（十大易错点+六大培优点）第四单元分数的意义和性质（1）分数的意义-五年级下册数学同步易错精讲+重难点培优练（原卷版＋解析版）人教版

人教版五年级数学下册易错讲解＋重难点培优 第四单元 分数的意义和性质（1）分数的意义 思维导图 易错讲解 易错点1：对单位“1”的概念理解模糊 判断：把一堆苹果分成3份，每份是这堆苹果的。（ ） 易错点2：混淆分数单位和分数 的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位。 易错点3：对分数与除法关系理解不透彻 把3米长的绳子平均分成7段，每段长（ ）米，每段是全长的（ ）。 易错点4：忽略分数分母不能为0 判断：是分数。（ ） 易错点5：计算“求一个数是另一个数的几分之几”时出错 果园里有苹果树20棵，梨树25棵，苹果树是梨树的几分之几？ 易错点6：对带单位分数含义理解不清 吨表示的含义是（ ）。 易错点7：比较分数单位大小时出错 比较和的分数单位大小。 易错点8：在具体情境中分不清用带单位还是不带单位分数 小明吃了一个重2千克蛋糕的，还剩下多少千克蛋糕？ 易错点9：对倍数关系中的分数表示理解错误 甲数是8，乙数是10，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几倍？ 易错点10：对分数意义综合应用时出错 把5米长的绳子对折3次后，每段占全长的几分之几？每段长多少米？ 重难点培优 运用转化法解决看图写分数问题 知识点： 分数的本质是表示将单位“1”平均分成若干份后，其中的一份或几份。在图形问题中，单位“1”通常是整个图形的面积或数量。 图形的平移、旋转和添加辅助线是几何变换的基本方法，这些方法不会改变图形的面积或数量关系。 解题方法： 当直接观察难以确定图形中各部分占比时，可通过平移、旋转图形的某些部分，或者添加辅助线将图形分割成容易观察和计算的若干等份。 确定单位“1”被平均分成的份数，再数出要表示的部分（如涂色部分或空白部分）所占的份数，最后用分数表示其占比。 典例：空白部分占整个图形的，涂色部分占整个图形的。 1.用分数表示下面各图中的涂色部分。 2.写出下图中涂色部分占整个图形的几分之几。 3.下图中涂色部分占整个图形的几分之几？ 4.将边长为a的正方形各边的中点连接成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连接成第三个正方形，继续下去，得到如图所示的图形。图中涂色部分的面积是边长为a的正方形面积的几分之几？ 应用图示法解决单位“1”不同的问题 知识点： 单位“1”在分数问题中表示一个整体，不同的单位“1”代表不同的整体数量。 同一个分数，当对应的单位“1”不同时，所表示的具体数量也不同。 解题方法： 通过画示意图（如用长方形、圆形等图形表示单位“1”），将抽象的数量关系直观地展示出来。 从题目所给的已知条件出发，结合图示，分析不同单位“1”所对应的数量关系，进而找到问题的答案。 典例：你知道这是为什么吗？ 1.五（2）班图书角有许多图书，第一天同学们借走了图书总数的，第二天又借走了剩下图书本数的。哪一天借走的图书多？ 2.甲、乙两个班级的学生都在进行捐书活动。甲班捐出了本班图书总数的，是10本；乙班捐出了本班图书总数的，是15本。请用图示法分析并说明两个班图书总数的差异，并运用分数与除法的知识计算两个班各自的图书总数。 3.有两堆沙子，第一堆用去了它的，正好是4吨；第二堆用去了它的，正好是6吨。比较两堆沙子原来的重量。 分数的意义与单位“1” 知识点： 分数由分子、分母和分数线组成，分母表示将单位“1”平均分成的份数，分子表示取其中的份数。 准确判断单位“1”是理解分数意义的关键，单位“1”可以是一个物体、一个图形、一个计量单位，也可以是由许多物体组成的一个整体。 解题方法： 仔细观察图形或题目描述，确定把哪个整体看作单位“1”。 根据单位“1”被平均分的份数以及所求部分所占的份数，用分数表示出所求部分占单位“1”的几分之几。 典例：按要求回答问题。 （1）三角形A的面积占大正方形的面积的几分之几？ （2）三角形B的面积占三角形A的面积的几分之几？占大正方形的面积的几分之几？ （3）正方形C的面积占三角形B的面积的几分之几？占大正方形的面积的几分之几？ （4）三角形D的面积占三角形B的面积的几分之几？占大正方形的面积的几分之几？ 1.如图，把大正方形分成6个图形后，这6个图形的面积分别占大正方形的面积的几分之几？ 2.在括号里填上合适的分数，表示阴影部分是大正方形的几分之几． 3．下图中阴影部分各是大正方形的几分之几? 用周期规律解决求一个数是另一个数的几分之几的问题 知识点： 周期是指事物在运动、变化过程中，某些特征多次重复出现，其接续两次出现所经过的时间或数量等。 分数与除法的关系：求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，即是的几分之几可表示为（）。 解题方法： 先找出事物排列的周期规律，确定一个周期内各种元素的数量。 计算总数量中包含的完整周期数以及剩余数量，从而确定每种元素的实际数量。 用每种元素的数量除以总数量，得到每种元素占总数量的几分之几。 典例：有同样大小、质地均匀的红、白、黑三种颜色的珠子共99颗，按照1颗红珠子、3颗白珠子、2颗黑珠子的顺序循环排列。三种颜色的珠子分别占全部珠子的几分之几？ 1.下面的篮球、足球、排球共有35个，按一定的规律排列着。 (1)第22个是什么球？ (2)三种球的个数分别占球的总数的几分之几？ 2．一串小彩灯有44个，这串小彩灯按照1个★，2个●和3个◆的规律依次排列（如图），其中◆的个数占这串小彩灯的（    ）。 A． B． C． D． 3．有一串彩球，按1个红球、2个白球就、3个黄球的规律排列，这串彩球共80个．三种颜色的求各占总数的几分之几？ 基于分数关系的图形求解 知识点： 在图形问题中，通过分数表示不同图形之间的倍数关系。 已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法；求一个数的几分之几是多少，用乘法。 解题方法： 分析题目中给出的分数关系，确定已知图形与所求图形和中间量（如涂色部分）之间的联系。 先根据已知条件求出中间量，再利用中间量与所求图形的关系，求出所求图形的相关问题。 典例: 如下图，涂色部分的面积是大三角形面积的，是小三角形面积的。大三角形的面积是36平方厘米，小三角形的面积是多少平方厘米？ 1．（1）动脑筋． ①阴影部分占整个图形面积的； ②阴影部分占大正方形面积的； ③阴影部分占大长方形面积的． 2．右图中，阴影部分是两个正方形的重叠部分，用A表示它． （1）A是小正方形的 （2）A是大正方形的 ． （3）A是整个图形的 ． 定义新运算 知识点： 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。它是一种人为规定的运算形式，与常规的四则运算不同。 运算顺序遵循整数四则运算的规则，即有括号先算括号内，再算括号外；没有括号时，按照从左到右的顺序依次计算。 解题方法： 首先要准确理解题目中所定义的新运算符号的运算规则，明确其代表的运算方式。 对于含有多种新运算的式子，按照运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，逐步得出式子的结果。 典例：为任意两个整数，规定，。求的值。 1.设、为正整数，定义新运算为 。若，求结果，并结合分数与除法知识说明其含义。 2.对于两个正整数、，定义新运算为（）。计算，并阐述该结果与分数意义及分数与除法的联系。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版五年级数学下册易错讲解＋重难点培优 第四单元 分数的意义和性质（1）分数的意义 思维导图 易错讲解 易错点1：对单位“1”的概念理解模糊 判断：把一堆苹果分成3份，每份是这堆苹果的。（ ） 【错误解答】：√ 【错因分析】：没有强调“平均分”，只有把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或几份才能用分数表示，这里没平均分，所以每份不一定是这堆苹果的。 