专题02 二元一次方程组中整体思想的应用（考题猜想，三种应用问题）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（人教版五四制）

专题02二元一次方程组中整体思想的应用（考题猜想，三种应用问题） 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 应用1：整体变形在求值中的应用 【例1】．（2024春•桐乡市月考）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数，满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则　　，　　； （2）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么求的值． 【变式1】．（2023秋•小店区月考）阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数，满足，求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得，的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由①②可得，由①②可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． （1）已知二元一次方程组，则　　，　　． （2）已知关于，的二元一次方程组，若方程组的解满足，求的值． 【变式2】．（2022秋•历下区期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：①得：③ ②③得： 的值为2． 【类比迁移】（1）已知，求的值； 【实际应用】（2）马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、20支签字笔、4支记号笔需要488元．通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只花了732元，请问比原价购买节省了多少钱？ 【变式3】．（2022•兴宁区校级开学）【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易． （1）解方程组 解：（1）把②代入①得：．解得：． 把代入②得：． 所以方程组的解为 （2）已知，求的值． 解：（2）①得：③ ②③得； 【类比迁移】（1）若，则　　． （2）运用整体代入的方法解方程组． 【实际应用】（3）“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资，已知打折前购买39瓶消毒液、12支测温枪、3套防护服共需2070元；打折后购买52瓶消毒液、16支测温枪、4套防护服共需2350元，比不打折时少花了多少钱？ 【变式4】．（2021春•临沭县期末）【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易． （1）解方程组：； （2）已知，求的值 解：（1）把②代入①得：．解得：． 把代入②得：， 所以方程组的解为． （2）①得：．③ ②③得：． 【类比迁移】 （1）若，则　　． （2）解方程组：． 【实际应用】 打折前，买39件商品，21件商品用了1080元．打折后，买52件商品，28件商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？ 【变式5】．（2023秋•峄城区期末）【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 （1）已知二元一次方程组，求和的值； （2）有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米：甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 【变式6】．（2023春•林州市期末）阅读理解在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组． 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得， 所以方程组的解为． （2）已知，求的值． 解：①②，得，③ ③，得． 类比迁移 （1）求方程组的解． （2）若，求的值． 【变式7】．（2023春•吴忠期末）解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． 例题讲解（1）解方程组 解：（1）把②代入①得： 把代入②得： 所以方程组的解为 （2）已知，求的值． 解：（2）①②得：③ 所以 【类比迁移】 （1）直接写出方程组的解． （2）若，求的值． 【实际应用】 （3）打折前，买36件商品，12件商品用了960元．打折后，买45件商品，15件商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？ 【变式8】．（2021春•西乡塘区期末）阅读理解在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：（1）把②代入①得： 把代入②得： 所以方程组的解为 （2）已知，求的值． 解：（2）①②得：③ ③得 类比迁移 （1）直接写出方程组的解． （2）若，求的值． 实际应用打折前，买36件商品，12件商品用了960元．打折后，买45件商品，15件商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？ 【变式9】．（2024春•二道区校级期中）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 （1）已知二元一次方程组，求和的值； （2）初二（3）班组织书法比赛，要购买一些学习用品用于发奖，若买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需33元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需60元，则购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需多少元？ （3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【变式10】．（2023春•南岗区校级期中）有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的表达式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的表达式得到答案，常规思路运算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得表达式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”，解决问题： （1）已知二元次方程组，则　　，　　． （2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需35元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？ 【变式11】．（2023春•西峡县期中）阅读理解题：先阅读下列材料，再解答后面的问题． 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值，再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大． 