专题01 三角形的证明小题（7大题型） -【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（辽宁专用）

专题01 三角形的证明小题 题型概览 题型01等腰三角形 题型02等边三角形 题型03直角三角形 题型04垂直平分线 题型05角平分线 题型06三角形的最值问题 题型07三角形分类讨论题型 等腰三角形题型01 1．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握等边对等角成为解题的关键. 根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理可得，然后计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴. 故选A. 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）等腰三角形一底角平分线与另一腰所成锐角为，则等腰三角形的顶角大小为　　 A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和列方程即可得到结论． 【详解】如图1，， ， 平分， ， ， ， ， ， 如图2，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 等腰三角形的顶角大小为或， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键． 3．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期中）等腰三角形的两边分别为5和8，那么它的周长是（   ） A．13 B．18 C．21 D．18或21 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的三边关的应用，分腰长为5和8两种情况讨论，再利用三角形三边关系进行验证，再求其周长． 【详解】解：当腰长为5时，三角形的三边分别为5、5、8，满足三角形的三边关系，此时其周长为； 当腰长为8时，三角形的三边分别为8、8、5，满足三角形的三边关系，此时其周长为； 综上可知该三角形的周长为18或21， 故选：D． 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等边对等角的性质是解答的关键．设，根据等腰三角形的等边对等角的性质得到，再根据三角形的内角和为求得x值即可． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得，即， 故选：C 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在四边形中，，，为上一点，连接，，，，若，则四边形的面积为（    ） A．70 B．64 C． D． 【答案】A 【分析】作于，证明，得出，设，则，，利用勾股定理得出，从而得出，，求出，，最后根据计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作于， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设，则，， ， 在中，， ， 解得：， ，， ，， ， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理和三角形的面积，理解等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全熟练掌握等三角形的判定和性质，勾股定理和三角形的面积公式是解决问题的关键． 6．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，点在边上，．将线段沿着的方向平移得到线段，点，分别落在边，上，则的周长为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查平移的性质，等腰三角形的性质与判定；根据平移的性质得出，，进而可得根据三角形的周长公式即可进求解 【详解】解：将线段沿着的方向平移得到线段， ，， ，， ，， ， ， 的周长为：（）． 故选B． 7．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何旋转问题、三角形内角和、等腰三角形性质，掌握旋转的性质是关键． 根据旋转可得，再结合旋转角即可求解． 【详解】解∶由旋转性质可得∶， ， ， ， 故选：B． 8．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，中，，，点为内一点，，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，延长交于，在上截取，连接．作于．首先证明是等边三角形，再证明，推出，再求出即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于，在上截取，连接．作于． 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 9．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的底角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角的内角和定理．分为“高在三角形内部”和“高在三角形外部”两种情况讨论． 【详解】解：如图1： ∵， ∴； 如图2： ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 10．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）已知点P是等腰直角三角形的斜边上的一点，，若，则在以线段，为边的三角形中，最小的内角的度数为 ． 【答案】/23度 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．将绕点逆时针旋转得到，连接，可得以，线段为边的三角形，即，最小的锐角为，根据邻补角以及旋转的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接， ，，，， 为等腰直角三角形， ，， 以，线段为边的三角形，即，最小的锐角为， ， ， ， ． 故答案为：． 11．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，．当时，的长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，由题意得，，由勾股定理得，，则，由，可知在的延长线上，如图，由旋转的性质可得，，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，点D为的中点， ∴，， 由勾股定理得， ， ∴， ∵， ∴在的延长线上，如图， 由旋转的性质可得，， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．明确时点Q的位置是解题的关键． 12．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，于点，则与的关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查等角对等边，全等三角形的性质与判定，延长交于点，证明得出，，进而根据等角对等边得出，结合图形即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵ ∴， 又， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 等边三角形题型02 13．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，、是等边的边和边上的点，，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的外角与内角的关系，根据条件先可以得出，由全等三角形的性质就可以得出．由，就可以得出． 【详解】解：是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ． ， ． ． ． 故选：C． 14．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．分别利用全等三角形的判定方法以及其性质得出对应角以及对应边关系进而分别分析得出答案． 【详解】证明：①∵等边和等边， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵， 则，故②正确； ③作于N，于F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ④在上截取，连接． 由②知， ∴， 由③知：平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形，则， 故， ∵， ∴，故④错误； 正确的有①②③，共3个． 