专题04 期中三角函数热点解答题（上海重点、热点、难点分析）（十大题型）（沪教版2020必修第二册，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编

专题04 期中三角函数热点解答题（上海重点，热点，难点分析） 题型概览 题型01定区间问题 题型02 复合函数 题型03 含参数型零点问题综合 题型04 图像综合题 题型05 动区间有关的零点问题 题型06 恒成立、有解问题—单函数 题型07 恒成立问题—双函数 题型08 实际应用题 题型09 双变量问题 题型10 多零点问题 ( 题型01 ) 定区间问题 1．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数. (1)求的单调增区间； (2)求函数在的值域. 2．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的表达式为. (1)求函数的单调增区间； (2)求方程在上的解. 3．（24-25高二上·上海·期中）函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； ( 题型02 ) 复合函数 4．（21-22高三上·上海·期中）已知函数. （1）若，且，求的值 （2）求函数的最小正周期和值域. 5．（24-25高三上·上海·期中）已知. (1)函数的最小正周期是，求，并求此时的解集； (2)已知，，求函数，的值域. ( 题型03 )含参数型零点问题综合 6．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知函数（其中常数）． (1)若函数的最小正周期是，求的值及函数的单调递增区间； (2)若，，求函数的值域及零点． 7．（22-23高一下·上海黄浦·期中）已知函数. (1)求函数的最小值及取得最小值时相应的的值； (2)若在上有四个不同的根，求的取值范围及四个根之和. 8．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若函数，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围. 9．（23-24高一下·上海浦东新·期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 (1)请直接写出表中的值，并求出函数的解析式和最小正周期； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 10．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 11．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数，其中. (1)求在上的解； (2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围. ( 题型04 ) 图像综合题 12．（21-22高一下·上海杨浦·期中）已知函数，，的部分图像如图所示，P，Q分别是该图像相邻的最高点和最低点，点P的坐标是，点R的坐标是，. (1)求的最小正周期与的值； (2)求A的值，并写出函数的单调递增区间； (3)若函数，请研究函数的奇偶性､最小正周期､单调区间､最大最小值. 13．（21-22高一下·上海奉贤·期中）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若为偶函数，求t的值； (3)若，，的值域为，求实数a，b的值． ( 题型0 5 )动区间有关的零点问题 14．（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 15．（23-24高一下·上海·期中）将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数的图像. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围. ( 题型0 6 ) 恒成立、有解问题—单函数 16．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数，． (1)求函数的严格减区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数． (1)求的最小正周期． (2)求的单调递增区间． (3)若关于的方程在上有解，求实数m的取值范围． ( 题型0 7 ) 恒成立问题—双函数 18．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 19．（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求f(x)的定义域； (2)若，求f(x)的值域; (3)设，函数，，若对于任意，总存在唯一的，使得成立，求a的取值范围. ( 题型0 8 ) 实际应用题 20．（23-24高三上·上海普陀·期中）如图，某市在两条直线公路上修建地铁站和，为了方便市民出行，要求公园到的距离为.设. (1)试求的长度关于的函数关系式； (2)问当取何值时，才能使的长度最短，并求其最短距离. 21．（23-24高三上·上海浦东新·期中）如图所示为某小区在草坪上活动区域的平面示意图，在四个点分别建造了供老年人活动的器械.四个点所围成的四边形即为老年人的活动区域.为了便于老年人在草坪上行走，小区建造了，，，，，六条步行道，其中，，，.