其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 请运用上述“整体思想”解决下列问题： 迁移应用： 已知关于，的方程组：是常数）． （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围． 拓展探究： 七年级某班组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？并说明理由． 【变式12】．（2023秋•莲湖区期末）问题提出 已知实数，满足，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①②可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为 　　． 问题探究 （2）请说明在关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变． 问题解决 （3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景，，盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 应用2：整体代换在解方程组中的应用 【例题2】（23-24七年级下·河南鹤壁·阶段练习）善于思考的乐乐在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法． 解：将②变形，得，即，③ 把①代入③，得， 解得， 把代入①，得， 解得，所以方程组的解为 根据上述材料，用“整体代换”的方法解方程组 【变式1】（22-23七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，得， 即． ③ 把①代入③，得，解得y=-1． 把代入①，得， 解得． 所以方程组的解为： 请你模仿小军的“整体代换”法解方程组 【变式2】（22-23七年级下·重庆南川·期末）典例1：阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形为，即，③ 把方程①代入③得，， 把代入①得， 方程组的解为． 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组． (2)已知，满足方程组，求整式的立方根． 【变式3】．（2022春•德宏州期末）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 请根据上述思想解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，求和的值； （2）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【变式4】．（2023春•南安市期末）感悟思想：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得，的值再代入要求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值．如①②可得；①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： （1）已知二元一次方程组，则　　； （2）三元一次方程组的解是 　　． 【变式5】．（2022春•蓝山县期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单： ②①得：，即③ ③得：④ ①④得：，把代入③得 所以这个方程组的解是． （1）请你运用小明的方法解方程组； （2）规律探究：猜想关于、的方程组，不相等）的解．（不用写过程，直接写出它的解）． 【变式6】．（2021春•福州期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：即③， 把方程①代入③得：， ， 把代入①得， 方程组的解为． 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组； （2）已知，满足方程组，求与的值； （3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解． 【变式7】．（2022春•袁州区校级月考）“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 将②式变形，得③． 将①式代入③式，得，解得． 将代入①式，得，解得， 该二元一次方程组的解为 （1）类比“整体代换”法解方程组 （2）已知，满足方程组求的值． 【变式8】．（2021春•济源期末）题目：满足方程组的与的值的和是2，求的值． 按照常规方法，顺着题目思路解关于、的二元一次方程组，分别求出、的值（含有字母，再由，构造关于的方程求解，从而得出值． （1）某数学兴趣小组对本题的解法又进行了探究，利用整体思想，对于方程组中每个方程变形得到“”这个整体，或者对方程组的两个方程进行加减变形，得到“”整体值，从而求出值． 请你运用这种整体思想的方法，完成题目的解答过程． （2）小勇同学的解答是：观察方程①，令，． 解得：，又， ． ． 把，代入方程②，得． 所以的值为或． 请诊断分析并评价“小勇同学的解答”． 【变式9】．（2022春•内乡县期中）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则　　，　　； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需多少元？ （3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么　　． 【变式10】．（2023春•五华区校级期中）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得．③，然后再将③代入②得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组：． 【变式11】．（2023春•容县期末）【阅读领会】怎么判断两条直线是否平行？ 如图①，很难看出直线是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系，我们称直线为“辅助线”．在部分代数问题中，难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入字母为“辅助元”或“整体代换”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题． 【实践体验】 （1）已知，则　　（引入“辅助元”或“整体代换”计算）． （2）如图②，已知，求证：，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明． 【创造突破】（3）若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解为 　　． 【变式12】．（2022春•邹城市期末）阅读材料 问题1：若方程组的解满足条件，求的取值范围． 解析：由于方程组中，的系数恰好都分别为1和4，所以直接将方程组①，②相加，可得，即，由条件得：．从而求得的取值范围：．这种不需求、，而直接求的方法数学中称为整体代换． 问题2：若方程组的解满足条件，求的取值范围． 小华在解此题时发现由于，的系数不对等，整体代换不可行，但聪明的小华并没有放弃，通过探索发现：方程①，②分别乘以不同的数，仍然可以达到整体代换的目的． 