压轴题03 反比例函数填空压轴题（4大题型）-2025年中考数学压轴题专项训练（广东专用）

压轴题03 反比例函数填空压轴题（4大题型） 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 压轴题型一：反比例函数求K值 √满分技法 考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 1．（2024年广东省深圳市宝安实验学校中考三模）如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】 【来源】2024年广东省深圳市宝安实验学校中考三模数学试题 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作轴于点， ∵，平分，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，且，，， ∴， 解得，，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为： ． 2．（2024年广东省深圳市南山区桃源中学中考三模）如图，双曲线与直线相交于两点， C 为y轴上一点，与双曲线相交于点D，  若的面积为30，，则k的值为    【答案】6 【来源】2024年广东省深圳市南山区桃源中学中考三模数学试题 【详解】解：如图，连接，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，．   双曲线与直线相交于、两点， 令，解得或． ，， 点，关于原点对称， ， 的面积为30， 的面积为15． ， 的面积，的面积为． 轴，轴， ， ， ， ． 过点作轴的垂线，交于点， 则， ． 解得． 故答案为：6． 3．（2024年广东省深圳市龙岗区中考模拟）如图，在中，，点，均落在坐标轴上且，点的坐标为，将向上平移得到，若点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【答案】9 【来源】2024年广东省深圳市龙岗区中考模拟数学试题 【分析】作轴于点，与，证明，求出的长度，进而求出点的坐标，设向上平移个单位，用表示出和，根据两点都在反比例函数图象上，即可求出的值． 【详解】解：作直线轴于点，直线与， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴ ，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ，， ， 设向上平移个单位， 则，则， 又点和在该比例函数图象上， ， 解得， ， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的变化平移，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的知识． 4．（2024年广东省深圳市宝安区海韵学校中考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点C，E．若正方形的面积为10，则k的值是 ．    【答案】4 【来源】2024年广东省深圳市宝安区海韵学校中考二模数学试题 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用全等三角形的判定与性质求出点C的坐标是解题的关键．设点C的坐标为，过点C作轴，证明，得出点E的坐标，再根据点C和点E都在反比例函数的图象上，根据正方形面积结合勾股定理即可求解． 【详解】解：设点C的坐标为，过点C作轴，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则点A的坐标为， ∵点E为正方形对角线的交点， ∴点E为的中点， ∴点E的坐标为，即， ∵点C和点E都在反比例函数的图象上， ， ∴， ∴， ∵正方形的面积为10， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∴． 故答案为：4． 5．（2024年广东省深圳市宝安区中考一模）如图，正方形的顶点在轴上，点A和点C在反比例函数图象上，若直线的函数表达式为，则的值为 ． 【答案】6 【分析】解方程求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：在中，令，则， 令，则， ，， ，， 过作轴于，过作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图象上， ， ，（不合题意舍去）， ， ， 故答案为：6． 压轴题型二：反比例函数求面积 √满分技法 考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质等，正确添加辅助线是解题的关键. 6．（2023年广东省惠州市中考三模）如图，已知函数经过点，延长交双曲线另一分支于点C，过点A作直线交y轴正半轴于点D，交x轴负半轴于点E，交双曲线另一分支于点B，且．则的面积 ． 【答案】16 【详解】解：把点代入， ， 反比例函数的表达式为； ， ， 如图，过点作轴，垂足为， ， ，， ， ， 点， ， ， ，即； 设直线的表达式为：， ， 解得， 直线的表达式为：； 直线和反比例函数都关于原点对称，且， ， 联立， 解得或， ， 过点作轴的平行线交于点，则， ， ． 7．（2021年广东省深圳市南山区南山外国语学校一模）如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足分别为，．反比例函数的图象经过的中点，与，分别交于点，．连接并延长交轴于点，则的面积是 ． 