压轴题04 圆解答压轴题（5大题型）-2025年中考数学压轴题专项训练（广东专用）

压轴题04 圆解答压轴题 1. 圆的对称性 内容 补充 圆的轴对称性 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴. ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所没有的性质. ②圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线. ③圆是一个特殊的对称图形，它的许多性质都可以由它的对称性推出. 圆的中心对称性 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性. 2. 垂径定理及推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 异侧． 3. 弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等. 4. 圆周角定理 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 5.切线的性质与判定 定义 线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 性质 圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．） 解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明． 判定 1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线. 2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切. 3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时， 1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”； 3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”． 压轴题型一：垂径定理相关 √满分技法 考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键． 1．（2023年广东省清远市连州市中考一模）如图，是的直径，弦，垂足为，连接． (1)若，求的度数； (2)若切于点，当时，交于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【来源】2023年广东省清远市连州市中考一模数学试题 【分析】（1）连接，由垂径定理得 ，而，则，故是等腰直角三角形，则，再根据圆周角定理得； （2）连接，由切线的性质及圆周角定理得 ，证明，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵直径， ， 即， ， ． 是等腰直角三角形． ， ∵， ； （2）解：如图，连接， 切于点，是的直径， ， ， ， ． ． 2．（2024年广东省汕头市金平区中考二模）如图，为直径作，弦与垂直，垂足为E，、的延长线交于点F．若 ，请你解决下列问题； (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2024年广东省汕头市金平区中考二模数学试题 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵弦与垂直， ∴垂直平分， ∴． 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 过点作的垂线，垂足为， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴的长为：． 3．（2024年广东省珠海市第九中学中考一模）如图，内接于，（不是直径）与相交于点D，且，过点A作的切线交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】（1）连接，则，所以，由切线的性质证明，由垂径定理证明，则，，所以，则平分； （2）因为，，所以，由勾股定理得，求得，则，所以，则． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （2）解：， ， ，， ， ， 解得， ， ， ， 的长为10． 4．（2024年广东省佛山市中考一模）如图，已知是的半径，过上一点D作弦垂直于，连接，．线段为的直径，连接交于点． (1)求证：； (2)若平分，求的值 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2024年广东省佛山市中考一模数学试题 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）根据垂径定理得出，再根据等弧所对的圆周角相等即可得证； （2）先证，再根据直径所对的圆周角是直角得出，从而求出，再根据直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半即可得出的值，从而问题得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 5．（2023年广东省广州市花都区中考二模）如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由垂径定理，得  ，由圆周角定理，得； （2）可证得；中，勾股定理求得，于是. 【详解】（1）证明：∵  是的半径 ∴，  （垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧） ∴（同弧或等弧所对的圆周角相等） （2）解：∵  又∵ ∴（两角分别相等的两个三角形相似）   ∴（相似三角形对应边成比例） ∵   ∴ 在中     ∴（勾股定理）   即   ∴. 压轴题型二：切线相关 √满分技法 考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 6．（2023年广东省清远市连州市中考二模）如图，在中，，过B，C两点作交于点D，连接，与交于点E． (1)若，求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2023年广东省清远市连州市中考模拟数学试题（二） 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ． ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：如图，连接． 中，， ， ．     ，， ． ． ． 7．