【正确解答】：× 易错点2：混淆分数单位和分数 的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位。 【错误解答】：的分数单位是，它有1个这样的分数单位。 【错因分析】：分数单位是把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数，的分数单位是，分子是几就有几个这样的分数单位，所以它有3个。 【正确解答】：的分数单位是，它有3个这样的分数单位。 易错点3：对分数与除法关系理解不透彻 把3米长的绳子平均分成7段，每段长（ ）米，每段是全长的（ ）。 【错误解答】：每段长米，每段是全长的。 【错因分析】：求每段长多少米，是用总长度除以段数，即米，这是带单位的分数，表示具体数量；求每段是全长的几分之几，是把全长看作单位“1”，平均分成7段，每段是全长的 ，这是不带单位的分数，表示部分与整体的关系。 【正确解答】：每段长米，每段是全长的。 易错点4：忽略分数分母不能为0 判断：是分数。（ ） 【错误解答】：√ 【错因分析】：分数与除法关系中，分母相当于除法算式中的除数，除数不能为0，所以分数的分母也不能为0，无意义，不是分数。 【正确解答】：× 易错点5：计算“求一个数是另一个数的几分之几”时出错 果园里有苹果树20棵，梨树25棵，苹果树是梨树的几分之几？ 【错误解答】： 【错因分析】：求一个数是另一个数的几分之几，应该用前面的数除以后面的数，这里把被除数和除数弄反了。 【正确解答】： 易错点6：对带单位分数含义理解不清 吨表示的含义是（ ）。 【错误解答】：只答出一种含义，如把1吨平均分成3份，表示其中的2份。 【错因分析】：带单位的分数吨有两种理解，除了把1吨平均分成3份，表示其中的2份；还可以理解为把2吨平均分成3份，表示其中的1份。 【正确解答】：把1吨平均分成3份，表示其中的2份；或把2吨平均分成3份，表示其中的1份。 易错点7：比较分数单位大小时出错 比较和的分数单位大小。 【错误解答】：的分数单位＜的分数单位 【错因分析】：一个分数的分母越小，它的分数单位越大，的分母3小于的分母5，所以的分数单位大于的分数单位。 【正确解答】：的分数单位＞的分数单位 易错点8：在具体情境中分不清用带单位还是不带单位分数 小明吃了一个重2千克蛋糕的，还剩下多少千克蛋糕？ 【错误解答】：直接用（千克） 【错因分析】：错误地将表示比例的计算结果当作具体重量。应先算出吃掉的重量，再用总重量减去吃掉的重量得到剩余重量，不能直接用整体“1”减去吃了的比例得出剩余重量。 【正确解答】：吃掉的蛋糕重量为千克，剩余蛋糕重量为千克。 易错点9：对倍数关系中的分数表示理解错误 甲数是8，乙数是10，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几倍？ 【错误解答】：甲数是乙数的，乙数是甲数的倍。 【错因分析】：求甲数是乙数的几分之几，用甲数除以乙数，即；求乙数是甲数的几倍，用乙数除以甲数，即倍。这里分子分母弄反了。 【正确解答】：甲数是乙数的，乙数是甲数的倍。 易错点10：对分数意义综合应用时出错 把5米长的绳子对折3次后，每段占全长的几分之几？每段长多少米？ 【错误解答】：每段占全长的，每段长米。 【错因分析】：对折3次是把绳子平均分成了段，每段占全长的，每段长米。错误解答没有正确理解对折次数与平均分份数的关系。 【正确解答】：每段占全长的，每段长米。 重难点培优 运用转化法解决看图写分数问题 知识点： 分数的本质是表示将单位“1”平均分成若干份后，其中的一份或几份。在图形问题中，单位“1”通常是整个图形的面积或数量。 图形的平移、旋转和添加辅助线是几何变换的基本方法，这些方法不会改变图形的面积或数量关系。 解题方法： 当直接观察难以确定图形中各部分占比时，可通过平移、旋转图形的某些部分，或者添加辅助线将图形分割成容易观察和计算的若干等份。 确定单位“1”被平均分成的份数，再数出要表示的部分（如涂色部分或空白部分）所占的份数，最后用分数表示其占比。 