猜想01 排列组合高频题型归类（考题猜想，8大题型）高二数学下学期人教B版

猜想01 排列组合高频题型归类 11 / 22 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 分类加法及分步乘法 · 题型二 特殊位置法 · 题型三 捆绑法和插空法 · 题型四 定序问题 · 题型五 间接法 · 题型六 分组分配问题 · 题型七 几何涂色问题 · 题型八 数字排列问题 题型一 分类加法及分步乘法 1．（2024·25高二上·湖南·期中）某学校高二年级拟举办艺术节，要求各班级从《黄河大合唱》，《我和我的祖国》，《北京欢迎你》，《我爱你中国》和《我们走在大路上》这五首指定曲目中任选一首作为表演节目，则高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】高二（1）班与高二（2）班分别从这五首曲目中任选一首作为表演节目的方法数有种， 而要使两个班抽到不同曲目，可分步完成： 先让高二（1）班选一首有5种方法，再由高二（2）班从余下的4首曲目中选一首，有4种方法， 由分步乘法计数原理，可知方法数有种. 由古典概型概率公式，可得高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为. 故选：D. 2．（2023·24高二下·江苏扬州·期中）学校为丰富高中生的课外生活，开设了兴趣小组，有3名学生想要报名书法、绘画、篮球、羽毛球兴趣小组，每人限报1项、则不同的报名方式种数有（    ） A． B．36 C．24 D． 【答案】D 【详解】根据题意，每名学生都可以在书法、绘画、篮球和羽毛球兴趣小组中任选1个， 都有4种选法，由分步计数原理得，共有种不同的选法. 故选：D. 3．（2024·25高三上·上海宝山·期中）由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，，，…，若，则 ． 【答案】 【详解】由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列， 则一位自然数有3个，即0，2，4， 两位自然数有6 个，即20，22，24，40，42，44， 三位自然数有18个，即200，202，204，220，222，224，240，242，244，400，402，404，420，422，424，440，442，444， 计数原理为分步乘法计数原理，首位有2个数字可选，十位有3个数字可选，个位有3个数字可选，共计有个， 所以四位自然数利用分步乘法计数原理有个， 而四位自然数为2000，2002，2004，2020，2022，2024，则2024为四位自然数中的第6个，所以． 故答案为：． 4．（2023·24高二下·山东青岛·期中）在如图所示的九宫格中填入数字和字母，已知三个字母：都填到九宫格中且不能在同一行同一列，其他每格只能从数字中选择一个填入，有公共边的两个格数字不相同，则不同的填法种数为（    ） A．5230 B．3619 C．4758 D．5184 【答案】D 【详解】先填，对于，有9个位置可以选择， 除去所在的行和列，有4个位置可以选择， 再除去所在的行和列，只剩1个位置， 故填共有种；再填1，2，3，如下图， ④ ⑤ ① ⑥ ② ③ 由于公共边的两个格数字不相同，从①号位置开始: ①有3种选择，②有2种选择，③有2种选择，④有3种选择，⑤有2种选择，⑥有2种选择， 故填1，2，3有种； 所以共有种. 故选：D. 5．（2023·24高二下·河北·期中）如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（    ）    A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】D 【详解】由于每条线路仅含一条通路，由图示可知上半部分的线路有3条， 下半部分为串联电路，接通时有6条线路， 故共有9条线路， 故选：D 题型二 特殊位置法 6．（2025·河南·一模）已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】甲、乙、丙中选两人占前两名，有种情况，其余五名可任意排列， 故所有的情况有种. 故选：C. 7．（2024·25高二上·辽宁葫芦岛·期末）现将包含球的5个不同的小球放入包含甲盒的四个不同的盒子里，每盒至少一球.其中小球不放入甲盒中，则不同安排方案的种数是（    ） A．180 B．168 C．120 D．90 【答案】A 【详解】首先，将包含球的5个不同的小球分成四组，共有种组合； 然后，将含有球的一组小球放到除去甲盒之外的三个盒子中，共有种； 剩余三组小球再分别放入3个不同的盒子中，共种； 因此不同安排方案的种数是. 故选：A 8．（2024·25高三上·湖北武汉·阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（   ）种 A．114 B．120 C．126 D．132 【答案】A 【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班， 所以必有一人值班3天，另两人各值班2天. 第一类：值班3天在、、、、、时，共有种不同的值班方法； 第二类：值班3天在、时，共有种不同的值班方法； 第三类：值班3天在时，共有种不同的值班方法； 第四类：值班3天在时，共有种不同的值班方法； 综上可知三位老师在国庆节7天假期共有种不同的值班方法. 