7.4.2超几何分布四维限时练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.2--超几何分布--四维限时练---解析版 一、单选题 1．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，若用随机变量表示任选4个球中红球的个数，则服从超几何分布，其参数为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据超几何分布的定义求解即可. 【详解】在产品质量的不放回抽检中，若件产品中有件次品， 抽检件时所得次品数，则， ， 此时称随机变量服从超几何分布. 根据超几何分布的定义可知，，，. 故选：A 2．在含有4件次品的100件产品中，任取2件，则至多取到1件次品的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】至多取到1件次品包含0件次品与1件次品两种情况，再根据超几何分布的概率公式计算可得结果． 【详解】在含有4件次品的100件产品中，任取2件，则至多取到1件次品，包含0件次品与1件次品两种情况，所以概率为. 故选：C. 3．盒中有10个灯泡，其中有三个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么概率是的事件为（    ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．至多有2个是坏的 D．恰有2个是坏的 【答案】D 【分析】根据超几何分布的概率公式，结合组合数公式求出每个选项对应的概率，即可求解. 【详解】盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个的总数为. A：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个， 恰好1个是坏的概率为，故A错误； B：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个， 4个全是好的概率为，故B错误； C：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个， 至多2个是坏的概率为，故C错误. D：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个， 恰好2个是坏的概率为，故D正确； 故选：D 4.一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据组合数表示的意义，结合条件，即可判断. 【详解】本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率． 故选：B 5.《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题首先可以根据题意确定个数中的阳数和阴数，然后求出任取个数中有个阳数以及任取个数中有个阳数的概率，最后两者相加，即可得出结果. 【详解】由题意可知，个数中，、、、、是阳数，、、、、是阴数， 若任取个数中有个阳数，则， 若任取个数中有个阳数，则， 故这个数中至少有个阳数的概率， 故选：C. 6．袋中有2个红球，m个蓝球和n个绿球，若从中不放回地任取2个球，记取出的红球数量为X，则，且取出一红一蓝的概率为，若有放回地任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型的概率公式，结合超几何分布的数学期望计算可得，再根据概率公式计算取出一蓝一绿的概率即可 【详解】， ， 故，故，即， 解得，所以.故若有放回地任取2个球， 则取出一蓝一绿的概率为 故选：B 二、多选题 7．已知袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球，个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取次，则下列结论中正确的是（   ） A．若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为 B．若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为 C．若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第次取到红球的概率为 D．若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为 【答案】AD 【分析】利用独立重复试验的概率公式可判断A选项；利用计数原理结合古典概型的概率公式可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用超几何分布的期望公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，若每次取出的球放回，则每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为， 所以，连续摸取次，恰好两次取出红球的概率为，A对； 对于B选项，若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为，B错； 对于C选项，若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下， 则袋子中还有个红球，个白球，则第三次抽到红球的概率为，C错； 对于D选项，若每次取出的球不放回，则取出红球的次数服从超几何分布， 且袋中的红球个数为个，白球的个数为个，共个球，且共摸球次， 由超几何分布的期望公式可得，D对. 故选：AD. 8.从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则（    ） A．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有种 B．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为 C．抽出的产品中至少有件是次品的概率为 D．抽出的产品中次品数的数学期望为 【答案】ACD 【分析】对于A，由题意可知抽出1件次品，2件合格品，利用分步乘法原理求解，对于BC，利用超几何分布的概率公式求解，对于D，设抽出的次品数为，由题意可知可能取值为0，1，2，求出相应的概率，从而可求出其期望. 【详解】对于A，若抽出的3件产品中恰好有1件是次品，则抽出1件次品，2件合格品， 所以共有种不同的抽法，所以A正确， 对于B，由题意可知抽出的产品中至多有1件是次品的概率为，所以B错误， 对于C，由题意得抽出的产品中至少有件是次品的概率为，所以C正确， 对于D，设抽出的次品数为，由题意可知可能取值为0，1，2，则 ，，， 所以，所以D正确. 故选：ACD 三、填空题 9．根据超几何分布概念及分布列性质计算 .（用组合数表示） 【答案】 【分析】举实例，利用超几何分布概率公式以及概率之和等于1、组合数的性质求解即可. 【详解】可将问题转化为：从个黄球，个白球中随机抽取个球，表示抽到黄球的个数， ，则， 则， 即， 由组合数的性质可得，. 故答案为： 10．袋中有红､黄､蓝三种颜色的小球共10个（其中有5个红球），若从中一次取出3个小球，记恰有1只黄球的概率为，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】设黄色小球有个，则，则，代入计算可得的最大值. 【详解】设黄色小球有个，则， 则， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 11．