故选：C． 15．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，P是平分线上一点，，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和，分别相交于M，N，下列结论：是等边三角形；的值不变；；四边形 面积不变．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．如图作于E，于F．只要证明，再证明，即可一一判断． 【详解】解：作于E，于F，如图所示： ， ， ， ， ， 平分，于E，于F， ，， ∴， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， 是等边三角形，故正确； ， 定值，故正确； ，故正确； M，N的位置变化， 的长度是变化的，故错误； 故选：C． 16．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且．有下列结论：①；② 为等边三角形；③；④，其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】连接，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求，可判断②；过点作，在上截取，证明，，即可判断③；由三角形的面积的和差关系可判断④． 【详解】解：如图，连接， ∵，，为的中点， ∴，，， ∴是的中垂线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故结论②正确； 过点作，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故结论④正确， ∴其中正确的结论是①②③④． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，线段中垂线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，角的直角三角形的性质等知识点，添加恰当辅助线构造等腰三角形、全等三角形和直角三角形是解题的关键． 17．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）等腰直角三角形中，，，以为底边作等边，连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，角直角三角形的性质，三角形的面积．根据等边三角形的性质得，继而得到，根据角直角三角形的性质得，最后根据三角形的面积公式计算即可．解题的关键是掌握：角所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 当点E在下方时，同理可求面积为； 故答案为：． 18．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把他们的底角顶点连接起来，则形成一组全等三角形，我们把这个规律的图形称为“手拉手图形”．如图，已知等边的边长为，点，分别为，的中点，现将绕点顺时针旋转角度为，直线，相交于点；当旋转到图位置（、、在同一直线上）时，的度数为 ；在整个旋转过程中，当点与重合时，的长为 ．      【答案】 /60度 或 【分析】根据等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质得，，从而得，利用勾股定理及等边三角形的性质分类讨论求解的长即可． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ，， 等边的边长为，点，分别为，的中点， ∴ 是边长为的等边三角形， ， ∴，即， ， ，， ， 如下图，在整个旋转过程中，当点与重合时，且点在的上方时，过点作于点， ∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如下图，在整个旋转过程中，当点与重合时，且点在的下方时，过点作于点， 同理得，， ∴． 故答案为：，或； 【点睛】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理以及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定及性质以及等边三角形的性质是解题的关键． 直角三角形题型03 19．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）由下列长度的三条线段组成的三角形不是直角三角形的是（    ） A．1，，2 B．2，3，5 C．，2， D．6，8，10 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据直角三角形三边的数量关系，运用勾股定理逆定理，依次对四个选项进行计算、判断即可． 【详解】解：A．，能组成直角三角形，故A不符合题意； B．，不能组成三角形，更不可能组成直角三角形，故B符合题意； C．，能组成直角三角形，故C不符合题意； D．，能组成直角三角形，故D不符合题意． 故选：B． 20．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）已知的三边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A、， ， 能判定是直角三角形； B、， ， ， 能判定是直角三角形； C、， ， 能判定是直角三角形； D、 ， 不能判定是直角三角形. 故选：D． 21．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A． B． C．2，，6 D．3，5，7 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A．，能构成直角三角形，故本选项正确； B．，不能构成直角三角形，故本选项错误； C．，不能构成直角三角形，故本选项错误； D．，不能构成直角三角形，故本选项错误． 故选：A． 22．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．，2， B．5，12，13 C．13，14，15 D．8，15，17 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 【详解】解：A．，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； B．，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； C．，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意； D．，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意． 故选：C． 23．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）三角形的三边长a， b， c， 满足 则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，根据完全平方公式把所给条件式展开得到即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴此三角形是直角三角形， 故选：B。 24．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是，甲客轮用到达点A，乙客轮用到达点B．若A，B两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（    ） A．北偏西 B．南偏西 C．南偏西 D．南偏东 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及方向角，依照题意画出图形，根据路程=速度×时间可求出，根据的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出，结合的度数即可求出和的度数，此题得解． 【详解】解：依照题意画出图形， 甲的路程，乙的路程， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且． ∵， ∴， ∴乙客轮的航行方向为南偏东或北偏西， ∴乙客轮的航行方向可能是南偏东， 故选：D． 25．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和三角形面积的应用，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：连接，则在中，    ∵， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：A． 26．