故选：A 9．（2024·25高二下·福建厦门·期中）（多选）某市文化局组织了一次“送戏下乡”活动，共有个节目，且小品和相声各一个，若小品不排在第一位，相声不排在最后一位，则不同的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】直接法： 若小品排在最后一位，有种不同的排法； 若小品排在第二到第六位之间，则相声可以排在除最后一位和小品占据以外的任何位置，有种不同的排法； 则共有种不同的排法，A正确； 间接法： 不管条件限制共有种不同的排法； 当小品在第一位或相声在最后一位时，有种不同的排法， 当小品在第一位且相声在最后一位时，有种情况； 故共有，D正确； 故选：AD. 10．（2024·25高二下·福建厦门·阶段练习）5名学生和1位老师站成一排照相，则老师不排在两端的排法有 种. 【答案】 【详解】第一步：优先老师，排中间四个位置中的一个，有； 第二步：再排5名学生到剩下的五个位置上，有； 根据分步计算乘法原理可得：共有种排法， 故答案为：. 11．（2024·25高二下·江西·阶段练习）20名同学排成一个4行5列的矩形方阵，要求其中的甲、乙、丙三人中任意两人不在同一行也不在同一列，则这20名同学不同的站法种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】求20名同学不同的站法种数需两步： 先让甲、乙、丙站，从4行中任取1行，5列中任取1列，其交点让甲站，有种； 从余下3行中任取1行，4列中任取1列，其交点让乙站，有种； 从余下2行中任取1行，3列中任取1列，其交点让丙站，有种， 因此符合要求的甲、乙、丙的站法种数为种， 再让除甲、乙、丙外的17人站，有， 所以这20名同学不同的站法种数为. 故选：B 题型三 捆绑法和插空法 12．（2024·25高二下·陕西·阶段练习）2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情．齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽．为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”．假设6人站成一排，要求三位“80后”相邻，两位“90后”不相邻，则不同的站法共有（    ） A．32种 B．48种 C．64种 D．72种 【答案】D 【详解】因三位“80后”相邻，可将其看作一个整体， 再将这三位“80后”和“70后”蔡旭哲先进行排列，有种排法， 在其前后会留下3个空位，再将剩下的两位“90后”插入这3个空位中，有种插法， 因此不同的站法共有种. 故选：D. 13．（2024·25高二下·山东济宁·阶段练习）五种不同商品在货架上排成一排，其中两种必须连排，而两种不能连排，则不同的排法共有（    ）种. A．24种 B．36种 C．72种 D．120种 【答案】A 【详解】由题意，设五种商品编号分别为， 其中两种必须连排，两种不能连排， 将两种看作一种商品与进行排列，共有（种）， 共形成3个空，选择2个空，将插入，共有（种）， 则不同的排法共有：（种）， 故选：A 14．（2024·25高二下·山东·阶段练习）为庆祝中国共产主义青年团成立101周年，某学校5月份组织部分学生参与“地图上的青运史”打卡活动，计划一天内参观完①山东省建团纪念馆、②王尽美邓恩铭雕像纪念广场、③“四五”烈士纪念碑、④泺口九烈士纪念碑、⑤中共济南乡师党史陈列室、⑥山东省团校这6个地方．结合实际对参观路线顺序的规划如下：去②⑤参观的顺序相邻且去①参观在去③和⑥参观的前面（不一定相邻），则不同的参观安排种数是（    ） A．60 B．80 C．120 D．240 【答案】B 【详解】将②和⑤视为一个组合体， 此时问题转化为排列5个元素，组合体、①、③、④、⑥的排列问题， 从5个位置中选3个给①、③、⑥，方式为 种方法， ①固定在所选第一个位置，剩余两个位置由③和⑥排列，有 种方式， 剩余两个位置由组合体和④排列，有 种方式. 组合体内部排列有种方式. 总排列数：. 故选：B. 15．（2024·25高二上·辽宁·期末）国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（   ） A．84 B．120 C．504 D．720 【答案】C 【详解】8个同学站成一排有9个空，甲、乙、丙在9个空中任意排列，则不同的方法种数为. 故选：C. 16．（2025·河北·三模）若甲、乙等6人随机排一排照相，则甲、乙不在两端也不相邻的概率为 . 【答案】/0.2 【详解】6人排一排的总数为，甲，乙不在两端也不相邻有种排法， 故所求概率为. 故答案为： 17．（2024·25高二下·河北沧州·阶段练习）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法? 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）先排唱歌节目有种排法，再将剩下的5个节目全排列有种方法，故共有种排法. （2）将三个舞蹈节目看成一个整体，优先排列有种排法， 在将剩下4个节目全排列，有种排法， 最后将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排列时产生的不含两端的3个空中，有种排法， 故共有种方法. （3）将唱歌节目、舞蹈节目分别看成整体优先安排有种排法， 再将小品分别放入排舞蹈，歌曲时产生的三个空中有种排法， 则共有种排法. 