解答问题 （1）请根据小华的思路，在下面的横线上填上适当的式子． 方程①得：　 　③， 方程②得：　　④， 将方程③、④相加得：　　， 所以　　， 由条件得：　　， 从而求得的取值范围：　　． （2）若问题变为“若方程组的解满足条件，求的取值范围”． 问：你应如何确定两方程的变形，才能达到不需求，的值，而确定的值，从而求出的取值范围？请直接写出解题过程（不用写解题思路）． 应用3：整体换元在解方程组中的应用 【例题3】（2021秋•包头期末）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，． 原方程组的解为． 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 【变式1】．（2024春•印江县月考）阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法． （1）已知关于，的二元一次方程组，的解为，那么在关于，的二元一次方程组，中，　　，　　； （2）用材料中的方法解二元一次方程组． 【变式2】．阅读理解： 善于思考的小聪在解方程组时，发现①和②之间存在一定关系，他的解法如下： 解：把②变形为．③ 把①代入③，得， 解得． 把代入①，得． 原方程组的解为 小聪的这种解法叫“整体换元法”．请用“整体换元法”解下列方程组： （1）； （2）． 【变式3】．（2023春•青秀区校级期末）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． （1）学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． （2）拓展提升，已知关于，的方程组的解为，请直接写出关于、的方程组的解是 　 　． 【变式4】．（2022秋•山亭区期末）解方程（组 （1）； （2）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，，原方程组可化为，解得，原方程组的解为．请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 【变式5】．（2022春•广平县校级月考）嘉嘉在解方程组时，发现方程①和②存在一定关系，他的解法如下． 解：将方程②变形，得③． 将①代入③，得． 解这个方程，得． 把代入①，得．所以原方程组的解为． 嘉嘉的这种解法叫“整体换元法”，请用“整体换元法”完成下列问题． （1）解方程组． ①把方程①代入方程②，则方程②变为 　 　； ②原方程组的解为 　　； （2）解方程组． 【变式6】．（2022春•璧山区期中）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为 解得：．，原方程组的解为． （1）若方程组的解是，则方程组的解是 　 　． （2）仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 【变式7】．（2021秋•包头期末）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，． 原方程组的解为． 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 【变式8】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 ___________； (2)如何解方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解； (3)若关于m，n的方程组，则方程组的解为 ______． 【变式9】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)已知方程组的解为，如何解大于的方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，则原方程组的解为______________________； (2)若方程组的解是，求方程组的解． (3)已知m，n为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02二元一次方程组中整体思想的应用（考题猜想，三种应用问题） 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 应用1：整体变形在求值中的应用 【例1】．（2024春•桐乡市月考）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数，满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则　　，　　； （2）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么求的值． 【分析】（1）②①即可求出的值，①②即可求出的值； （2）由题意列出方程组，即可求解． 【解答】解：（1）， ②①，得， ①②，得， ， 故答案为：；6； （2）由题意得，， ①②，得， ． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，掌握整体思想解决问题是解题的关键． 【变式1】．（2023秋•小店区月考）阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数，满足，求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得，的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由①②可得，由①②可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． （1）已知二元一次方程组，则　4　，　　． （2）已知关于，的二元一次方程组，若方程组的解满足，求的值． 【分析】（1）直接让方程组中的两个方程相加、相减即可求出、的值； （2）直接让方程组中的两个方程相减即可求出的值，结合已知即可求出的值． 【解答】解：（1）， ①②得，， ①②得，， ， 故答案为：4，2； （2）， ①②得，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，理解题意，熟练掌握整体思想解方程组是解题的关键． 【变式2】．（2022秋•历下区期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：①得：③ ②③得： 的值为2． 【类比迁移】（1）已知，求的值； 【实际应用】（2）马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、20支签字笔、4支记号笔需要488元．通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只花了732元，请问比原价购买节省了多少钱？ 【分析】（1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为元，元，元，根据题意列出方程，求出按照原价80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔花费总数，即可求出节省的钱数． 【解答】解：（1）， ①②得：， 则； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为元，元，元， 根据题意得：， ， （元， 则比原价购买节省了244元钱． 