专题03 不等式与不等式组（考题猜想，不等式的基本概念及性质的六种常见题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（人教版五四制）

专题03不等式与不等式组（考题猜想，不等式的基本概念及性质的六种常见题型） 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 题型1：不等式的识别 【例题1】．（2024春•泗县月考）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是　　 A．5 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2023七年级下·江苏·专题练习）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）52；（7）． 【变式2】．（2022春•莱州市期末）有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有 　　个． 【变式3】（2023七年级下·全国·专题练习）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式4】（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子中哪些是等式？哪些是不等式？ ①；②；③；④；⑤；⑥． 【变式5】．（2023春•泌阳县期中）在数学的发展史中，符号占有很重要的地位，它不但书写简单，而且表达的意义很明确．在不等式中，除了我们熟悉的符号外，还有很多：比如：表示不小于；表示不大于，表示远大于；表示远小于等．下列选项中表达错误的是　　 A． B． C． D． 题型2：一元一次不等式的识别 【例题2】（23-24八年级下·全国·课后作业）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．0 【变式1】（23-24八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【变式2】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【变式3】（22-23八年级下·广东深圳·期中）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【变式4】（2021八年级下·全国·专题练习）下列式子中，是一元一次不等式的有哪些？ （1）3x+5＝0；（2）2x+3＞5；（3）；（4）≥2；（5）2x+y≤8 题型3：不等式的解集 【例题3】（23-24七年级下·河南周口·期中）已知，则下列哪个选项是不等式的解（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（　　） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解 【变式2】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 【变式4】．（2024•兰山区校级模拟）若不等式组的解集是，则的取值范围是　 　． 【变式5】．（2023秋•齐河县期末）不等式组无解，则的取值范围是　 　． 【变式6】．（2023春•本溪期中）已知不等式的解集是，则的取值范围是 　 　． 【变式7】．（2023春•海安市校级期中）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ． 表示到原点距离小于3的数，从图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点距离小于3，所以的解集是； ． 表示到原点距离大于3的数，从图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： （1）不等式的解集为 　 　，不等式的解集为 　　． （2）解不等式． （3）解不等式． （4）直接写出不等式的解集：　　． 【变式8】．（2023春•凤凰县期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． （1）若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； （2）若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； （3）若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 【变式9】．（2023春•鼓楼区期末）已知不等式组 （1）当时，写出它的解集； （2）当时，写出它的解集； （3）当时，写出它的解集； （4）由（1）（2）（3）当的值发生变化时，原不等式组的解集也发生变化，试根据值的变化情况，写出原不等式组的解集． 【变式10】．（2022春•十堰期末）仔细阅读以下材料：求不等式的解集． 我们知道，绝对值的性质是“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0”， 根据绝对值的性质，可得： （1）当时，原不等式为，， （2）当时，原不等式为，解得，，， 原不等式的解集为． 请你仿照上述方法解决下列问题： （1）直接写出不等式的解集； （2）求不等式的解集． 题型4：不等式的整数集 【例题4】（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）不等式的最大整数解为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·广东佛山·期中）不等式的最大整数解是 ． 【变式2】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）解不等式，并写出它的所有正整数解． 【变式3】（2024·陕西榆林·三模）求满足不等式的正整数解． 【变式4】．（2023春•二道区校级期中）若关于、的方程组的解满足，求的最小整数值． 【变式5】．（2024春•郸城县期中）解不等式是，在数轴上表示出其解集，并求出它的所有整数解的和． 【变式6】．（2024•扶风县一模）求不等式组的整数解． 【变式7】．（2024•商河县校级一模）解不等式组并写出该不等式组的整数解． 【变式8】．（2024•莱芜区校级模拟）解不等式组，并写出它的正整数解． 【变式9】．（2023秋•醴陵市期末）解不等式组并求它的所有整数解的和． 题型5：利用不等式的性质比较大小 【例题5】（2024春•杨浦区期中）用不等号填空，若，则 　　（填“”或“” ． 【变式1】．（2023春•榆树市校级期中）若，则　　．（填“”或“”或“” ． 【变式2】．（2023春•海门市校级期中）比较大小：已知，则 　　． 【变式3】（21-22八年级下·安徽淮北·期中）已知．