均为秒． 素材三：匀加速（即加速度不变）或匀减速过程中，在单向行驶时，路程与运动时间的关系为：，其中：是路程，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 任务—：理解与计算 （1）如果高铁列车的最高速度千米/小时，加速度米/秒，则从静止加速到最高速度所需的时间__________秒． （2）在（1）的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路程__________千米． 任务二：应用与推理 （3）在（1）的条件下，假设高铁线路全程千米中，除去两端的加减速路程，列车以最高速度行驶的距离为，请直接写出列车全程行驶的时间的表达式．（单位：小时） 任务三：设计与分析 （4）假设距某站台千米有一辆高铁正以千米/小时的速度驶来，由于某人从站台跳入轨道捡手机，列车需紧急停车，若减速度米/秒，列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现实，说说你的想法． 25．（2024年广东省深圳市34校中考二模）【项目化学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用. 实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 运动速度 10 9 8 7 6 5 滑行距离 0 19 36 51 64 75 根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象： （1）请在图（b）中画出v与x的函数图象： 任务二：观察分析 （2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离： （4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以2的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为______． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题06二次函数应用题压轴（5大题型） 知识点1．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点2．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 压轴题型一：抛物线型建筑 √满分技法 主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、正方形的性质、解一元二次方程以及一元二次方程根的情况，解题的关键是熟练二次函数的性质和点的几何意义． 1．（2024年广东省深圳市桂园中学中考模拟）拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式．现在某地，有一座拱桥，跨度为，拱顶C离地面高，拱桥的形状是一条抛物线； (1)以的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施； (3)某人在拱顶C处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为，竖直距离为，已知足球的运动轨迹为一条抛物线，请问足球会落在桥上吗？ 【答案】(1) (2)所以需要采取紧急措施 (3)球会落在桥上 【来源】2024年广东省深圳市桂园中学中考模拟数学试题 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入求得，得到此时水面宽度为，与比较即可求解； （3）设足球轨迹抛物线表达式为：，再将代入，求得足球轨迹抛物线表达式，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，，，C点为顶点； 设拱桥所在抛物线的表达式为：， 代入，得：， 解得：， ∴拱桥所在抛物线的表达式为：； （2）解：将代入得：， 解得：， 所以此时水面宽度为， 又， 所以需要采取紧急措施； （3）解：若人朝轴正方向踢足球，则由题意可知，足球最高点的坐标为， 该点也是足球轨迹抛物线的顶点，因此可设足球轨迹抛物线表达式为：， 代入得：， 解得：， ， 令，得， 所以球会落在桥上． 2．（2024年广东省肇庆市四会市中考一模）在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为，双向行驶车道宽度为（路面两侧各预留给非机动车），隧道顶部最高处距路面，矩形的高为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式； (2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？ 【答案】(1) (2)通过隧道的车辆应限制高度为 【来源】2024年广东省肇庆市四会市中考一模数学试题 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据题意建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入解析式，求得的值，根据交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 隧道顶部最高处距路面6m，矩形的高为2m． ∴顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：依题意，当时，， ∵交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有． ∴通过隧道的车辆应限制高度为， 答：通过隧道的车辆应限制高度为 3．（2024年广东省佛山市顺德区中考一模）综合与实践 主题：设计高速公路的隧道 情境素材 素 材 1 高速公路隧道设计及行驶常识：为了行驶安全，高速公路的隧道设计一般是单向行驶车道，要求货车靠右行驶． 素 材 2 据调查，一般的大型货车宽，车货总高度从地面算起不超过．为了保证行驶的安全，货车右侧顶部与隧道的竖直距离不小于． 素 材 3 某高速公路准备修建一个单向双车道（两个车道的宽度一样）的隧道，隧道的截面近似看成由抛物线和矩形构成（如图）．每条车道的宽为（其中），车道两端（、）与隧道两侧的距离均为． 问题解决 问 题 1 确定单向双车道隧道的宽度 估计将要修建的隧道宽度的合理范围． 问 题 2 设计隧道的抛物线部分 已知要修建的隧道矩形部分，．求抛物线的解析式． 【答案】， 【来源】2024年广东省佛山市顺德区中考一模数学试题 【详解】解：问题1：∵每条车道的宽为（其中），，，， ∴， ∵ ∴， 问题2：取中点，以为轴，建立坐标系，作交抛物线于点， 设抛物线表达式：， ∵，，， ∴， 由题意得：， ∴， 将、代入， 得：， 解得：， ∴抛物线表达式为：， 故答案为：，． 