【答案】 【来源】2021年广东省深圳市南山区南山外国语学校九年级第一次模拟考试数学试卷（4月） 【分析】先求出k=3，再由S△BDF=S△OBD= S△BOA- S△OAD，即可求解． 【详解】解：设点B(s,t)，则st=12， ∵M是OB的中点， ∴点M(s,t)， 则k=st=st=3， 连结OD，如图所示： ∵BA⊥y轴， ∴BA∥OF， ∴S△BDF=S△OBD= S△BOA- S△OAD=×12-×3=． 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质等知识．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 8．（2023年广东省东莞市中考一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）与正比例函数y=kx、 （k＞1）的图象分别交于点A、B，若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是 . 【答案】2 【详解】【分析】作BD⊥x轴，AC⊥y轴，OH⊥AB（如图），设A（x1，y1），B（x2  ， y2），根据反比例函数k的几何意义得x1y1=x2y2=2；将反比例函数分别与y=kx，y=联立，解得x1=，x2=，从而得x1x2=2，所以y1=x2， y2=x1， 根据SAS得△ACO≌△BDO，由全等三角形性质得AO=BO，∠AOC=∠BOD，由垂直定义和已知条件得∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，根据AAS得△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，根据三角形面积公式得S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2. 【详解】如图：作BD⊥x轴，AC⊥y轴，OH⊥AB， 设A（x1，y1），B（x2  ， y2）， ∵A、B在反比例函数上， ∴x1y1=x2y2=2， ∵， 解得：x1=， 又∵， 解得：x2=， ∴x1x2=×=2， ∴y1=x2， y2=x1， 即OC=OD，AC=BD， ∵BD⊥x轴，AC⊥y轴， ∴∠ACO=∠BDO=90°， ∴△ACO≌△BDO（SAS）， ∴AO=BO，∠AOC=∠BOD， 又∵∠AOB＝45°，OH⊥AB， ∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°， ∴△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO， ∴S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2， 故答案为2. 9．（2024年广东省清远市英德市中考二模）如图为反比例函数的图像，点为反比例函数图像上一点，点坐标为，以为边作菱形，使得点在轴上，则的面积是 ． 【答案】 【来源】2024年广东省清远市英德市中考二模数学试题 【详解】解：如图所示，连接交轴于点， ∵反比例函数，点坐标为 ∴ ∵四边形是菱形， ∴ 故答案为：． 10．（2022年广东省深圳市宝安区中考一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点P，且AC过原点O，DB交x轴于点Q，轴，点C的坐标为（9，6），反比例函数的图像经过A，P两点，则△OPQ的面积是 ． 【答案】/ 【来源】2022年广东省深圳市宝安区中考数学备考冲刺题--模拟卷（一） 【详解】解：在菱形中，对角线与互相垂直且平分， ， 经过原点，且反比例函数的图象恰好经过A，两点， 由反比例函数图象的对称性知： ， ， 过点和点作轴的垂线，垂足为和，如图所示： ∵轴，轴， ∴， ， ， 点的坐标为， ，， ，， ∴， ∵四边ABCD为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 压轴题型三：反比例函数求坐标 √满分技法 考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数和一次函数解析式，坐标与图形，熟练掌握一次函数和的反比例函数的图象与性质是解题的关键． 11． （2025年广东省初中学业水平考试模拟）如图，在中，轴，两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点将绕点顺时针旋转得到，使点落在轴上的点处，点的对应点为，则点的坐标是 ． 【答案】/ 【来源】2025年广东省初中学业水平考试模拟测试3卷数学试题 【分析】设，先求出，作轴于轴于，由旋转的性质得，，，证明，在中，求出，，证明求出，进而可求出点E的坐标． 【详解】解：∵轴，， ∴设， ∵， ∴， ∵点B在的图象上， ∴， 解得， ∴． 作轴于轴于，如图． 绕点顺时针旋转得到， ， ∵轴，， ∴，，，三点共线， ∵， ， 在中， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 点坐标为． 故答案为：． 12．（2023年广东省深圳市宝安区中考三模）如图，点A反比例函数的图象在第一象限上的动点，连接并延长交另一分支于点B，以为直角边作等腰直角（其中），并使点C落在第二象限，边交x轴于点D，若与的面积之比为，则点C的坐标为 ． 【答案】/ 【来源】2023年广东省深圳市宝安区中考模拟数学试题3 【详解】解：如图，过作轴，过作交轴于，过作，过作轴， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ， 与的面积之比为， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ∴． 