信息必刷卷01（无锡专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

2025年中考考前信息必刷卷（无锡专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C B A B C A D C 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案直接填写在横线上 11． 12．9.6×106 13． 14．2 15． 16． 17． 18． 三、解答题:本大题有10个小题,共96分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（8分） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：原式==． （2）解：原式===． 20．（8分） 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）解： 方程两边同乘得，．解得， 检验：当时，．所以原分式方程的解是． （2）解：由①得：．由②得：． 则不等式组的解集为：． 21．（10分） 【答案】(1)见解析； (2)△ABC的周长为19.2 【解析】（1）证明：∵ACDE， ∴∠CDE＝∠ACD， ∵CD是 Rt△ABC斜边AB中线， ∴CD＝AD， ∴∠A＝∠ACD＝∠CDE， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴△ABC∽△DEC； （2）解∵CD是Rt△ABC斜边AB中线， ∴AB＝2CD＝8， ∴CD=4， ∵CD⊥CE，CE=3， ∴DE＝＝5， ∴△DCE的周长为3+4+5=12， ∵△ABC∽△DEC， ∴=， ∴△ABC的周长＝×12＝=19.2. 22．（10分） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：第一次取出的卡片图案为申公豹的的概率为，故答案为：； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2， 所以抽取的两次结果为哪吒和申公豹的的概率为． 23．（10分） 【答案】(1)见解析，； (2)2.1，3，5 (3)660人 【解析】（1）解：第1小组“得分为4分”的人数为， 补全条形统计图如下： 第2小组“得分为3分”这一项所占的百分比为， 对应圆心角为， 故答案为： （2）解：第2小组的平均数， 第3小组的中位数为第10和11名得分的平均数，由折线统计图可知，第10和11名得分分别为3、3， ， 第1小组得分为5分有8人，人数最多， ， 故答案为：2.1，3，5 （3）解：，即估计该校学生在调查中表现为“优秀”的有人． 24．（10分） 【答案】(1)图见解析 (2)或4 【解析】（1）解：如图，点，即为所求； 对于点，由题意和作图可知：，， ∴； 对于点， ∵，， ∴； （2）∵边上使得与相似的点F有且只有两个， ∴①当与相切于点，如图，连接，则：， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 由①可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当与的一个交点恰好经过时，如图： 则：设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）； 经检验是原方程的解， ∴； 综上：或． 25．（10分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）解：∵，是的切线，，为切点， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 26．（10分） 【答案】(1)， (2) (3)下调了6元 【解析】（1）解：设， 把代入，得，解得， ∴， 设预售总额为（万元），每件产品的预售额为（元），则， 设波动总额为（万元）， ∵波动总额与年销售量x的平方成正比， ∴设， ∴， 把，；，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：毛利润， 令，则， 解得，， 画出草图如下： 由图知：当时，， ∴要使该产品的年毛利润不低于1000万元，该产品年销售量的变化范围是； （3）解：设下调m元， 则， ∴， ∵2025年的最高毛利润为720万元， ∴w的最大值为720， ∴， 解得（不符合题意，舍去），， 故下调了6元． 27．（10分） 【答案】(1) (2) (3)4 【解析】（1）解：∵将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处， ∴， 又∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当，且时． 有， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， ∴的值为4． 28．（10分） 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)存在，或、． 【解析】（1）解：设抛物线为 经过两点， ， 把代入得，， ∴， 抛物线的解析式为，即； （2）解：设直线的解析式为， 把、代入得， ，解得， 直线的解析式为， 设，则，， ∴，， ， ， ， 解得(不合，舍去)，， 点的坐标为； （3）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形． 如图，设与的交点为， ∵四边形为菱形， ∴点为和的中点，， ∵，， ∴， ∵点为拋物线上一动点， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∴或， ∴或， 设点的坐标为， 当点的坐标为时，有，， ∴，， ∴； 当点的坐标为时，有，， ∴，， ∴； 综上，存在或、，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（无锡专用） 考情速递 中考·新动向：题型设计贴近生活热点，加大对数学思维、逻辑推理能力考查，区分度更明显。 中考·新考法：1.运用数学工具解决生活中实际问题。例如第3题明代数学家程大位的《算法统宗》中的分银子问题。2.考查学生在真实场景中运用数学解决问题的能力。例如第26题关于农副产品的年产量、生产费用和总销售额的问题。3.新考法的特征是贴近生活，综合性强，强调运用能力，具有开放性。 命题·大预测： 预测1.加大数形结合问题的考查。例如第7题、第9题、第24题。 预测2.贴近社会热点，运用数学工具解决具体问题。