题型四 定序问题 18．（2023·24高三上·江苏·开学考试）甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．360 B．480 C．600 D．720 【答案】B 【详解】由题意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有种不同的排法， 其中甲、乙、丙三人的全排列有种不同的排法， 其中甲、乙在丙的同侧有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4种排法， 所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为种. 故选：B. 19．（2023·24高二下·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有 种. 【答案】60 【详解】甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，共有种排法， 其中甲在乙的左边和乙在甲的左边一样多， 所以甲在乙的左边的不同的站队方式共有. 故答案为：. 20．（2023·24高二下·福建福州·期中），等6人排成一列，则在的前面的排法种数是 种．（用数字作答） 【答案】360 【详解】依题意在的前面的排法有种． 故答案为： 21．（2023·24高二下·湖北武汉·期中）三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．350 B．140 C．560 D．280 【答案】C 【详解】 将8只气球编号，依次从下往上，从右往左编号为， 问题等价于8只气球排列， 其中号，号，号必须是从下到上的顺序打破气球， 则有种. 故选：C 题型五 间接法 22．（2025·云南·一模）某年级有个班，每个班有名学生，现要从该年级中选取名学生参加知识竞赛，要求班和班共至少有名学生入选，且班和班共入选的学生人数不能为人，不同的选法有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【详解】已知该年级有个班，每个班有名学生，则总共有名学生， 从名学生中选名学生的选法有种. 不满足条件的情况有两种： 情况一：班和班没有学生入选 若班和班没有学生入选，那么从剩下名学生中选名，选法有种； 情况二：班和班共有人入选 从班和班共人中选人，有种选法，再从剩下人中选人，有种选法， 根据分步乘法计数原理，班和班共选人时共有种选法， 所以班和班共有人入选的选法有种， 用总的选法减去不满足条件的选法，可得满足条件的选法有种. 故选：A. 23．（2024·内蒙古包头·三模）一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类节目，则同类节目不相邻的安排方式共有（    ） A．44种 B．48种 C．72种 D．80种 【答案】B 【详解】依题意五个节目全排列有种排法； 若独唱类节目相邻，则有种排法； 若歌舞类节目相邻，则有种排法； 若独唱类节目相邻且歌舞类节目也相邻，则有种排法； 综上可得同类节目不相邻的安排方式共有种. 故选：B 24．（2023·24高二下·北京顺义·期末）2016年11月30日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生活与民俗系统.《传统廿四节气歌》中的“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的个节气.某个小组在参加“跟着节气去探究”综合实践活动时，要从个节气中选择个节气，且个节气不在同一个季节，那么不同的选法有（    ） A．60种 B．种 C．276种 D．432种 【答案】B 【详解】从个节气中选择个节气，总共不同的选法有种， 从个节气中选择个节气，且个节气在同一个季节，不同的选法有， 所以从个节气中选择个节气，且个节气不在同一个季节，不同的选法有种； 故选：B. 25．（2024·贵州遵义·二模）某校开展劳动技能比赛，高三（1）班有3名男生，5名女生报名参赛，现从8名同学中选4名同学代表班级参加比赛，要求男女生各至少1人，则不同的选派方案共有 种． 【答案】65 【详解】从8名同学中任选4名，有种方法，其中全是女生的选法有种， 所以不同的选派方案共有（种）. 故答案为：65 26．（2024·25高三·上海·随堂练习）某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为 ． 【答案】36 【详解】先将语文与化学捆绑在一起，作为一个元素，再将四个元素全排， 再减去数学排第一节的排法即可， 即不同排法的种数为． 故答案为：36. 27．（2023·24高二下·陕西咸阳·期末）中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音阶，排成一个没有重复音阶的五音音序，且商、角、徵不全相邻，则可排成的不同音序有 种.（用数字作答） 【答案】84 【详解】这五个音阶的全排列数为， 若商、角、徵全相邻，则由捆绑法可知，共有种排法， 故由间接法可知，满足题意的排法数有种. 故答案为：84. 题型六 分组分配问题 28．