4．(23-24九下·广东深圳翠园文锦中学·月考)蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间． 如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：    (1)如图2，抛物线的顶点，求抛物线的解析式； (2)如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长； (3)如图4，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】广东省深圳市翠园文锦中学2023-2024 学年九年级下学期月考数学试题 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线的解析式为， 将点代入得，解得， 抛物线的函数解析式为：； （2）∵， ∴点的纵坐标为， 将代入得， 解得，（舍）， 的横坐标为1， 四边形是正方形， 的横坐标为， 点的横坐标为， ； （3）如图，取最右侧光线与抛物线切点为，    设直线的解析式为，将点及点代入， 得， 解得， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 由得，即， 抛物线与直线相切， 该方程有两个相等的实数根， ， 解得， 直线的解析式为：， 令直线中的得， 即， ． 5．(2023年广东省广州市天河区九年级一模)根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．    素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．    问题解决： 任务1：确定桥拱形状是抛物线： 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2：拟定设计方案：在任务1的基础上， 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 任务3：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长 任务4：拟定通行方案：在任务3的基础上，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高米，船体宽9米需要从拱桥下通过，给出船航行线路，并判断是否能顺利通行． 【答案】任务1：图见解析，；任务2：方案一：从顶点处开始悬挂，共可挂7盏灯笼，最左边一盏挂点的横坐标是；方案二：从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均为，可共挂8盏灯笼，最左边一盏挂点的横坐标是；任务3： 半径；任务4：船体在圆弧的拱顶正下方可以通过 【详解】解：任务1：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，如图所示： 根据题意可得：， 设该抛物线的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； 任务2：∵该河段水位在此基础上再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标最小为， 把代入得： ， 解得：， ∴悬挂点的横坐标取值范围为； 方案一：从顶点处开始悬挂， ∵相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，， ∴从顶点处开始悬挂，共可挂7盏灯笼， 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为； 方案二：从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均为， ， ∴可以挂（盏）， 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为； 任务3：设圆的圆心为点C，相交于点D， 由题意可得：， ∴， 设该圆的半径为r，则， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：；    任务4：由任务3可知，， 当河段水位涨达到最高时，， ∵货船漏出水面高米， ∴该货船顶端与圆心距离， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴船体在圆弧的拱顶正下方可以通过．    压轴题型二：运动轨迹为抛物线 √满分技法 考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式是解题的关键． 6．（2023年广东省广州市黄埔区中考二模） 如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点O处）正前方的A处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）； (3)已知点C为上一点，，若该球员带球向正后方移动再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过区域（含点O和点C），求n的取值范围． 【答案】(1) (2)该球不能射进球门，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的函数表达式为． 把点代入，得．解得． 抛物线的函数表达式为． （2）解：当时，． 该球不能射进球门． （3）解：由题意得该球员带球向正后方移动后，球射向球门的抛物线的表达式为． 把点代入，得，解得（舍去）或． 把点代入，得．解得（舍去）或． 的取值范围是． 7．（2024年广东省惠州市惠城区中考模拟）如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求y与的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：由题意可得过点，， 将，代入，得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）①解：设， 将，代入，得， 解得， ∴； ②解：由题意得 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 解得． 8．