例如第22题。 预测3.综合性加强，多知识点融合。例如第27题、第28题。 预测4.试卷难度加大，区分度更明显，想获得高分一定要确保基础题、中档题不失分。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据同底数幂的乘除法、幂的运算法则，进行判断即可． 【详解】A选项，，故不符合题意； B选项，，故符合题意； C选项，，故不符合题意； D选项，，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的运算法则，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 2．若单项式与的和仍为单项式，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查同类项的定义，结合已知条件求得m，n的值是解题的关键．根据同类项的定义求得，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵单项式与的和仍为单项式， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：D． 3．明代时，1斤两，故有“半斤八两”之说．明代数学家程大位的《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤．问所分银子共有几两？设所分银子共有x两，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程解决问题，理解数量关系，正确列式是关键． 根据每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤列式即可求解． 【详解】解：半斤两， 已知每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤，设所分银子共有x两， ∴根据总人数不变列式得， 故选：C ． 4．有一组数据：3，7，4，6，2，4，6，6．这组数据的众数和中位数分别为（    ） A．6 和 4 B．6 和 5 C．4  和 5 D．4和6.5 【答案】B 【分析】本题考查了中位数，众数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．将这组数据排序后处于中间位置的数（或中间两个数的平均数）就是这组数据的中位数，出现次数最多的数为这组数据的众数． 【详解】解：数据重新排序得：2，3，4，4，6，6，6，7， 6出现了3次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是6； 中位数是第4、5个数的平均数，即为， 故选：B． 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为（   ）    A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，正切定义，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，连接交于点，由正方形的性质得，，，，进而得，又证，得，从而得，进而利用正切定义即可得解。 【详解】解：如解图，连接交于点，    ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， 根据题意，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴ 故选：A 6．如图，是的切线，为切点，连接交于点，的延长线交于点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 如图所示，连接，由圆周角定理得到，根据切线的性质得到，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵是的切线，为切点， ∴，即， 在中，， 故选：B ． 7．已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： … … … … 以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于的方程的根为和；④当时，的取值范围是或．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【详解】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线，故②正确； 设抛物线解析式为，将代入解得， ∵， 故抛物线的开口向下，故①错误； 由抛物线关于直线对称知， 当时，或， 故方程的根为和，故③正确； 当时，的取值范围是或，故④正确 ． 故选：C． 8．如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点G，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点F作交于H，利用证明可得， ，证得是等腰直角三角形可得，由，可得，运用勾股定理可得，再证明是等腰直角三角形，可得，进而证得，再运用直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：过点F作交于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，, '∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， '∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选:A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，添加辅助线、构造全等三角形是解题大键． 9．小华同学根据函数的学习经验，用描点法画出了函数的图象．由图象可知，方程的实数根有（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象和性质，根据图象信息解决问题是解题的关键． 根据图象可知，函数图象与直线有个交点，可得到方程的实数根有个，即可得到答案． 【详解】解：根据图象可知，函数图象与直线有个交点， 方程的实数根有个， 故选：D． 10．