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，四边形中，，，若，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，延长相交于点E，利用含30度角的直角三角形的性质，得出，进而勾股定理求得，根据即可求解． 【详解】解：如图，延长相交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴ 在中， ∵， ∴ 设，则 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴四边形的面积为 故选：D． 27．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中， ，若点A到的距离是1，则与之间的距离是（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理逆定理、三角形面积公式和点到直线的距离，根据三角形面积公式求出点A到的距离，即可求得与之间的距离． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形， ∴， 设点A到的距离是h， ∴， ∴， ∴， ∵点A到的距离是1，， ∴与之间的距离为：， 故选：A． 垂直平分线题型04 28．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，垂直平分腰，交于点，交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质．线段垂直平分线的性质，根据题意，先求，，再求其差值即可． 【详解】解：， 垂直平分腰 ． 故选：A． 29．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，的垂直平分线与直线所成的角为，则等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质， 熟知线段垂直平分线上任意一点， 到线段两端点的距离相等是解答此题的关键 ．由于的形状不能确定， 故应分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论 ． 【详解】解： 如图①， 当的中垂线与线段相交时， 则可得， ， ， ， ； 如图②， 当的中垂线与线段的延长线相交时， 则可得， ， ， ， ， ． 底角为或． 故选：B． 30．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，中，，的垂直平分线交于，交于，且，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，三角形外角的性质；根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角得出，根据,，得出，进而根据三角形的外角的性质，即可得出答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵, ∴， 又∵ ∴． 故选：B． 31．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中的垂直平分线，相交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，关键是垂直平分线性质定理的应用．由垂直平分线的性质可得，，根据“等边对等角”可得，，从而，根据三角形的内角和定理求得，从而得到，根据可求得． 【详解】解：连接， 垂直平分，垂直平分， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：C 32．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图， 中，，作 边的垂直平分线交 于点 E，D，点 M 是直线 上任意一点，则 的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质与两点之间线段最短的知识，解题关键是灵活运用相关知识点． 先连接，将 转化为即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当A、M、C三点共线时， 最小，等于， ∴ 的最小值是5， 故选：C ． 33．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可，由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ 故选：． 34．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，，点O是，的垂直平分线，的交点，则的度数为（    ）    A．145° B．150° C．160° D．165° 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线性质、等腰三角形性质、以及三角形内角和定理，根据垂直平分线性质和等腰三角形性质，得到，，再利用三角形内角和定理进行求解，即可解题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵、的垂直平分线交于点O， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选C．    35．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，垂足为，．且分别交于点，．若，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边对等角，由线段垂直平分线的性质得，则，再由三角形内角和定理得，于是得到结论． 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选C 36．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，，则的长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质，证得是解答的关键．先根据线段垂直平分线证得，进而得到，再根据三角形的外角性质得到，然后利用等角对等边得到即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 故答案为：4． 37．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ． 【答案】85 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据角的和差关系即可得出，最后根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 38．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ）． A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的应用．根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可获得答案． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 39．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接，若，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】利用基本作图得到，垂直平分，则，设，所以，根据三角形外角性质得到，再根据三角形内角和定理得到，所以，然后利用得到． 【详解】解：由作法得，垂直平分， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 角平分线题型05 40．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∵的面积为7， ∴ 即， 解得：， 故选：B． 41．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，点是角平分线，的交点，若，，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质． 熟练掌握等腰三角形三线合一，角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 过点作，，易得，利用三线合一得到 ，，连接，利用等积法求出的长，进而求出的长，即可得解． 【详解】解：∵在中，点是角平分线、 的交点，，， ∴，， ∴， 过点作，， 则：， 连接，如图，    ∵， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴； 故选：． 42．