（2023年广东省清远市清新区中考二模）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． (1)求篮圈中心到地面的距离为多少米． (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 【答案】(1)3.05米； (2)0.2米； (3)1米； 【详解】（1）解：根据已知可得，篮圈中心的横坐标为， 在中，令得， 篮圈中心的纵坐标为3.05， 篮圈中心到地面的距离为3.05米； （2）解：设球出手时，他跳离地面的高度是米，则出手点坐标为， ， 解得， 球出手时，他跳离地面的高度是0.2米； （3）解：在中，令得：， 解得（舍去）或， ， 两名运动员之间的距离不能超过1米． 9．（2024年广东省深圳市福田区中考模拟）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【答案】(1)上边缘抛物线喷出水的最大射程为； (2)； (3)不能，理由见解析 【来源】2024年广东省深圳市福田区中考模拟预测数学试题 【详解】（1）解：由题意可得：， 且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为： 将代入可得： 即上边缘的抛物线为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即 上边缘抛物线喷出水的最大射程为； （2）解：由（1）可得， 上边缘抛物线为：，可得对称轴为： 点关于对称轴对称的点为： 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即点； （3）解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下； ∵， ∴绿化带的左边部分可以灌溉到， 由题意可得： 将代入到可得： 因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 10．（2024年广东省广州市增城区中考二模）【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型，菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 素材二：乙小组测得种植农民的身高为米，他常常往返于菜地之间． 素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 【项目任务】 (1)任务一：丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆的顶部F处，木杆高米，距离喷水口米，求出水柱所在抛物线的函数解析式． (2)任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，求p的取值范围． (3)任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米？（直接写出答案，精确到米）． 【答案】(1) (2)p的取值范围为 (3)薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米 【详解】（1）解：由题可知：，，，， 设抛物线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：由题可知：农民常常往返于菜地之间，则此时农民最高点坐标为， 将其代入得： ， 整理得， 解得：，，要农民不会被水淋到， 则， 综上：p的取值范围为； （3）解：由题知，薄膜所在平面和地面的夹角是，设薄膜所在平面的直线解析式为， 当抛物线与薄膜所在平面相切时，有， 整理得， 有， 解得， 薄膜所在平面的直线解析式为， 喷出的水与薄膜的距离至少是厘米， 即薄膜所在的直线应向右平移米， 平移后的直线解析式为， 当时，，解得， 薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米． 压轴题型三：动点几何与二次函数 √满分技法 考查三角形，四边形知识的综合题，题目结合点的运动考查了解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例、等边三角形、轴对称等知识．解答本题的关键是要学会分类讨论的思想，并找到各类之间的临界点，最后准确作出相应几何图形． 11．（2023年广东省东莞市虎门第三中学中考一模）如图，四边形中，，，，，，点、同时从点出发，沿射线向右匀速移动．已知点移动速度是点移动速度的倍，以为一边在的上方作等边设点移动距离为． (1)点在四边形的边上时，______；点与点重合时，______； (2)求出使成为等腰三角形的的值； (3)求与四边形重叠部分的面积与之间的函数关系式，并直接写出的最大值． 【答案】(1)2，3 (2)或或 (3)， 【来源】2023年广东省东莞市虎门第三中学中考一模数学试卷 【详解】（1）解：如图所示，过点D作于， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， 在中，，， ∴， 当点G恰好在上时，过点G作于T，则四边形是矩形， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当时，点G在上； ∵在运动过程中逐渐变大，那么点G到的距离逐渐变大，在时，点G一定在四边形的外部， ∴点G不可能在上； ∴点在四边形的边上时，； ∵， ∴当点与点重合时，即时，，即； 故答案为：2，3； （2）解：∵，故为等腰三角形只有三种情形： 当且在左侧时，如图2-1所示， 在中，， ∴， ∴ ∴； 当且在右侧时，如图2-2所示， ∴， ∴； 当时，如图2-3所示， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； 综上所述，的值为或或． （3）解：①当时，如图3-1所示，在四边形内部， ∴，此时当时，的最大值为； 当时，如图3-2中，点、在线段上，与四边形重叠部分为四边形，     ∵， ∴， ， ， ，， ∴， 是直角三角形， ∴， ， ， ∵， ∴当，的最大值为； 当时，如图3-3中，点在线段上，点在射线上，重叠部分是， ∵， ∴， ∴   ∴， ∴当时，y的最大值为， 综上所述，，的最大值为； 12．（2024年广东省佛山市华英学校中考二模）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．交于点F，连接．设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用得，即，进而求解； （2）分别过点C，P作，垂足分别为M，N，证得，，求得，再证得，得出，根据即可求出表达式； （3）当时，易证，得出，则，进而求出t值． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， ∵绕点A按逆时针方向旋转得到 ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ 答：当时，t的值为． （2）解：分别过点C，P作，垂足分别为M，N ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：假设存在某一时刻t，使 ∵ ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴存在时刻，使． 