专题09切线的有关计算与证明题型总结（7大模型）-2025年中考数学答题技巧与模板构建（全国通用）

专题09切线的有关计算与证明题型总结 题型解读｜模型构建｜通关试练 切线的有关计算与证明是中考考查的热点，通常出现在选择题中．考查的重点是切线的性质和判定，题型多样，常与三角形、四边形、相似、函数等知识结合在一起综合考查． 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、切线的性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 3. 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 4、三角形的内切圆与内心 （1）三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 （2）三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 3.内切圆及有关计算。 ①三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 ②△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 ③S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 模型01 切线的有关证明问题（直接用判定定理证明） 考｜向｜预｜测 切线的有关计算与证明是中考考查的高频考点问题，难度中等，主要考查的题型为解答题，分值在10分左右，常考查的方向有切线的判定、利用切线的性质进行角和线段的计算、证明线段或角之间的关系、求一个角的三角函数值，常用的知识点有全等三角形的性质与证明、等腰三角形、相似三角形的性质与证明、锐角三角函数。 答｜题｜技｜巧 在应用判定定理时注意： （1）切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． （2）切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． （24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，与的边相交于点，与相切于点、与边交于点，，是的直径． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 1．（24-25九年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是的直径，P为外一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 2．（2025·贵州·模拟预测）如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)判断的形状，并说明理由； (3)当时，求的长． 3．（2025·湖北恩施·一模）如图，内接于，且为直径，的角平分线交雨点E，交于点D，交过点B的一条直线于点F，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 模型02 切线的有关证明问题（连半径证垂直） 考｜向｜预｜测 切线的有关计算与证明是中考考查的高频考点问题，难度中等，主要考查的题型为解答题，分值在10分左右，常考查的方向有切线的判定、利用切线的性质进行角和线段的计算、证明线段或角之间的关系、求一个角的三角函数值，常用的知识点有全等三角形的性质与证明、等腰三角形、相似三角形的性质与证明、锐角三角函数。 答｜题｜技｜巧 在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．直线与圆有公共点，连半径，证垂直； 若图中有90°角时，常用的方法有 （1）利用等角代换证明：通过互余的两个角之间的等量代换得证； （2）利用平行线性质证明：如果有与要证的切线垂直的直线，则证明 半径与这条直线平行即可； （3）利用三角形全等或相似证明：通过证明切线所在的三角形与含90°角的三角形全等或相似； 若图中无90°角时； 用等腰三角形的性质证明：通过圆心与切点的连线为所在等腰三角形的中线或角平分线，根据“三线合一”的性质得证. （2022·江苏宿迁·二模）如图：四边形内接于，为的直径，点平分，过点的直线分别交、的延长线于点、，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的面积． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，四边形，，点是边上一点，且平分，作的外接圆，点在上． (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，，求的长． 5．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，是的直径，点A在上，点C在的延长线上，，平分交于点D，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 6．（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，，E是的中点，连接并延长到点F，使．连接交于点D，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的长． 模型03 切线的有关证明问题（作垂直证半径） 考｜向｜预｜测 切线的有关计算与证明是中考考查的高频考点问题，难度中等，主要考查的题型为解答题，分值在10分左右，常考查的方向有切线的判定、利用切线的性质进行角和线段的计算、证明线段或角之间的关系、求一个角的三角函数值，常用的知识点有全等三角形的性质与证明、等腰三角形、相似三角形的性质与证明、锐角三角函数。 答｜题｜技｜巧 在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”，直线与圆不确定有无公共点时，作垂线，证相等. 常用的方法是自圆心向这条直线作垂线，通过角平分线的性质，三角形全等等方法证明垂线段等于半径. （23-24九年级·全国·假期作业）如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 7．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 8．（2024·广西梧州·二模）如图，是的角平分线，，以点为圆心，为半径画圆，过点作的垂线，交的延长线于点D (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 9．（2024·上海·模拟预测）如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 模型04 有关切线的性质的计算与证明 考｜向｜预｜测 有关切线的计算与证明是中考考查的热点问题，难度中等，主要考查的题型为解答题，分值在10分左右，常考查的方向有利用切线的性质进行角和线段的计算、证明线段或角之间的关系、求一个角的三角函数值，常用的知识点有全等三角形的性质与证明、等腰三角形、相似三角形的性质与证明、锐角三角函数。 答｜题｜技｜巧 解决与切线有关的线段问题时，常需构造直角三角形（切线垂直 于过切点的半径或直径所对的圆周角为直角)，利用勾股定理或锐角三角函数求解，有时也会根据圆中相等的角得到相似三角形，根据相似三角形对应边成比例建立等式来解决； (2)解决与切线有关的角度问题时，往住与圆周角、圆心角有关，求解过程中有时需要作出合适的辅助线，构造与所求角有关的圆心角或直角三角形进行求解，特别注意一些特殊角，如直径所对的圆周角等于90°、和圆的半径相等的弦所对的圆心角等于60°，切线与过切 点的半径或直径所构成的角等于90°， （2025·山东济南·一模）如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求线段的长． 10．（24-25九年级下·浙江·期末）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 11．