设，，为四边形的面积.    (1)若，求的值: (2)求的最大值，并求取到最大值时的值. 22．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）如图所示是某斜拉式大桥图片，为了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图（1）所示的模型，其中桥塔与桥面垂直，通过测量得知，当为中点时，. (1)求的长； (2)设，写出与的函数关系式； (3)已知命题：函数在内为严格增函数；求证该命题为真命题，并用该命题求解在线段的何处时，达到最大，最大值为多少？ 23．（22-23高一下·上海闵行·期中）某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.    (1)若，求此红旗图案的面积；（精确到） (2)求组成的红旗图案的最大面积.（精确到） 24．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知、两地相距，以为直径作一个半圆，在半圆上取一点，连接、，在三角形内种草（如图），、分别为弧、弧的中点，在三角形、三角形上种花，其余是空地．设花坛的面积为，草坪的面积为，取． (1)用及表示和； (2)求的最小值． ( 题型0 9 ) 双变量问题 25．（22-23高二下·上海·期中）已知函数． (1)求函数在R上的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若实数满足，求的最小值． 26．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知函数（其中常数）的最小正周期为． (1)求函数的表达式； (2)作出函数，的大致图象，并指出其单调递减区间； (3)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 27．（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)当时，求函数的最大值和最小值 (3)已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 ( 题型 10 ) 多零点问题 28．（21-22高一下·上海徐汇·期中）已知函数的最小正周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. (1)求函数与的解析式； (2)当，求实数与正整数，使在恰有个零点． 29．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）已知函数，且. (1)求的值，并求出的最小正周期（不需要说明理由）； (2)若，求的值域； (3)是否存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点，若存在，求由的值；若不存在，说明理由. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 期中三角函数热点解答题（上海重点，热点，难点分析） 题型概览 题型01定区间问题 题型02 复合函数 题型03 含参数型零点问题综合 题型04 图像综合题 题型05 动区间有关的零点问题 题型06 恒成立、有解问题—单函数 题型07 恒成立问题—双函数 题型08 实际应用题 题型09 双变量问题 题型10 多零点问题 ( 题型01 ) 定区间问题 1．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数. (1)求的单调增区间； (2)求函数在的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可； （2）先求出的范围，再根据正弦函数的性质求解即可． 【解析】（1）由可得， 所以， 所以函数单调递增区间为：； （2）令，由可得， 又因为函数在单调递减，在单调递增， 所以在时有最小值-1，又，， 所以，所以函数在上的值域为． 2．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的表达式为. (1)求函数的单调增区间； (2)求方程在上的解. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用二倍角公式及差角公式、辅助角公式化简函数式，再利用三角函数的性质计算即可； （2）利用（1）求出的解析式结合三角函数的性质直接解方程即可. 【解析】（1）由 ， 令，解之得， 即该函数的单调增区间为； （2）由（1）知：， 所以若，即， 因为，所以， 则满足题意的或，即或. 3．（24-25高二上·上海·期中）函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）先由图象和周期公式得，，进而由结合正弦函数性质得，从而得解. （2）先由平移变换求出函数的解析式，接着由得，再结合正弦函数性质即可得和，从而得解. 【解析】（1）由函数的部分图象可知，， 所以，所以，所以函数， 又，所以， 解得，由可得， 所以. （2）将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 所以在上的最大值为，最小值为. ( 题型02 ) 复合函数 4．（21-22高三上·上海·期中）已知函数. （1）若，且，求的值 （2）求函数的最小正周期和值域. 