【点评】此题考查了解三元一次方程组，代数式求值，以及一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 【变式3】．（2022•兴宁区校级开学）【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易． （1）解方程组 解：（1）把②代入①得：．解得：． 把代入②得：． 所以方程组的解为 （2）已知，求的值． 解：（2）①得：③ ②③得； 【类比迁移】（1）若，则　23　． （2）运用整体代入的方法解方程组． 【实际应用】（3）“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资，已知打折前购买39瓶消毒液、12支测温枪、3套防护服共需2070元；打折后购买52瓶消毒液、16支测温枪、4套防护服共需2350元，比不打折时少花了多少钱？ 【分析】（1）求即可； （2）将看作一个整体进行分析计算即可； （3）通过观察发现打折前和打折后的数量关系，通过运算得到所求． 【解答】解：（1）， 得：． 故答案为：23； （2）， 由①可得：③， 把③代入②得：， 解得：， 方程组的解为； （3）设打折前消毒液、测温枪和防护服的单价为元，元，元， 打折后消毒液、测温枪和防护服的单价为元，元，元， 则、、分别为每瓶消毒液、每支额温枪、每套防护服少花的钱， 由题意可得， ， ①，②得： ， ③④得： ， 左右两边乘4得， ， 比不打折时少花了410元． 【点评】本题考查三元一次方程组，注意运用整体代入是关键． 【变式4】．（2021春•临沭县期末）【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易． （1）解方程组：； （2）已知，求的值 解：（1）把②代入①得：．解得：． 把代入②得：， 所以方程组的解为． （2）①得：．③ ②③得：． 【类比迁移】 （1）若，则　18　． （2）解方程组：． 【实际应用】 打折前，买39件商品，21件商品用了1080元．打折后，买52件商品，28件商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？ 【分析】【类比迁移】（1）利用①②可得出，此问得解； （2）利用代入法解方程组，即可求出结论； 【实际应用】设打折前商品每件元，商品每件元，由买39件商品21件商品用了1080元，可得出关于、的二元一次方程，变形后可得出，用原价现价即可求出少花钱数． 【解答】解：【类比迁移】（1）， ①②，得：． 故答案为：18． （2）， 由①得：③， 将③代入②中得：，解得：， 将代入①中得：． 方程组的解为． 【实际应用】设打折前商品每件元，商品每件元， 根据题意得：， 即， 将两边都乘4得：， （元． 答：比不打折少花了288元． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用、解二元一次方程组以及解三元一次方程组，解题的关键是：【类比迁移】（1）利用①②求出的值；（2）利用代入法解二元一次方程组；【实际应用】找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【变式5】．（2023秋•峄城区期末）【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 （1）已知二元一次方程组，求和的值； （2）有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米：甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 【分析】（1）根据方程组的特点，由①②可得的值，由①②可得的值； （2）设甲种钢条的长度为米，乙种钢条的长度为米，丙种钢条的长度为米，依题意列出方程组，将①得③，再由③②可得的值． 【解答】解：（1）对于， ①②得：， ①②得：； （2）设甲种钢条的长度为米，乙种钢条的长度为米，丙种钢条的长度为米． 依题意得：， ①得：③， ③②得：， 答：1根丙种钢条是6米． 【点评】此题主要考查了解一次方程组，熟练掌握加减消元法，理解“整体思想”的应用是解决问题的关键． 【变式6】．（2023春•林州市期末）阅读理解在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组． 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得， 所以方程组的解为． （2）已知，求的值． 解：①②，得，③ ③，得． 类比迁移 （1）求方程组的解． （2）若，求的值． 【分析】（1）利用（1）的解题思路，进行计算即可解答； （2）利用（2）的解题思路，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）， ①②得：， ， 的值为1． 【点评】本题考查了解三元一次方程组，解一元一次方程，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程的整体思想是解题的关键． 【变式7】．（2023春•吴忠期末）解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． 例题讲解（1）解方程组 解：（1）把②代入①得： 把代入②得： 所以方程组的解为 （2）已知，求的值． 解：（2）①②得：③ 所以 【类比迁移】 （1）直接写出方程组的解． （2）若，求的值． 【实际应用】 （3）打折前，买36件商品，12件商品用了960元．打折后，买45件商品，15件商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？ 【分析】（1）把②代入①中即可求出答案； （2）用①②即可得出答案； 实际应用设打折前商品每件元，商品每件元，由题意可得关于，的二元一次方程，变形可得，用原价减现价即可得少花钱数． 【解答】解：（1），把②代入①中，得： ，解得：， 把代入②中，得， 方程组的解为． （2），①②得：， ． 实际应用设打折前商品每件元，商品每件元， 根据题意得：， 两边同时乘以，得：， （元， 答：比不打折少花了100元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解法、应用，三元一次方程组，根据题意类比迁移，找准等量关系是重点． 【变式8】．（2021春•西乡塘区期末）阅读理解在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：（1）把②代入①得： 把代入②得： 所以方程组的解为 （2）已知，求的值． 解：（2）①②得：③ ③得 类比迁移 （1）直接写出方程组的解． （2）若，求的值． 实际应用打折前，买36件商品，12件商品用了960元．打折后，买45件商品，15件商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？ 【分析】（1）把②代入①中即可求出答案； （2）用①②即可得出答案； 实际应用设打折前商品每件元，商品每件元，由题意可得关于，的二元一次方程，变形可得，用原价减现价即可得少花钱数． 【解答】解：（1），把②代入①中，得： ，解得：， 把代入②中，得， 方程组的解为． （2），①②得：， ． 实际应用设打折前商品每件元，商品每件元， 根据题意得：， 两边同时乘以，得：， （元， 答：比不打折少花了100元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解法、应用，三元一次方程组，根据题意类比迁移，找准等量关系是重点． 