（2025·安徽·模拟预测）如图，是⨀O的直径，P是⨀O外一点，连接交⨀O于点C，，分别切⨀O于点B，D，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，，求长． 12．（2025·山西朔州·一模）如图，是的直径，直线l与相切于点C，连接，于E，的延长线交直线l于点D． (1)试判断和的大小关系，并说明理由； (2)若的半径为2，，求的长． 模型05 切线长定理的有关计算与证明 考｜向｜预｜测 切线长定理是圆的考点之一，通常以选择、填空的形式出现，也可以以解答题的形式进行考查，分值在3-8分左右，常见的考向有利用切线长定理求线段、周长问题，证明垂直关系，与弧长和扇形结合求弧长和面积 答｜题｜技｜巧 切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． （24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，是的切线，切点为A、B，，点D，C分别是上的点，平分的半径是6，设． (1)求证：是的切线； (2)求y关于x的函数解析式； (3)梯形的面积为，求的长． 13．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，为圆O直径，，与圆O相切于点E，于点F，交于点G，若． (1)求的长度． (2)求的长度． (3)求的长度． 14．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，P是外的一点，是的两条切线，A、B是切点，交于点F，延长交于点C，交的延长交于点Q，连结． (1)求证：； (2)设D为的中点，交于点E，若的半径为3，，求的值． 15．（24-25九年级上·北京顺义·期末）如图，点为外一点，过点作的切线和，切点分别是点和点，连接，直线与交于点和点，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 模型06 切线的作图及计算问题 考｜向｜预｜测 切线的有关作图问题，是中考考点之一，考查的频率不是很高，考向主要是作出圆的切线、根据条件作图圆，然后利用切线的性质进行有关的计算与证明，如果在试题中出现，分值在3-7分左右。 答｜题｜技｜巧 解答切线的有关作图问题主要是掌握切线的性质和判定方法、常见的基本作图，如做一条等于已知线段、作一个角等于已知角、作一个角的角平分线、作线段的垂直平分线等. （24-25九年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形中，连接对角线． (1)根据下列要求作出．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ①圆心在边上； ②与边相切； (2)在（1）的条件下，连接交于点，若，猜想线段和的数量关系，并证明． 16．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作的内切圆，并分别标出和、、相切的切点；（要求：保留作图痕迹，不写做法，不需证明） (2)连接、，四边形是正方形吗？为什么？ (3)若，，求的半径的长． 18．（2023·河南洛阳·二模）如图，在中，，以中点为圆心，长为半径作，交于点，交于点． (1)①请用无刻度的直尺和圆规过点作的切线，连接并延长交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） ②证明：． (2)若，求的长． 模型07 内切圆与外接圆的综合应用 考｜向｜预｜测 圆的内切圆和外接圆问题，是中考的考向之一，通常考查内切圆和外接圆的性质，常与角平分线、线段的垂直平分线、相似三角形、三角函数等内容结合在一起. 答｜题｜技｜巧 解决内切圆和外接圆问题，主要是掌握并区别其性质。三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，它到三角形三个顶点的距离相等 （2025九年级下·全国·专题练习）如图，点I是的内心，的延长线与的外接圆交于点D，与交于点E，延长、相交于点F，的平分线交于点G．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 19．（2025九年级下·浙江·专题练习）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 20．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 一、解答题 1．（2024·西藏·中考真题）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 2．（2023·四川资阳·中考真题）如图，已知的圆心O在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结． (1)若，求证：是的切线； (2)若，求的半径． 3．（2024·内蒙古·中考真题）如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若． ①求的长； ②求的半径． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．    (1)求证：是的切线； (2)求的长． 5．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 6．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 7．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分； (2)如果，，求的半径． 10．（2023·山东滨州·中考真题）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：； (4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．） 11．（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 12．（2023·山东·中考真题）如图，已知是的直径，，切于点，过点 作交于点，若．    (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，是上一点，在上取一点，使，连接．请问：三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论． 一、解答题 1．（2025·四川成都·一模）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 2．（2025·四川泸州·一模）如图，点在以为直径的 上，点在的延长线上，． (1)求证：是 的切线； (2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若， ， 求的长． 3．（2025·浙江金华·一模）如图，在ABC中，，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 4．（2025·四川泸州·一模）如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点，过点作分别交、的延长线于点、． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)连接，交于点，若，，求的长度． 5．（2025·陕西西安·一模）如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 6．（24-25九年级下·河北廊坊·开学考试）如图1，在矩形中，点在对角线上，以的长为半径的与，分别交于点，，且． (1)求证：； (2)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (3)如图2，若点落在线段的垂直平分线上，，求的半径． 7．