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）根据两角和差的余弦公式进行计算即可 （2）利用诱导公式及二倍角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得． 【解析】解：（1）若，且， 则，则， 则． （2） 即， 所以函数的最小正周期， ， ，即 5．（24-25高三上·上海·期中）已知. (1)函数的最小正周期是，求，并求此时的解集； (2)已知，，求函数，的值域. 【答案】(1)，或； (2). 【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出，再求出方程的解集即得. （2）利用二倍角公式及辅助角公式求出，再利用正弦函数性质求出值域即可. 【解析】（1）依题意，，解得，则，由，得， 解得或，即或 所以的解集为或. （2）依题意，， ， 当时，，则有，， 所以函数，的值域为. ( 题型03 )含参数型零点问题综合 6．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知函数（其中常数）． (1)若函数的最小正周期是，求的值及函数的单调递增区间； (2)若，，求函数的值域及零点． 【答案】(1)，； (2)；. 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，结合三角函数的性质计算即可； （2）利用（1）化简得函数解析式，利用整体思想及三角函数的性质求值域与零点即可. 【解析】（1）由， 若函数的最小正周期是，则，即，所以， 令，解之得， 所以函数的单调递增区间为； （2）由（1）知：，若，则， 则时，有，则， 故，函数值域为， 而在上，只有，即， 即函数的零点为. 7．（22-23高一下·上海黄浦·期中）已知函数. (1)求函数的最小值及取得最小值时相应的的值； (2)若在上有四个不同的根，求的取值范围及四个根之和. 【答案】(1)函数的最小值，此时的值为 (2)答案见解析 【分析】（1）利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数性质运算求解； （2）以为整体，结合正弦函数分析运算. 【解析】（1）∵ ， 即， 令，解得， 故函数的最小值，此时的值为. （2）由（1）可知：， ∵，则，， 故，且， 结合正弦函数可得：若在上有四个不同的根，则的取值范围为， 设在上的四个不同的根由小到大依次为， 当时，则， 整理得，故； 当时，则， 整理得，故； 综上所述：当时，四个根之和为； 当时，四个根之和为. 8．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若函数，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，然后由周期公式可得； （2）求出，然后由正弦函数的单调性即可求解； （3）将问题转化为函数与的图象有两个交点，数形结合可得. 【解析】（1）因为， 所以. （2）， 由，解得， 所以函数的单调递减区间为. （3）由得， 当时，， 所以， 作出函数在的图象，如图：    由函数与的图象有两个交点， 得，即，即实数的取值范围为. 9．（23-24高一下·上海浦东新·期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 (1)请直接写出表中的值，并求出函数的解析式和最小正周期； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)，最小正周期为 (2) 【分析】（1）利用周期可求得，利用五点作图法的第二个关键点可求，进而求得解析式可求； （2）由题意可得与的图象在上有两个交点，结合图象可求实数的取值范围. 【解析】（1）根据表中的数据，得， ，又，， 函数的解析式为， 令，解得， 可得， 数据补全如下表： 0 0 1 0 0 则最小正周期为 （2） 关于的方程在上有两个不同的实数解， 则与的图象有两个交点， 作出两函数的图象如图所示： 结合函数图像可知. 实数的取值范围为. 10．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角恒等变换化简，利用正弦型函数的单调性求解； （2）分离参数转化为恒成立，求出的最大值即可得解； （3）先写出函数的解析式，然后根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【解析】（1） ， 由， 所以函数的单调递减区间为； （2）因为不等式在上恒成立， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，即； （3）， 由，得， 因为函数在上恰有3个零点， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 11．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数，其中. (1)求在上的解； (2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意得方程，然后通过的范围解方程即可； （2）代入，然后利用三角公式化简，再将方程有解问题转化为函数值域问题，利用正弦函数的性质求值域即可. 【解析】（1）由已知， 又，所以， 所以或， 所以或， 即在上的解为或； （2）由已知 ， 则在时有解，即在时有解， 因为，所以， 所以， 所以. ( 题型04 ) 图像综合题 12．