下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24八年级下·福建三明·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式5】（2024·上海杨浦·一模）已知，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型6：新定义的应用 【例题6】（2024八年级下·全国·专题练习）在上定义运算：，当时，存在使不等式成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（22-23七年级下·湖北恩施·阶段练习）阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：． (1)填空：若，则___________，，则x的取值范围___________． (2)芳对于正整数m、n，满足，求的值； (3)若对于两个非负数x、y，满足，求实数k的取值范围． 【变式2】（23-24七年级上·广东珠海·期中）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如．如果有，求的取值范围． 【变式3】（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）定义一种关于*的运算：，如． (1)若，且为正整数，求的值； (2)若不等式的解集和关于的不等式的解集相同，求的值． 【变式4】．（2024春•东坡区期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． （1）填空：　　； （2）若，则的取值范围为 　　； （3）已知，求的取值范围． 【变式5】．（2023秋•新田县期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，若的解都是的解，则称与存在“雅含”关系，且不等式称为不等式的“子式”． 如，，满足的解都是的解，所以与存在“雅含”关系，是的“子式”． （1）若关于的不等式，，请问与是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”； （2）已知关于的不等式，，若与存在“雅含”关系，且是的“子式”，求的取值范围； （3）已知，，，，且为整数，关于的不等式，，请分析是否存在，使得与存在“雅含”关系，且是的“子式”，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【变式6】．（2024春•武侯区校级月考）请阅读下列材料：我们规定一种运算：，，比如：，． 按照这种规定的运算，请解答下列问题： （1）填空：计算，　 　； （2）若，，，，且满足，，请你求出的整数值． 【变式7】．（2024春•余杭区月考）已知用表示不大于的最大整数，如，． （1）求的值． （2）若，满足，求的值． （3）已知，． ①写出的所有可能值； ②若，请直接写出一对符合条件的，的解：． 【变式8】．（2024春•蚌山区月考）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①；②；③中，关于的不等式组的“关联方程”是 　 　；（填序号） （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”求的取值范围； （3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组恰好有4个整数解，试求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03不等式与不等式组（考题猜想，不等式的基本概念及性质的六种常见题型） 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 题型1：不等式的识别 【例题1】．（2024春•泗县月考）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是　　 A．5 B．2 C．3 D．4 【分析】运用不等式的定义进行判断． 【解答】解：①是不等式； ②是不等式； ③是等式， ④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式， ⑤是不等式， ⑥是不等式． 不等式有①②⑤⑥，共4个． 故选：． 【点评】本题考查不等式的定义，掌握用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式是关键． 【变式1】（2023七年级下·江苏·专题练习）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）52；（7）． 【答案】等式有：（3）（5），不等式有：（2）（4）（7），既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）． 【分析】根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号（）连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子． 【详解】解：等式有：（3）（5）， 不等式有：（2）（4）（7）， 既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）． 【点睛】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键 【变式2】．（2022春•莱州市期末）有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有 　　个． 【分析】用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式．据此可得答案． 【解答】解：不等式有：①，②，⑤，共有3个． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查不等式的定义，用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式． 【变式3】（2023七年级下·全国·专题练习）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)是不等式 (2)是不等式 (3)是不等式 (4)是等式 (5)是代数式 (6)是不等式 【分析】根据不等式的定义对各小题进行逐一判断即可． 【详解】（1）是不等式； （2）是不等式； （3）是不等式； （4）是等式； （5）是代数式； （6）是不等式； 综上，（1）、（2）、（3）、（6）是不等式，（4）是等式． 【点睛】本题考查的是不等式的定义，熟知用不等号连接的式子叫不等式是解答此题的关键 【变式4】（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子中哪些是等式？哪些是不等式？ ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】等式有②，不等式有①③④⑥ 【分析】表示相等关系的式子叫等式，用不等号（，，，，）表示不等关系的式子叫不等式，再逐个判断即可． 【详解】解：等式有②； 不等式有①；③；④；⑥； 综上，等式有②，不等式有①③④⑥． 