如图，在矩形中，为对角线上一点，连接，过点作交延长线于，若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点E作于点N，延长交于M，证明四边形是矩形，四边形是矩形，设，则，由得到，证明，则，得到，则，得到，勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】解：过点E作于点N，延长交于M， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，解此题的关键在于熟练掌握平方差公式． 先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为 ． 【答案】9.6×106 【详解】将9600000用科学记数法表示为9.6×106． 故答案为9.6×106． 【点睛】本题考查了科学记数法，解决此题的关键是正确算出n的值． 13．写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点(1，1)；②在第一象限内函数y随自变量x的增大而减少，则这个函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数、一次函数以及二次函数的性质作答． 【详解】解：该题答案不唯一，可以为等． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数、一次函数以及二次函数的性质，熟知函数的增减性是解答此题的关键． 14．圆锥的侧面积为，底面圆的半径为，则这个圆锥的母线长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算公式，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 则， 解得， 故答案为：2． 15．如图，在中，，点为边上一点，，点是边上的动点，将沿直线折叠得到，若点恰好落在线段上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折背景下勾股定理和相似三角形性质和判定的运用，及平行四边形的性质，解直角三角形，根据题意画出图形是突破该题的关键． 作于M，作交延长线于N，用勾股定理求出的长，进而可求，证明，得，进而可用勾股定理求，分别延长，交于点，由翻折可知，，，进而可得，根据，得，即可求出． 【详解】解：作于M，作交延长线于N， 、都是直角三角形， 中， ， ， ， ，， 即， ，， ， ， ， 中，，，， ， ， ，， ， 分别延长，交于点， 由翻折可知，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且， 反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接，，．若的面积为2，则k的值为 ． 【答案】 【分析】由题意知延长则经过点B，设，则，确定点，然后结合图形及反比例函数的k的几何意义，得出，再代入求解即可． 【详解】 解： ∵四边形是矩形， ∴， 设点， ∵矩形的对称中心为M， ∴延长则经过点B，， ∵， ∴， ∴， 过点M作于点N， ∴， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数k的几何意义，割补法处理三角形面积，数形结合的思想以及方程思想是解决本题的关键． 17．如图，在矩形中，，将绕点A按逆时针方向旋转到（点A、B、E在同一直线上），则在运动过程中所扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积的计算，矩形的性质，利用勾股定理列式求出，根据旋转的性质可得，然后根据扇形的面积的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在矩形中，∵， ∴， 由旋转的性质得，， ∴在运动过程中所扫过的面积． 又的面积为 ∴在运动过程中所扫过的面积为， 故答案为：． 18．如图，点D在等腰直角三角形内，，，，E、F分别在和上满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定性质，勾股定理，三角形三边关系求最值，难度较大，解题的关键在于构造相似三角形进行转化． 过点C作，使，连接，证明，推出，则，可知当点D，F，H在同一条直线时，取最小值，最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，而 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点D，F，H在同一条直线时，取得最小值，最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式进行计算即可； （2）先合并括号里的分式，再对分子和分母分别因式分解即可化简； 【详解】（1）解：原式==． （2）解：原式===． 【点睛】本题主要考查分式的化简、特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式的计算，掌握相关运算法则是解题的关键． 20．（8分）（1）解方程：． （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组， （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘得，．解得， 检验：当时，．所以原分式方程的解是． （2）解：由①得：．由②得：． 则不等式组的解集为：． 21．（10分）如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E． (1)求证：△ABC∽△DEC； (2)若AB=8，CE=3，求△ABC的周长． 【答案】(1)见解析； (2)△ABC的周长为19.2 【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线性质、等边对等角和平行线的性质得到∠A＝∠CDE，加上∠ACB＝∠DCE＝90°，则根据相似三角形的判定方法可判断△ABC∽△DEC； （2）先利用直角三角形斜边上的中线性质得到CD＝AB＝4，再利用勾股定理计算出DE＝5，接着根据相似三角形的性质得到，从而得到△ABC的周长． 【详解】（1）证明：∵ACDE， ∴∠CDE＝∠ACD， ∵CD是 Rt△ABC斜边AB中线， ∴CD＝AD， ∴∠A＝∠ACD＝∠CDE， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴△ABC∽△DEC； （2）解∵CD是Rt△ABC斜边AB中线， ∴AB＝2CD＝8， ∴CD=4， ∵CD⊥CE，CE=3， ∴DE＝＝5， ∴△DCE的周长为3+4+5=12， ∵△ABC∽△DEC， ∴=， ∴△ABC的周长＝×12＝=19.2. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算是解决问题的关键．也考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理和平行线的性质． 22．（10分）有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片，A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率； (1)第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为______； (2)求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，根据概率公式求解概率，熟练掌握概率公式为解题关键． （1）直接根据概率公式计算； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：第一次取出的卡片图案为申公豹的的概率为，故答案为：； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2， 所以抽取的两次结果为哪吒和申公豹的的概率为． 23．（10分）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑，某校对七年级学生以20人为一组随机分组，进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果用5级记分法呈现：“不及格”记为1分，“及格”记为2分，“中等”记为3分，“良好”记为4分，“优秀”记为5分，现从调查结果中随机抽取了3个小组学生的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 第2小组 2 1 第3小组 3.25 3 请根据以上信息，完成下列问题： (1)请补全第1小组得分条形统计图；第2小组得分扇形统计图中，“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为______． (2)______，______，______； (3)若该校有3600人，请你估计该校学生在调查中表现为“优秀”的有多少人？ 【答案】(1)见解析，； (2)2.1，3，5 (3)660人 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图与折线统计图，平均数、中位数与众数，利用样本估计总体，根据题意找出所需数据是解题关键． （1）求出第1小组“得分为4分”的人数补全条形统计图，再求出第2小组“得分为3分”这一项所占的百分比，乘以即可求出对应圆心角； （2）根据加权平均数、中位数、众数的定义即可求解； （3）用总人数乘以3个小组中表现为“优秀”人数的占比求解即可． 【详解】（1）解：第1小组“得分为4分”的人数为， 补全条形统计图如下： 第2小组“得分为3分”这一项所占的百分比为， 对应圆心角为， 故答案为： （2）解：第2小组的平均数， 第3小组的中位数为第10和11名得分的平均数，由折线统计图可知，第10和11名得分分别为3、3， ， 第1小组得分为5分有8人，人数最多， ， 故答案为：2.1，3，5 （3）解：，即估计该校学生在调查中表现为“优秀”的有人． 24．（10分）如图，矩形，E是边上的定点． (1)用无刻度直尺和圆规在上作出所有使的点F．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，边上使得与相似的点F有且只有两个，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2)或4 【分析】（1）连接，取的中点，以为圆心，为直径作圆，交与点，作点关于的对称点，连接，与的交点即为点，，即为所求； （2）分与相切和与的一个交点恰好经过，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图，点，即为所求； 对于点，由题意和作图可知：，， ∴； 对于点， ∵，， ∴； （2）∵边上使得与相似的点F有且只有两个， ∴①当与相切于点，如图，连接，则：， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 由①可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当与的一个交点恰好经过时，如图： 则：设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）； 经检验是原方程的解， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查尺规作图—复杂作图，相似三角形的判定和性质，切线的性质，圆周角定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 25．（10分）如图，，是的切线，，为切点，延长，与，延长线交于点，点． (1)求证：； (2)过点作交于点．若，．求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，圆的切线长定理，圆的切线的性质，等腰直角三角形的判定与三边关系，二次根式，熟练掌握这些性质、判定与定理是解题的关键． （1）由圆的切线长定理得，结合切线的性质，和，即可判定，即可得； （2）判定是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形三边关系得出，由，得出，则可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的切线，，为切点， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 26．（10分）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图11所示）；该产品的总销售额z（万元）＝预售总额（万元）＋波动总额（万元），预售总额＝每件产品的预售额（元）×年销售量x（万件），波动总额与年销售量x的平方成正比，部分数据如下表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为w万元（年毛利润＝总销售额－生产费用） 年销售量x（万件） … 20 40 … 总销售额z（万元） … 560 1040 … (1)求y与x以及z与x之间的函数解析式； (2)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，求该产品年销售量的变化范围； (3)受市场经济的影响，需下调每件产品的预售额（生产费用与波动总额均不变），在此基础上，若要使2025年的最高毛利润为720万元，直接写出每件产品的预售额下调多少元． 