（21-22高一下·上海杨浦·期中）已知函数，，的部分图像如图所示，P，Q分别是该图像相邻的最高点和最低点，点P的坐标是，点R的坐标是，. (1)求的最小正周期与的值； (2)求A的值，并写出函数的单调递增区间； (3)若函数，请研究函数的奇偶性､最小正周期､单调区间､最大最小值. 【答案】(1)最小正周期是，； (2)，增区间是； (3)答案见解析． 【分析】（1）由是最高点结合“五点法”可求得，由正弦函数周期可得的最小正周期； （2）由，得，结合周期可求得，得函数解析式，变形为一个角的一个三角函数，然后利用正弦函数的单调性得结论； （3）根据奇偶性定义判断奇偶性，由周期的定义判断并说明最小正周期是，求出函数在一个周期区间上单调区间，结合周期性写出单调区间，并求得最大值和最小值． 【解析】（1）由题意，又，所以， ， （2）因为，所以，， ，，得， 所以增区间是； （3）由题意 ， 显然，函数为偶函数， ， 时，， 不存在，使得，所以函数最小正周期是， 时，，而， 因此时，递增，时，递减， 所以的增区间是，，减区间是，， 时，，而，，所以的值域是．最大值为，最小值为． 13．（21-22高一下·上海奉贤·期中）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若为偶函数，求t的值； (3)若，，的值域为，求实数a，b的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)或. 【分析】（1）由题可得和，即可求出，再利用可求出即可得出解析式； （2）可得，令即可求出； （3）令利用三角恒等变换及三角函数的性质可得，然后结合条件可得或，即得. 【解析】（1）由图可得，， ， ，则， 又，解得， ， ， ； （2）为偶函数， ，解得， ， 或； （3）令， 则 ， ，， ∴， ∴，又的值域为， 即，显然， ∴或， 解得或. ( 题型05 )动区间有关的零点问题 14．（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数解析式得，根据整体角范围结合正弦函数性质求值域可得； （2）由周期得的值，进而得函数，结合整体角范围将复合函数零点个数转化为正弦函数的零点个数，再结合函数图象得不等式求解参数范围. 【解析】（1）若，则， 因为，所以， 所以当，即时， 函数，取最大值； 当，即时， 函数，取最小值， 所以，函数，的值域为； （2）由， 因为最小正周期为，所以， 即，则. 令，，则. 于是函数在上恰有3个零点， 等价于函数在上恰有3个零点， 作出函数的图像可得， 解得. 所以，的取值范围为.    15．（23-24高一下·上海·期中）将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数的图像. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数图象变换运算求解即可； （2）以为整体，结合正弦函数的零点列式求解即可. 【解析】（1）将函数的图像向右平移个单位，得到， 再将横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到， 所以函数的解析式为. （2）由（1）可知：， 因为，则， 若函数在上恰有两个零点， 则，解得， 所以实数m的取值范围为. ( 题型06 ) 恒成立、有解问题—单函数 16．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数，． (1)求函数的严格减区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换化简得出，由可求出的取值范围，再由正弦型函数的单调性可求出函数的减区间； （2）求出的取值范围，由参变量分离法可得出，求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【解析】（1）解：因为， 因为，则，由可得， 所以，函数的严格减区间为. （2）解：由（1）可知，，则， 所以，，即， 所以，， 由可得， 所以，，所以，， 因此，实数的取值范围是. 17．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数． (1)求的最小正周期． (2)求的单调递增区间． (3)若关于的方程在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为 (2)． (3) 【分析】（1）先将函数解析式化简整理得到，再由正弦函数的周期性，即可求出结果； （2）根据正弦函数的单调性可求的单调递增区间； （3）关于的方程在上有解，则关于的方程在上有解，求出值域，即可得到关于的不等式，求解即可． 【解析】（1）函数 故函数的最小正周期为． （2）令，解得， ∴单调递增区间为． （3）因为， 所以， 所以， 所以的值域为， 关于的方程在上有解， 则关于的方程在上有解， 所以， 所以， 所以实数的取值范围是． ( 题型07 ) 恒成立问题—双函数 18．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解三角方程即可，注意的范围； （2）求出解析式，利用正弦函数的性质求出的范围，再分离参数求解作答； （3）代入化简得，对任意恒成立，换元后利用基本不等式求出最值得解． 