【变式9】．（2024春•二道区校级期中）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 （1）已知二元一次方程组，求和的值； （2）初二（3）班组织书法比赛，要购买一些学习用品用于发奖，若买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需33元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需60元，则购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需多少元？ （3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【分析】（1）分别①②，①②即可求得； （2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记元，根据题意得三元一次方程组，①②求得，即可解决问题． （3）根据“，”，即可得出关于，，的三元一次方程组，利用①②即可求出结论． 【解答】解：（1）， ①②得， ①②得， ， 故答案为：，5； （2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记本元， 根据题意，得：， ①②，得：， ， 答：购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需12元． （3）依题意得：， 由①②可得， 即． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式10】．（2023春•南岗区校级期中）有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的表达式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的表达式得到答案，常规思路运算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得表达式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”，解决问题： （1）已知二元次方程组，则　4　，　　． （2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需35元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？ 【分析】（1），①②得，再由①②得，则； （2）购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本共需元，由题意：买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需35元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，列出三元一次方程组，由“整体思想”求出，可得即可得解． 【解答】解：（1）， ①②得：， ①②得：， ， 故答案为：4，2； （2）购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本共需元， 由题意得：， ①②得：， 答：购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需45元． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 【变式11】．（2023春•西峡县期中）阅读理解题：先阅读下列材料，再解答后面的问题． 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值，再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大． 其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 请运用上述“整体思想”解决下列问题： 迁移应用： 已知关于，的方程组：是常数）． （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围． 拓展探究： 七年级某班组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？并说明理由． 【分析】迁移应用：（1）根据①②，得：，求出，根据，得出，求出的值即可； （2）根据①②，得：，得出，从而得出，解的不等式组即可； 拓展探究：设购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本需元，根据买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，列出方程组，解方程组即可． 【解答】解：迁移应用： ， ①②，得：， ， ， ， 解得：； ①②，得：， ， ， ， ， 解得：． 拓展探究： 解：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元 理由如下： 设购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本需元， 由题意得： ①②得：， 所以购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元． 【点评】本题主要考查了整体思想解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是熟练掌握整体思想，根据等量关系列出方程组． 【变式12】．（2023秋•莲湖区期末）问题提出 已知实数，满足，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①②可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为 　　． 问题探究 （2）请说明在关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变． 问题解决 （3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景，，盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 【分析】（1）由①②，即可求解； （2）由①②，可得，即可求解； （3）黄花一共用了朵．则，根据题意，列出方程组，即可求解． 【解答】解：（1）①②得， 故答案为：． （2）， 由①②，得， ， 无论取何值，的值始终不变． （3）设黄花一共用了朵．则， 由题意，得， 由①③，得④， 由，得，即． 答：黄花一共用了1330朵． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用，关键是找到等量关系式． 应用2：整体代换在解方程组中的应用 【例题2】（23-24七年级下·河南鹤壁·阶段练习）善于思考的乐乐在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法． 解：将②变形，得，即，③ 把①代入③，得， 解得， 把代入①，得， 解得，所以方程组的解为 根据上述材料，用“整体代换”的方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了代入法求二元一次方程的方法，适当变形后整体代入求解是关键．