典例：空白部分占整个图形的，涂色部分占整个图形的。 [答案] 空白部分占整个图形的，涂色部分占整个图形的。 [解析]按照一般方法比较难发现图中涂色部分和空白部分占整个图形的几分之几，可以通过添加辅助线或平移将图形进行转化。 如图，添加辅助线后，不难发现大长方形被平均分成了16份，其中涂色部分占了9份，空白部分占了7份。由此即可求出涂色部分和空白部分各占整个图形的几分之几。 【总结】：解决此类问题时，可以通过添加辅助线、平移等方法进行转化，确定单位“1”被平均分成了几份，要表示的部分占其中的几份。 1.用分数表示下面各图中的涂色部分。 【答案】： ； ； 【解析】：第一幅题图，将下面两个小正方形中的涂色部分平移到上面两个小正方形中，涂色部分刚好占整个图形的；第二幅题图，将内圈的三个涂色部分旋转，和外圈的三个涂色部分拼在一起，涂色部分刚好占整个图形的；第三幅题图，将中心四个小正方形中的涂色部分平移到四个角上，就能看出涂色部分刚好是12个小正方形，占整个图形的，即。 2.写出下图中涂色部分占整个图形的几分之几。 【答案】： 【解析】：题图中共有9个小正方形，涂色部分每4小块合起来是1个小正方形，涂色部分的8小块相当于2个小正方形，即涂色部分占整个图形的。 3.下图中涂色部分占整个图形的几分之几？ 【答案】： 【解析】：涂色部分是2个小长方形组成的图形的一半，把涂色部分看成1份，2个小长方形就是这样的2份，6个小长方形就是这样的6份，即整个图形就是这样的6份，由此可得涂色部分占整个图形的。 4.将边长为a的正方形各边的中点连接成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连接成第三个正方形，继续下去，得到如图所示的图形。图中涂色部分的面积是边长为a的正方形面积的几分之几？ 【答案】： 【解析】：题图中两个涂色部分合起来是一个小正方形。通过添加辅助线，可以看出边长为a的正方形相当于16个这样的小正方形，则涂色部分的面积是边长为a的正方形面积的。 应用图示法解决单位“1”不同的问题 知识点： 单位“1”在分数问题中表示一个整体，不同的单位“1”代表不同的整体数量。 同一个分数，当对应的单位“1”不同时，所表示的具体数量也不同。 解题方法： 通过画示意图（如用长方形、圆形等图形表示单位“1”），将抽象的数量关系直观地展示出来。 从题目所给的已知条件出发，结合图示，分析不同单位“1”所对应的数量关系，进而找到问题的答案。 典例：你知道这是为什么吗？ 【答案】 【解析】两人都是吃了一盒巧克力的，吃的块数不一样，原因是一盒巧克力的总块数不同，即单位“1”不同。一盒巧克力的是3块，是把9块巧克力看作单位“1”；一盒巧克力的是4块，是把12块巧克力看作单位“1”。 【总结】解答此类问题时，从题目的已知条件入手，根据数量关系找到所求问题的答案，单位“1”表示的数量不同，相同分数所对应的数量也不同。 1.五（2）班图书角有许多图书，第一天同学们借走了图书总数的，第二天又借走了剩下图书本数的。哪一天借走的图书多？ 【答案】第一天借走的图书多。 【解析】用一个长方形表示图书角的图书总本数。 由图可知，第一天借走的图书多。 2.甲、乙两个班级的学生都在进行捐书活动。甲班捐出了本班图书总数的，是10本；乙班捐出了本班图书总数的，是15本。请用图示法分析并说明两个班图书总数的差异，并运用分数与除法的知识计算两个班各自的图书总数。 【答案】甲班图书总数是40本，乙班图书总数是60本，乙班图书总数比甲班多。 【解析】 画图：画两个不同的长方形分别代表甲班和乙班的图书总数。 将甲班的长方形平均分成4份，其中1份标注为10本； 将乙班的长方形也平均分成4份，其中1份标注为15本。 根据分数与除法的关系，甲班图书总数为本；乙班图书总数为本。由此可见，由于单位“1”（即两个班各自的图书总数）不同，相同的分数所对应的数量也不同。 3.有两堆沙子，第一堆用去了它的，正好是4吨；第二堆用去了它的，正好是6吨。比较两堆沙子原来的重量。 【答案】第一堆沙子原来重10吨，第二堆沙子原来重15吨，第二堆沙子原来更重。 【解析】 画图：分别画两条线段表示两堆沙子原来的重量。 