3.2圆的对称性 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级下册

3.2 圆的对称性 第三章 圆 1.掌握圆的轴对称性和中心对称性 2.掌握圆心角的概念. 3.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量相等就可以推出其他的两个量对应相等，以及它们在解题中的应用. 学习目标 2025/3/27 2 问题（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 问题（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流. 圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线. 用折叠的方法. ●O 圆是轴对称图形，任意一条过圆心的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴. 核心知识点一： 圆的对称性 问题（3）将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？将圆绕圆心旋转任意角度，得到的图形还与原图形重合吗？ 圆具有旋转对称性(旋转不变性)——一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度之后，都能与原来的图形重合。 特别的，圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 O α · 2025/3/27 4 核心知识点二： 圆心角、弧、弦之间的关系 O A B M 1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB . 3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB. 任意给圆心角，对应出现两个量： 圆心角 弧 2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB. ⌒ 弦 2025/3/27 5 在同圆中探究 在⊙O中，如果∠AOB= ∠A'OB'，那么，AB与A'B'，弦AB与弦A'B'有怎样的数量关系？ ⌒ ⌒ O A B A′ B′ 由圆的旋转不变性，我们发现： 在⊙O中，如果∠AOB= ∠A'OB'，那么， 弦AB=弦A'B' 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A′O ′B′，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ 在等圆中探究 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB＝∠A′O ′ B′，那么， O A B O ′ A′ B′ 2025/3/27 6 归纳总结 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． ①∠AOB=∠COD ②AB=CD ⌒ ⌒ ③AB=CD A B O D C 弧、弦与圆心角的关系定理 在一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧_____，所对的弦_____. 在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角_____，所对的弦______. 在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角____，圆心角所对的弧____. 等圆中也同样. 相等 相等 相等 相等 相等 相等 2025/3/27 7 ________________，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. ______________，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 在同圆或等圆中 在同圆或等圆中 【定理】 【推论】 “一推二”定理及推论 想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图. A B O D C 2025/3/27 8 例2.如图，AB、CD是☉O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么_________，____________． （2）如果 ，那么_________，_____________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________． · C A B D E F O AB=CD ( ( 例1.如图，☉O中，AB=CD，∠1=500，则∠2= 。 O D C A B 1 2 50 o AB=CD AB=CD AB=CD ( ( ∠AOB= ∠COD ∠AOB= ∠COD AB=CD ( ( 典例分析 （4）如果 ∠AOB=∠COD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE 与 OF 相等吗？为什么？ 例3： 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. ） ） C A B O 证明 ∵AB=AC ） ） ∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 典例分析 10 已知A，B是⊙O上的两点，∠AOB= 120°，C是AB的中点. 试确定四边形 OACB的形状，并说明理由. 如图，四边形OACB是菱形．理由如下：连接OC. ∵C是AB的中点， ∴AC＝BC. ∴∠AOC＝∠BOC. ∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°. 又∵OB＝OC，OA＝OC， ∴△BOC和△AOC都是等边三角形． ∴OB＝BC＝CA＝AO. ∴四边形OACB是菱形． 解： 尝试练习 课本P72随堂练习第3题 11 轴对称图形 中心对称图形 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 圆心角、弧、弦之间的关系 圆的对称性 旋转不变性 圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 课堂小结 课本P72 课本P73 $$