压轴题05 反比例函数解答压轴题（4大题型）-2025年中考数学压轴题专项训练（广东专用）

压轴题05反比例函数解答压轴题（4大题型） 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 压轴题型一：定值问题 √满分技法 主要考查反比例函数的综合应用，解直角三角形，和一次函数的性质，勾股定理，分类求解和数据运算是解题的关键． 1．（2024年广东省广州市增城区中考一模）已知点A（0，4），将点A先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，对应点B恰好落在反比例函数的图象上．过点B的直线l的表达式为y＝mx+n，与反比例函数图象的另一个交点为点C，分别交x轴、y轴于点D、点E． (1)求反比例函数表达式； (2)若线段BC＝2CD，求△BOD的面积； (3)在（2）的条件下，点P为反比例函数图象上B、C之间的一点（不与B、C重合），PM⊥x轴交直线l于点M，PN⊥y轴交直线l于点N，请分析EM•DN是否为定值，并说明理由． 2．（2024年广东省汕头市潮阳区中考模拟）已知反比例函数和一次函数y＝2x+b，其中一次函数的图象经过点A（﹣1，﹣3）和B（1，m）．反比例函数图象经过点B． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)若直线交x轴于C，交y轴于D，点P为反比例函数（x＞0）的图象上一点，过P作y轴的平行线交直线CD于E，过P作x轴的平行线交直线CD于F， ①请问：在该反比例函数图像上是否存在点P，使△PFE≌△OCD？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． ②求证：DE•CF为定值． 3． （2023年广东省深圳市福田区十校联考中考数学模拟）如图，点P在曲线y=（x＜0）上，PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA=PB，OA、OB的长是方程t2-8t+12=0的两个实数根，且OA＞OB，点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D． （1）填空：OA=______；OB=______；k=______． （2）设点Q是⊙M上一动点，若圆心M在y轴上且点P、Q之间的距离达到最大值，则点Q的坐标是______； （3）试问：在点C运动的过程中，BD-BC的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请给出合理的解释． 4．（2024年广东省梅州市中考二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于，B两点，与x轴交于点C． (1)求的值； (2)P为反比例函数图象上任意一点（不与重合） ①过P作交y轴于点Q，若，求P点坐标； ②如图2，直线与x轴、y轴分别交于点，直线分别与x轴y轴交于．试判断是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 5．（2023年广东省汕头市澄海实验学校中考三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2）．点M是边BC上的一个动点（不与B、C重合），反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点M且与边AB交于点N，连接MN． （1）当点M是边BC的中点时． ①求反比例函数的表达式； ②求△OMN的面积； （2）在点M的运动过程中，试证明：是一个定值． 压轴题型二：最值问题 √满分技法 考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质求最值，掌握以上知识是解题的关键．根据题目需要，也会运用几何知识求最值。 6．(24-25九上·广东江门鹤山沙坪中学·月考)如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．    (1)求一次函数及反比例的表达式和m值 (2)请根据图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，当S的值最小时，求出点P的坐标及S的最小值． 7．（2024年广东省惠州市多校联考中考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线 交于、两点， 其中的坐标为 ， 是以点 为圆心，半径长为的圆上一动点，连接，为的中点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)求线段的最小值． 8．（2023年广东省惠州市惠东县中考一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)填空：一次函数的表达式为__________，反比例函数的表达式为__________； (2)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，求S的最大值和最小值． 9．