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，的周长为23，和的角平分线交于点O，且于点D，，则的面积为（    ） A．23 B．34 C．39 D．46 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键． 过点O作于E，于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得，再根据三角形面积计算即可． 【详解】解：如图: 过点O作于E，于F， 的平分线交于O，，，， ∴，， ∴， ∴的面积． 故选D． 43．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）观察如图作图痕迹，所作为的边上的（  ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线 【答案】B 【分析】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线，能掌握基本尺规作图是解题的关键． 【详解】根据作图过程，可得所作线段为边上的高线， 故选B． 44．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，和分别平分和，过O作，分别交于点D、E，若，则线段的长为（      ）                          A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据平行结合角平分线推出，即可得出结果． 【详解】解：∵和分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 45．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，平分，于点，有下列结论：①；②；③当时，是的中点；④当，时，．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质可判定①；根据直角三角形两锐角互余可判断②；确定，继而得到，，由等腰三角形三线合一性质可判断③；设，证明，得，再根据勾股定理得，可判断④；可得答案． 【详解】解：∵平分，，即， ∴， 故结论①正确； ∵，即， ∴， 故结论②正确； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴是边上的中线，即点是的中点， 故结论③正确； ∵，，， ∴， 设，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故结论④正确， ∴正确的有个． 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线性质，角平分线的定义，等腰三角形的三线合一性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理．掌握角平分线性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键． 46．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论． ①；②；③点到各边的距离相等；④设，，，则，正确的结论有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②错误；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故①正确；由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③，由题意可得，可判断故④正确． 【详解】解：在中，和的平分线相交于点， ，，， ， ；故②错误； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 故①正确； 过点作于，作于，连接， 在中，和的平分线相交于点， ， ，， , ； 故④正确； 在中，和的平分线相交于点， 点到各边的距离相等，故③正确． 故选：C 47．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，是的角平分线，已知，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质以及角平分线的性质，过D作于E，于F，结合题意和，即可判定，有，进一步求得和，有，则，即可求得面积． 【详解】解：过D作于E，于F，如图， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． ∵， ∴，， ∴， 即， ． 故答案为：． 48．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中（），和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列结论：①；②；③若，则．④若，则．其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质，角平分线的性质及定义是解题的关键．根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的内角和定理及角平分线可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③错误，利用等腰三角形的三线合一可判断④正确． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ∴， ∵ ∴， 故①正确； ∵和是和的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ，故②正确； 作于于， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵，平分， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的序号为①②④； 故答案为①②④． 49．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，若点到的距离为，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理；由题目作图知，是的平分线，过点作，则，进而求解． 【详解】解：过点作，则， 由题目作图知，是的平分线， 则， 为等腰直角三角形，故， 则为等腰直角三角形，， 故， 则， 故答案为：． 三角形最值问题题型06 50．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）已知如图，平分于点A，点Q是射线上的一个动点，若，则的最小值是（  ） A．2 B．3 C．4 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线性质，含30度角直角三角形的性质，垂线段最短的应用，能得出要使最小时Q的位置是解此题的关键．根据垂线段最短得出当时，的值最小，根据角平分线性质得出，求出即可． 【详解】解：当时，的值最小， ∵平分，， ∴，， ∴， 故选：A． 51．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）如图中，，，，为的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（    ） A．4.8 B．2.4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，过B作于F，交于E，则的长即为的最小值，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：过B作于F，交于E，如图， ∵，为的中线， ∴，， ∴的长即为的最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 52．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，以点为圆心任意长为半径画弧交，分别于点，，再以点，为圆心长为半径画弧，两弧交于点，作射线，为上一点，为上一动点，连接，，若，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，在上取一点，使，连接，，即可结合作图的角平分线证明，得到，则，即可求出的最小值． 【详解】在上取一点，使，则，连接，， 由作图可得平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴，解得， ∴的最小值为， 故选：C． 53．