专题01 二元一次方程组（考题猜想，六种特殊解法）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（人教版五四制）

专题01二元一次方程组（考题猜想，六种特殊解法） 解法1：用整体代入法解二元一次方程组 【例题1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）阅读以下材料： 解方程组，由①得③，把③代入②，得，解得，把代入③得．∴，这种解法称为“整体代入法”． 请你用这种方法解方程组：． 【答案】． 【分析】本题考查的是在解二元一次方程组时整体思想的应用．仿照所给的题例先把①变形，再代入②中求出y的值，进一步求出方程组的解即可． 【详解】解：由①得③，即， 把代入②，得， 解得， 把代入③得， 解得． ∴ 【变式1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组：， 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 原方程组的解为； 这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：． 【答案】． 【分析】本题考查了解二元一次方程组．根据材料的方法，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 原方程组的解为 【变式2】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）材料：解方程组 将①整体代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请解方程组 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．利用整体代入法解方程组即可． 【详解】解：由①得：③， 将③代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为 【变式3】2023七年级上·全国·专题练习）解方程组 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，掌握整体代入法的步骤是解题关键．将①变形为，再整体代入②中，即可求出y的值．再将y的值代入，即可求出x的值，方程组得解． 【详解】解： 由①得，， 代入②得， 解得， 把代入③得，， 解得． 故原方程组的解为 解法2：用特殊消元法解二元一次方程组 类型1：方程组中两未知数系数之差的绝对值相等 【例题2】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解互为相反数，求的值 (2)若方程组的解满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组．已知二元一次方程组的根的情况求参数以及相反数的应用. （1）解方程组得出，，根据方程组的解互为相反数，得出，即，解关于k的方程即可； （2）解方程组得，然后代入原方程即可求出k的值． 【详解】（1）解： ①②，得， ①②，得． ∵方程组的解互为相反数， ∴， 即， ∴． （2） ②①，得， ∵， 解得， 代入②得：， ∴ 【变式1】（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）解下列方程或方程组 (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查的是一元一次方程和二元一次方程组的求解，正确的掌握求方程和方程组的一般步骤是解题的关键． （1）先去括号，再移项，之后合并同类项，系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号、移项，之后合并同类项，系数化为1即可； （3）利用加减消元即可求出方程组的解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2） 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解：， ，得 解得． 把代入①，得， 解得． 所以原方程组的解为 【变式2】（2024·广东肇庆·一模）解二元一次方程组． 【答案】 【分析】用加减消元法解方程组即可； 【详解】 解：得， 解得．                     将代入（1）得． 所以该方程组的解为 【变式3】（23-24八年级上·山东济南·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减法的运算方法是解题的关键． （1）运用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）整理为系数相同后，再运用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解： ①②得，， 把的值代入②得，， ∴原方程组的解为； （2）解： 得，， 解得，， 把的值代入①得，， ∴原方程组的解为． 类型2：方程组中两未知数系数之和的绝对值相等 【例题3】（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）已知关于，的方程组，为常数． (1)求方程组的解（用含的式子表示）； (2)平面直角坐标系中，若以方程组的解为横、纵坐标的点在第一、三象限的角平分线上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一，三象限角平分线上点的坐标特点，熟练的解方程组是解本题的关键． （1）直接利用加减消元法解方程组即可； （2）由一，三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， ∴． 将代入①，得． 原方程组的解为：； （2）∵以方程组的解为横、纵坐标的点在第一、三象限的角平分线上， ∴， 解得： 【变式1】（2024年贵州省黔南州中考一模考试数学模拟试题）解方程组： 【答案】 【分析】灵活运用加减消元法解方程组是解题的关键．选择相加消元后直接解方程即可． 【详解】， 得， 解得， 把代入①，可得， 解得， 是原方程的解 【变式2】（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得，试求原方程组的解． 【答案】． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组．把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值；把m与n的值代入方程组求解即可得到答案． 【详解】解：把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把，代入方程组得：， 得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为 【变式3】（23-24七年级下·全国·随堂练习）用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的一般方法，准确计算． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得：， 所以这个方程组的解是． （2）解： ，得， ，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， 所以这个方程组的解是． 