（2024年广东省大湾区联考中考二模）如图，已知是等边三角形，以为直径作，交边于点D，交边于点F，作于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的边长为2，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解：证明：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴于点D． ∵点D在上， ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接， ∵为直径， ∴． ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 8．（2024年广东省广州市黄埔区广大附中黄埔实验学校中考三模）如图，等腰内接于，，是边上的中线，是的外接圆． (1)过点C作的平行线交的延长线于点E，交于点F，连接． (2)求证：为的切线； (3)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 (3) 【来源】2024年广东省广州市黄埔区广大附中黄埔实验学校中考三模数学试题 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）证明，得出，则四边形是平行四边形，，作于．得出为的垂直平分线．则．又点在上，即可得证； （3）过点作于，连接．垂径定理得出，勾股定理得，进而可得，勾股定理求得，证明，可得，根据相似三角形的性质得出，，然后求得，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：补全图形，如图： （2）证明，∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． 作于．    又∵， ∴为的垂直平分线． ∴点在上． ∴． 即．又点在上， ∴为的切线； （3）解：过点作于，连接．    ∵为的垂直平分线， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴ ∴， 又， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 9．（2024年广东省湛江市廉江市良垌第三中学中考一模）如图，线段经过的圆心，交于，两点，为的弦，连接，，连接并延长，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【来源】2024年广东省湛江市廉江市良垌第三中学中考一模数学试题 【详解】（1）证明：， ， ， 即， 是的半径， 直线是的切线； （2）证明：由（1）知，， ， ， ， ； （3）解：设， 在中，， 解得：， 即，， 由勾股定理得：， ， 连接，如图， 是的直径， ， 即， ， ； ， ， 解得：． 10．（2024年广东省深圳市光明区中考二模）如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接． (1)求证：是的切线： (2)若，求切线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2024年广东省深圳市光明区中考二模数学试题 【分析】（1）连接，由垂径定理可得，通过，得，通过，可得，根据切线的判定定理，即可求解； （2）由三角形的中位线得到，， 在中，根据勾股定理，得到的长，，在中，根据正切三角函数，即可求解， 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴是的切线， （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中，，， 在中，， 故答案为：． 压轴题型三：面积相关 √满分技法 考查了图形的旋转、圆的相关概念及性质、圆周角定理及推论、等腰直角三角形的性质、三角形相似模型、平行四边形的性质、扇形面积等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键． 11．（2024年广东省深圳市宝安区中考模拟）如图，已知等腰，，作的外接圆为，小明同学利用尺规按以下步骤作图： ①以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于两点， ②再以点A为圆心，以相同长度为半径画弧交于点M， ③以点M为圆心，以两弧交点间的距离为半径，交第一个弧于点N；过点C作的垂线交射线于点D，为∠CAD的角平分线； (1)求证：是的切线； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2024年广东省深圳市宝安区中考模拟数学备考冲刺试题1 【详解】（1）证明：连接并延长，交于H， ∵是的外接圆，     ∴平分，        ∵， ∴， ∴，    ∴ 由作图可知， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线. （2）解：过E作交于F， ∴ ∵平分， ∴， ∴，              ∴， ∵，， ∴， ∴ ，                  ∵，平分， ∴=1， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，          ∵， ∴， ∴ 12． （2024年广东省揭阳市普宁市中考一模）如图，在中，连接，以为直径的半圆O，从与共线开始绕点D逆时针旋转，直线与第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接，当，与线段有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知，，． (1)求的度数； (2)当点Q在上时，设，，请求出y与x的关系式； (3)当与重合时，求半圆O与所围成的弓形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2024年广东省揭阳市普宁市中考一模数学试题 【详解】（1）连接，如图1所示：      点K为半圆O的中点， ， ， 为直径， ， 在中，； （2）如图2所示：      ，， ， 在等腰中，， 则由勾股定理可得，         ， ， ， ，             ， 即， ； （3）解：当与重合时， ， 点K在上，连接，如图3所示：      点K是半圆O的中点， ．                 ， ， ，                         半圆O与所围成的弓形的面积为； 13．（2024年广东省深圳市福田区实验教育集团侨香学校中考三模）如图，点A、B、C在圆O上，，点O在上．    (1)求证：直线与相切； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】2024年广东省深圳市福田区实验教育集团侨香学校中考三模数学试题 【详解】（1）证明：连接，如图1所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵为的半径， ∴直线与相切； （2）解：连接，过点O作于E，过点O作于F，如图2所示：    ∵，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ． ∴． 