【答案】(1)， (2) (3)下调了6元 【分析】本题考查了二次函数、一次函数的应用，二次函数的图象与性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据毛利润，结合函数图象求出x的取值范围即可； （3）设下调m元，则w、z与x的函数关系也随之变化，求出w关于x的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设， 把代入，得，解得， ∴， 设预售总额为（万元），每件产品的预售额为（元），则， 设波动总额为（万元）， ∵波动总额与年销售量x的平方成正比， ∴设， ∴， 把，；，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：毛利润， 令，则， 解得，， 画出草图如下： 由图知：当时，， ∴要使该产品的年毛利润不低于1000万元，该产品年销售量的变化范围是； （3）解：设下调m元， 则， ∴， ∵2025年的最高毛利润为720万元， ∴w的最大值为720， ∴， 解得（不符合题意，舍去），， 故下调了6元． 27．（10分）在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使C点恰好落在边上点F处，且． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2．当，且时．求BC的长； (3)如图3，作的角平分线交于点N，若，．求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）依据折叠即可得到；根据，可得出；再根据矩形的性质以及折叠的性质，即可求出∠CBE的度数； （2）先证明，可得出，依据，求出的长度，进而得到、的长度；再根据勾股定理求得的长，依据相似三角形的性质求得的长，即可得出的长以及的长． （3）过点作于点，先证明，利用对应边成比例得出，再利用角平分线的性质证明，利用勾股定理、结合全等三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处， ∴， 又∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当，且时． 有， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， ∴的值为4． 【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，角平分线的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 28．（10分）如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第四象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，若，求出点的坐标． (3)为拋物线上一动点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请直接写出两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)存在，或、． 【分析】（）利用交点式假设出抛物线的解析式为 ，把代入计算即可求解； （）利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，，求出，，由得，即，解之即可求解； （）设与的交点为，由菱形的性质得点为和的中点，，设，由勾股定理得，即有，解得或，设点的坐标为，再利用中点坐标公式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线为 经过两点， ， 把代入得，， ∴， 抛物线的解析式为，即； （2）解：设直线的解析式为， 把、代入得， ，解得， 直线的解析式为， 设，则，， ∴，， ， ， ， 解得(不合，舍去)，， 点的坐标为； （3）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形． 如图，设与的交点为， ∵四边形为菱形， ∴点为和的中点，， ∵，， ∴， ∵点为拋物线上一动点， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∴或， ∴或， 设点的坐标为， 当点的坐标为时，有，， ∴，， ∴； 当点的坐标为时，有，， ∴，， ∴； 综上，存在或、，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，菱形的性质，平面直角坐标系两点间距离公式，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（无锡专用） 考情速递 中考·新动向：题型设计贴近生活热点，加大对数学思维、逻辑推理能力考查，区分度更明显。 中考·新考法：1.运用数学工具解决生活中实际问题。例如第3题明代数学家程大位的《算法统宗》中的分银子问题。2.考查学生在真实场景中运用数学解决问题的能力。例如第26题关于农副产品的年产量、生产费用和总销售额的问题。3.新考法的特征是贴近生活，综合性强，强调运用能力，具有开放性。 命题·大预测： 预测1.加大数形结合问题的考查。例如第7题、第9题、第24题。 预测2.贴近社会热点，运用数学工具解决具体问题。例如第22题。 预测3.综合性加强，多知识点融合。例如第27题、第28题。 预测4.试卷难度加大，区分度更明显，想获得高分一定要确保基础题、中档题不失分。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若单项式与的和仍为单项式，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．明代时，1斤两，故有“半斤八两”之说．明代数学家程大位的《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤．问所分银子共有几两？设所分银子共有x两，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．有一组数据：3，7，4，6，2，4，6，6．这组数据的众数和中位数分别为（    ） A．6 和 4 B．6 和 5 C．4  和 5 D．4和6.5 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为（   ）    A．