将第一堆沙子的线段平均分成5份，其中2份标注为4吨； 将第二堆沙子的线段也平均分成5份，其中2份标注为6吨。 根据分数与除法的关系，第一堆沙子原来的重量为吨；第二堆沙子原来的重量为吨。因为两堆沙子的单位“1”（即各自原来的重量）不同，所以相同的分数对应的实际用去的重量也不同。 分数的意义与单位“1” 知识点： 分数由分子、分母和分数线组成，分母表示将单位“1”平均分成的份数，分子表示取其中的份数。 准确判断单位“1”是理解分数意义的关键，单位“1”可以是一个物体、一个图形、一个计量单位，也可以是由许多物体组成的一个整体。 解题方法： 仔细观察图形或题目描述，确定把哪个整体看作单位“1”。 根据单位“1”被平均分的份数以及所求部分所占的份数，用分数表示出所求部分占单位“1”的几分之几。 典例：按要求回答问题。 （1）三角形A的面积占大正方形的面积的几分之几？ （2）三角形B的面积占三角形A的面积的几分之几？占大正方形的面积的几分之几？ （3）正方形C的面积占三角形B的面积的几分之几？占大正方形的面积的几分之几？ （4）三角形D的面积占三角形B的面积的几分之几？占大正方形的面积的几分之几？ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】这道题找准单位“1”是解题的关键。通过观察： （1）把大正方形看作单位“1”，平均分成2份，三角形A占其中的一份，所以三角形A的面积占大正方形的面积的； （2）把另一份看作单位“1”，平均分成2份，三角形B的面积占三角形A的面积的，占大正方形的面积的； （3）再把三角形B看作单位“1”，平均分成4份，其中的一份相当于三角形D的面积，其中的2份相当于正方形C的面积，所以说，正方形C的面积占三角形B的面积的，占大正方形的面积的； （4）三角形D的面积占三角形B的面积的，占大正方形的面积的。 1.如图，把大正方形分成6个图形后，这6个图形的面积分别占大正方形的面积的几分之几？ 【答案】图形①的面积占大正方形面积的。 图形②的面积占大正方形面积的。 图形③的面积占大正方形面积的。 图形④的面积占大正方形面积的。 图形⑤的面积占大正方形面积的。 图形⑥的面积占大正方形面积的。 【解析】对于图形①和② 观察图形，可将大正方形沿中间的横竖两条线分割（一种合理的分割思路），可以发现大正方形被平均分成了4个相等的部分 ，图形①和②分别是其中的一份。 根据分数的意义，把单位“1”（这里的单位“1”是大正方形的面积 ）平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫分数。所以图形①和②的面积占大正方形面积的比例为：。 对于图形③、④、⑤、⑥ 继续观察图形，以图形③为例（其他几个图形思路相同），图形③所在的小正方形（它是大正方形平均分成4份后的一份 ）又可以平均分成2个和图形③一样的三角形。 那么从大正方形的角度看，相当于把大正方形平均分成了份（因为大正方形先被平均分成4个小正方形，每个小正方形又可再平均分成2个像图形③这样的部分 ），图形③、④、⑤、⑥分别是其中的一份。 所以图形③、④、⑤、⑥的面积占大正方形面积的比例为：。 2.在括号里填上合适的分数，表示阴影部分是大正方形的几分之几． 【答案】，，， 【解析】试题分析：由题意知，把大正方形的面积平均分成了16份，只要数出阴影部分有几个格子就占大正方形的几份，再用它占的份数除以总份数16即可． 解：2÷16=， 4÷16=， 1÷16=， 故答案为，，，． 点评：此题借助图形考查了学生对分数意义的理解与掌握． 3．下图中阴影部分各是大正方形的几分之几? 【答案】a占，b占，c占，d占 【解析】试题分析：根据分数的意义，观察图形进行解答． 解：由图形可知：a占，b占，c占，d占． 点评：考查了分数的意义，认真观察图形，找到各阴影部分与大正方形的关系是解题的关键。 用周期规律解决求一个数是另一个数的几分之几的问题 知识点： 周期是指事物在运动、变化过程中，某些特征多次重复出现，其接续两次出现所经过的时间或数量等。 