13．（2024年广东省梅州市中考一模）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为． (1)当点在边上时，的长为 ；（用含的代数式表示） (2)当点落在边上时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)2x (2)1 (3) 【详解】（1）当Q点在AC上时， ∵∠A=30°，∠APQ=120°， ∴∠AQP=30°， ∴∠A=∠AQP， ∴AP=PQ， ∵运动速度为每秒2cm，运动时间为x秒， ∴AP=2x， ∴PQ=2x； （2）当M点在BC上，Q点在AC上，如图， 在（1）中已求得AP=PQ=2x， ∵四边形QPMN是菱形， ∴PQ=PN=MN=2x，， ∵∠APQ=120°， ∴∠QPB=60°， ∵， ∴∠MNB=∠QPB=60°， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°， ∴△MNB是等边三角形， ∴BN=MN， ∴AB=AP+PN+BN=2x×3=6x=6cm， ∴x=1（s）； （3）当P点运动到B点时，用时6÷2=3（s）， 即x的取值范围为：， 当M点刚好在BC上时， 在（2）中已求得此时x=1， 分情况讨论， 即当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部， ∴此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积， 过Q点作QG⊥AB于G点，如图， ∵∠APQ=120°， ∴∠QPN=60°，即菱形PQMN的内角∠QPN=∠QMN=60°， ∴QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=， ∴重叠的面积等于菱形PQMN的面积为，即为：； 当x＞1，且Q点在线段AC上时， 过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，如图， ∵， ∴∠MNB=∠QPN=60， ∵∠B=60°， ∴△ENB是等边三角形， 同理可证明△MEF是等边三角形 ∴BN=NE，∠MEF=60°，ME=EF， ∵AP=PQ=PN=MN=2x，AB=6， ∴BN=6-AN=6-4x， ∴ME=MN-NE=2x-BN=6x-6， ∵MH⊥EF， ∴MH=ME×sin∠MEH=(6x-6)×sin60°=， ∴△MEF的面积为：， QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=， ∵菱形PQMN的面积为， ∴重叠部分的面积为， 当Q点与C点重合时，可知此时N点与B点重合，如图， ∵∠CPB=∠CBA=60°， ∴△PBC是等边三角形， ∴PC=PB， ∵AP=PQ=2x， ∴AP=PB=2x， ∴AB=AP+PB=4x=6， 则x=， 即此时重合部分的面积为：，； 当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，如图， ∵AP=2x， ∴PB=AB-AP=6-2x， ∵∠QPB=∠ABC=60°， ∴△PQB是等边三角形， ∴PQ=PB，同时印证菱形PQMN的顶点N始终与B点重合， ∴QG=PQ×sin∠QPN=(6-2x)×sin60°=， ∴， ∴此时重叠部分的面积， 综上所述：． 14．(2022年广东省珠海市香洲区珠海市容闳中学九年级一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=8cm，点D是AB中点，连接CD，动点P从点C出发以cm/s的速度向终点D运动．过点P作PE⊥BC于E，以PE、PD为邻边作平行四边形PDFE．设点P的运动时间为t（s），平行四边形PDFE的面积为S（cm2）． (1)求CD的长； (2)求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值． 【答案】(1)CD=2cm； (2)S与t的关系式为S=-2t2+4t，S的最大值是2． 【来源】2022年广东省珠海市香洲区珠海市容闳中学九年级一模数学试题 【详解】（1）解： Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=8cm， ∴AB==4（cm）， ∵点D是AB中点， ∴CD=AB=2cm； （2）解：如图，延长DF交BC于点G， ∵PE⊥BC，AC⊥BC， ∴PE∥AC， ∵四边形PDFE是平行四边形， ∴PE∥DG， ∴DG∥AC， ∴△BDG∽△BAC， ∴， ∴DG=AC=2，BG=BC=4， ∴CG=8-4=4， ∵△CPE∽△CDG， ∴， ∴PE=×t=t，CE=×t=2t， ∴S=t（4-2t）=-2t2+4t=-2（t-1）2+2， ∴S与t的关系式为S=-2t2+4t，S的最大值是2． 15．(2022年广东省惠州市第一中学九年级下学期二模)如图，在中，，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动，当点Р不与点A，B重合时，作，边PD交折线于点D，点A关于直线PD的对称点为E，连接ED，EP得到．设点P的运动时间为t（秒）． (1)直接写出线段PD的长（用含t的代数式表示）； (2)当点E落在边BC上时，求t的值； (3)设与重合部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出S的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2022年广东省惠州市第一中学九年级下学期第二次模拟考试数学试题 【详解】（1）∵P点的速度是每秒运动2个单位长度，运动时间是t秒， ∴线段AP的长度为：AP=2t， ∴由题意可知，t的取值范围为：0＜t＜4 在Rt△ABC中，AB=8，∠ACB=90°，∠A=60°， 则解该直角三角形有，∠ABC=30°，AC=4， ∵∠BPD=120°， ∴∠APD=60°， 当D点在AC上时， ∵∠APD=60°=∠A， ∴△APD是等边三角形， ∴PD=AP=2t， 当D点在BC上时， ∵∠APD=60°，∠ABC=30°， ∴∠PDB=30° ∴△PDB是等腰三角形，且PD=PB， 又∵AP=2t，AB=8， ∴， 当D点与C点重合时， ∵∠APD=60°=∠A， ∴△APC是等边三角形， ∴PD=AP=2t=AC=4， 则有t=2， 