（2023·24高二下·四川达州·期中）有5名大四学生报名参加公开招聘考试，总共有三个岗位，每人限报一个岗位，若这三个岗位都至少有1人报考，则这5名大四学生不同的报考方法总数有（    ） A．144 B．150 C．196 D．256 【答案】B 【详解】若有两个岗位各有2名学生报考，一个岗位有1名学生报考，则有种报考方法． 若有两个岗位各有1名学生报考，一个岗位有3名学生报考，则有种报考方法． 所以总共有种报考方法， 故选：B． 29．（2023·24高二下·河南濮阳·期末）2024年5月15日是全国低碳日，5月13-19日是全国节能宣传周．现有5位工作人员要到3个社区进行节能宣传，要求每个社区至少派1位工作人员，且每位工作人员只去1个社区，则不同的分派方法种数为（    ） A．92 B．108 C．124 D．150 【答案】D 【详解】将5位工作人员分成三组，有两种类型，即1，1，3与1，2，2， 其中分成1，1，3三组的方法有种，分成1，2，2三组的方法有种， 一共有种分组方法，将分好的三组全排列有种方法， 则不同的分派方法有种. 故选：D. 30．（2023·24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有（    ） A．240种 B．150种 C．60种 D．180种 【答案】B 【详解】依题意，要使每个乡镇至少一名，可以有“”或“”两种分配方案. 按照“”分配时，有种方法； 按照“”分配时，有种方法. 由分类加法计数原理，可得不同分配方案有种. 故选：B. 31．（2023·24高二下·山东济南·阶段练习）若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．54种 【答案】A 【详解】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组则剩下四盆花有组， 再将3组鲜花分配到3个不同的房间中，共有种排法， 由分步乘法计数原理可得不同的放法数为． 故选：A. 32．（2023·24高三下·辽宁·阶段练习）某企业举办职工运动会，有篮球、足球、羽毛球、乒乓球4个项目.现有，两个场地承担这4个项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（    ） A．10种 B．12种 C．14种 D．20种 【答案】C 【详解】若一个场地承办一个项目，另一个场地承办三个项目，则有种安排； 若每个场地都承办两个项目，则有种安排； 综上可得一共有种不同的安排方法. 故选：C 33．（2023·24高二下·重庆·阶段练习）某医院要派2名男医生和4名女医生去，，三个地方义诊，每位医生都必须选择1个地方义诊.要求，，每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去地，则不同的安排方案为（    ） A．120种 B．144种 C．168种 D．216种 【答案】D 【详解】设2名男医生分别为甲、乙， 若乙去，则甲可能去或，有2种结果； 若乙去，则甲可能去或，有2种结果； 若乙去，则甲可能去或，有2种结果， 共有6种结果； 将4名女医生分配到，，三个地方，分为211三组， 可能的结果有种， 所以满足题意的有种结果. 故选：D 34．（2023·24高二下·安徽安庆·期中）某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导，要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有 种． 【答案】 【详解】先将4名教师分成3组的方法有种， 将3组教师分配指导3个运动兴趣小组的方法有种， 所以总的分派方法共有种. 故答案为：. 题型七 几何涂色问题 35．（2023·24高二下·江苏·期中）如图所示，一环形花坛分成四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为（ ） A．96 B．84 C．60 D．48 【答案】B 【详解】由题意，当用4种颜色时，有种方法； 当用3种颜色时，则同色或同色，有种方法； 当用2种颜色时，则同色且同色，有种方法； 故共有种方法. 故选：B. 36．（2023·24高二下·江苏无锡·期中）在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．420种 B．360种 C．540种 D．300种 【答案】A 【详解】选用三种颜色时，必须1,5同色，2，4同色，此时有种； 选用四种颜色时，必须1,5同色或2，4同色，此时有种； 选用五种颜色时，有种， 所以一共有种， 故选：A. 37．（2023·24高二下·吉林辽源·阶段练习）用5种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？（    ） A．240 B．480 C．120 D．200 【答案】A 【详解】根据题意，“英语角”、“语文学苑”和“理综世界” 两两相邻，有种方案， 而“数学天地”只和“理综世界”相邻，只要和“理综世界”的颜色不同即可，故有4种方案， 总共有种方法. 故选：A 38．（2023·24高二下·广东深圳·阶段练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色，米白色，橄榄绿，薄荷绿，现在给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，则共有（    ）种不同的涂色方法.    