14．（2024年广东省广州市增城区中考一模）如图，已知是的外接圆，连接，，过点作，交的延长线于，交于，． (1)求证：是的切线；； (2)若，．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：设，则， ， ∵， 在中，由勾股定理可知：， ， ，（舍去）， ， 的半径为4，； ∴， ， 图中阴影部分的面积． 15．（2023年广东省河源市连平县中考二模）如图，是的直径，是的一条弦，直线为的切线，，交的延长线于点E (1)求证：； (2)连接，延长交于点F，延长交于点G．当F为的中点时，求证：； (3)若的半径为6，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【来源】2023年广东省河源市连平县中考二模数学试题 【详解】（1）证明：连接，如图1，    图1 ∵直线为的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图2，连接并延长交于，    图2 ∵， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由（1），， ∴， ∴； （3）解：如图3，    图3 由（1）， 由（2）， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴是等边三角形， ∴，， ． 压轴题型四：圆与三角函数综合 √满分技法 考查圆综合题、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．需熟记三角函数定义和特殊三角函数值。 16．（2024年广东省中山市纪中集团中考三模）如图，已知以的边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于，，    (1)求证：是切线； (2)求； (3)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【来源】2024年广东省中山市纪中集团中考三模数学试题 【详解】（1）证明：连接，   是的平分线， ． ， ． ．          ， ，      ．        ， ． 在上， 是的切线． （2）解：， ． ， 又， ．   又， ． ． ，， ，则． ，则=2.5． ， ． （3）解：， ． 设，， ， ，即． ． ． ． ． ， ． ． ． 在中，设，， ，即 ， ∴= 17．(2023年广东省广州市天河区九年级二模)如图，线段是的直径，弦于点H，点M是上任意一点，，． (1)求的半径r的长度； (2)求 (3)直线交直线于点，直线交于点，连接交于点，求的值 【答案】(1)5 (2) (3)16 【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解决问题； （2）只要证明，求出即可； （3）由，推出，推出，又，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中，连接， ， ， 在中， ，， ∴ ， ． （2）解：如图1中，连接． ，是直径， ， ， ， ， ． （3）解：如图2中，连接． 是直径， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ． 18．（2023年广东省中山市中考一模）如图，是的直径，是的弦，C是延长线上一点，过点B作交于E，交于F，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、解直角三角形． （1）连接，等边腰三角形的性质和三角形外角性质可得，于是，得到，进而，以此即可得到证明； （2）由，得到，代入，即可解得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， 解得． 19．(2023年广东省广州市天河区九年级三模)如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接．并延长交于点F，连接交于点G． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用圆周四等分点得到，再根据切线的性质得到，所以，从而可判断平分； （2）根据圆内接四边形的性质证明，则可利用“”判断； （3）过G点于H点，如图，先利用得到，所以，再根据圆周角定理得到，则可计算出，接着，所以，然后利用勾股定理计算出，于是根据余弦的定义可计算出的值． 【详解】（1）证明：∵点A，B，C，D为圆周的四等分点， ∴，为直径， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：过G点于H点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 即的值为． 20．（2024年广东省深圳市香港中文大学（深圳）附属礼文学校中考模拟）如图，在中，，O为边上一点，已知过点B且经过边上的点D，．连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2024年广东省深圳市香港中文大学（深圳）附属礼文学校中考模拟数学试题 【分析】（1）连接，由，，，根据“”证明，得，即可证明是的切线； （2）设的半径为r，则，，由，求得，再证明，得，则，求得的半径长为． 【详解】（1）证明：连接， ，，， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：设的半径r，则，， ， ， ，， ， ， ， ∴， ， 解得， 的半径长为． = 压轴题型五：圆与相似综合 √满分技法 考查了圆的有关知识，圆周角定理，切线的判定与性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 21．（2025年广东省清远市连州市北山中学九年级数学中考一模）如图，是的直径，是的切线，为切点，交于点，点是弧的中点，与交于点． (1)当时，=_______； (2)求证：； (3)已知，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【来源】2025年广东省清远市连州市北山中学九年级数学中考一模试卷 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，角平分线的性质等知识点，掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据题意可知，，进而利用直角三角形两锐角互余即可求解； （2）由（1）可知，，，进而可得，由点是弧的中点，可知，即可证明结论； （3）在中，由勾股定理可得：，结合（2）可证明，平分，在根据相似三角形的性质得，，设点到、的距离为，，则，结合等面积法可得，即，进而求得答案． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴，则， 又∵是的切线， ∴，则， ∴， 故答案为：； （2）证明：由（1）可知，，， ∴，则， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴； （3）在中，由勾股定理可得：， 由（2）可知，， ∴，平分， ∴，即， ∴，， 设点到、的距离为，，则， ∴，则，即：， ∵， ∴． 22．(24-25九下·广东潮州高级实验学校·模拟)如图，是的直径，C为外一点，连接，交于点D，连接并延长，交线段于点E，． (1)求证：． (2)判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)与相切，理由见解析 【来源】广东省潮州市高级实验学校2024-2025学年九年级下学期数学科阶段性考试模拟题卷 【分析】（1）证明，结合，可得，进一步可得结论； （2）根据圆周角定理得到，再利用等量代换得到，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与相切，理由如下： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴与相切． 23．（2023年广东省阳江市阳春市中考一模）如图，是的直径，C 是圆上的一点， 于点D，交于点 F，连接，若平分，过点 F 作于点 G，交于点 H． (1)求证：是的切线； (2)延长与交于点 E，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2023年广东省阳江市阳春市中考一模数学试题 【分析】对于（1），连接，根据等腰三角形的性质得，由角平分线定义得，等量代换得，根据平行线得判定定理得到，由平行线得性质得出答案； 对于（2），设，则，即可得的值，再根据勾股定理求出的值，证明，可得答案． 【详解】（1）连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵， 设，则， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 24．（2024年广东省深圳高级中学北校区中考模拟）如图，内接于，平分交边于点，交于点，过点作于点，已知的直径为6． (1)过点作直线，求证：是的切线 (2)若，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【来源】2024年广东省深圳高级中学北校区中考模拟数学试题 【分析】（1）连接，由角平分线的性质可得，可得，由等腰三角形的性质可得，可证，可得结论； （2）连接并延长交于，通过证明，可得，可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，连接，，， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：如图2，连接并延长交于，连接， 是直径， ， 又， ， ， ， ，，， ． 25．（2023年广东省韶关市九年级中考三模）如图，为的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作与的延长线交于点G，与的延长线交于点F，与交于点E． (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接，利用垂径定理和平行线的性质即可证明； （2）连接，由为劣弧的中点，得出，则，．又根据，得出，推出，设，则，解方程即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为劣弧的中点， ， ． ， ， 为的半径， 是的切线； （2）证明：连接，如图， 为劣弧的中点， ， ，． ， ， ， 设，则． ． ． 为的直径， ， ． 的半径为， ． ， 解得：或（不合题意，舍去）， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题04 圆解答压轴题 1. 圆的对称性 内容 补充 圆的轴对称性 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴. ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所没有的性质. ②圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线. ③圆是一个特殊的对称图形，它的许多性质都可以由它的对称性推出. 圆的中心对称性 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性. 2. 垂径定理及推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 异侧． 3. 弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等. 4. 圆周角定理 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 5.切线的性质与判定 定义 线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 性质 圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．） 解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明． 判定 1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线. 2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切. 3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时， 1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”； 3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”． 压轴题型一：垂径定理相关 √满分技法 考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键． 1．（2023年广东省清远市连州市中考一模）如图，是的直径，弦，垂足为，连接． (1)若，求的度数； (2)若切于点，当时，交于点，求的长． 2．（2024年广东省汕头市金平区中考二模）如图，为直径作，弦与垂直，垂足为E，、的延长线交于点F．若 ，请你解决下列问题； (1)求证：； (2)若，求的长． 3．（2024年广东省珠海市第九中学中考一模）如图，内接于，（不是直径）与相交于点D，且，过点A作的切线交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 4．