（2022年广东省广州市广东番禺中学中考三模）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）． (1)求b、k、m的值； (2)根据图象直接写出﹣x+b＜﹣（x＞0）的解集； (3)点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值． 10．（2023年广东省梅州市五华县中考二模）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）． （1）填空：一次函数的解析式为 　 　，反比例函数的解析式为 　 　； （2）请直接写出不等式组≤﹣x+b的解集是 　 　； （3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值． 压轴题型三：存在性问题 √满分技法 考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，已知两点求距离，轴对称最短路线问题，求得函数的解析式是解题的关键．解决存在性问题需多考虑数形结合利用方程求点的坐标事半功倍。 11．（2024年广东省初中学业水平考试数学押题）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，． (1)求k的值． (2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2024年广东省广州市增城区中考一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2024年广东省广州市执信中学南沙学校中考模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．    (1)求此反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长． 14．（2023年广东省广州市黄埔区中考二模）如图，一次函数与反比例函数交于、两点，延长交反比例函图象于点，连接．    (1)求一次函数与反比例函数表达式． (2)求的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 15．（2024年广东省中山市中考一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)由图像可知，当x 时，； (2)求出a，k的值； (3)若为x轴上的一动点，当的面积为时，求m的值； (4)在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 压轴题型四：反比例函数与圆综合 √满分技法 主要考查圆周角定理，反比例函数图象的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数与反比例函数交点问题，利用数形结合思想是解决问题的关键． 16．（2022年广东省佛山市华英学校中考二模）如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，P(-4，n)是反比例函数图象上的一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B，过点A、B作直线． (1)求直线AB的表达式； (2)点M是反比例函数图象上的一点，连接线段MA，交⊙P于点Q，若，求点M坐标； (3)直线AB经过平移后，与⊙P相切，直接写出平移后的直线表达式． 17．(2022年广东省广州市天河区九年级一模)如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点. (1)求双曲线的解析式： (2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值 (3)求线段OQ长度的最大值. 18．(21-22九下·广东佛山顺德区·一模)如图，点O是平面直角坐标系的原点，P是反比例函数（k 0，x 0）图象上的动点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A，B，连接AB． (1)求△OAB的面积； (2)当 k 4时，求线段AB的最小值； (3)在（2）的条件下，点C是反比例函数图象上的一点（不与点P重合），连接PC，AC．当ACP 是直角时，求点C横坐标的近似值（结果保留一位小数）． 19．（广东省深圳市罗湖区翠园中学2022~2023学年中考一模）如图，点P在反比例函数y＝(x＜0)上，PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA＝PB，OA、OB的长是方程t2－16t＋48＝0的两个实数根，且OA＞OB，点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D． （1）求k的值； （2）当圆心M在y轴上时，请判断四边形PAMB的形状，并说明理由； （3）当圆心M在y轴上时，设点Q是圆M上一动点，则P、Q两点之间的距离达到最大值时，求点Q的坐标． 20．（2023年广东省广州市从化市中考数学二模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且与轴交于点；点在反比例函数的图象上，以点为圆心，半径为的作圆与轴，轴分别相切于点、． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请连结，并求出的面积； （3）直接写出当时，的解集． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题05反比例函数解答压轴题（4大题型） 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 压轴题型一：定值问题 √满分技法 主要考查反比例函数的综合应用，解直角三角形，和一次函数的性质，勾股定理，分类求解和数据运算是解题的关键． 1．（2024年广东省广州市增城区中考一模）已知点A（0，4），将点A先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，对应点B恰好落在反比例函数的图象上．过点B的直线l的表达式为y＝mx+n，与反比例函数图象的另一个交点为点C，分别交x轴、y轴于点D、点E． (1)求反比例函数表达式； (2)若线段BC＝2CD，求△BOD的面积； (3)在（2）的条件下，点P为反比例函数图象上B、C之间的一点（不与B、C重合），PM⊥x轴交直线l于点M，PN⊥y轴交直线l于点N，请分析EM•DN是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)EM•DN为定值，见解析 【分析】（1）根据平移求出点B的坐标，并运用待定系数法求出答案； （2）如图1，过点B作BF⊥x轴于点F，过点C作CG⊥x轴于点G，先证明△CDG∽△BDF，结合BC=2CD，可得出 ，进而求出点C的坐标，再运用待定系数法求出直线l的解析式，得出点D的坐标，即可求得答案； （3）设P(t， )，且t＞0，即可得出M(t，-2t+8)，N(4-，)，运用两点间距离公式即可求出EM•DN=15，故EM•DN为定值． 【详解】（1）将点A（0，4）先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得B(1，6)， ∵点B恰好落在反比例函数 （k＞0）的图象上． ∴ ， ∴k=6， ∴反比例函数表达式为 ； （2）如图1，过点B作BF⊥x轴于点F，过点C作CG⊥x轴于点G， ∴∠CGD=∠BFD=90°， ∵∠CDG=∠BDF， ∴△CDG∽△BDF， ∴， ∵BC=2CD，BC+CD=BD， ∴BD=3CD， ∴， ∵B(1，6)， ∴BF=6，OF=1， ∴CG=BF=×6=2， 将y=2代入，得2= ， ∴x=3， ∴C(3，2)， 将B(1，6)，C(3，2)代入y=mx+n， 得： ， 解得 ， ∴直线l的表达式为y=-2x+8， 令y=0，得：-2x+8=0， 解得：x=4， ∴D(4，0)， ∴OD=4， ∴S△BOD=•OD•BF=×4×6=12； （3）如图2，由（2）知，直线BC的解析式为y=-2x+8， 令x=0，得y=8， ∴E(0，8)， 设P(t，)，且t＞0， ∵PM⊥x轴，PN⊥y轴， ∴M(t，-2t+8)，N(4-，)， ∴ ， ， ∴EM•DN= =15， ∴EM•DN为定值． 2．（2024年广东省汕头市潮阳区中考模拟）已知反比例函数和一次函数y＝2x+b，其中一次函数的图象经过点A（﹣1，﹣3）和B（1，m）．反比例函数图象经过点B． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)若直线交x轴于C，交y轴于D，点P为反比例函数（x＞0）的图象上一点，过P作y轴的平行线交直线CD于E，过P作x轴的平行线交直线CD于F， ①请问：在该反比例函数图像上是否存在点P，使△PFE≌△OCD？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． ②求证：DE•CF为定值． 【答案】(1)； (2)①不存在，理由见解析；证明见解析 【详解】（1）解：∵y＝2x+b的图像经过A（﹣1，﹣3）和B（1，m）两点， ∴ 解得： ∴B（1，1） ∵反比例函数的图像经过点B， ∴， 解得： ∴反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：； （2）解：①不存在． 理由如下：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设P点的坐标为：（，）， 把代入，得：， 把代入，得：， ∴F（，），E（，）， 由题意得，PEy轴，PFx轴， ∴PEOC，, ∴, 当时，△PFE≌△OCD， ∴， 化为一般方程为：， ∵， ∴没有实数根， ∴不存在点P，使△PFE≌△OCD； ②证明：设P（x，y）， ∵C（0.5，0），D（0，0.5）， ∴是等腰直角三角形， 如图，作FM⊥x轴于M，EN⊥y轴于N， ∴、是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵P（x，y）在上， ∴， ∴. 3． （2023年广东省深圳市福田区十校联考中考数学模拟）如图，点P在曲线y=（x＜0）上，PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA=PB，OA、OB的长是方程t2-8t+12=0的两个实数根，且OA＞OB，点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D． （1）填空：OA=______；OB=______；k=______． （2）设点Q是⊙M上一动点，若圆心M在y轴上且点P、Q之间的距离达到最大值，则点Q的坐标是______； （3）试问：在点C运动的过程中，BD-BC的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请给出合理的解释． 