A．108 B．96 C．84 D．48 【答案】A 【详解】若选2种颜色，则①③同色，②④同色，共有种涂色方法； 若选3种颜色，则①③或者②④或者①④中必有两块区域同色，另两块区域不同色，共有种涂色方法； 若选4种颜色，共有种涂色方法； 故共有（种）涂色方法， 故选：A 39．（2023·24高二下·江苏南京·阶段练习）将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有 不同的涂色方法. 【答案】 【详解】图中区域分别为，，，，，则分类讨论， 若、同色，先涂，方法有种，再涂、，方法有种，最后涂、， 共有种不同方法． 若、不同色，先涂，方法有种，再涂、，方法有， 最后涂、只有种方法，所以若、不同色时共有种不同方法， 综上，所有的涂法共有种. 故答案为： 40．（2023·24高二下·重庆黔江·阶段练习）在如图所示的三棱锥中，现有红、黄、蓝、绿4种不同的颜色供选择，要求相邻两个顶点不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有 ． 【答案】 【详解】依题意，先涂点，有种颜色可供选择； 再涂点，有种颜色可供选择； 接着涂点，有种颜色可供选择； 最后涂点，只有种颜色可供选择； 综上，利用分步乘法计数原理，不同的涂色方法共有. 故答案为：. 题型八 数字排列问题 41．（2023·24高二下·贵州·期中）由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（    ） A．120种 B．144种 C．48种 D．24种 【答案】A 【详解】若最高位是5，则个位可以是0或2或4，其它位任意排列，共有种， 若最高位是4，则个位可以是0或2，其它位任意排列，共有种， 所以比400000大的偶数的排列方法一共有种． 故选：A． 42．（2024·四川雅安·三模）从三个数字组成的没有重复数字的三位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为由1，2，3组成没有重复数字的三位数的个数为；， 由1，2，3组成没有重复数字的三位数的偶数的个数为：， 所以由1，2，3组成没有重复数字的三位数，从中任取一个为偶数的概率为. 故选：D 43．（2023·24高二下·北京·期中）从，，，，这五个数字中任取3个，从2，4，6，8这四个数中任取2个，组成数字不重复的五位数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从1，3，5，7，9中任取三个数有种方法， 从2，4，6，8中任取两个数有种方法， 再把取出的5个数全排列共有种， 故一共可以组成数字不重复的五位数的个数是. 故选：C. 44．（2023·24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如213、435等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（    ） A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，各位数字之和为9的个数为6 C．在组成的三位数中，比300大的个数为36 D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24 【答案】AC 【详解】依题意，组成的三位数的个数为，故A正确； 各位数字之和为9的有；两种组合，故各位数字之和为9的个数为，B错误； 比300大，则百位上的数可以为3，4，5，比300大的个数为，C正确； 将这些“凸数”分为三类：①十位为1，则有（种）；②十位为2，则有（种）； ③十位为3，则有（种），所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为，故D错误． 故选：AC. 45．（2023·24高二下·湖北武汉·阶段练习）（多选）数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（    ） A．四位回文数有45个 B．四位回文数有90个 C．（）位回文数有个 D．（）位回文数有个 【答案】BD 【详解】据题意，对于四位回文数，有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……9009、9119、9229、……、9999，共90个，则A错误，B正确； 对于2n位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第n和第n+1位也有10种，则共有9×10×10×……×10＝9×10n-1种选法，故C错； 对于2n+1位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第n+1个数字，即最中间的数字有10种选法， 则共有9×10×10×……×10＝9×10n种选法，即2n+1（n∈N*）位回文数有9×10n个，所以 D正确． 故选：BD． 46．（2023·24高二下·安徽马鞍山·期末）如果一个四位数各个位数上的数字之和为8，则称这个四位数为“幸运数”，那么总共有 个“幸运数”． 