2 B． C．3 D． 6．如图，是的切线，为切点，连接交于点，的延长线交于点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： … … … … 以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于的方程的根为和；④当时，的取值范围是或．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点G，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 9．小华同学根据函数的学习经验，用描点法画出了函数的图象．由图象可知，方程的实数根有（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．如图，在矩形中，为对角线上一点，连接，过点作交延长线于，若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．因式分解： ． 12．中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为 ． 13．写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点(1，1)；②在第一象限内函数y随自变量x的增大而减少，则这个函数的表达式为 ． 14．圆锥的侧面积为，底面圆的半径为，则这个圆锥的母线长为 ． 15．如图，在中，，点为边上一点，，点是边上的动点，将沿直线折叠得到，若点恰好落在线段上，则的值为 ． 16．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且， 反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接，，．若的面积为2，则k的值为 ． 17．如图，在矩形中，，将绕点A按逆时针方向旋转到（点A、B、E在同一直线上），则在运动过程中所扫过的面积为 ． 18．如图，点D在等腰直角三角形内，，，，E、F分别在和上满足，则的最小值为 ． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）计算： (1) (2) 20．（8分）（1）解方程：． （2）解不等式组：． 21．（10分）如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E． (1)求证：△ABC∽△DEC； (2)若AB=8，CE=3，求△ABC的周长． 22．（10分）有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片，A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率； (1)第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为______； (2)求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 23．（10分）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑，某校对七年级学生以20人为一组随机分组，进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果用5级记分法呈现：“不及格”记为1分，“及格”记为2分，“中等”记为3分，“良好”记为4分，“优秀”记为5分，现从调查结果中随机抽取了3个小组学生的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 第2小组 2 1 第3小组 3.25 3 请根据以上信息，完成下列问题： (1)请补全第1小组得分条形统计图；第2小组得分扇形统计图中，“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为______． (2)______，______，______； (3)若该校有3600人，请你估计该校学生在调查中表现为“优秀”的有多少人？ 24．（10分）如图，矩形，E是边上的定点． (1)用无刻度直尺和圆规在上作出所有使的点F．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，边上使得与相似的点F有且只有两个，求的长． 25．（10分）如图，，是的切线，，为切点，延长，与，延长线交于点，点． (1)求证：； (2)过点作交于点．若，．求的长． 26．（10分）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图11所示）；该产品的总销售额z（万元）＝预售总额（万元）＋波动总额（万元），预售总额＝每件产品的预售额（元）×年销售量x（万件），波动总额与年销售量x的平方成正比，部分数据如下表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为w万元（年毛利润＝总销售额－生产费用） 年销售量x（万件） … 20 40 … 总销售额z（万元） … 560 1040 … (1)求y与x以及z与x之间的函数解析式； (2)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，求该产品年销售量的变化范围； (3)受市场经济的影响，需下调每件产品的预售额（生产费用与波动总额均不变），在此基础上，若要使2025年的最高毛利润为720万元，直接写出每件产品的预售额下调多少元． 27．（10分）在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使C点恰好落在边上点F处，且． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2．当，且时．求BC的长； (3)如图3，作的角平分线交于点N，若，．求的值． 28．（10分）如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第四象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，若，求出点的坐标． (3)为拋物线上一动点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请直接写出两点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$