综上所述，， （2）∵E点刚好落在BC边上， ∴此时D点则在AC上，即AP=2t，， ∵E点是A点关于PD的对称点， ∴根据对称的性质有PE=AP，∠APD=∠DPE=60°， ∴∠EPB=60°， ∵∠ABC=30°， ∴∠PEB=90°，即△PBE是直角三角形，， ∴，即，解得：； （3）分三种情况讨论 ①如图，D、E两点都在BC的左侧（含E点在BC边上）， 此时△PDE与△ABC重合部分图形的面积S即是△DPE的面积， 则有S=S△DPE， 此种情况下，随着D点由A点向C点移动，当E刚好落在BC边上时，△DPE面积达到最大，根据（2）可知，此时得， 又∵根据（1）可知，此时△DPE是等边三角形，且AP=2t， ∴S=S△DPE=， 即时，； ②如图，D、E两点分别在BC的左侧和右侧（包含D点与C点重合的情况）， 设PE交BC于H点，DE交BC于G点， ∵E点是A点关于PD的对称点， ∴根据对称的性质有PE=AP=2t，∠APD=∠DPE=60°， ∴∠EPB=60°， ∵∠ABC=30°， ∴∠PEB=90°，即△PBE、△GEH是直角三角形，即PE⊥BC， ∴，， ∴， ∵由（1）知，△PDE是等边三角形， ∴∠E=60°， ∴， ∴S△GHE=， ∴S=S△PDE−S△GHE， 此种情况，当D点与C点重合时，S的面积达到最大， 当D点与C点重合时，则有AD=AC=PD=AP=AB=4， 此时有t=2， 即：时，； ③如图，D在BC边上， ∵AP=2t，∠DPB=120°，AB=8，∠B=30°， ∴∠DPA=60°，即有∠PDB=30°， ∴△DPB是等腰三角形， ∴，∠B=∠PDH=30°， ∵且已证PE⊥BC， ∴在Rt△PDH中，有：PH=DP=，， 由图可知此时重合部分面积S=S△PHD=， ∵P始终在AB上且不与A、B两点重合， ∴此时t的最大值为：， 即：时，； 综上三种情况，S与t的函数关系式为： 压轴题型四：销售利润 √满分技法 考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．利用二次函数求利润最大值。 16．（2025年广东省连州市初中学业水平考试数学模拟）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团   圆和完 美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的倍，用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个． (1)普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ (2)若某商店把蛋黄豆沙月饼以元销售时，那么半个月可以售出个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高元，销量会相应减少个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是元 (2)当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元 【来源】2025年广东省连州市初中学业水平考试数学模拟卷 【详解】（1）解：设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元， 依题意，得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解且符合题意， ∴（元）， 答：普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是元； （2）设售价定为元，利润为元， 依题意，得：， ∵ ∴二次函数的图像开口向下，函数有最大值， ∴当时，有最大值，最大值为元， 答：当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元． 17．（2024年广东省广州市黄埔区华南师大附中中考数学二模）年，第十五届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举行（简称“珠海航展”），某网络经销商购进了一批以这次博览会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式． (2)设每月获得的利润为（元），那么销售单价定为多少元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)销售单价定为元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大，最大利润为元 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为：， 将，代入得： ， 解得， 每月的销售量件与销售单价元之间的函数关系式为； （2）解：由题意得： ， ， 当时，有最大值，最大值为． 答：销售单价定为元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大，最大利润为元． 18．（2024年广东省湛江市赤坎区湛江市培才学校九年级中考数学模拟）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系：． (1)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (2)设销售这种文具每天获利（元），求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)销售单价为元； (2)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【来源】2024年广东省湛江市赤坎区湛江市培才学校九年级中考数学模拟试卷 【详解】（1）解：根据题意得： 整理得： 解得：(不合题意，舍去)， 答：销售单价为元； （2）解：根据题意得： ， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为： ， ∴关于的函数关系式为： 当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 19．（2024年广东省深圳市宝安区中考模拟）食品安全是民生工程、民心工程．2024年的报道了多家预制菜制作不规范，存在使用未经严格处理的槽头肉来制作菜品，严重侵害了消费者权益．某食品网店以此为警钟，准备从正规渠道购进A、B两种类型的速食餐进行售卖．已知每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等． (1)求A、B两种速食餐的进价分别是每份多少元？ (2)该网店计划购进A类速食餐若干份．试销时发现，A类速食餐销售量y（份）与每份售价m（元）的关系为，若要求A类速食餐每份的利润率不低于，那么该公司将A类速食餐售价为多少时，获得的利润为W最大？