【答案】 【详解】①若有个，则为，共个； ②若有个，则另外两个数为，，，，则有个； ③若有个，则另外三个数为，，，，， 则有个； ④若没有，则为，，，，， 则有个； 综上一共有个. 故答案为： 47．（2023·24高二下·浙江杭州·期中）如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为“好数”（如201，325等），那么由数字1，2，3，4，5能组成 个无重复数字的“好数”. 【答案】20 【详解】当首位为2，中间位置为1有3个好数； 当首位为3，中间位置为1有3个好数；中间位置为2有2个好数； 当首位为4，中间位置为1有3个好数；中间位置为2有2个好数；中间位置为3有1个好数； 当首位为5，中间位置为1有3个好数；中间位置为2有2个好数；中间位置为3有1个好数； 综上，共有20个无重复数字的好数. 故答案为：20 48．（2023·24高二下·江苏淮安·期中）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数. (1)在组成的五位数中，所有偶数的个数有多少? (2)在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第几个? (3)在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有多少? 【答案】(1)60 (2)51 (3)36 【详解】（1）由题在组成的五位数中，所有的偶数有两类： 第一类是首位即最高位和末尾数均为偶数的数共有个， 第二类是首位即最高位为奇数、末尾为偶数的数共有个， 所以在组成的五位数中，所有偶数的个数有. （2）1或2排在首位的数共有个， 则接下来按从小到大排列的数是， 所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第51个. （3）将数字2和3捆绑在一起作为一个整体， 根据最高位不为0可得在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有个. $$猜想01 排列组合高频题型归类 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 分类加法及分步乘法 · 题型二 特殊位置法 · 题型三 捆绑法和插空法 · 题型四 定序问题 · 题型五 间接法 · 题型六 分组分配问题 · 题型七 几何涂色问题 · 题型八 数字排列问题 题型一 分类加法及分步乘法 1．（2024·25高二上·湖南·期中）某学校高二年级拟举办艺术节，要求各班级从《黄河大合唱》，《我和我的祖国》，《北京欢迎你》，《我爱你中国》和《我们走在大路上》这五首指定曲目中任选一首作为表演节目，则高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·24高二下·江苏扬州·期中）学校为丰富高中生的课外生活，开设了兴趣小组，有3名学生想要报名书法、绘画、篮球、羽毛球兴趣小组，每人限报1项、则不同的报名方式种数有（    ） A． B．36 C．24 D． 3．（2024·25高三上·上海宝山·期中）由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，，，…，若，则 ． 4．（2023·24高二下·山东青岛·期中）在如图所示的九宫格中填入数字和字母，已知三个字母：都填到九宫格中且不能在同一行同一列，其他每格只能从数字中选择一个填入，有公共边的两个格数字不相同，则不同的填法种数为（    ） A．5230 B．3619 C．4758 D．5184 5．（2023·24高二下·河北·期中）如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（    ）    A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 题型二 特殊位置法 6．（2025·河南·一模）已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．（2024·25高二上·辽宁葫芦岛·期末）现将包含球的5个不同的小球放入包含甲盒的四个不同的盒子里，每盒至少一球.其中小球不放入甲盒中，则不同安排方案的种数是（    ） A．180 B．168 C．120 D．90 8．（2024·25高三上·湖北武汉·阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（   ）种 A．114 B．120 C．126 D．132 9．（2024·25高二下·福建厦门·期中）（多选）某市文化局组织了一次“送戏下乡”活动，共有个节目，且小品和相声各一个，若小品不排在第一位，相声不排在最后一位，则不同的排法种数为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·25高二下·福建厦门·阶段练习）5名学生和1位老师站成一排照相，则老师不排在两端的排法有 种. 11．（2024·25高二下·江西·阶段练习）20名同学排成一个4行5列的矩形方阵，要求其中的甲、乙、丙三人中任意两人不在同一行也不在同一列，则这20名同学不同的站法种数为（   ） A． B． C． D． 题型三 捆绑法和插空法 12．（2024·25高二下·陕西·阶段练习）2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情．齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽．为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”．假设6人站成一排，要求三位“80后”相邻，两位“90后”不相邻，则不同的站法共有（    ） A．32种 B．48种 C．64种 D．72种 13．（2024·25高二下·山东济宁·阶段练习）五种不同商品在货架上排成一排，其中两种必须连排，而两种不能连排，则不同的排法共有（    ）种. A．24种 B．36种 C．72种 D．120种 14．（2024·25高二下·山东·阶段练习）为庆祝中国共产主义青年团成立101周年，某学校5月份组织部分学生参与“地图上的青运史”打卡活动，计划一天内参观完①山东省建团纪念馆、②王尽美邓恩铭雕像纪念广场、③“四五”烈士纪念碑、④泺口九烈士纪念碑、⑤中共济南乡师党史陈列室、⑥山东省团校这6个地方．结合实际对参观路线顺序的规划如下：去②⑤参观的顺序相邻且去①参观在去③和⑥参观的前面（不一定相邻），则不同的参观安排种数是（    ） A．60 B．80 C．120 D．240 15．（2024·25高二上·辽宁·期末）国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（   ） A．84 B．120 C．504 D．720 16．（2025·河北·三模）若甲、乙等6人随机排一排照相，则甲、乙不在两端也不相邻的概率为 . 17．（2024·25高二下·河北沧州·阶段练习）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法? 题型四 定序问题 18．（2023·24高三上·江苏·开学考试）甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．360 B．480 C．600 D．720 19．（2023·24高二下·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有 种. 20．（2023·24高二下·福建福州·期中），等6人排成一列，则在的前面的排法种数是 种．（用数字作答） 21．（2023·24高二下·湖北武汉·期中）三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．350 B．140 C．560 D．280 题型五 间接法 22．（2025·云南·一模）某年级有个班，每个班有名学生，现要从该年级中选取名学生参加知识竞赛，要求班和班共至少有名学生入选，且班和班共入选的学生人数不能为人，不同的选法有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 23．（2024·内蒙古包头·三模）一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类节目，则同类节目不相邻的安排方式共有（    ） A．44种 B．48种 C．72种 D．80种 24．（2023·24高二下·北京顺义·期末）2016年11月30日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生活与民俗系统.《传统廿四节气歌》中的“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的个节气.某个小组在参加“跟着节气去探究”综合实践活动时，要从个节气中选择个节气，且个节气不在同一个季节，那么不同的选法有（    ） A．60种 B．种 C．276种 D．432种 25．（2024·贵州遵义·二模）某校开展劳动技能比赛，高三（1）班有3名男生，5名女生报名参赛，现从8名同学中选4名同学代表班级参加比赛，要求男女生各至少1人，则不同的选派方案共有 种． 26．（2024·25高三·上海·随堂练习）某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为 ． 27．（2023·24高二下·陕西咸阳·期末）中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音阶，排成一个没有重复音阶的五音音序，且商、角、徵不全相邻，则可排成的不同音序有 种.（用数字作答） 题型六 分组分配问题 28．（2023·24高二下·四川达州·期中）有5名大四学生报名参加公开招聘考试，总共有三个岗位，每人限报一个岗位，若这三个岗位都至少有1人报考，则这5名大四学生不同的报考方法总数有（    ） A．144 B．150 C．196 D．256 29．（2023·24高二下·河南濮阳·期末）2024年5月15日是全国低碳日，5月13-19日是全国节能宣传周．现有5位工作人员要到3个社区进行节能宣传，要求每个社区至少派1位工作人员，且每位工作人员只去1个社区，则不同的分派方法种数为（    ） A．92 B．108 C．124 D．150 30．（2023·24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有（    ） A．240种 B．150种 C．60种 D．180种 31．（2023·24高二下·山东济南·阶段练习）若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．