【点睛】本题考查了等式和不等式的定义，能熟记等式和不等式定义是解此题的关键 【变式5】．（2023春•泌阳县期中）在数学的发展史中，符号占有很重要的地位，它不但书写简单，而且表达的意义很明确．在不等式中，除了我们熟悉的符号外，还有很多：比如：表示不小于；表示不大于，表示远大于；表示远小于等．下列选项中表达错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据表示不小于即可判断选项，根据表示不大于即可判断选项，根据表示远大于即可判断选项，根据表示远小于即可判断选项． 【解答】解：．表示2不小于2，即2小于或等于2，选项不符合题意； ．表示不大于0，即小于或等于0，选项不符合题意； ．表示100远大于1，选项不符合题意； ．表示远小于，这种表述是错误的，应该是远大于，即，选项符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式，理解题意掌握不等式的相关定义是解题的关键． 题型2：一元一次不等式的识别 【例题2】（23-24八年级下·全国·课后作业）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义得到，即可求出m． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得， 故选：B 【变式1】（23-24八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，正确把握定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得；， 故答案为： 【变式2】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的未知数的最高次数为1，即可求出的值． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ， ， 故答案为： 【变式3】（22-23八年级下·广东深圳·期中）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据定义得到，解不等式即可得到答案，熟记一元一次不等式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ，则或，且，解得， 故答案为： 【变式4】（2021八年级下·全国·专题练习）下列式子中，是一元一次不等式的有哪些？ （1）3x+5＝0；（2）2x+3＞5；（3）；（4）≥2；（5）2x+y≤8 【答案】（2）、（3）是一元一次不等式 【分析】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：（1）是等式；（4）不等式的左边不是整式；（5）含有两个未知数，所以不是一元一次不等式， 所以一元一次不等式有：（2）、（3） 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的识别，掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键. 题型3：不等式的解集 【例题3】（23-24七年级下·河南周口·期中）已知，则下列哪个选项是不等式的解（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解集，根据不等式的解集即可解答，掌握不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的值应该小于， 四个选项中只有小于， 故选：D 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（　　） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式得解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解得定义去判定即可． 【详解】， ， A、符合条件，是不等式的一个解，故选项符合题意； B、解集是一个范围，而是一个固定值，故选项不符合题意； C、解集是一个范围，所以不是不等式的唯一解，故选项不符合题意； D、符合条件，是不等式的一个解，故选项不符合题意； 故选：A 【变式2】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集为，即找出满足不小于的数即可，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D 【变式3】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集及解一元一次不等式；根据题意求得，且，把代入不等式中，即可求解． 【详解】解：由，得， ∵关于x的不等式的解集为， ∴，且， ∴， 整理得：， ∵， ∴， 把代入中，整理得：， ∴， 故答案为： 【变式4】．（2024•兰山区校级模拟）若不等式组的解集是，则的取值范围是　 　． 【分析】根据求不等式组解集的方法，即“同大取较大”可直接进行解答． 【解答】解：不等式组的解集是， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是求一元一次不等式组的解集，求不等式组的解集要根据其法则进行，即“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”． 【变式5】．（2023秋•齐河县期末）不等式组无解，则的取值范围是　 　． 【分析】根据不等式组无解的条件确定出的范围即可． 【解答】解：不等式组整理得：， 由不等式组无解，得到， 解得：， 则的取值范围是． 故答案为：． 【点评】此题考查了不等式的解集，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键． 【变式6】．（2023春•本溪期中）已知不等式的解集是，则的取值范围是 　 　． 【分析】根据不等式组的求解规律：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无解，探究的取值范围即可． 【解答】解：由不等式组的解集是， 因此的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式7】．（2023春•海安市校级期中）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ． 表示到原点距离小于3的数，从图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点距离小于3，所以的解集是； ． 表示到原点距离大于3的数，从图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： （1）不等式的解集为 　 　，不等式的解集为 　　． （2）解不等式． （3）解不等式． （4）直接写出不等式的解集：　　． 