解法3：用换元法解二元一次方程组 【例题4】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 ___________； (2)如何解方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解； (3)若关于m，n的方程组，则方程组的解为 ______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，会利用题中换元方法解方程组是解答的关键． （1）根据加减消元法解方程组即可； （2）根据（1）中的解得到，进而求解即可； （3）根据（1）中的解得到，进而解方程组即可求解． 【详解】（1）解：， 得，则， 得，则， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）解：设，， 则原方程组化为，解得， ∴，解得， ∴原方程组的解为； （3）解：原方程组可化为 设，， 则原方程组化为，解得， ∴，即 得，则， 得，则， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：解方程组 【答案】 【分析】利用换元法和加减消元法解方程组即可． 【详解】解：令， 原式， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ， 两式相加得：， 解得：， 将代入， 解得：， 【变式2】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)已知方程组的解为，如何解大于的方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，则原方程组的解为______________________； (2)若方程组的解是，求方程组的解． (3)已知m，n为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程的意义，并用整体思想解题是关键． （1）利用整体思想得到关于的方程，进而即可求解； （2）把，分别看成一个整体，设， ，即可解题； （3）把代入方程，依次求出m、n，即可解题． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴， 故答案为：； （2）解；原方程组可化为： ， 令，则， 解得：； （3）解：去分母得：， 把代入，得， 恒成立， ， 即， 【变式3】（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）用换元法解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解方程组，设，，则原方程组可化为，求出，从而得到，求解即可，正确换元是解此题的关键． 【详解】解：设，，则原方程组可化为， 解得， 于是，得， 得， 检验：把，代入原方程组中所含各分式的分母，各分母的值不为零， 原方程组的解是 解法4：用同解交换法解二元一次方程组 【例题5】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知关于的方程组和的解相同．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据两个方程组有相同的解，将①与④组合可求出的值，再代入②与③组合的方程组中即可求解． 【详解】解：方程组与的解相同， ∴①与④组合得，， ①④得，， ∴， 把代入②与③组合的方程组中得， ， 把③代入②得，， ∴， ∴ 【变式1】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得的值．由题意可得：方程组和方程组的解相同，求得的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意可得：方程组和方程组的解相同， 解方程组可得：， 将代入可得：， 解得：， 将代入可得，原式， 即的值． 【变式2】（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于的方程祖的正确解与乙求关于的方程组的正确的解相同．则的值为多少？ 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 联立不含a与b的方程求出x与y的值，进而确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：， ∴ 【变式3】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题关键．先解方程组，再根据两个方程组同解，得到关于、的方程，求解即可计算求值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 方程组的解集为， 方程组与方程组的解相同， ， 解得：， 解法5：用主元法解方程组 【例题6】（22-23八年级上·四川成都·期中）已知，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是根据题意得出，，将、代入求出结果即可． 【详解】解：由题意得：， ，得：， 即， 将代入①，得：， 解得：， 将、代入得： ． 故答案为： 【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）已知（x，y，z均不为0），求的值． 【答案】 【分析】本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数． 【详解】解：将原方程组变形，得 解得 所以 【点睛】本题不是考查学生直接解方程的能力，而是让学生理清三个未知数之间的关系，所以未知数之间的转换就是关键 【变式2】（20-21八年级上·全国·课时练习）已知． （1）用含z的代数式表示x，y； （2）求的值． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）根据加减消元法解关于x、y的方程组即可 （2）将（1）中的结果代入分式中进行运算即可 【详解】解：（1） ①②得，解得． 把代入①，得， 解得． （2） 【点睛】本题考查了用加减法解方程组的特殊解法，把x、y看作未知数解方程组是解题的关键 【变式3】已知x，y，z都不为零，且满足，．求的值． 【答案】 【分析】先根据题意用含有z的式子来表示x、y，然后代入即可得． 【详解】由 ，解得 ， ∵x，y，z都不为零， ∴． 【点睛】本题主要考查解方程组，代数式求值，能根据具体问题选择合适的解法，如本题中用含有z的代数式来表示x、y，这是解题的关键 解法6：用设辅助元法解方程组 【例题7】【观察思考】怎样判断两条直线是否平行？ 　　如图①，很难看出直线a、n是否平行，可添加“第三条线”（截线c），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c为“辅助线”．在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题． 【理解运用】 （1）计算这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算． 【拓展提高】 （2）若关于x，y的方程组的解是，则关于x、y的方程组的解为 ． 【答案】(1) ；(2) 【分析】（1）设，将式子进行变形，即可求解； （2）把代入得到不含x、y的方程，通过与方程组比较，得到答案． 【详解】解：（1），则 原式= = = （2）把代入得，， ∵， ∴， ∴ 【点睛】掌握题目中引入的辅助元思想和整体对比的方法是本题解题的关键． 【变式1】．（22-23七年级下·广西玉林·期末）【阅读·领会】怎么判断两条直线是否平行？     如图①，很难看出直线是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系，我们称直线为“辅助线”. 