把变形为，再把整体代入． 【详解】解： 将②变形，得，③ 把①代入③，得， 解得， 把代入①，得， 解得，所以方程组的解为 【变式1】（22-23七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，得， 即． ③ 把①代入③，得，解得y=-1． 把代入①，得， 解得． 所以方程组的解为： 请你模仿小军的“整体代换”法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，将方程②变形为，再将整体代入即可求方程组．熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，体会整体思想解方程组的便捷是解题的关键． 【详解】解：中， 将②变形，得：即， 将①代入③得，， ∴， 将代入①得，， ∴方程组的解为 【变式2】（22-23七年级下·重庆南川·期末）典例1：阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形为，即，③ 把方程①代入③得，， 把代入①得， 方程组的解为． 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组． (2)已知，满足方程组，求整式的立方根． 【答案】(1) (2)立方根为2 【分析】（1）根据题目解题步骤进行求解即可； （2）应用二元一次方程组中的加减消元法思路进行求解即可； 【详解】（1）解：（1） 将方程②变形为，即③， 把方程①代入③得，， 把代入①得， ∴方程组的解为 （2） 将方程①②得：，得③ 代③入①得， 整式， ∴整式的立方根为2． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，明确题目所给过程步骤是解题的关键 【变式3】．（2022春•德宏州期末）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 请根据上述思想解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，求和的值； （2）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【分析】（1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值； （2）由题意列出方程组，即可求解． 【解答】解：（1）， ①②可得：， ①②可得：； （2）由题意可得：， ①②可得：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． 【变式4】．（2023春•南安市期末）感悟思想：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得，的值再代入要求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值．如①②可得；①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： （1）已知二元一次方程组，则　　； （2）三元一次方程组的解是 　　． 【分析】（1）利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答； （2）利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， ①②得：， 解得：， 故答案为：5； （2）， ①②③得：， 解得：④， ①④得：， ②④得：， ③④得：， 原方程组的解为：， 故答案为：． 【点评】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键． 【变式5】．（2022春•蓝山县期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单： ②①得：，即③ ③得：④ ①④得：，把代入③得 所以这个方程组的解是． （1）请你运用小明的方法解方程组； （2）规律探究：猜想关于、的方程组，不相等）的解．（不用写过程，直接写出它的解）． 【分析】（1）先计算得，再运用题目中的方法求解此方程组的解； （2）先计算得，再运用题目中的方法求解此方程组的解． 【解答】解：， ②①得：，即③ ③得：， 得，， 把代入③得 所以这个方程组的解是； （2）这个方程组的解是． 【点评】此题考查了运用整体思想解二元一次方程组的能力，关键是能根据方程组的特点进行准确变形、计算． 【变式6】．（2021春•福州期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：即③， 把方程①代入③得：， ， 把代入①得， 方程组的解为． 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组； （2）已知，满足方程组，求与的值； （3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解． 【分析】（1）把第2个方程变形为，则利用整体代换消去，求出的值，然后利用代入法求出得到方程组的解； （2）对方程组进行变形，则利用整体代换求出的值，把的值代入第一个方程，得； （3）确定符合的所有整数解，然后对进行验证，从而求解． 【解答】解：（1）， 将方程②变形，，即③， 把方程①代入③，得：，解得：， 把代入①，得：，解得：， 方程组的解为； （2）， 将方程组变形，得：， 将④③，得：，解得：， 将代入④，得：， ； 的值为17，的值为2； （3）由（2）可得， 当，均为整数时，或或或， 当，时，， 当，时，， 当，时，，（故舍去）， 当，时，，（故舍去）， 在（2）的条件下，这个方程组的所有整数解为或． 【点评】本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，掌握解方程组的方法和步骤是关键，注意整体思想的运用． 【变式7】．（2022春•袁州区校级月考）“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 将②式变形，得③． 将①式代入③式，得，解得． 将代入①式，得，解得， 该二元一次方程组的解为 （1）类比“整体代换”法解方程组 （2）已知，满足方程组求的值． 【分析】（1）把变形为，再用整体代换的方法解题； （2）把①变形为这样的形式，再利用整体代换的方法解决． 【解答】解：（1）解方程组， 把②变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①得， 即方程组的解为； （2）原方程组变形为 把①变形为③， 把②代入③可得，， 解得， ． 答：的值是4． 【点评】本题考查二元一次方程组的解法，采用了阅读材料的形式，用“整体代换”的解法使复杂的二元一次方程组变得简单，这种方法考生们应该牢记，在一些整式的乘法和因式分解以及其他类型的数学题目中都会有所涉及． 【变式8】．（2021春•济源期末）题目：满足方程组的与的值的和是2，求的值． 按照常规方法，顺着题目思路解关于、的二元一次方程组，分别求出、的值（含有字母，再由，构造关于的方程求解，从而得出值． （1）某数学兴趣小组对本题的解法又进行了探究，利用整体思想，对于方程组中每个方程变形得到“”这个整体，或者对方程组的两个方程进行加减变形，得到“”整体值，从而求出值． 请你运用这种整体思想的方法，完成题目的解答过程． （2）小勇同学的解答是：观察方程①，令，． 解得：，又， ． ． 把，代入方程②，得． 所以的值为或． 请诊断分析并评价“小勇同学的解答”． 