【分析】（1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围； （3）利用和（2）同样方法即可求出不等式的解集； （4）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【解答】解：（1）不等式的解集为； 不等式的解集为或． 故答案为：，或． （2）， ， ； （3）， 或， 或； （4）在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值． 当时，， 当时，， 当时，， ， 解得． 故答案为：． 【点评】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意． 【变式8】．（2023春•凤凰县期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． （1）若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； （2）若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； （3）若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 【分析】（1）利用题干中的同解不等式的定义求解； （2）利用题干中的同解不等式的定义及整除定义求解； （3）利用题干中的同解不等式的定义求出字母的取值，再解字母系数的不等式． 【解答】解：（1）解关于的不等式，得， 解不等式，得， 由题意得：， 解得：． （2）解不等式得：， 不等式得：， ， ， ，是正整数， 为1或4或2， ，或；，或，． （3）解不等式得：， 解不等式得：， ， ， ， ，且， ， 的解为：． 【点评】本题考查了不等式的性质及解不等式，理解新定义时解题的关键． 【变式9】．（2023春•鼓楼区期末）已知不等式组 （1）当时，写出它的解集； （2）当时，写出它的解集； （3）当时，写出它的解集； （4）由（1）（2）（3）当的值发生变化时，原不等式组的解集也发生变化，试根据值的变化情况，写出原不等式组的解集． 【分析】（1）当时，根据同小取小易得其解集为； （2）当时，根据同小取小易得其解集为； （3）当时，且，根据大于大的小于小的无解即可得到无解； （4）比较与和1的大小关系，讨论的取值范围，可得到当时，不等式组的解集为；②当时，不等式组的解集为；③当时，不等式组无解． 【解答】解：（1）当时，不等式解集为； （2）当时，不等式解集为； （3）当时，不等式无解； （4）①当时，不等式组的解集为； ②当时，不等式组的解集为； ③当时，不等式组无解． 【点评】本题考查了不等式组的解集．解题的关键的掌握求不等式组的解集的方法：先求出各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集． 【变式10】．（2022春•十堰期末）仔细阅读以下材料：求不等式的解集． 我们知道，绝对值的性质是“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0”， 根据绝对值的性质，可得： （1）当时，原不等式为，， （2）当时，原不等式为，解得，，， 原不等式的解集为． 请你仿照上述方法解决下列问题： （1）直接写出不等式的解集； （2）求不等式的解集． 【分析】（1）根据示例解答即可； （2）分两种情况：当，当，分别解答即可． 【解答】解：（1）根据题意可得：或， 解得，； （2）当，即时，原不等式为： ， 解得，， 不等式的解集为， 当，即时，原不等式为： ， 解得，， 不等式的解集为， 综上所述，原不等式的解集为：或． 【点评】此题考查的是不等式的解集，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． 题型4：不等式的整数集 【例题4】（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）不等式的最大整数解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的最大整数解，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最大整数解为， 故选：B 【变式1】（23-24八年级下·广东佛山·期中）不等式的最大整数解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的基本性质和解不等式的能力是解题的关键．将不等式中未知数的系数化为1后得出不等式的解集，即可得出答案． 【详解】解：移项得 两边都除以得， 则不等式的最大整数解为， 故答案为： 【变式2】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）解不等式，并写出它的所有正整数解． 【答案】，不等式的正整数解为1，2． 【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，以及解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．不等式去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，求出解集，进而确定出正整数解即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号，得：， 移项得：， 合并得：， 解得：， 则不等式的正整数解为1，2 【变式3】（2024·陕西榆林·三模）求满足不等式的正整数解． 【答案】正整数解为1、2、3、4、5． 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，继而可得其正整数解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴， ∴不等式的正整数解为1、2、3、4、5 【变式4】．（2023春•二道区校级期中）若关于、的方程组的解满足，求的最小整数值． 【分析】先用②①得：，根据，得出，求出，即可得出答案． 【解答】解：， ②①得：， ， ， 解得：， 的最小整数值为2． 【点评】本题考查二元一次方程组的解法和不等式的解法及不等式的整数解．能得出关于的不等式是解题的关键． 【变式5】．（2024春•郸城县期中）解不等式是，在数轴上表示出其解集，并求出它的所有整数解的和． 【分析】先求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出解集，求出所有整数解的和即可． 【解答】解：． 解得不等式①得：． 解得不等式②得：． 所以不等式的解集为． 在数轴上表示如下： 所有整数解的和为：． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟悉解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键 【变式6】．（2024•扶风县一模）求不等式组的整数解． 【分析】此题需要首先解不等式组，求得不等式组的解集，找到符合题意的值即可．解不等式时，注意系数化一时，系数的正负．此题系数均为负，所以不等号的方向均改变． 