在部分代数问题中，难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入字母为“辅助元”或“整体代换”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．    【实践·体验】 （1）已知，则______（引入“辅助元”或“整体代换”计算）. （2）如图②，已知，求证：，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．    【创造·突破】 （3）若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解为______． 【答案】（1）4；（2）见解析；（3） 【分析】（1）把变形为，然后整体代入求值即可； （2）利用“辅助线”延长交于点F，由三角形内角和定理以及等量代换可得，由同位角相等，两直线平行可得结论； （3）将代入关于x、y的方程组可得，，再代入关于x、y的方程组可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：4   （2）如图，延长到，使与相交于点，    ∵ ∴， ∴； （3）将代入关于x、y的方程组可得，， 再代入关于x、y的方程组可得，， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组，平行线的性质以及有理数的运算，掌握二元一次方程组的解法、平行线的性质和判定，理解“辅助线”、“辅助元”、“辅助元素”的意义是正确解答的前提． 【变式2】【阅读•领会】怎样判断两条直线否平行？    如图1，很难看出直线、是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”． 在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”． 事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题． 【实践•体悟】 (1)计算这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算． (2)如图2，已知，求证，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明． 【创造•突破】 (3)若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解为___________． (4)如图3，，，，我们把大于平角的角称为“优角”，若优角，则优角___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）设，将式子进行变形，即可求解； （2）延长交于点，利用平行线的判定定理可得出结论； （3）把代入方程组得到不含，的方程组，通过与方程组比较便可得到答案； （4）连接、，分成两个五边形，利用多边形的内角和进行求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 原式 ； （2）延长交于点，如图所示：    是的外角， ， 又， ， ； （3）把代入方程组得：， 与方程组比较得：， 方程组的解为：， 故答案为：； （4）连接、，分成两个五边形，如图所示：    五边形的内角和为， 两个五边形的内角和为， 两个五边形的内角和 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，平行线的性质与判断，解二元一次方程组，多边形的内角和等知识，加入了“辅助”的思想解题的关键是正确找到“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”． 【变式3】．（20-21七年级下·江苏无锡·期中）[阅读•领会] 如图①，为了判断两直线的位置关系．我们添加了直线c为“辅助线”． 在部分代数问题中，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”． 【实践•体悟】 （1）计算，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算． （2）若关于x、y的方程组的解是的解是，则关于x、y的方程组的解为　 　． 【创造•突破】 （3）已知直线ABCD．如图2，请写出∠ABE、∠E、∠CDE的数量关系，并添加适当的辅助线说明理由． （4）已知直线ABCD．如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，若∠F＝m°，则∠E=　 　．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）∠ABE=∠CDE+∠E，理由见解析；（4）4m° 【分析】（1）设，将式子进行变形，即可求解； （2）把代入方程组得到不含x，y的方程组，通过与方程组比较便可得到答案； （3）延长AB，交DE于F，利用平行线的性质和三角形的外角性质可得出结论； （4）延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠E=∠ABE-∠AGE=∠ABE-∠CDE；依据∠CHB是△DFH的外角，即可得到∠F=∠CHB-∠FDH=∠ABE-∠CDE=（∠ABE-∠CDE），进而得出∠E    =4∠F，从而求解． 【详解】解：（1）设， ∴原式= = =； （2）把代入方程组得：， 与方程组比较得：， ∴方程组的解为：； （3）延长AB，交DE于F， ∵AB∥CD， ∴∠BFE=∠CDE， ∵∠ABE=∠BFE+∠E， ∴∠ABE=∠CDE+∠E； （4）如图，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H， ∵AB∥CD， ∴∠CDG=∠AGE， ∵∠ABE是△BEG的外角， ∴∠E=∠ABE-∠AGE=∠ABE-∠CDE，① ∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE， ∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH， ∵∠CHB是△DFH的外角， ∴∠F=∠CHB-∠FDH=∠ABE-∠CDE=（∠ABE-∠CDE），② 由①代入②，可得∠E=4∠F=4m°． 【点睛】本题考查了整式的混合运算、方程组的求解、平行线的性质，三角形外角的性质等知识点，理解“辅助线”和“辅助元”并运用辅助元素是解决本题的关键． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二元一次方程组（考题猜想，六种特殊解法） 解法1：用整体代入法解二元一次方程组 【例题1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）阅读以下材料： 解方程组，由①得③，把③代入②，得，解得，把代入③得．∴，这种解法称为“整体代入法”． 请你用这种方法解方程组：． 【变式1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组：， 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 原方程组的解为； 这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：． 