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点在直线上，于点，，点在直线上运动，以为边作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短，以为边作等边，连接，证明，由全等三角形的性质得出，过点作于点，则的最小值为，再直角三角形的性质求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴最小时，有最小值， ∵为直线上的动点，过点作于点， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为， 故答案为：． 54．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，边长为2的等边三角形的两个顶点A，B分别在两条直线，上滑动，若，垂足为点O，则的最大值与最小值的差是 ． 【答案】2 【分析】本题考查三角形的三边关系，勾股定理和直角三角中线的性质，掌握这些定理和性质是解题的关键，取的中点，连接，根据三角形的边角关系得到，当共线时，取得最小值，最小值为，当点为中点时， 取得最大值，最大值为，根据为中点，得到的长，在中，根据勾股定理求出的长，在中，为斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而即可得到答案． 【详解】解：取的中点，连接，，如图： 由三角形的三边关系可得：， ∴当共线时，取得最小值，最小值为， 当点为中点时， 取得最大值，最大值为， ∵， ∴为等边三角形 ∵，为的中点， ∴ 在中，由勾股定理可得：， 在中，， ∴，， ∴的最大值与最小值的差为：． 故答案为：2． 55．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）如图，已知中，，，动点满足，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是证明三角形全等，得出，根据三角形三边关系取得最小值． 证明，可得，再根据三角形三边关系得出当点N落在线段上时，最小，求出最小值即可． 【详解】解：∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为3； 故答案为：3． 56．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接，则的最小值为 ．    【答案】9 【分析】连接，根据等腰三角形的三线合一得到点F在的平分线上，根据含角的直角三角形的性质、勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，    ∵为等边三角形，F是的中点， ∴，平分，即点F在的平分线上， 如图，当，点D在上时，最小，    在中，， 则， 由勾股定理得：， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短，得出，点D在上时，最小是解题的关键． 57．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，点P从点C出发沿向点B运动，到达点B时停止，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，得到线段，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是等边三角形判定与性质，解直角三角形有关计算及垂线段最短的应用，在左侧作等边，连接，证出，得，则点Q在过点D且与垂直的直线上，过点B作点Q运动轨迹的垂线，垂足为Q，此时取最小值，解直角三角形求出即可． 【详解】解：在左侧作等边，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点Q在过点D且与垂直的直线上， 过点B作点Q运动轨迹的垂线，垂足为Q，此时取最小值， ， ， ， ， ， ， 即最小值为， 故答案为：． 58．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图为一块光学直棱镜，其截面为，所在的面为不透光的磨砂面，现将一束单色光从AC边上的O点射入， 折射后到达边上的点 D处，恰有 再经过反射后（即），从点E垂直于射出，则光线在棱镜内部经过的路径的总长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形三边的关系、等边三角形判定与性质、勾股定理等知识点，掌握含角的直角三角形三边的关系是解题的关键 由得，又，运用勾股定理可得，而，然后求得证明是等边三角形即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， ，， 在中，, ∵， ， ，， ， ， ∴是等边三角形， ， ． 故答案为． 59．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，，点为边上一点，连接，将沿折叠，使点A落在射线上的点处，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、折叠的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质可得，进而得到；如图：过C作，则即，进而得到 ；再说明，由勾股定理可得，即，最后根据三角形的面积公式即可解得． 【详解】解：∵，， ∴, ∵将沿折叠，使点A落在射线上的点处， ∴, ∵, ∴， 如图：过C作，则, ∴， ∵， ∴，即解得：, ∴； ∵，， ∴, ∴, ∴, ∴的面积为． 故答案为：． 60．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）已知中， 以和为边向外作等边 和等边 若 过作 垂足为点， 如图，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理；根据等边三角的性质勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质得出，，延长交于点，得出平分，在中得出，进而在中，勾股定理求得，根据在中，，在中，，设，则，勾股定理建立方程，解方程得出，进而即可求解． 【详解】解： 是等边三角形， ，， 在中，－， ， 是等边三角形， ， 如图，延长交于点， 又 平分 ， 在中， 在中， 在中， 在中， 设，则 解得： 故答案为：． 三角形分类讨论题型题型07 61．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，点的运动速度是，点运动速度是，当点到达点时，、两点停止运动．设点运动的时间为．当是直角三角形时，的值是（    ） A． B．4 C．或4 D．5或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的30°角所对的直角边等于斜边的一半，利用数形结合以及分类讨论是解题的关键． 根据等边三角形的性质得直角三角形，表示出与的关系，分情况进行讨论：或．然后在中列出方程进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 中，，， ∴， 中，，，若是直角三角形，则 或， 当时，， ∴， ∴， 即， ， 当时， ∴， ∴， ， ． ∴当或时，是直角三角形． 故选：C． 62．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，，，，点为边上一点，点与点关于直线对称，连接，若是直角三角形，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查对称的性质，勾股定理的综合，掌握以上知识，图形结合，分类讨论思想是解题的关键． 根据情况分三种情况讨论，当时，根据对称可得，设，运用勾股定理即可求解；当时，可构造四边形是矩形，运用勾股定理即可求解；当时，根据题意可得该情况不符合题意；由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 第一种情况，如图所示，当时，是直角三角形， ∵点是点关于的对称点， ∴，， 当时，， ∴点三点共线， ∴，， ∴， ∵对称， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，； 第二种情况，如图所示，当，是直角三角形，延长，过点作的延长线于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∵对称， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 第三种情况，如图所示，当时，是直角三角形， ∵对称， ∴，， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，与点在上矛盾， ∴此情况不符合题意； 综上所述，的长为或， 故答案为： 或． 63．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，，点P为上一点，将线段绕点P顺时针旋转得线段，点Q在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为 ．    