【分析】（1）由两种方法分别得出，求解即可； （2）从二元一次方程的解和二元一次方程组的解的概念进行诊断分析，再从创新的角度进行评价即可． 【解答】解：（1）方法一：②得：③， 由③①得：， ， ， 解得：； 方法二：由①②得：③， 由②③得：， ， ， 解得：（方法不唯一）； （2）“小勇同学的解答”错误，理由如下： 令，，求出的、的值只是方程①的一个解，而方程①有无数个解，根据方程组的解的概念，仅有方程①或方程②的某一个解中的、求出的值不一定适合方程组中的另一个方程；只有当方程①、②取公共解时，和、之间对应的数量关系才能成立，这时，求得的才是正确答案； 另一方面，小勇的解答虽然错误，但他的思维给我们有创新的感觉，也让我们巩固加深了对方程组解的概念的连接，同时启发我们平时在学习中，要善于多角度去探索问题，寻求新颖的解题方法． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的解、一元一次方程的解法以及整体思想的应用等知识；熟练掌握二元一次方程组的解法，由整体思想得出是解题的关键． 【变式9】．（2022春•内乡县期中）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则　　，　　； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需多少元？ （3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么　　． 【分析】（1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值； （2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记元，由题意列出方程组，即可求解； （3）由题意列出方程组，即可求解． 【解答】解：（1）， 由①②可得：， 由①②可得：． 故答案为：，5； （2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 依题意得：， 由①②可得， ． 答：购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需36元； （3）依题意得：， 由①②可得：， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． 【变式10】．（2023春•五华区校级期中）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得．③，然后再将③代入②得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组：． 【分析】利用整体代入法解方程组即可． 【解答】解：， 由①得，，③， 把③代入②得，， 解得，， 把代入③得，， 则方程组的解为：． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握整体代入法解方程组的一般步骤是解题的关键． 【变式11】．（2023春•容县期末）【阅读领会】怎么判断两条直线是否平行？ 如图①，很难看出直线是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系，我们称直线为“辅助线”．在部分代数问题中，难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入字母为“辅助元”或“整体代换”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题． 【实践体验】 （1）已知，则　4　（引入“辅助元”或“整体代换”计算）． （2）如图②，已知，求证：，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明． 【创造突破】（3）若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解为 　　． 【分析】（1）把，变形为，然后整体代入求值即可； （2）延长交于点，由三角形外角定理可知，已知，推出，根据同位角相等，两直线平行可证明； （3）将代入关于，的方程组，可得，再整体代入，可得，解方程组可得答案． 【解答】（1）解：， ， ， 故答案为：4； （2）证明：如图②，延长交于点， 是的外角， ， 又， ， ； （3）解：将代入关于，的方程组， 得， ， ， ①②得，， 设，， 则， 移项得，， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了二元一次方程组，平行线的判定，三角形外角定理，掌握二元一次方程组的解法，理解“辅助线”、“辅助元”、“辅助元素”的意义是解题的关键． 【变式12】．（2022春•邹城市期末）阅读材料 问题1：若方程组的解满足条件，求的取值范围． 解析：由于方程组中，的系数恰好都分别为1和4，所以直接将方程组①，②相加，可得，即，由条件得：．从而求得的取值范围：．这种不需求、，而直接求的方法数学中称为整体代换． 问题2：若方程组的解满足条件，求的取值范围． 小华在解此题时发现由于，的系数不对等，整体代换不可行，但聪明的小华并没有放弃，通过探索发现：方程①，②分别乘以不同的数，仍然可以达到整体代换的目的． 解答问题 （1）请根据小华的思路，在下面的横线上填上适当的式子． 方程①得：　　③， 方程②得：　　④， 将方程③、④相加得：　　， 所以　　， 由条件得：　　， 从而求得的取值范围：　　． （2）若问题变为“若方程组的解满足条件，求的取值范围”． 问：你应如何确定两方程的变形，才能达到不需求，的值，而确定的值，从而求出的取值范围？请直接写出解题过程（不用写解题思路）． 【分析】（1）仿照阅读材料解答即可； （2）仿照阅读材料的方法，把已知变形得到，再整体代入得关于的不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）， 方程①得：③， 方程②得：④， 将方程③、④相加得：， 所以， 由条件得：， 从而求得的取值范围：； 故答案为：，，，，，； （2）， ①得：③， ②得：④， ③④得：， ， ， ， 解得． 【点评】本题考查二元一次方程及一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，熟练将方程组变形． 应用3：整体换元在解方程组中的应用 【例题3】（2021秋•包头期末）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，． 原方程组的解为． 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 【分析】设，，则原方程可化为，求出方程的解为，再得方程组，解出方程组即可． 【解答】解：设，， 原方程可化为，即， ②①得，， 把代入②得，， ， ， 解得． 【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，利用整体思想解方程组是解题的关键． 【变式1】．（2024春•印江县月考）阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法． （1）已知关于，的二元一次方程组，的解为，那么在关于，的二元一次方程组，中，　　，　　； （2）用材料中的方法解二元一次方程组． 【分析】（1）设，，原方程组可化为，根据的解为，即可求解； （2）设，，原方程组可化为，解得，即，即可求解． 【解答】解：（1）设，， 原方程组可化为， 的解为， ， 故答案为：；10； （2）， 设，， 原方程组可化为， 解得， 即， 解得， 原方程组的解为． 