【解答】解： 由①得（1分） 由②得（2分） 所以原不等式组的解集为（4分） 所以原不等式组的整数解为1，2，3，4．（5分） 【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法．特别要注意系数化一时，不等号的方向是否需要改变．还要注意按题意解题． 【变式7】．（2024•商河县校级一模）解不等式组并写出该不等式组的整数解． 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，在解集中找出整数即可． 【解答】解：， 由①得：； 由②得：， 所以不等式组的解集是：， 则不等式组的整数解是：，0，1． 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式8】．（2024•莱芜区校级模拟）解不等式组，并写出它的正整数解． 【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的正整数解即可． 【解答】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集是， 不等式组的正整数解是1，2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 【变式9】．（2023秋•醴陵市期末）解不等式组并求它的所有整数解的和． 【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可． 【解答】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解是，，，0，1，和为． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解题的关键． 题型5：利用不等式的性质比较大小 【例题5】（2024春•杨浦区期中）用不等号填空，若，则 　　（填“”或“” ． 【分析】根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式1】．（2023春•榆树市校级期中）若，则　　．（填“”或“”或“” ． 【分析】根据不等式的性质，进行计算判断即可． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边同时乘（或除）一个负数时，不等号方向要改变是解题的关键． 【变式2】．（2023春•海门市校级期中）比较大小：已知，则 　　． 【分析】由不等式的性质：两边同时乘以得，两边同时加1得． 【解答】解：， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的三个性质是关键． 【变式3】（21-22八年级下·安徽淮北·期中）已知．下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴， ∴变形错误，故选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴变形正确，故选项B符合题意； ∵， ∴， ∴变形错误，故选项C不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴变形错误，选项D不符合题意． 故选：B 【变式4】（23-24八年级下·福建三明·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的性质：（1）不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；（2）不等式两边乘或除同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘或除同一个负数，不等号的方向改．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：若， 则有，选项A错误，不符合题意； ，选项B错误，不符合题意； ，选项C错误，不符合题意； ，选项D正确，符合题意． 故选：D 【变式5】（2024·上海杨浦·一模）已知，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质，易错在不等式的基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．不等式性质：基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质逐一分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故不符合题意； B． ∵， ∴， ∴，故符合题意； C．∵， ∴，故不符合题意； D． ∵， ∴，故不符合题意． 故选：B 题型6：新定义的应用 【例题6】（2024八年级下·全国·专题练习）在上定义运算：，当时，存在使不等式成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算与不等式综合，涉及解一元一次不等式知识，先由题中新定义运算，再解一元一次不等式，最后由题中条件分类求解即可得到答案，熟记一元一次不等式的解法是解决问题的关键． 【详解】解：在上定义运算：， 由可得， 当时，解得，由时，存在使不等式成立，则，解得，从而； 当时，解得，且，由时，存在使不等式成立，得； 当时，，当时，存在使不等式成立； 综上所述，， 故选：D 【变式1】（22-23七年级下·湖北恩施·阶段练习）阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：． (1)填空：若，则___________，，则x的取值范围___________． (2)芳对于正整数m、n，满足，求的值； (3)若对于两个非负数x、y，满足，求实数k的取值范围． 【答案】(1)0.25， (2)3 (3) 【分析】（1）根据二阶行列式的运算法则，列出方程或不等式，即可求解； （2）根据二阶行列式的运算法则，列出不等式，即可求解； （3）根据二阶行列式的运算法则，列出方程组，求出x，y，再根据均为非负数，得到关于k的不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 根据题意得：， 解得：； 故答案为：，； （2）解：由题意得，， ， 是正整数， ，或 ； （3）解：由题意可得， ， 得：，解得：， 将代入②，得：， 解得， 均为非负数， ， 解得． 【点睛】本题考查实数的新运算，一元一次不等式，二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握实数的新运算法则，解一元一次不等式组的解集，解二元一次方程组 【变式2】（23-24七年级上·广东珠海·期中）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如．如果有，求的取值范围． 【答案】． 