最大值为多少？ 【答案】(1)A、B两种速食餐的进价分别是每份10元和15元 (2)W的最大值为10562.5元 【来源】2024年广东省深圳市宝安区中考模拟数学备考冲刺试题1 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，二次函数的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组与二次函数关系式是解题的关键． （1）设每份A类速食餐的进价是a元，每份B类速食餐的进价是b元，根据每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等，列出方程组，求解即可； （2）根据利润=每份利润×销售量，列出w关于m的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每份A类速食餐的进价是a元，每份B类速食餐的进价是b元，                         依题意得： ， 解得， 答：A、B两种速食餐的进价分别是每份10元和15元． （2）解：依题意：获得的利润 ， 由于A类速食餐每份的利用率不低于，那么 ， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为10562.5， 答：W的最大值为10562.5元． 20．（2024年广东省广州市广东番禺中学中考二模）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） (1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ (3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为元时，日获利w最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式，将，，代入得，，计算求解，进而可得结果； （2）依题意得，，由，，可知当时，日获利w最大，最大利润为元； （3）令，则，可求或，由，可得，由，可得． 【详解】（1）解：设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式， 将，，代入得，， 解得，， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）解：依题意得，， ∵，， ∴当时，日获利w最大，最大利润为元； （3）解：令，则， 解得，或， ∵， ∴， 又∵， ∴． 压轴题型五：跨学科（数学与物理综合） √满分技法 主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．还需了解相应的物理知识。 21．（2023年广东省珠海市第九中学中考一模）综合与实践 【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题． （1）通过观察以下一位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为10，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果） （2）通过观察以下两位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为30，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果） 【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为x，写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）．尝试用二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想； 【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．在如图1所示的电路中，Ω，Ω，滑动变阻器的最大电阻Ω，其等效电路图如图2所示，其中，在滑片从a端滑到b端的过程中，设Ω，请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值． 【答案】（1）；（2）；【初步探讨】猜想：若两数和为30，当这两数相等时，它们的乘积最大．证明见解析；（3）2A 【分析】本题考查了二次函数的性质和分式的加法运算． （1）分别计算即可发现规律； （2）分别计算即可发现规律； 由题意，建立数学模型，利用二次函数知识解答即可； （3）设Ω，利用物理知识和分式加减知识，求出总电流为I，与x的函数关系式，再利用二次函数知识求最值即可． 【详解】解：（1）由，，…，，可知，当的值最大， 故答案为：； （2）由，，，，，…，，， 可知，当的值最大， 故答案为：； 【初步探讨】猜想：若两数和为30，当这两数相等时，它们的乘积最大． 证明：设第一个数为x，则另一个数为，它们的积为y， 则有． ∵，则抛物线开口向下， ∴当时，y取最大值，为225， 此时这两数分别为15及，两数相等， ∴当这两数相等时，它们的乘积最大． （3）设Ω，则Ω，，设总电流为I，则 ． 由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小． 设． ∵，则抛物线W开口向下，且， ∴当时，W取最大值为25，此时I取最小值为（A），两支路电阻分别为（Ω）和（Ω），两支路电阻相等， ∴当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为2A． 22．（2024年广东省惠州市惠城区中考一模）图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． (1)求抛物线的表达式； (2)在斜坡上的点A建有垂直于水平线的城墙，且，，，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙． 【答案】(1)抛物线的表达式为y＝ (2)石块不能飞越城墙 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数的应用． （1）由抛物线的顶点坐标是可设石块运行的函数关系式为，把点C坐标代入即可解答； （2）由得到点D的横坐标为75，将代入函数，可求得石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为，又，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设石块运行的函数关系式为， ∵ ∴点C的坐标为， ∵抛物线过点， ∴，代入，得， 解得： ∴抛物线的表达式为， 即； （2）∵， ∴点D的横坐标为75， 将代入函数，得， 即石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为， ∵，， ∴， ∴石块不能飞越城墙． 