【答案】（1）6，2，-60；（2）（，-3-8）；（3）是，定值为4 【来源】2023年广东省深圳市福田区十校联考中考数学模拟试题 【分析】（1）求出点A、B的坐标为（-6，0）、（0，2），设点P（-6，），由PA=PB，即可求解； （2）先求出PM解析式，当PQ过圆心M时，点P、Q之间的距离达到最大值，由两点距离公式可求解； （3）BD-BC=2r-2rcos∠DBC，即可求解． 【详解】（1）t2-8t+12=0， 解得：t=2或6， 即OA=6，OB=2，即点A、B的坐标为（-6，0）、（0，2）， 设点P（-6，）， 由PA=PB得：36+（2+）2=（）2， 解得：k=-60， 故点P（-6，10）， 故答案为：6，2，-60； （2）当PQ过圆心M时，点P、Q之间的距离达到最大值， ∵AM2=AO2+OM2， ∴AM2=36+（AM-2）2， ∴AM=10=BM ∴点M坐标为（0，-8） 设直线PM的解析式为：y=kx-8 ∴10=-6k-8 ∴k=-3 ∴直线PM的解析式为：y=-3x-8 ∴设点Q（a，-3a-8）（a＞0） ∵MQ=10= ∴a= ∴点Q坐标为（，-3-8） 故答案为：（，-3-8） （3）是定值，理由： 连接CD，过点P作PH⊥y轴， ∵tan∠PBH===tan∠DBC，则cos∠DBC=， ∴BD-BC=2r-2rcos∠DBC=2r（1-）=4． 4．（2024年广东省梅州市中考二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于，B两点，与x轴交于点C． (1)求的值； (2)P为反比例函数图象上任意一点（不与重合） ①过P作交y轴于点Q，若，求P点坐标； ②如图2，直线与x轴、y轴分别交于点，直线分别与x轴y轴交于．试判断是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或，②是， 【分析】（1）将点代入中，求出，再由待定系数法求解即可； （2）①证明，再由勾股定理得，求出的值，确定点的坐标即可； ②设点的坐标为，且，求出直线的表达式为，同理求出直线的表达式，分别得出和，再求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，， ，即， 将点代入反比例函数中， 得，解得． （2）由（1）可知，反比例函数的表达式为， 且直线的表达式为， 当时，，即 直线与轴交于点， 联立得， 即， 解得， 点坐标为， 由点的坐标可知，， 直线与轴交点为， ， ①    过点作轴的平行线与点作轴的平行线交于点，与直线交于点， ,， ， ， ， ， ， 即， 若，则， ， 点的横坐标为或， 则点的坐标为或． ②为定值，定值为8， 设点的坐标为，且， 设直线的表达式为， 则有，解得， 直线的表达式为， 当时，，当时，， ， 已知点的坐标为，， 设直线的表达式为， 则有，解得， 直线的表达式为， 当时，，当时，， ， 则， ， 5．（2023年广东省汕头市澄海实验学校中考三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2）．点M是边BC上的一个动点（不与B、C重合），反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点M且与边AB交于点N，连接MN． （1）当点M是边BC的中点时． ①求反比例函数的表达式； ②求△OMN的面积； （2）在点M的运动过程中，试证明：是一个定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）①由矩形的性质及M是BC中点得出M（2，4），据此可得反比例函数解析式； ②先求出点N的坐标，从而得出CM＝BM＝2，AN＝BN＝1，再根据S△OMN＝S矩形OABC﹣S△OAN﹣S△COM﹣S△BMN计算可得． （2）设M（a，2），据此知反比例函数解析式为y＝，求出N（4，），从而得BM＝4﹣a，BN＝2﹣，再代入计算可得． 【详解】(1)①∵点B(4，2)，且四边形OABC是矩形， ∴OC＝AB＝2，BC＝OA＝4， ∵点M是BC中点， ∴CM＝2， 则点M(2，2)， ∴反比例函数解析式为y＝； ②当x＝4时，y＝＝1， ∴N(4，1)， 则CM＝BM＝2，AN＝BN＝1， ∴S△OMN＝S矩形OABC﹣S△OAN﹣S△COM﹣S△BMN ＝4×2﹣×4×1﹣×2×2﹣×2×1 ＝3； (2)设M(a，2)， 则k＝2a， ∴反比例函数解析式为y＝， 当x＝4时，y＝， ∴N(4，)， 则BM＝4﹣a，BN＝2﹣， ∴＝＝＝2． 压轴题型二：最值问题 √满分技法 考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质求最值，掌握以上知识是解题的关键．根据题目需要，也会运用几何知识求最值。 6．(24-25九上·广东江门鹤山沙坪中学·月考)如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．    (1)求一次函数及反比例的表达式和m值 (2)请根据图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，当S的值最小时，求出点P的坐标及S的最小值． 【答案】(1)；；； (2)或； (3)点P的坐标为或，S的最小值为． 【来源】广东省江门市鹤山市沙坪中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， 解得， 一次函数解析式是， 把代入得到 ， 解得， ∴反比例函数解析为； ∵在一次函数的图象上， ， ； （2）由图象可得，一次函数与反比例函数的图象交于点和， 则得解集为：或； （3）∵点P是线段上一点，设， ∴， ∴， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线开口向下， ∵，， ∴当或时，有最小值，且最小值是． 此时点P的坐标是或 7．（2024年广东省惠州市多校联考中考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线 交于、两点， 其中的坐标为 ， 是以点 为圆心，半径长为的圆上一动点，连接，为的中点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)求线段的最小值． 【答案】(1)直线的解析式为，双曲线的解析式为 (2) 【来源】2024年广东省惠州市多校联考中考二模数学试题 【详解】（1）解：直线与双曲线 交于、两点， 的坐标为 ， 解得， ， 直线的解析式为，双曲线的解析式为 （2）连接， 是的中点， 为的中点， 则 是的中位线， 所以 当在线段上时，最小，则最小， 的坐标为 ， 点 ， ， ， 故线段 长度的最小值为． 8．（2023年广东省惠州市惠东县中考一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)填空：一次函数的表达式为__________，反比例函数的表达式为__________； (2)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，求S的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)最大值为2，最小值为 【详解】（1）解：把点分别代入和得： ，解得：， ，解得：， ∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； 故答案为：；． （2）解：点P是线段AB上一点，设， 把点代入可得， ， ， ，且， 当时，S有最大值，且最大值是2， 当或时，S有最小值，且最小值是． 9．（2022年广东省广州市广东番禺中学中考三模）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）． (1)求b、k、m的值； (2)根据图象直接写出﹣x+b＜﹣（x＞0）的解集； (3)点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值． 【答案】(1)b＝5，k＝﹣4，m＝1 (2)0＜x＜1或x＞4 (3)最大值是，最小值为2 【来源】2022年广东省广州市广东番禺中学中考数学模拟试卷三 【详解】（1）解：将B（4，1）代入y＝﹣x+b得： 1＝﹣4+b， 解得b＝5， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5， 将B（4，1）代入y＝﹣得： 1＝﹣， 解得k＝﹣4， ∴反比例函数的解析式为y＝； 将A（m，4）代入y＝﹣x+5得： 4＝﹣m+5， 解得m＝1， ∴A（1，4）， ∴b＝5，k＝﹣4，m＝1． （2）由（1）可知点A的坐标是（1，4），B（4，1）， 由图可得，﹣＞﹣x+b得解集为：0＜x＜1或x＞4； （3）∵点P是线段AB上一点，设P（n，﹣n+5）， ∴1≤n≤4， ∴S＝OD•PD＝•n（﹣n+5）＝﹣（﹣5n）＝﹣+， ∵a＝﹣＜0，且1≤n≤4， ∴当n＝时，S有最大值，且最大值是， ∵－1＝4－＝1.5, ∴当n＝1或n＝4时，S有最小值，且最小值是﹣+＝2． 10．（2023年广东省梅州市五华县中考二模）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）． （1）填空：一次函数的解析式为 　 　，反比例函数的解析式为 　 　； （2）请直接写出不等式组≤﹣x+b的解集是 　 　； （3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值． 【答案】（1）y＝﹣x+4；；（2）1≤x≤3；（3）最大值是2，最小值是 【详解】解：（1）将B（3，1）代入y＝﹣x+b得： 1＝﹣3+b，解得b＝4， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4， 将B（3，1）代入y＝得： 1＝，解得k＝3， ∴反比例函数的解析式为； 故答案为：； （2）将A（m，3）代入y＝﹣x+4得： 3＝﹣m+4，解得m＝1， ∴A（1，3）， 由图可得，一次函数与反比例函数的交点分别为A（1，3），B（3，1）， 则≤﹣x+b得解集为：1≤x≤3； 故答案为： （3）∵点P是线段AB上一点，设P（n，﹣n+4）， ∴1≤n≤3， ∴S＝OD•PD＝•n（﹣n+4）＝﹣（n2﹣4n）＝﹣（n﹣2）2+2， ∵﹣＜0，且1≤n≤3， ∴当n＝2时，S有最大值，且最大值是2， ∴当n＝1或n＝3时，S有最小值，且最小值是． 