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出一个黑色球得分，现从盒内任取3个球. (1)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； (2)设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式求解即可； （2）由已知可得的可能取值，然后分别计算概率即可得分布列，根据数学期望的计算公式求解即可. 【详解】（1）从个球中任取个球，总的基本事件个数为， 若取出的3个球得分之和恰为1分，包含的情况有两种： 红白，包含的基本事件个数为， 红黑，包含的基本事件个数为， 所以取出的3个球得分之和恰为1分的概率为； （2）由已知可得的可能取值为，，，， ，， ，， 的分布列为 . 12.已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中最多有一支次品，每盒电子笔有次品的概率为． (1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测． ①求抽出的两支均是正品的概率； ②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率； (2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中的次品数，求的期望和方差． 【答案】(1)①；② (2)； 【分析】（1）根据全概率公式和条件概率公式求事件的概率. （2）根据超几何分布概率的计算方法求对应值的概率，进而求的期望与方差. 【详解】（1）①记事件：该盒有次品，事件：抽出的两支均是正品， 则，，， ． ②． （2）由题意知，两盒电子笔中共有10支正品，2支次品， 的可能取值为0，1，2， ， ， ， ，． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.4.2超几何分布--四维限时练---原卷版 【1】知识总览（1-2分钟，快速阅读，重点查看不熟悉的知识点） 【定义】一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，即： X 0 1 … m P … 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． ******************************************************************************* 【2】限时练习（约40分钟，全心投入，旨在检测自己的解题能力） 一、单选题 1．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，若用随机变量表示任选4个球中红球的个数，则服从超几何分布，其参数为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在含有4件次品的100件产品中，任取2件，则至多取到1件次品的概率为（　　） A． B． C． D． 3．盒中有10个灯泡，其中有三个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么概率是的事件为（    ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．至多有2个是坏的 D．恰有2个是坏的 4.一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是（　　） A． B． C． D． 5.《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（    ） A． B． C． D． 6．袋中有2个红球，m个蓝球和n个绿球，若从中不放回地任取2个球，记取出的红球数量为X，则，且取出一红一蓝的概率为，若有放回地任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球，个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取次，则下列结论中正确的是（   ） A．若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为 B．若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为 C．若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第次取到红球的概率为 D．若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为 8.从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则（    ） A．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有种 B．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为 C．抽出的产品中至少有件是次品的概率为 D．抽出的产品中次品数的数学期望为 三、填空题 9．根据超几何分布概念及分布列性质计算 .（用组合数表示） 10．袋中有红､黄､蓝三种颜色的小球共10个（其中有5个红球），若从中一次取出3个小球，记恰有1只黄球的概率为，则的最大值为 . 四、解答题 11．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出一个黑色球得分，现从盒内任取3个球. (1)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； (2)设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望. 12.已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中最多有一支次品，每盒电子笔有次品的概率为． (1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测． ①求抽出的两支均是正品的概率； ②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率； (2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中的次品数，求的期望和方差． ******************************************************************************* 【3】核对解析（5-10分钟，筛选需看题目，变“不会”为“会”） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D B C B AD ACD 9.【答案】 10.【答案】/ 11.【答案】(1) (2)分布列见解析， 12.【答案】(1)①；② (2)； ******************************************************************************* 【4】反思总结（3-5分钟，重在做好错因分析和查漏补缺，但不一定都写出来） 解题点睛 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．　 个人感悟： 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$