压轴题01 二次函数性质选择压轴题（4大题型）-2025年中考数学压轴题专项训练（广东专用）

压轴题01 二次函数性质选择压轴题 一、二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二、二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 三、二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 压轴题型一：二次函数增减性 √满分技法 考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质．求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案． 1．（2024年广东省梅州市中考二模）已知抛物线（）的对称轴为直线，且经过点，，则与的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵二次函数的图像的对称轴为直线， 又∵， ∴该函数图像的开口向上， ， ∴点离对称轴的距离比点要远， ， 故选：A． 2．（2024年广东省广州市越秀区中考二模）已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点．，，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2024年广东省广州市越秀区中考二模数学试题 【详解】解：∵二次函数中的， ∴抛物线开口向下， ∴距离对称轴越远，其函数值越小， ∵，，在的图象上， ∴对称轴为直线， ∵，，， 即点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴， 故选：C． 3．（2024年广东省佛山市中考模拟）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2024年广东省佛山市中考模拟数学试题 【详解】解：， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， ， ， 故选：D． 4．(2023年广东省清远市中考二模)已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，C，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴二次函数的开口向下，对称轴是直线， ∴时，y随x的增大而减小， ∵C点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：A． 5．（2023年广东省惠州市惠城区中考模拟）点均在二次函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴图象的开口向上，对称轴是直线，时，y随x的增大而增大， 关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 故选：D． 压轴题型二：二次函数最值问题 √满分技法 二次函数图像的性质，首先计算二次函数的对称轴，结合题意，可计算得函数的最大值；再结合二次函数的图像，计算取值范围内二次函数的最小值，即可得到答案． 6．（2024年广东省东莞市东莞中学中考三模）已知是一元二次方程的一个根，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【来源】2024年广东省东莞市东莞中学中考三模数学试题 【详解】解：将代入一元二次方程，得： ， ∴， 则， 设，则： ， 变形，得：． ∴当时，可以取得最小值， ∴的最小值为． 故选：D． 7．（2024年广东省 深圳市盐田区中考一模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值8 D．最小值8 【答案】B 【来源】2024年广东省 深圳市盐田区中考一模数学试题 【详解】解：由题意可得：， 解得：，． 二次函数，对称轴在轴右侧， ∴ ． ∴． ． ∵，抛物线开口向上， 二次函数有最小值为：． 故选：B． 8．（2023年广东省茂名市化州市中考二模）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2023年广东省茂名市化州市中考二模数学试题 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 当时，， 与轴的交点为， 其大致图象如图所示： ， 由对称性可知，当时，或， ∵二次函数在闭区间上有最大值3，最小值2， ， 故选：C． 9．（2024年广东省汕头市潮阳区中考模拟）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 当，，则抛物线与y轴的交点为， 关于的对称点为， 如图所示， ∵当时，y最大值为3，最小值为2， ∴． 故选：C． 10．（2024年广东省佛山市华英学校中考一模）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（    ）． A．有最大值6，有最小值-3 B．有最大值5，有最小值-3 C．有最大值6，有最小值5 D．有最大值6，有最小值-1 【答案】A 【详解】∵ ∴二次函数图像的对称轴为： ∵，且 ∴当时，函数取最大值   又∵在右侧，y随着x的增大而减小；在左侧，y随着x的增大而增大 ∴当时， 当时， ∵ ∴，二次函数取最小值-3 故选：A． 压轴题型三：二次函数性质与面积相关 √满分技法 重点考查平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、一次函数的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法。 11．（2024-2025学年深圳市龙岗区2月校联考九年级中考一模）已知二次函数的图像与轴分别交于点，，与一次函数的图像分别交于点，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2024-2025学年深圳市龙岗区2月校联考九年级中考一模数学试卷 【详解】解：对于一次函数， 当时，得：， 解得：， ∵二次函数的图像与轴分别交于点，， 当时，得：， 解得：或， ∴，， ∵二次函数的图像与一次函数的图像分别交于点，， ∴， 解得：或， ∴， ∴， ∴的面积是． 故选：C． 12．（2024年广东省阳江市江城区中考二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．顶点为，把这条抛物线向上平移至顶点落在轴上，则两条抛物线、对称轴和轴围成的图形（图中阴影部分）的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】2024年广东省阳江市江城区中考二模数学试题 【详解】解：如图连接、． 与轴交于，两点，与轴交于点， ∴顶点的坐标为， 平移后顶点的坐标为， ∴抛物线向上平移了1个单位． ． 故选：B． 13．