压轴题型三：存在性问题 √满分技法 考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，已知两点求距离，轴对称最短路线问题，求得函数的解析式是解题的关键．解决存在性问题需多考虑数形结合利用方程求点的坐标事半功倍。 11．（2024年广东省初中学业水平考试数学押题）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，． (1)求k的值． (2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)存在，或或或或 【来源】2024年广东省初中学业水平考试数学押题卷（2） 【详解】（1）对于，当时，． ∴， ∴， 设点B的横坐标为t，则 ∵， ∴， 解得． ∴， 把代入中，得 ∴． （2）由（1）得，则反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴，． 设，则 ，，． ①若，即， ∴， 解得． 此时点E的坐标为．· ②若，即， ∴， 解得， 此时点E的坐标为或， ③若，即， ∴， 解得， 此时点E的坐标为或， 综上所述，x轴上存在一点或或或或，使为等腰三角形． 12．（2024年广东省广州市增城区中考一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或 【来源】2024年广东省广州市增城区中考一模数学试题 【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为， 是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 根据（1）中求点坐标，同理可得点坐标， 设直线解析式为， 代入点坐标得：， 解得：， 直线解析式为：， 设， ， 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 综上所述，符合条件的点有3个，坐标为或或． 13．（2024年广东省广州市执信中学南沙学校中考模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．    (1)求此反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为 (2)或 (3) 【来源】2024年广东省广州市执信中学南沙学校中考模拟 数学试题（四） 【分析】（1）由点在一次函数图象上即可求出值，从而得出点的坐标，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的关系式，再联立直线与反比例函数关系式成方程组，解方程组即可求出点的坐标； （2）观察函数图象，结合反比例函数的对称性，根据函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，根据点的坐标即可得出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的函数关系式，令其求出值即可得出点的坐标，再利用勾股定理求得线段的长度即可求出的周长． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象上， ， 点的坐标为． 点在反比例函数为常数且的图象上， ， 反比例函数的表达式为． 联立直线与反比例函数的表达式，得：， 解得：或， 点的坐标为． （2）解：∵， ∴， ∴观察函数图象可知：当或时，一次函数的图象在（为常数且）的图象的下方， ∴时，的取值范围为：或． （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，如图所示．   点， 点． 设直线的表达式为， 则，解得：， 直线的表达式为． 令中，令，则， 点的坐标为． ，，． ，， 的周长． 14．（2023年广东省广州市黄埔区中考二模）如图，一次函数与反比例函数交于、两点，延长交反比例函图象于点，连接．    (1)求一次函数与反比例函数表达式． (2)求的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2) (3)存在，，或，或或． 【详解】（1）将代入的得， 反比例函数的解析式为， 将代入得， ， 将，代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）过作轴于点，过作轴于点   ，，，， 的面积四边形的面积的面积，梯形的面积四边形的面积的面积， 的面积梯形的面积； （3）延长交反比例函图象于点， 点与点关于原点对称， ， 设， ，，， ①当时，， ， 解得， ，或，； ②当时，， ， 解得， ； ③当时，， ， 解得， ， 综上所述，，或，或或． 15．（2024年广东省中山市中考一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)由图像可知，当x 时，； (2)求出a，k的值； (3)若为x轴上的一动点，当的面积为时，求m的值； (4)在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，； (3)或11； (4)的坐标为或． 