【解析】（1）由题意可得， 即，解得， 又； （2）由（1）知， 令，则， 存在，使得等式成立， 即存在，使，则存在，使成立， 令，则的值域是 所以实数的取值范围为； （3）即， 化简整理得，，对任意恒成立， 令，则恒成立， 即，对任意恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ， 所以实数的取值范围为． 19．（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求f(x)的定义域； (2)若，求f(x)的值域; (3)设，函数，，若对于任意，总存在唯一的，使得成立，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由对数函数的意义，列出不等式，再求解作答. （2）求出函数在上的值域，再结合对数函数单调性求解作答. （3）利用二次函数对称轴分类，结合（2）的结论列出不等式，求解作答. 【解析】（1）函数有意义，有，即，解得， 所以函数f(x)的定义域为. （2）当时，，则，，， 所以f(x)的值域是. （3）由（2）知，，，函数图象对称轴， 而，当，即时，显然， 因为任意，总存在唯一的，使得成立， 则必有，解得或，显然无解， 当，即或时，函数在上单调递减，， 因为任意，总存在唯一的，使得成立，则， 于是得，解得或，满足或，因此或， 所以a的取值范围是. 【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集 ． ( 题型08 ) 实际应用题 20．（23-24高三上·上海普陀·期中）如图，某市在两条直线公路上修建地铁站和，为了方便市民出行，要求公园到的距离为.设. (1)试求的长度关于的函数关系式； (2)问当取何值时，才能使的长度最短，并求其最短距离. 【答案】(1) (2)当时，AB最短，最短距离为 【分析】（1）设，作于点D，由三角形面积公式可得，结合即可求解； （2）由三角恒等变换可得，结合三角函数的性质即可求解. 【解析】（1）设，作于点D，由题意知， ，解得， 又， 代入得. （2）由（1）知 ， 当即时，分母最大，此时的值最小， 所以当时，AB的长度最短，最短距离为. 21．（23-24高三上·上海浦东新·期中）如图所示为某小区在草坪上活动区域的平面示意图，在四个点分别建造了供老年人活动的器械.四个点所围成的四边形即为老年人的活动区域.为了便于老年人在草坪上行走，小区建造了，，，，，六条步行道，其中，，，.设，，为四边形的面积.    (1)若，求的值: (2)求的最大值，并求取到最大值时的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由余弦定理得到，进而求出，求出和的面积，相加后得到答案； （2）由余弦定理得到，进而求出，表达出，求出最值及的值. 【解析】（1）在中，由余弦定理得， ， 在直角中，，故， 设和分别为和的面积， 故， ， 故. （2）在中，由余弦定理得， ， 在直角中，， 设和分别为和的面积， 故，， 可得， 故，当且仅当时取到. 22．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）如图所示是某斜拉式大桥图片，为了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图（1）所示的模型，其中桥塔与桥面垂直，通过测量得知，当为中点时，. (1)求的长； (2)设，写出与的函数关系式； (3)已知命题：函数在内为严格增函数；求证该命题为真命题，并用该命题求解在线段的何处时，达到最大，最大值为多少？ 【答案】(1)75m (2) (3)证明见解析，时，最大值为 【分析】(1)利用两角和的正切公式结合条件即得； (2)利用两角和的正切公式即可求出结果； (3)利用函数单调性定义即可进行证明；再结合基本不等式求出结果. 【解析】（1）设， 则， 由， 解得m； （2）设，则， 所以. （3）任取，且， ， 所以命题成立. 因为，所以，即为锐角， 令，则， 所以， 所以， 当且仅当时，即， 所以时，最大,最大值为. 23．（22-23高一下·上海闵行·期中）某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.    (1)若，求此红旗图案的面积；（精确到） (2)求组成的红旗图案的最大面积.（精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，求出，，，进而求出，再利用矩形面积公式即可算出结果． （2）设，用的三角函数表示出，，，进而表达出，再利用矩形面积公式结合三角函数的性质即可算出结果． 【解析】（1）由题意，则，，， ， ； （2）设，则，， ， ， ， 故当时，即时，取得最大值． 24．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知、两地相距，以为直径作一个半圆，在半圆上取一点，连接、，在三角形内种草（如图），、分别为弧、弧的中点，在三角形、三角形上种花，其余是空地．设花坛的面积为，草坪的面积为，取． (1)用及表示和； (2)求的最小值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）先利用及R表示出的长，即可表示出，进而设的中点为O，连接，表示出的长，结合三角形面积公式即可表示出； （2）利用（1）的结论可得的表达式，结合三角函数之间的关系化简，并利用函数单调性，即可求得答案. 【解析】（1）因为，故， 所以， 设的中点为O，连接，则, 设交于点E， 则， 则， 同理求得， 故. （2）由（1）的结论可得， 令，则， 故，所以， 由于，在上单调递增， 则，故，即的最小值为. ( 题型09 ) 双变量问题 25．