54种 32．（2023·24高三下·辽宁·阶段练习）某企业举办职工运动会，有篮球、足球、羽毛球、乒乓球4个项目.现有，两个场地承担这4个项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（    ） A．10种 B．12种 C．14种 D．20种 33．（2023·24高二下·重庆·阶段练习）某医院要派2名男医生和4名女医生去，，三个地方义诊，每位医生都必须选择1个地方义诊.要求，，每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去地，则不同的安排方案为（    ） A．120种 B．144种 C．168种 D．216种 34．（2023·24高二下·安徽安庆·期中）某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导，要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有 种． 题型七 几何涂色问题 35．（2023·24高二下·江苏·期中）如图所示，一环形花坛分成四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为（ ） A．96 B．84 C．60 D．48 36．（2023·24高二下·江苏无锡·期中）在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．420种 B．360种 C．540种 D．300种 37．（2023·24高二下·吉林辽源·阶段练习）用5种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？（    ） A．240 B．480 C．120 D．200 38．（2023·24高二下·广东深圳·阶段练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色，米白色，橄榄绿，薄荷绿，现在给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，则共有（    ）种不同的涂色方法.    A．108 B．96 C．84 D．48 39．（2023·24高二下·江苏南京·阶段练习）将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有 不同的涂色方法. 40．（2023·24高二下·重庆黔江·阶段练习）在如图所示的三棱锥中，现有红、黄、蓝、绿4种不同的颜色供选择，要求相邻两个顶点不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有 ． 题型八 数字排列问题 41．（2023·24高二下·贵州·期中）由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（    ） A．120种 B．144种 C．48种 D．24种 42．（2024·四川雅安·三模）从三个数字组成的没有重复数字的三位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 43．（2023·24高二下·北京·期中）从，，，，这五个数字中任取3个，从2，4，6，8这四个数中任取2个，组成数字不重复的五位数的个数是（    ） A． B． C． D． 44．（2023·24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如213、435等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（    ） A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，各位数字之和为9的个数为6 C．在组成的三位数中，比300大的个数为36 D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24 45．（2023·24高二下·湖北武汉·阶段练习）（多选）数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（    ） A．四位回文数有45个 B．四位回文数有90个 C．（）位回文数有个 D．（）位回文数有个 46．（2023·24高二下·安徽马鞍山·期末）如果一个四位数各个位数上的数字之和为8，则称这个四位数为“幸运数”，那么总共有 个“幸运数”． 47．（2023·24高二下·浙江杭州·期中）如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为“好数”（如201，325等），那么由数字1，2，3，4，5能组成 个无重复数字的“好数”. 48．（2023·24高二下·江苏淮安·期中）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数. (1)在组成的五位数中，所有偶数的个数有多少? (2)在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第几个? (3)在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有多少? $$