【分析】此题考查了新定义运算和解一元一次不等式，根据题目给的运算法则，列出不等式求解即可，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：由，可得， ∴， ∴， ∴， 故的取值范围是 【变式3】（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）定义一种关于*的运算：，如． (1)若，且为正整数，求的值； (2)若不等式的解集和关于的不等式的解集相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，解一元一次方程，正确理解新定义运算的含义是解题的关键． （1）利用题中的新定义得出不等式，解不等式求出x的取值范围，再根据x为正整数得出答案； （2）求出不等式的解集，利用题中的新定义得出关于a的不等式，解不等式求出，再根据两个不等式的解集相同求出a的值即可． 【详解】（1）由，得， 解得， 为正整数， ； （2）解不等式，得， 由，得， 解得， 不等式的解集和关于的不等式的解集相同， ， 解得 【变式4】．（2024春•东坡区期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． （1）填空：　　； （2）若，则的取值范围为 　　； （3）已知，求的取值范围． 【分析】（1）根据当时，，可以计算出所求式子的值； （2）根据，可知，然后求解即可； （3）根据和题目中的新定义，利用分类讨论的方法解答即可． 【解答】解：（1）由题意可得， ， 故答案为：1； （2）， ， 解得， 故答案为：； （3）， 当时，可得， 则， 解得； 当时，可得， 则， 解得， 故； 由上可得，的取值范围是或． 【点评】本题考查解一元一次不等式、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【变式5】．（2023秋•新田县期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，若的解都是的解，则称与存在“雅含”关系，且不等式称为不等式的“子式”． 如，，满足的解都是的解，所以与存在“雅含”关系，是的“子式”． （1）若关于的不等式，，请问与是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”； （2）已知关于的不等式，，若与存在“雅含”关系，且是的“子式”，求的取值范围； （3）已知，，，，且为整数，关于的不等式，，请分析是否存在，使得与存在“雅含”关系，且是的“子式”，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据“雅含”关系的定义即可判断； （2）根据“雅含”关系的定义得出，解不等式即可； （3）首先解关于、的方程组即可求得、的值，然后根据，，且为整数即可得到一个关于的范围，从而求得的整数值； 【解答】解：（1）不等式的解集为， 与存在“雅含”关系，是的“子式”； （2）不等式的解集为，不等式的解集为，且是的“子式”， ， 解得； （3）由求得， ，， ， 解得， 为整数， 的值为，0，1，2； 不等式整理得，；不等式的解集为， ①当时，不等式的解集是全体实数， 与存在“雅含”关系，且是的“子式”， ②当时，不等式的解集为， 不能满足与存在“雅含”关系， ③当时，不等式的解集为， 与存在“雅含”关系，且是的“子式”， ，且， 解得， ， 综上的值为0或1． 【点评】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 【变式6】．（2024春•武侯区校级月考）请阅读下列材料：我们规定一种运算：，，比如：，． 按照这种规定的运算，请解答下列问题： （1）填空：计算，　 　； （2）若，，，，且满足，，请你求出的整数值． 【分析】（1）根据题目中的，，计算即可； （2）根据题目中的，列方程组得到，，再，列不等式组即可得到结论． 【解答】解：（1），； 故答案为：； （2），，，， ， 解得， ，， ， 解得， 的整数值为，． 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，有理数的混合运算，正确地理解题意是解题的关键． 【变式7】．（2024春•余杭区月考）已知用表示不大于的最大整数，如，． （1）求的值． （2）若，满足，求的值． （3）已知，． ①写出的所有可能值； ②若，请直接写出一对符合条件的，的解：． 【分析】（1）根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义解方程组求出，，据此可得答案； （3）①先求出，设的小数部分为，当时，，当时，，据此求解即可； ②先推出一定要是偶数，即的整数部分一定要是偶数；设的小数部分为，由（3）①得，当时，，联立，解得，不符合题意；当时，，联立，解得符合题意；据此求出的整数部分一定要是偶数，且小数部分大于0.5且小于1，由此写出符合题意的一组值即可． 【解答】解（1）； （2）， ①②得，解得， 把代入①的：，解得， ； （3）①，， ， 设的小数部分为， 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，或； ②，， ， ， ， 都是整数， 也是整数， 一定要是偶数，即的整数部分一定要是偶数； 设的小数部分为， 由（3）①得，当时，， 联立，解得，不符合题意； 当时，， 联立，解得符合题意； 的整数部分一定要是偶数，且小数部分大于0.5且小于1， 符合题意的、的值可以为，． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解答本题的关键是读懂题意，根据题目所给的信息进行解答． 【变式8】．（2024春•蚌山区月考）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①；②；③中，关于的不等式组的“关联方程”是 　 　；（填序号） （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”求的取值范围； （3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组恰好有4个整数解，试求的取值范围． 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可． 【解答】解：（1）①，解得； ②，解得； ③，解得； 解不等式得：， 解不等式得：， 的解集为， ，在范围内， 不等式组 “关联方程”是①②； 故答案为：①②； （2）解不等式得：， 解不等式得：， 的解集为， 关于的方程的解为， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， 在范围内， ， 解得； （3）解不等式得：， 解不等式得：， 的解集为， 此时不等式组有4个整数解， ， 解得， 关于的方程的解为， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， 在范围内 ， 解得， 综上所述，． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，熟练掌握解不等式组是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$