【变式2】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）材料：解方程组 将①整体代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请解方程组 【变式3】2023七年级上·全国·专题练习）解方程组 解法2：用特殊消元法解二元一次方程组 类型1：方程组中两未知数系数之差的绝对值相等 【例题2】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解互为相反数，求的值 (2)若方程组的解满足方程，求的值． 【变式1】（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）解下列方程或方程组 (1) (2) (3) 【变式2】（2024·广东肇庆·一模）解二元一次方程组． 【变式3】（23-24八年级上·山东济南·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 类型2：方程组中两未知数系数之和的绝对值相等 【例题3】（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）已知关于，的方程组，为常数． (1)求方程组的解（用含的式子表示）； (2)平面直角坐标系中，若以方程组的解为横、纵坐标的点在第一、三象限的角平分线上，求的值． 【变式1】（2024年贵州省黔南州中考一模考试数学模拟试题）解方程组： 【变式2】（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得，试求原方程组的解． 【变式3】（23-24七年级下·全国·随堂练习）用加减法解下列方程组： (1) (2) 解法3：用换元法解二元一次方程组 【例题4】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 ___________； (2)如何解方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解； (3)若关于m，n的方程组，则方程组的解为 ______． 【变式1】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：解方程组 【变式2】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)已知方程组的解为，如何解大于的方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，则原方程组的解为______________________； (2)若方程组的解是，求方程组的解． (3)已知m，n为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，求的值． 【变式3】（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）用换元法解方程组：． 解法4：用同解交换法解二元一次方程组 【例题5】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知关于的方程组和的解相同．求的值． 【变式1】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【变式2】（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于的方程祖的正确解与乙求关于的方程组的正确的解相同．则的值为多少？ 【变式3】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求的值． 解法5：用主元法解方程组 【例题6】（22-23八年级上·四川成都·期中）已知，，，则的值为 ． 【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）已知（x，y，z均不为0），求的值． 【变式2】（20-21八年级上·全国·课时练习）已知． （1）用含z的代数式表示x，y； （2）求的值． 【变式3】已知x，y，z都不为零，且满足，．求的值． 解法6：用设辅助元法解方程组 【例题7】【观察思考】怎样判断两条直线是否平行？ 　　如图①，很难看出直线a、n是否平行，可添加“第三条线”（截线c），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c为“辅助线”．在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题． 【理解运用】 （1）计算这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算． 【拓展提高】 （2）若关于x，y的方程组的解是，则关于x、y的方程组的解为 ． 【变式1】．（22-23七年级下·广西玉林·期末）【阅读·领会】怎么判断两条直线是否平行？     如图①，很难看出直线是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系，我们称直线为“辅助线”. 在部分代数问题中，难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入字母为“辅助元”或“整体代换”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．    【实践·体验】 （1）已知，则______（引入“辅助元”或“整体代换”计算）. （2）如图②，已知，求证：，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．    【创造·突破】 （3）若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解为______． 【变式2】【阅读•领会】怎样判断两条直线否平行？    如图1，很难看出直线、是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”． 在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”． 事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题． 【实践•体悟】 (1)计算这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算． (2)如图2，已知，求证，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明． 【创造•突破】 (3)若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解为___________． (4)如图3，，，，我们把大于平角的角称为“优角”，若优角，则优角___________． 【变式3】．（20-21七年级下·江苏无锡·期中）[阅读•领会] 如图①，为了判断两直线的位置关系．我们添加了直线c为“辅助线”． 在部分代数问题中，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”． 【实践•体悟】 （1）计算，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算． （2）若关于x、y的方程组的解是的解是，则关于x、y的方程组的解为　 　． 【创造•突破】 （3）已知直线ABCD．如图2，请写出∠ABE、∠E、∠CDE的数量关系，并添加适当的辅助线说明理由． （4）已知直线ABCD．如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，若∠F＝m°，则∠E=　 　．（用含m的代数式表示） 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$