（2024年广东省佛山市中考一模）如图，已知是的半径，过上一点D作弦垂直于，连接，．线段为的直径，连接交于点． (1)求证：； (2)若平分，求的值 5．（2023年广东省广州市花都区中考二模）如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 压轴题型二：切线相关 √满分技法 考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 6．（2023年广东省清远市连州市中考二模）如图，在中，，过B，C两点作交于点D，连接，与交于点E． (1)若，求证：是的切线； (2)若，求的值． 7．（2024年广东省大湾区联考中考二模）如图，已知是等边三角形，以为直径作，交边于点D，交边于点F，作于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的边长为2，求的长度． 8．（2024年广东省广州市黄埔区广大附中黄埔实验学校中考三模）如图，等腰内接于，，是边上的中线，是的外接圆． (1)过点C作的平行线交的延长线于点E，交于点F，连接． (2)求证：为的切线； (3)若的半径为5，，求的长． 9．（2024年广东省湛江市廉江市良垌第三中学中考一模）如图，线段经过的圆心，交于，两点，为的弦，连接，，连接并延长，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 10．（2024年广东省深圳市光明区中考二模）如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接． (1)求证：是的切线： (2)若，求切线的长． 压轴题型三：面积相关 √满分技法 考查了图形的旋转、圆的相关概念及性质、圆周角定理及推论、等腰直角三角形的性质、三角形相似模型、平行四边形的性质、扇形面积等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键． 11．（2024年广东省深圳市宝安区中考模拟）如图，已知等腰，，作的外接圆为，小明同学利用尺规按以下步骤作图： ①以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于两点， ②再以点A为圆心，以相同长度为半径画弧交于点M， ③以点M为圆心，以两弧交点间的距离为半径，交第一个弧于点N；过点C作的垂线交射线于点D，为∠CAD的角平分线； (1)求证：是的切线； (2)若，求的面积． 12． （2024年广东省揭阳市普宁市中考一模）如图，在中，连接，以为直径的半圆O，从与共线开始绕点D逆时针旋转，直线与第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接，当，与线段有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知，，． (1)求的度数； (2)当点Q在上时，设，，请求出y与x的关系式； (3)当与重合时，求半圆O与所围成的弓形的面积．                13．（2024年广东省深圳市福田区实验教育集团侨香学校中考三模）如图，点A、B、C在圆O上，，点O在上．    (1)求证：直线与相切； (2)若，求图中阴影部分的面积． 14．（2024年广东省广州市增城区中考一模）如图，已知是的外接圆，连接，，过点作，交的延长线于，交于，． (1)求证：是的切线；； (2)若，．求图中阴影部分的面积． 15．（2023年广东省河源市连平县中考二模）如图，是的直径，是的一条弦，直线为的切线，，交的延长线于点E (1)求证：； (2)连接，延长交于点F，延长交于点G．当F为的中点时，求证：； (3)若的半径为6，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 压轴题型四：圆与三角函数综合 √满分技法 考查圆综合题、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．需熟记三角函数定义和特殊三角函数值。 16．（2024年广东省中山市纪中集团中考三模）如图，已知以的边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于，，    (1)求证：是切线； (2)求； (3)求的值． 17．(2023年广东省广州市天河区九年级二模)如图，线段是的直径，弦于点H，点M是上任意一点，，． (1)求的半径r的长度； (2)求 (3)直线交直线于点，直线交于点，连接交于点，求的值 18．（2023年广东省中山市中考一模）如图，是的直径，是的弦，C是延长线上一点，过点B作交于E，交于F，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求的长． 19．(2023年广东省广州市天河区九年级三模)如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接．并延长交于点F，连接交于点G． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，求的值． 20．（2024年广东省深圳市香港中文大学（深圳）附属礼文学校中考模拟）如图，在中，，O为边上一点，已知过点B且经过边上的点D，．连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． = 压轴题型五：圆与相似综合 √满分技法 考查了圆的有关知识，圆周角定理，切线的判定与性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 21．（2025年广东省清远市连州市北山中学九年级数学中考一模）如图，是的直径，是的切线，为切点，交于点，点是弧的中点，与交于点． (1)当时，=_______； (2)求证：； (3)已知，，求的长． 22．(24-25九下·广东潮州高级实验学校·模拟)如图，是的直径，C为外一点，连接，交于点D，连接并延长，交线段于点E，． (1)求证：． (2)判断与的位置关系，并证明你的结论． 23．（2023年广东省阳江市阳春市中考一模）如图，是的直径，C 是圆上的一点， 于点D，交于点 F，连接，若平分，过点 F 作于点 G，交于点 H． (1)求证：是的切线； (2)延长与交于点 E，若，求的值． 24．（2024年广东省深圳高级中学北校区中考模拟）如图，内接于，平分交边于点，交于点，过点作于点，已知的直径为6． (1)过点作直线，求证：是的切线 (2)若，，求． 25．（2023年广东省韶关市九年级中考三模）如图，为的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作与的延长线交于点G，与的延长线交于点F，与交于点E． (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，，求的长度． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$