【来源】2024年广东省中山市中考一模联考数学试题 【详解】（1）根据图像可以看出表示一次函数在双曲线上方部分， ∴当时，； （2）由题意可知点在一次函数的图象上， ， ． 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ， ； （3）对于，令，则， 解得：， ． 令，则， ． 为轴的一动点， ， ， ， ，， ， 解得：或． （4）过作轴于， 轴， ， ，， ， 把，代入， ， 作的垂直平分线交轴于，交于，连接，并延长交轴于， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 把，代入解析式可得：， 解得：， 直线的解析式为：， 把代入， 解得：， ， 综上所述，的坐标为或． 压轴题型四：反比例函数与圆综合 √满分技法 主要考查圆周角定理，反比例函数图象的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数与反比例函数交点问题，利用数形结合思想是解决问题的关键． 16．（2022年广东省佛山市华英学校中考二模）如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，P(-4，n)是反比例函数图象上的一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B，过点A、B作直线． (1)求直线AB的表达式； (2)点M是反比例函数图象上的一点，连接线段MA，交⊙P于点Q，若，求点M坐标； (3)直线AB经过平移后，与⊙P相切，直接写出平移后的直线表达式． 【答案】(1)； (2)点； (3)两条切线的表达式为和. 【来源】2022年广东省佛山市华英学校九年级数学第二次模拟试题 【详解】（1）证明：把代入得， ∴， ∵点O在⊙P上，且 ∴线段AB是⊙P直径， 过P作轴于N， ∵，， ∴△ANP∽△AOB， ∴， ∴，即， 设直线AB为， 把，代入得； （2）如图， ∵， ∴， ∴△AOK为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴直线AK的表达式为， 由，得， 解得，（舍去）， ∴点； （3）两条切线的表达式为和， 如图，过点P作，交x轴于点E，交⊙P于点F和点H，分别过点F和点H作FH的垂线m，n，则垂线m，n即为⊙P的切线，过点F作，交AB于点， 勾股定理得， ∵P是AB中点， ∴， ∵，， ∴△FPG∽△AOB， ∴， ∴， 则直线m由直线AB往上平移个单位得到， ∴直线m的表达式为， 直线n由直线AB往下移个单位得到， ∴直线n的表达式为， ∴两条切线的表达式为和. 17．(2022年广东省广州市天河区九年级一模)如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点. (1)求双曲线的解析式： (2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值 (3)求线段OQ长度的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【来源】2022年广东省广州市天河区九年级一模数学试题 【详解】（1）解：∵点A（1，a）在直线y=x上， ∴a=1， ∴点A的坐标为（1，1）， ∴把点A坐标代入到反比例函数解析式得， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由题意得平移后的直线解析式为， 如图所示，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E， ∴点H的坐标为（0，m） ∴OH=m， ∵点C（-2，2）， ∴CE=OE=2， ∴∠COE=45°， ∴∠DOH=45°， 同理可证∠BOE=45°， ∴∠BOC=90° ，即OC⊥AB， ∵直线与直线AB平行， ∴OC与直线垂直， 又∵直线与圆C相切于点C， ∴CD与直线垂直， ∴C、O、D三点共线， ∵圆C的半径为1， ∴， ∵∠ODH=90°，∠DOH=45°， ∴∠DHO=45°， ∴， ∴， ∴ 同理当切点D在圆O上方时可以求得， 综上所述，若平移后的直线与⊙C相切，或； （3）解：如图所示，连接PB，PC，BC， 由对称性可知A、B关于原点对称，即O是AB的中点， ∴点B的坐标为（-1，-1）， ∵Q是AP的中点， ∴OQ是△APB的中位线， ∴， ∴要想OQ最大，则PB最大， ∵， ∴当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC， ∵点C（-2，2），点B（-1，-1）， ∴， ∴， ∴ 18．(21-22九下·广东佛山顺德区·一模)如图，点O是平面直角坐标系的原点，P是反比例函数（k 0，x 0）图象上的动点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A，B，连接AB． (1)求△OAB的面积； (2)当 k 4时，求线段AB的最小值； (3)在（2）的条件下，点C是反比例函数图象上的一点（不与点P重合），连接PC，AC．当ACP 是直角时，求点C横坐标的近似值（结果保留一位小数）． 