【答案】2或3或5 【分析】分三种情况，当分别经过、、的中点时，分别求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 的垂直平分线经过一边中点，可分为以下三种情况：经过的中点D；经过的中点E；经过的中点F． 当经过的中点D时，交于点G，如图：，    ∵绕点P顺时针旋转得线段， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 当经过的中点E时，交于点G，如图：，    ∵，垂直， ∴， ∴， 在中，，设，则， 由题意可得：，即 ∴， ∴， ∵点G在上， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴由勾股定理得：； 当经过的中点F时，交于点F（G），如图：，    同理可证：， 在中，，， ∴． 综上：的长为：2或5或3． 故答案为：2或3或5． 【点睛】此题考查了旋转的性质，含直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解． 64．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，厘米，是一条射线，．一动点从点以1厘米/秒的速度向点爬行，另一动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向爬行，它们同时出发，当点到达点时点也停止运动．设运动时间为秒，经过 秒，的面积为8平方厘米． 【答案】2或4或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意列一元二次方程是解题的关键． 由题意知，，，当时，，，令，计算求出满足要求的解即可；当时，，，令，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，，， 当时，，， 令， 解得，或； 当时，，， 令， 解得，或（舍去）； 综上所述，经过2或4或秒，的面积为8平方厘米． 故答案为：2或4或． 65．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，点在的垂直平分线上，是上一动点，沿折叠得到，当是直角三角形时，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定了，先判断出当是直角三角形时，只能是，再推出，求出，，在中，利用勾股定理列方程解方程即可求出的长． 【详解】解：点在的垂直平分线上，沿折叠得到， ， ， 是直角三角形， 只能是，如图， ， 在中，，，， ，， ， ， ， ， 在中，，由勾股定理得：，即， 解得：， 在中，由勾股定理得：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， 故答案为：或． 二、填空题 试卷第2页，共66页 试卷第1页，共66页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形的证明小题 题型概览 题型01等腰三角形 题型02等边三角形 题型03直角三角形 题型04垂直平分线 题型05角平分线 题型06三角形的最值问题 题型07三角形分类讨论题型 等腰三角形题型01 1．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）等腰三角形一底角平分线与另一腰所成锐角为，则等腰三角形的顶角大小为　　 A． B． C．或 D．或 3．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期中）等腰三角形的两边分别为5和8，那么它的周长是（   ） A．13 B．18 C．21 D．18或21 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在四边形中，，，为上一点，连接，，，，若，则四边形的面积为（    ） A．70 B．64 C． D． 6．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，点在边上，．将线段沿着的方向平移得到线段，点，分别落在边，上，则的周长为(    ) A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，中，，，点为内一点，，，若，则的长为 ． 9．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的底角度数为 ． 10．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）已知点P是等腰直角三角形的斜边上的一点，，若，则在以线段，为边的三角形中，最小的内角的度数为 ． 11．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，．当时，的长为 ． 12．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，于点，则与的关系为 ． 等边三角形题型02 13．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，、是等边的边和边上的点，，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，P是平分线上一点，，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和，分别相交于M，N，下列结论：是等边三角形；的值不变；；四边形 面积不变．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且．有下列结论：①；② 为等边三角形；③；④，其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 17．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）等腰直角三角形中，，，以为底边作等边，连接，则的面积为 ． 18．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把他们的底角顶点连接起来，则形成一组全等三角形，我们把这个规律的图形称为“手拉手图形”．如图，已知等边的边长为，点，分别为，的中点，现将绕点顺时针旋转角度为，直线，相交于点；当旋转到图位置（、、在同一直线上）时，的度数为 ；在整个旋转过程中，当点与重合时，的长为 ．      直角三角形题型03 19．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）由下列长度的三条线段组成的三角形不是直角三角形的是（    ） A．1，，2 B．2，3，5 C．，2， D．6，8，10 20．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）已知的三边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A． B． C．2，，6 D．3，5，7 22．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．，2， B．5，12，13 C．13，14，15 D．8，15，17 23．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）三角形的三边长a， b， c， 满足 则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 24．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是，甲客轮用到达点A，乙客轮用到达点B．若A，B两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（    ） A．北偏西 B．南偏西 C．南偏西 D．南偏东 25．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，四边形中，，，若，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中， ，若点A到的距离是1，则与之间的距离是（  ） A． B．2 C． D．3 垂直平分线题型04 28．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，垂直平分腰，交于点，交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，的垂直平分线与直线所成的角为，则等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 30．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，中，，的垂直平分线交于，交于，且，则的度数为(　　) A． B． C． D． 31．