(2023年广东省广州市天河区九年级二模)如图，直线与抛物线交于A、B两点，点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积是（　　）． A．3 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：联立解析式得：，解得：或， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 如图：作点A关于y轴的对称点，连接与y轴的交于P，则此时的周长最小， 点的坐标为，点B的坐标为， 设直线的函数解析式为, ，解得：， ∴直线的函数解析式为， 当时，，即点P的坐标为， 将代入直线中，得， ∵直线与y轴的夹角是， ∴点P到直线的距离是：， ∴的面积是：． 故选C． 14．(23-24九下·广东深圳福田区红岭中学（红岭教育集团）·开学考)如图，在平行四边形 中，，点 从点 出发，以 的速度沿 匀速运动，点 从点 出发；以 的速度沿 匀速运动，其中一点停止时，另一点随之停止运动，图是 的面积 时间 变化的函数图象，当 的面积为 时，运动时间 为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【来源】广东省深圳市福田区红岭中学（红岭教育集团）2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题 【分析】当时，点在上运动，而点继续在上运动，可求得，，由勾股定理得，然后分当时和当时两种情况讨论即可，求出与之间的函数关系式是解题的关键． 【详解】由图、 图可知，当时，点与点重合； 当时，点在上运动，而点继续在上运动， ∵四边形是平行四边形，点F、点E的速度都是 ， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时，如图作，交的延长线于点，则 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当 时，则 ， 解得； 当时，如图，作，交的延长线于点， ∵， ∴， 解得， ∴， 当时， 则， 解得，不符合题意，舍去， 综上所述，运动时间为， 故选：． 15．（2024年广东省广州市增城区中考一模）如图，抛物线与轴交于点A和点B，与轴交于点．点是第三象限抛物线上一动点，连接．则面积的最大值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作轴于点，交于点， 令，得 ， ， 令，即，解得或， , 设直线的表达式为 ， 将 ，代入， 解得 ， 直线的表达式为， 设，则， ， ， 当时，最大，最大面积为． 故选：C． 压轴题型四：二次函数综合性质 √满分技法 考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键．①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断． 16．（2024年山东省青岛市市南区中考三模）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【来源】2024年山东省青岛市市南区中考三模数学试题 【详解】解：∵抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线，则， ∴，故②正确 抛物线与轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵当时，取得小值， ∴， 当m为任意实数，则，故③正确， ④∵抛物线关于对称， ∴和的函数值相同， 即：， 由图象知，当时，函数值大于0， ∴，故④正确； ⑤当关于对称时：即：时， 对应的函数值相同， 即：， ∴ ∴若，且，则；故⑤正确； 综上所述，正确的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 17．（2023年广东省广州市黄埔区中考二模）如图，二次函数的图象过点和，有以下结论：；；；；.其中正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用图象信息即可判断；根据时， 即可判断；根据是方程 的根，结合两根之积即可判断；根据两根之和可得代入即可判断，根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， ∵时，， ∴，即，故正确， ∵二次函数的图象过点和， ∴，， ∴ ∴，故正确， ∵， ∴， ∴， ∵ ，故正确， 当时，， 又∵图象过点和， ∴当时，，， 则 ∴ ∴，故正确， 综上正确， 故选：． 18．（2024年广东省东莞市部分学校中考三模）二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的有：①；②；③；④；⑤．（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【来源】2024年广东省东莞市部分学校中考三模数学试题 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据二次函数开口向下，与y轴交于坐标轴得到，再根据对称轴的位置得到，则，据此可判断①③；根据二次函数与x轴有两个不相同的交点即可判断③；根据当时，，时，，得到，据此可判断④；根据当时，可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴在直线和y轴之间， ∴， ∴，故③错误； ∴，故①正确； ∵二次函数与x轴有两个不相同的交点， ∴，故②错误； ∵当时，，时，， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵当时，， ∴， ∴，故⑤正确； ∴正确的有3个， 故选：B． 19．（2024年广东省惠州市惠城区中考一模）已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．①由抛物线的开口方向，可得的符号；②抛物线与轴交点的位置、对称轴、的符号即可确定、的符号，即得的符号；③由抛物线与轴有两个交点判断即可；④由对称轴，，可得． 【详解】解：①由开口向下，可得，故①正确； ②又由抛物线与轴交于正半轴，可得，然后由对称轴在轴左侧，得到与同号，则可得，，故②错误； ③由抛物线与轴有两个交点，可得，故③正确； ④抛物线对称轴，， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有2个． 故选：B． 20．（2024年广东省珠海市斗门区乾务镇初级中学中考模拟）二次函数的图象如图所示，与x轴左侧交点为，对称轴是直线．下列结论： ①； ②； ③； ④（m为实数）． 其中结论正确的为（　　） A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【来源】2024年广东省珠海市斗门区乾务镇初级中学中考模拟数学试题 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线开口方向，对称轴位置，以及与轴交点位置，可判断①结论；由抛物线对称轴得到，再结合当时，，可判断②结论；根据平方差公式展开，可判断③结论；根据抛物线的最小值，可判断④结论． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在负半轴， ，、异号，， ， ，①结论正确； 抛物线对称轴是直线， ， ， 由图象可知，当时，， ，②结论错误； 由图象可知，当时，， ， 又， ，③结论错误； 当时，为最小值， ， ，④结论正确， 故选：A． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题01 二次函数性质选择压轴题 一、二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二、二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 三、二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 压轴题型一：二次函数增减性 √满分技法 考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质．求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案． 1．（2024年广东省梅州市中考二模）已知抛物线（）的对称轴为直线，且经过点，，则与的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（2024年广东省广州市越秀区中考二模）已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点．，，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2024年广东省佛山市中考模拟）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．(2023年广东省清远市中考二模)已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，C，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（2023年广东省惠州市惠城区中考模拟）点均在二次函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 压轴题型二：二次函数最值问题 √满分技法 二次函数图像的性质，首先计算二次函数的对称轴，结合题意，可计算得函数的最大值；再结合二次函数的图像，计算取值范围内二次函数的最小值，即可得到答案． 6．（2024年广东省东莞市东莞中学中考三模）已知是一元二次方程的一个根，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 7．（2024年广东省 深圳市盐田区中考一模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值8 D．最小值8 8．（2023年广东省茂名市化州市中考二模）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．（2024年广东省汕头市潮阳区中考模拟）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．（2024年广东省佛山市华英学校中考一模）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（    ）． A．有最大值6，有最小值-3 B．有最大值5，有最小值-3 C．有最大值6，有最小值5 D．有最大值6，有最小值-1 压轴题型三：二次函数性质与面积相关 √满分技法 重点考查平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、一次函数的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法。 11．（2024-2025学年深圳市龙岗区2月校联考九年级中考一模）已知二次函数的图像与轴分别交于点，，与一次函数的图像分别交于点，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 12．（2024年广东省阳江市江城区中考二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．顶点为，把这条抛物线向上平移至顶点落在轴上，则两条抛物线、对称轴和轴围成的图形（图中阴影部分）的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．(2023年广东省广州市天河区九年级二模)如图，直线与抛物线交于A、B两点，点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积是（　　）． A．3 B． C． D．2 14．(23-24九下·广东深圳福田区红岭中学（红岭教育集团）·开学考)如图，在平行四边形 中，，点 从点 出发，以 的速度沿 匀速运动，点 从点 出发；以 的速度沿 匀速运动，其中一点停止时，另一点随之停止运动，图是 的面积 时间 变化的函数图象，当 的面积为 时，运动时间 为（   ） A． B． C．或 D．或 15．（2024年广东省广州市增城区中考一模）如图，抛物线与轴交于点A和点B，与轴交于点．点是第三象限抛物线上一动点，连接．则面积的最大值等于（    ） A． B． C． D． 压轴题型四：二次函数综合性质 √满分技法 考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键．①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断． 16．（2024年山东省青岛市市南区中考三模）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．（2023年广东省广州市黄埔区中考二模）如图，二次函数的图象过点和，有以下结论：；；；；.其中正确的是（   ）    A． B． C． D． 18．（2024年广东省东莞市部分学校中考三模）二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的有：①；②；③；④；⑤．（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 19．（2024年广东省惠州市惠城区中考一模）已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2024年广东省珠海市斗门区乾务镇初级中学中考模拟）二次函数的图象如图所示，与x轴左侧交点为，对称轴是直线．下列结论： ①； ②； ③； ④（m为实数）． 其中结论正确的为（　　） A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$