分数与除法的关系：求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，即是的几分之几可表示为（）。 解题方法： 先找出事物排列的周期规律，确定一个周期内各种元素的数量。 计算总数量中包含的完整周期数以及剩余数量，从而确定每种元素的实际数量。 用每种元素的数量除以总数量，得到每种元素占总数量的几分之几。 典例：有同样大小、质地均匀的红、白、黑三种颜色的珠子共99颗，按照1颗红珠子、3颗白珠子、2颗黑珠子的顺序循环排列。三种颜色的珠子分别占全部珠子的几分之几？ 【答案】红珠子占全部珠子的， 白珠子占全部珠子的， 黑珠子占全部珠子的。 【解析】第一步 先求出三种颜色的珠子各有多少颗。 求出99颗珠子里面有多少个完整周期： 三种颜色的珠子按照1颗红珠子、3颗白珠子、2颗黑珠子的顺序循环排列，每6颗珠子作为一个周期。（组）（颗），余下的3颗珠子中有1颗红珠子、2颗白珠子。 求出各种颜色珠子的颗数： 在99颗珠子中红珠子有（颗），白珠子有（颗），黑珠子有（颗）。 第二步 用除法求三种颜色的珠子分别占全部珠子的几分之几。 红珠子占全部珠子的， 白珠子占全部珠子的， 黑珠子占全部珠子的。 【总结】解题关键：找出完整周期内三种颜色的珠子分别有多少颗后，还要注意不完整周期内三种颜色的珠子各有多少颗。 1.下面的篮球、足球、排球共有35个，按一定的规律排列着。 (1)第22个是什么球？ (2)三种球的个数分别占球的总数的几分之几？ 【解析】 (1)确定循环周期：观察球的排列顺序“篮球、排球、篮球、足球”，可知每个球为一个循环周期。 计算周期数和余数：用除以循环周期的球数，即（组）（个）。这意味着到第个球时，完整的周期有个，余数表示是下一个周期的第个球。 确定球的种类：根据循环顺序，每个周期的第个球是排球，所以第个是排球。 (2)计算循环周期数和剩余球数：用球的总数除以每个周期的球数，（组）（个）。即一共有个完整的周期，还剩下个球。 分别计算三种球的个数： 篮球：每个周期有个篮球，个周期就有个篮球，余下的个球中有个篮球，所以篮球总数为个。 排球：每个周期有个排球，个周期就有个排球，余下的个球中有个排球 ，所以排球总数为个。 足球：每个周期有个足球，个周期就有个足球。 计算三种球占总数的比例： 篮球个数占球总数的比例为。 排球个数占球总数的比例为。 足球个数占球总数的比例为。 2．一串小彩灯有44个，这串小彩灯按照1个★，2个●和3个◆的规律依次排列（如图），其中◆的个数占这串小彩灯的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，这串小彩灯按照1个★，2个●和3个◆的规律依次顺序排列，则6个小彩灯为一组；先求出44里面有几个6，用除法计算，得出有7组，还余2个，这2个小彩灯分别是★和●。用一组里面◆的个数乘组数，即可求出这串小彩灯中◆的个数，再除以这串小彩灯的总个数，即可求出的◆个数占这串小彩灯的几分之几。 【解析】1＋2＋3＝6（个） 44÷6＝7（组）……2（个） 余2个，分别是★和●。 3×7＝21（个） 21÷44＝ 其中◆的个数占这串小彩灯的。 故答案为：C 3．有一串彩球，按1个红球、2个白球就、3个黄球的规律排列，这串彩球共80个．三种颜色的求各占总数的几分之几？ 【答案】80  （1+2+3）= 13 （组）……2（个） 红球：13×1+1=14（个）     14÷ 80 = 白球：13×2+1=27（个）     27÷80 = 黄球：13×3 =39（个）    39÷80 = 基于分数关系的图形求解 知识点： 在图形问题中，通过分数表示不同图形之间的倍数关系。 已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法；求一个数的几分之几是多少，用乘法。 解题方法： 分析题目中给出的分数关系，确定已知图形与所求图形和中间量（如涂色部分）之间的联系。 先根据已知条件求出中间量，再利用中间量与所求图形的关系，求出所求图形的相关问题。 典例: 如下图，涂色部分的面积是大三角形面积的，是小三角形面积的。