故答案为： 13．(2023年广东省清远市中考二模)如图，，两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为 ． 【答案】和 【详解】解：∵，两点在反比例函数的图象上， ∴，反比例函数解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， ∵当时，，，， ∴整点在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中， ∵，当时，，， ∴整点在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中， 综上所述，线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为和， 故答案为：和． 14．（2024年广东省汕头市澄海实验学校中考二模）如图，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点P，点P在反比例函数的图象上，延长交x轴于点C，延长交y轴于点D，连结，则点P坐标为 ， ． 【答案】 4 【详解】解：如图，过点P作，，，垂足分别为M、N、H， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， 设， 则点P的坐标为：， ∴， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为：， 设， 则， ∵,， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴,， ∴，， ∴ 故答案为：；4． 15．（2024年广东省东莞市清溪中学中考一模）如图，矩形的顶点B和正方形的顶点E都在反比例函数的图象上，点B的坐标为，则点E的坐标为 ． 【答案】 【来源】2024年广东省东莞市清溪中学中考一模数学试题 【详解】点B的坐标为在反比例函数的图象上， 反比例函数的解析式为 四边形是正方形 又点在反比例函数图像上 不妨设 ，那么 ， 故答案为：． 压轴题型四：反比例函数与三角函数综合 √满分技法 考查反比例函数的综合应用、角平分线的性质、已知正弦值求边长，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与三角函数的知识点． 16．(24-25九下·广东深圳罗湖外语实验学校·月考)如图，在直角坐标系中，菱形的顶点均在坐标轴上，且，．若反比例函数经过边的中点，则 ． 【答案】 【来源】广东省深圳市罗湖外语实验学校2024-2025学年九年级下学期2月月考数学试卷 【详解】解：在中，，， 设，则，由勾股定理得， ， 即， 解得（取正值）， ， 四边形是菱形，且顶点都在坐标轴上， ，，， 点是的中点，，， 点， 点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 17．（2022年广东省深圳市宝安区中考二模）如图，点A在反比例函数y=(x＞0)上，过点A作AC⊥x轴于点C、C为x轴正半轴上一点，连接AB交y轴于点D，sin∠ABC=，AO平分∠BAC，此时，，则k的值为 ． 【答案】/ 【来源】2022年广东省深圳市宝安区中考数学备考冲刺题--模拟卷（二） 【详解】解：设点纵坐标为，则点坐标为，，作垂直于轴于点， ， ， ， ， 解得或（舍， ，，， 作垂直于轴于点， AO平分∠BAC， ， ， 即， 解得：， 点坐标为， ． 故答案为：． 18．（2024年广东省清远市连山县中考三模）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．    【答案】 【分析】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解． 方法二：根据已知得出则，即可求解． 【详解】解：方法一：∵， ∴ 设，则， ∴ ∵矩形的面积是6，是对角线， ∴的面积为，即 ∴ 在中， 即 即 解得： 在中， ∵对角线轴，则， ∴, ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， 方法二：∵， ∴ 设，则， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 19．（2021年广东省广州市花都区中考数学一模）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点是对角线，的交点，反比例函数的图象经过，两点．已知，则的长为 ． 【答案】 【来源】2021年广东省广州市花都区中考数学一模试卷 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵点是对角线，的交点，， ∴， ∵反比例函数的图象经过，两点， ∴， 解得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（2024年广东省梅州市中考二模）如图，反比例函数的图象上有一动点A，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，，则 ．    【答案】 【详解】解：连接，作轴于点M，轴于点N，如图，    由题意可知，点A、点B关于原点对称， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 而， ∴， ∵， 而， ∴ 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题03 反比例函数填空压轴题（4大题型） 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 压轴题型一：反比例函数求K值 √满分技法 考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 1．