23．（2024年广东省惠州市惠东县中考二模）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 运动速度 滑行距离 任务二：观察分析 （1）数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的函数知识，发现与的函数关系为一次函数关系，与的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，直接写出与的函数关系式和与的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围．） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑动距离； （3）当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）（3） 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得速度为时的时间，将代入二次函数解析式，即可求解； （3）求得小球速度为的时间，此时两者相遇则为的最小值，据此即可求解． 【详解】（1）解：设，将点代入得， ， 解得：， ∴， 设，将点代入得， ， 解得：， ∴， （2）由，当时，， 解得：， 当时，， ∴当小球在水平木板上停下来时，此时小球的滑动距离为； （3）当时，，解得：， 当时， ∴ 24．(24-25九上·广东深圳龙岗区龙城天成学校·月考)【项目式学习】 项目主题：高铁建设与运营中的数学挑战 项目背景：随着中国经济的快速发展，高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区．假设某城市计划建设一条新的高铁线路，以缩短与邻近城市的旅行时间．数学小组的同学在查阅相关资料的情况下，开展了相关探究． 素材一：为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中，列车速度随时间变化的关系为：，其中是最终速度，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 素材二：列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离，已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同，均为千米，时间也相同，均为秒． 素材三：匀加速（即加速度不变）或匀减速过程中，在单向行驶时，路程与运动时间的关系为：，其中：是路程，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 任务—：理解与计算 （1）如果高铁列车的最高速度千米/小时，加速度米/秒，则从静止加速到最高速度所需的时间__________秒． （2）在（1）的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路程__________千米． 任务二：应用与推理 （3）在（1）的条件下，假设高铁线路全程千米中，除去两端的加减速路程，列车以最高速度行驶的距离为，请直接写出列车全程行驶的时间的表达式．（单位：小时） 任务三：设计与分析 （4）假设距某站台千米有一辆高铁正以千米/小时的速度驶来，由于某人从站台跳入轨道捡手机，列车需紧急停车，若减速度米/秒，列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现实，说说你的想法． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）列车不能安全停车，理由见解析． 【来源】广东省深圳市龙岗区龙城天成学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）根据素材一得，将数据代入计算即可； （2）根据素材三和素材二，将数据代入求出，即可得到； （3）根据“速度＝路程÷时间”建立函数关系式即可； （4）求出安全停车的路程，再与千米比较即可； 正解理解题意，确定各数量的关系是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，千米/小时米/秒，米/秒， ∴（秒）， ∴从静止加速到最高速度所需的时间秒， 故答案为：； （2）由（1）知：，，， ∴（米）， ∵米千米 ∴列车从静止加速到最高速度所需的最小路程千米， 故答案为：； （3）∵加速和减速时间都是秒且加减速路程都是千米， ∴加速和减速的总时间为秒小时， ∴匀速行驶的时间为小时，匀速行驶的路程为千米，速度为千米/小时， ∴， ∴， ∴列车全程行驶的时间的表达式为； （4）∵，千米/小时米/秒， 米/秒， ∴（秒）， ∴（米）（千米）， ∵千米千米 ∴列车不能安全停车． 25．（2024年广东省深圳市34校中考二模）【项目化学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用. 实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 运动速度 10 9 8 7 6 5 滑行距离 0 19 36 51 64 75 根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象： （1）请在图（b）中画出v与x的函数图象： 任务二：观察分析 （2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离： （4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以2的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为______． 【答案】 （1）作图见详解 （2）； （3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离 （4） 【来源】2024年广东省深圳市34校中考二模联考数学试题 【详解】解：（1）画出与的函数图象如下： （2）由（b）中图象可知：与的函数关系为一次函数关系， 设，代入，得： ， 解得：， 与的函数关系为； 设代入，得： ， 所得：， 与的函数关系式为； （3）当时， 解得：． 将代入得： ． 当黑球在水平木板停下来时，此时黑球的滑行距离． （4）假定经过秒小球追上小电动车， ， ． 由题意：， ． 若黑球不能撞上小车，则的取值范围为． 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$