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中的垂直平分线，相交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图， 中，，作 边的垂直平分线交 于点 E，D，点 M 是直线 上任意一点，则 的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 33．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则（　　） A． B． C． D． 34．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，，点O是，的垂直平分线，的交点，则的度数为（    ）    A．145° B．150° C．160° D．165° 35．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，垂足为，．且分别交于点，．若，则的度数为(　　) A． B． C． D． 36．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，，则的长是 ． 37．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ． 38．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ）． A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 39．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接，若，则 （用含的代数式表示）． 角平分线题型05 40．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 41．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，点是角平分线，的交点，若，，则的值是（    ）    A． B． C． D． 42．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，的周长为23，和的角平分线交于点O，且于点D，，则的面积为（    ） A．23 B．34 C．39 D．46 43．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）观察如图作图痕迹，所作为的边上的（  ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线 44．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，和分别平分和，过O作，分别交于点D、E，若，则线段的长为（      ）                          A．11 B．12 C．13 D．14 45．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，平分，于点，有下列结论：①；②；③当时，是的中点；④当，时，．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 46．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论． ①；②；③点到各边的距离相等；④设，，，则，正确的结论有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 47．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，是的角平分线，已知，则的面积为 ． 48．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中（），和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列结论：①；②；③若，则．④若，则．其中正确的结论有 ． 49．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，若点到的距离为，则的长为 ． 三角形最值问题题型06 50．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）已知如图，平分于点A，点Q是射线上的一个动点，若，则的最小值是（  ） A．2 B．3 C．4 D．不能确定 51．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）如图中，，，，为的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（    ） A．4.8 B．2.4 C．6 D．5 52．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，以点为圆心任意长为半径画弧交，分别于点，，再以点，为圆心长为半径画弧，两弧交于点，作射线，为上一点，为上一动点，连接，，若，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 53．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点在直线上，于点，，点在直线上运动，以为边作等边，连接，则的最小值为 ． 54．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，边长为2的等边三角形的两个顶点A，B分别在两条直线，上滑动，若，垂足为点O，则的最大值与最小值的差是 ． 55．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）如图，已知中，，，动点满足，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为 ． 56．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接，则的最小值为 ．    57．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，点P从点C出发沿向点B运动，到达点B时停止，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，得到线段，连接，则的最小值为 ． 58．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图为一块光学直棱镜，其截面为，所在的面为不透光的磨砂面，现将一束单色光从AC边上的O点射入， 折射后到达边上的点 D处，恰有 再经过反射后（即），从点E垂直于射出，则光线在棱镜内部经过的路径的总长度为 ． 59．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，，点为边上一点，连接，将沿折叠，使点A落在射线上的点处，若，，则的面积为 ． 60．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）已知中， 以和为边向外作等边 和等边 若 过作 垂足为点， 如图，则 ． 三角形分类讨论题型题型07 61．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，点的运动速度是，点运动速度是，当点到达点时，、两点停止运动．设点运动的时间为．当是直角三角形时，的值是（    ） A． B．4 C．或4 D．5或 62．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，，，，点为边上一点，点与点关于直线对称，连接，若是直角三角形，则的长为 ． 63．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，，点P为上一点，将线段绕点P顺时针旋转得线段，点Q在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为 ．    64．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，厘米，是一条射线，．一动点从点以1厘米/秒的速度向点爬行，另一动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向爬行，它们同时出发，当点到达点时点也停止运动．设运动时间为秒，经过 秒，的面积为8平方厘米． 65．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，点在的垂直平分线上，是上一动点，沿折叠得到，当是直角三角形时，则的长为 ． 试卷第2页，共16页 试卷第1页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$