【答案】(1)2k (2) (3)4.4 【来源】广东省佛山市顺德区2021-2022学年九年级下学期第一次教学质量数学试题 【详解】（1）解：作PD⊥OA于D， ∵∠AOB=90°， ∴AB是直径， ∴PO=PA， ∴OD=AD， ∵P 是反比例函数（ k 0， x 0）图象上的动点， ∴OD×PD=k， ∴S△POA=k， ∵点P是AB的中点， ∴S△OAB=2S△POA=2k； （2）∵OP=， ∴当OP最小时，AB的值最小， 当k=4时，反比例函数为， 当时，x=2（负值舍去）， 所以当P（2，2）时，OP最小为， ∴AB的最小值为； （3）由（2）知，P（2，2），A（4，0），设C（）， 过点C作CH⊥x轴于H，过点P作PG∥x轴，交CH于G， ∵∠ACP=90°， ∴∠ACH＋∠PCG=90°， ∵∠ACH＋∠CAH=90°， ∴∠PCG=∠CAH， ∵∠G=∠AHC， ∴△PCG∽CAH， ∴， ∴，化简得，， 将m的值看成是函数与函数在第一象限内交点的横坐标，画出图象为： ∴m的近视值约为4.4， ∴点C横坐标的近似值约为4.4． 19．（广东省深圳市罗湖区翠园中学2022~2023学年中考一模）如图，点P在反比例函数y＝(x＜0)上，PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA＝PB，OA、OB的长是方程t2－16t＋48＝0的两个实数根，且OA＞OB，点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D． （1）求k的值； （2）当圆心M在y轴上时，请判断四边形PAMB的形状，并说明理由； （3）当圆心M在y轴上时，设点Q是圆M上一动点，则P、Q两点之间的距离达到最大值时，求点Q的坐标． 【答案】（1）；（2）四边形PAMB是菱形，理由见解析；（3）Q（，）． 【来源】广东省深圳市罗湖区翠园中学2022~2023学年九年级下学期第一次中考模拟数学试题 【分析】（1）解方程求出OA、OB的长，进而可得点A、B的坐标，设出P点坐标，根据PA＝PB列方程求解即可； （2）易求PA＝PB＝20，设⊙M的半径为r，根据勾股定理列方程求出r的值，得出MA＝MB＝20，即可证明四边形PAMB是菱形； （3）连接PM并延长，交⊙M于点Q，此时点P、Q之间的距离达到最大值，过点P作PE⊥y轴于点E，过点Q作QF⊥y轴于点F，首先求出PM的长，然后利用三角函数分别求出FQ和MF的长即可解决问题． 【详解】解：（1）解方程t2－16t＋48＝0得：t＝4或t＝12， ∵OA、OB的长是方程t2－16t＋48＝0的两个实数根，且OA＞OB， ∴OA＝12，OB＝4，即点A、B的坐标为（−12，0）、（0，4）， ∵PA⊥x轴于点A， ∴设P点坐标为， 由PA＝PB得：， 解得：； （2）四边形PAMB是菱形； 理由：连接AM， 由（1）可得P点坐标为， ∴PA＝PB＝20， 设△ABC的外接圆⊙M的半径为r， ∵圆心M在y轴上，OA＝12，OB＝4， ∴OM＝r－4， 在Rt△AOM中，OA2+OM2＝AM2，即， 解得：r＝20， ∴MA＝MB＝20， ∴PA＝PB＝MA＝MB， ∴四边形PAMB是菱形； （3）连接PM并延长，交⊙M于点Q，此时点P、Q之间的距离达到最大值，过点P作PE⊥y轴于点E，过点Q作QF⊥y轴于点F， 当圆心M在y轴上时，由（1）（2）可知PE＝12，OE＝20，OM＝20－4＝16，MQ＝20， ∴ME＝16+20＝36， ∴PM＝， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴OF＝OM＋MF＝， ∴点Q的坐标为（，）． 【点睛】本题为反比例函数综合题，涉及到解一元二次方程、圆的基本知识、勾股定理、两点间距离公式、菱形的判定、解直角三角形等知识，明确第（3）问中PQ过圆心M时，点P、Q之间的距离达到最大值，是本题解题的关键． 20．（2023年广东省广州市从化市中考数学二模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且与轴交于点；点在反比例函数的图象上，以点为圆心，半径为的作圆与轴，轴分别相切于点、． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请连结，并求出的面积； （3）直接写出当时，的解集． 【答案】（1），；（2）4；（3）． 【来源】2023年广东省广州市从化市中考数学二模试题 【分析】（1）连接CB，CD，依据四边形BODC是正方形，即可得到B（0，2），点C（2，2），利用待定系数法即可得到反比例函数和一次函数的解析式； （2）依据OB=2，点A的横坐标为-4，即可得到△AOB的面积为：2×4×=4； （3）依据数形结合思想，可得当x＜0时，k1x+b−＞0的解集为：-4＜x＜0． 【详解】解：（1）如图，连接，， ∵⊙C与轴，轴相切于点D，，且半径为， ，， ∴四边形是正方形， ， ，点， 把点代入反比例函数中， 解得：， ∴反比例函数解析式为：， ∵点在反比例函数上， 把代入中，可得， ， 把点和分别代入一次函数中， 得出：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）如图,连接， ，点的横坐标为， 的面积为：； （3）由，根据图象可知：当时，的解集为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$