【点评】本题考查了用换元法解二元一次方程组，掌握合理换元是解题的关键． 【变式2】．阅读理解： 善于思考的小聪在解方程组时，发现①和②之间存在一定关系，他的解法如下： 解：把②变形为．③ 把①代入③，得， 解得． 把代入①，得． 原方程组的解为 小聪的这种解法叫“整体换元法”．请用“整体换元法”解下列方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）把②变形为③，把①代入③即可求出的值，再把的值代入①即可求出的值，从而求出方程组的解； （2）把②变形为③，把①代入③即可求出的值，再把的值代入①即可求出的值，从而求出方程组的解． 【解答】解（1）， 把②变形为③， 把①代入③，得， 解得， 把代入①，得， 原方程组的解为； （2）， 把②变形为，即③， 把①代入③，得， 解得， 把代入①，得， 原方程组的解为． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，理解“整体换元法”是解题的关键． 【变式3】．（2023春•青秀区校级期末）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． （1）学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． （2）拓展提升，已知关于，的方程组的解为，请直接写出关于、的方程组的解是 　　． 【分析】（1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出，，代入，，再解出关于，的方程组即可； （2）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． 【解答】解：（1）对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ，即， 解得：； （2）方程组的解是， ， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键． 【变式4】．（2022秋•山亭区期末）解方程（组 （1）； （2）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，，原方程组可化为，解得，原方程组的解为．请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 【分析】设，，则原方程可化为，求出方程的解为，再得方程组，解出方程组即可． 【解答】解：设，， 原方程可化为，即， ②①得，， 把代入②得，， ， ， 解得． 【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，利用整体思想解方程组是解题的关键． 【变式5】．（2022春•广平县校级月考）嘉嘉在解方程组时，发现方程①和②存在一定关系，他的解法如下． 解：将方程②变形，得③． 将①代入③，得． 解这个方程，得． 把代入①，得．所以原方程组的解为． 嘉嘉的这种解法叫“整体换元法”，请用“整体换元法”完成下列问题． （1）解方程组． ①把方程①代入方程②，则方程②变为 　　； ②原方程组的解为 　　； （2）解方程组． 【分析】（1）结合已知条件，可知把方程①代入方程②，则方程②变为，进行求解即可； （2）利用条件中给出的“整体换元法”，先将①进行变形为，再进行整体换元解方程即可． 【解答】解：（1）把方程①代入方程②，则方程②变为， 解得：， 将代入①，得， 原方程组的解为； （2）由题意可知：①得：③， 将③代入②，得， 解得：， 将代入①，得， 原方程组的解为． 【点评】本题主要考查的是二元一次方程解法中的特殊方法：整体换元法，重点在于找出“整体”进行消元，部分题型需要先进行转化，再进行整体换元． 【变式6】．（2022春•璧山区期中）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为 解得：．，原方程组的解为． （1）若方程组的解是，则方程组的解是 　　． （2）仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 【分析】（1）根据题意可得，求出，的值即可； （2）设，，则原方程可化为，求出方程的解为，再得方程组，解出方程组即可． 【解答】解：（1）方程组的解是， ， ． 故答案为：； （2）设，， 原方程可化为，即， ②①得，， 把代入②得，， ， ， 解得． 【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，利用整体思想解方程组是解题的关键． 【变式7】．（2021秋•包头期末）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，． 原方程组的解为． 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 【分析】设，，则原方程可化为，求出方程的解为，再得方程组，解出方程组即可． 【解答】解：设，， 原方程可化为，即， ②①得，， 把代入②得，， ， ， 解得． 【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，利用整体思想解方程组是解题的关键． 【变式8】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 ___________； (2)如何解方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解； (3)若关于m，n的方程组，则方程组的解为 ______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，会利用题中换元方法解方程组是解答的关键． （1）根据加减消元法解方程组即可； （2）根据（1）中的解得到，进而求解即可； （3）根据（1）中的解得到，进而解方程组即可求解． 【详解】（1）解：， 得，则， 得，则， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）解：设，， 则原方程组化为，解得， ∴，解得， ∴原方程组的解为； （3）解：原方程组可化为 设，， 则原方程组化为，解得， ∴，即 得，则， 得，则， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 【变式9】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)已知方程组的解为，如何解大于的方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，则原方程组的解为______________________； (2)若方程组的解是，求方程组的解． (3)已知m，n为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程的意义，并用整体思想解题是关键． （1）利用整体思想得到关于的方程，进而即可求解； （2）把，分别看成一个整体，设， ，即可解题； （3）把代入方程，依次求出m、n，即可解题． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴， 故答案为：； （2）解；原方程组可化为： ， 令，则， 解得：； （3）解：去分母得：， 把代入，得， 恒成立， ， 即， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$