（2024年广东省深圳市宝安实验学校中考三模）如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 2．（2024年广东省深圳市南山区桃源中学中考三模）如图，双曲线与直线相交于两点， C 为y轴上一点，与双曲线相交于点D，  若的面积为30，，则k的值为    3．（2024年广东省深圳市龙岗区中考模拟）如图，在中，，点，均落在坐标轴上且，点的坐标为，将向上平移得到，若点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值是 ． 4．（2024年广东省深圳市宝安区海韵学校中考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点C，E．若正方形的面积为10，则k的值是 ．    5．（2024年广东省深圳市宝安区中考一模）如图，正方形的顶点在轴上，点A和点C在反比例函数图象上，若直线的函数表达式为，则的值为 ． 压轴题型二：反比例函数求面积 √满分技法 考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质等，正确添加辅助线是解题的关键. 6．（2023年广东省惠州市中考三模）如图，已知函数经过点，延长交双曲线另一分支于点C，过点A作直线交y轴正半轴于点D，交x轴负半轴于点E，交双曲线另一分支于点B，且．则的面积 ． 7．（2021年广东省深圳市南山区南山外国语学校一模）如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足分别为，．反比例函数的图象经过的中点，与，分别交于点，．连接并延长交轴于点，则的面积是 ． 8．（2023年广东省东莞市中考一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）与正比例函数y=kx、 （k＞1）的图象分别交于点A、B，若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是 . 9．（2024年广东省清远市英德市中考二模）如图为反比例函数的图像，点为反比例函数图像上一点，点坐标为，以为边作菱形，使得点在轴上，则的面积是 ． 10．（2022年广东省深圳市宝安区中考一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点P，且AC过原点O，DB交x轴于点Q，轴，点C的坐标为（9，6），反比例函数的图像经过A，P两点，则△OPQ的面积是 ． 压轴题型三：反比例函数求坐标 √满分技法 考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数和一次函数解析式，坐标与图形，熟练掌握一次函数和的反比例函数的图象与性质是解题的关键． 11． （2025年广东省初中学业水平考试模拟）如图，在中，轴，两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点将绕点顺时针旋转得到，使点落在轴上的点处，点的对应点为，则点的坐标是 ． 12．（2023年广东省深圳市宝安区中考三模）如图，点A反比例函数的图象在第一象限上的动点，连接并延长交另一分支于点B，以为直角边作等腰直角（其中），并使点C落在第二象限，边交x轴于点D，若与的面积之比为，则点C的坐标为 ． 13．(2023年广东省清远市中考二模)如图，，两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为 ． 14．（2024年广东省汕头市澄海实验学校中考二模）如图，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点P，点P在反比例函数的图象上，延长交x轴于点C，延长交y轴于点D，连结，则点P坐标为 ， ． 15．（2024年广东省东莞市清溪中学中考一模）如图，矩形的顶点B和正方形的顶点E都在反比例函数的图象上，点B的坐标为，则点E的坐标为 ． 压轴题型四：反比例函数与三角函数综合 √满分技法 考查反比例函数的综合应用、角平分线的性质、已知正弦值求边长，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与三角函数的知识点． 16．(24-25九下·广东深圳罗湖外语实验学校·月考)如图，在直角坐标系中，菱形的顶点均在坐标轴上，且，．若反比例函数经过边的中点，则 ． 17．（2022年广东省深圳市宝安区中考二模）如图，点A在反比例函数y=(x＞0)上，过点A作AC⊥x轴于点C、C为x轴正半轴上一点，连接AB交y轴于点D，sin∠ABC=，AO平分∠BAC，此时，，则k的值为 ． 18．（2024年广东省清远市连山县中考三模）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．    19．（2021年广东省广州市花都区中考数学一模）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点是对角线，的交点，反比例函数的图象经过，两点．已知，则的长为 ． 20．（2024年广东省梅州市中考二模）如图，反比例函数的图象上有一动点A，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，，则 ．    2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$