（22-23高二下·上海·期中）已知函数． (1)求函数在R上的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若实数满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简函数得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）根据三角函数的图象变换，求得，根据题意，得到为函数的最值，结合三角函数的性质，即可求解. 【解析】（1）解：由函数， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）解：将函数的图形向左平移个单位长度， 得到， 再将得到的函数图象向上平移1个单位长度，可得， 由实数满足，则为函数的最值， 不妨设， 则， 解得， 则， 当或时，此时. 26．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知函数（其中常数）的最小正周期为． (1)求函数的表达式； (2)作出函数，的大致图象，并指出其单调递减区间； (3)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 【答案】(1)； (2)图象见解析；单调递减区间为； (3)，或. 【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦二倍角公式、正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可； （2）利用五点作图法，结合函数图象进行求解即可； （3）根据正弦型函数的图象变换性质，结合正弦型函数的图象进行求解即可. 【解析】（1）， 因为的最小正周期为，且， 所以有，即； （2）列表如下： 函数，的大致图象如下图所示：      单调递减区间为； （3）由题意可知：， 因为， 所以中有一个为，另一个为， 因为的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且的最小值是， 所以，或， 因此的值为，或. 27．（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)当时，求函数的最大值和最小值 (3)已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）先由降幂公式，倍角公式，辅助角公式化简，再代入周期公式求解即可； （2）由已知结合的范围，利用正弦函数的性质求解即可； （3）由已知不等式结合辅助角公式进行化简可得，然后结合正弦函数的单调性求解即可. 【解析】（1）， 则最小正周期为. （2）； 则函数的最大值为，最小值为. （3）， 因为， ， 因为对任意的，当时，恒成立， 则对任意的，当时，恒成立， ， 不妨设，则问题转化成在上单调递减， 所以，其中，解得， 所以的取值范围为. ( 题型10 ) 多零点问题 28．（21-22高一下·上海徐汇·期中）已知函数的最小正周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. (1)求函数与的解析式； (2)当，求实数与正整数，使在恰有个零点． 【答案】(1)， (2)． 【分析】(1)根据函数图象的变关系直接求解； (2)转化为方程有个根，根据奇数个根可得其中一个根必为或1，分类讨论求解. 【解析】（1）， 当时，， 因为，取， ， 将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）， 可得函数，再将所得图像向右平移个单位长度后， ， （2）由（1）得， ， 不妨设或，显然 若，则在上必有偶数个零点， 所以中至少有一个为或， 不妨设， 当，则（舍）； 当，则， 此时在上有3个零点， 又， 即， 综上所述，． 29．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）已知函数，且. (1)求的值，并求出的最小正周期（不需要说明理由）； (2)若，求的值域； (3)是否存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点，若存在，求由的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，函数的最小正周期为 (2) (3)存在正整数，理由见解析 【分析】（1）根据代入即可求解的值．因为的周期是都，故得函数的最小正周期； （2）根据，得到，设，，转化为二次函数求解； （3）分类讨论和时，将转化为二次函数，从而求得其零点个数，进而得解. 【解析】（1）函数， ∵， ∴，解得：， 所以， 因为的周期是都， 又周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数， 所以函数的最小正周期为. （2）若，则， 设，则， 则， 所以， 所以其值域为； （3）存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点． 当时，． 设， 则， 于是， 令，得或， 此时，或或，其中， 当时，． 设，则， 于是， 令， 解得或， 故在没有实根． 综上，在上有4个零点， 又的最小正周期为，而， 所以函数在有2025个零点． 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$