大三角形的面积是36平方厘米，小三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】（平方厘米） （平方厘米） 答：小三角形的面积是24平方厘米。 【解析】涂色部分的面积是大三角形面积的： 涂色部分的面积 = 大三角形的面积，（平方厘米） 涂色部分的面积是小三角形面积的： 涂色部分的面积 = 小三角形的面积，（平方厘米） 【总结】解答此题的关键是厘清涂色部分的面积与大、小三角形的面积之间的数量关系，并根据数量关系和已知条件，先求出涂色部分的面积，进而求出所求图形的面积。 1．（1）动脑筋． ①阴影部分占整个图形面积的； ②阴影部分占大正方形面积的； ③阴影部分占大长方形面积的． 【答案】、、 【解析】试题分析：将单位“1”平均分成若干份，表示其中这样一份的数为分数单位．据此意义分析即可． 解：①整个图形中共包括9个小正方形，阴影部分为其中一个，则阴影部分占整个图形的； ②大正方形中包括4个小正方形，阴影部分为其中一个，则阴影部分占大正方形的； ③大长方形中包括6个小正方形，则阴影部分占大长方形的； 故答案为、、． 点评：同一个数量所处的单位“1“不同，则所占单位“1”的分率也就不同． 2．右图中，阴影部分是两个正方形的重叠部分，用A表示它． （1）A是小正方形的 （2）A是大正方形的 ． （3）A是整个图形的 ． 【答案】、、 【解析】试题分析：将单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数为分数．据此意义结合图形分析填空即可． 解：（1）小正方形被平均分成4份，A占其中一份，则A是小正方形的； （2）大正方形被平均分成9份，A占其中一份，则A是大正方形的； （3）整个图形被平均分成12份，A占其中一份，则A是整个图形的． 故答案为、、． 点评：同一个数量，所处的单位“1”不同，其占单位“1”的分率也就不同． 定义新运算 知识点： 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。它是一种人为规定的运算形式，与常规的四则运算不同。 运算顺序遵循整数四则运算的规则，即有括号先算括号内，再算括号外；没有括号时，按照从左到右的顺序依次计算。 解题方法： 首先要准确理解题目中所定义的新运算符号的运算规则，明确其代表的运算方式。 对于含有多种新运算的式子，按照运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，逐步得出式子的结果。 典例：为任意两个整数，规定，。求的值。 【答案】的值是。 【解析】题中定义了两种新运算，它们的运算顺序和整数四则运算顺序相同，算式中有括号时，要先算括号内的，再算括号外的。根据已知条件可知，中符号表示两个数相除；中的符号表示两个数的积再加1。据此可知，的计算过程是，。 【总结】对于复杂的含有多种新运算的式子，如“5◇(4☆3)”，应先根据规则计算括号内的“4☆3”，得出结果后，再计算括号外的“5◇”运算。通过逐步计算，最终得出式子的值。 1.设、为正整数，定义新运算为 。若，求结果，并结合分数与除法知识说明其含义。 【答案】。从分数与除法知识看，先计算分子，再用除以，即得到结果。这里可以理解为把与的和看作一个整体，平均分成份，每份是 。 【解析】按照新运算的定义，先计算与的和为，然后用除以。从分数与除法关系来说，这是将加法运算后的结果作为被除数，作为除数进行除法运算，得到分数，化简后为，其分数意义是将的和平均分成份后的每份数量。 2.对于两个正整数、，定义新运算为（）。计算，并阐述该结果与分数意义及分数与除法的联系。 【答案】。从分数意义看，把看作单位“”，平均分成份，每份是。从分数与除法关系看，先计算，再进行的运算，是被除数，是除数，得到结果为 。 【解析】依据新运算的规则，先计算得到，再用除以。从分数意义角度，将当作一个整体进行平均分，表示其中一份的数量。在分数与除法关系中，是被除数，是除数，相除得到分数形式，最终结果为 。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$