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，是的外接圆，连接并延长交于点．点是的内心，连接并延长交于点，过点作直线，延长交于点，连接，过点作的平行线交于点．已知． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的半径； (3)求证：． 8．（2025·湖北黄石·一模）如图，内接于，为直径，作交于点E，且．    (1)求证：直线是的切线． (2)如果，，求图中阴影部分的面积． 9．（24-25九年级上·北京东城·期末）如图，在中，，以边为直径作交于点D，连接并延长交的延长线于点E，点P为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求的长． 10．（2025·陕西西安·一模）如图，，是的切线，，为切点，延长，与，延长线交于点，点． (1)求证：； (2)过点作交于点．若，．求的长． 12．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，内接于，的平分线交于点，过作分别交，的延长线于点，．    (1)求证：是的切线； (2)已知，，点为的内心，求的长． 13．（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明： (1)所在的直线经过点I； (2)点D是的中点． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09切线的有关计算与证明题型总结 题型解读｜模型构建｜通关试练 切线的有关计算与证明是中考考查的热点，通常出现在选择题中．考查的重点是切线的性质和判定，题型多样，常与三角形、四边形、相似、函数等知识结合在一起综合考查． 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、切线的性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 3. 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 4、三角形的内切圆与内心 （1）三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 （2）三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 3.内切圆及有关计算。 ①三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 ②△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 ③S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 模型01 切线的有关证明问题（直接用判定定理证明） 考｜向｜预｜测 切线的有关计算与证明是中考考查的高频考点问题，难度中等，主要考查的题型为解答题，分值在10分左右，常考查的方向有切线的判定、利用切线的性质进行角和线段的计算、证明线段或角之间的关系、求一个角的三角函数值，常用的知识点有全等三角形的性质与证明、等腰三角形、相似三角形的性质与证明、锐角三角函数。 答｜题｜技｜巧 在应用判定定理时注意： （1）切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． （2）切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． （24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，与的边相交于点，与相切于点、与边交于点，，是的直径． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径长为 【分析】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，相似三角形的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键． （1）连接，，由与相切于点，得出，根据，得出，，继而得出，证明，进而得出，即可得证； （2）连接，，根据切线长定理得出，勾股定理得出，证明，设的半径为，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵与相切于点， ∴，即， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：连接，， ∵,是的切线， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 设的半径为， ∴， 即， 解得：． 1．（24-25九年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是的直径，P为外一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理，相似三角形的性质和判定，切线的判定等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 对于（1），根据直径所对的圆周角是直角得，再根据平行线的性质得，进而得出，即可得出答案； 对于（2），先根据勾股定理求出，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴为的切线； （2）∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 2．（2025·贵州·模拟预测）如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)判断的形状，并说明理由； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 (3)4 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质证出，由切线的判定可得出结论； （2）由垂径定理得出，，证出，由直角三角形的性质得出，则可得出结论； （3）由（2）可知，，，则可得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2）解：为等腰三角形， 理由： ， ，， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ， ，， ， ， 即为等腰三角形； （3）解：由（2）可知，，， ， ， ， ， ． 3．（2025·湖北恩施·一模）如图，内接于，且为直径，的角平分线交雨点E，交于点D，交过点B的一条直线于点F，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)3． 【分析】（1）连接．证明，是的中垂线，可得，可得，进一步证明，结合，可得，从而可得结论； （2）过点E作于M，证明，，证明，可得，设，则，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：连接． ∵是的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴是的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，且是的直径 ∴是的切线． （2）解：过点E作于M， ∵平分，，， ∴，， 在与中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得 ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 模型02 切线的有关证明问题（连半径证垂直） 考｜向｜预｜测 切线的有关计算与证明是中考考查的高频考点问题，难度中等，主要考查的题型为解答题，分值在10分左右，常考查的方向有切线的判定、利用切线的性质进行角和线段的计算、证明线段或角之间的关系、求一个角的三角函数值，常用的知识点有全等三角形的性质与证明、等腰三角形、相似三角形的性质与证明、锐角三角函数。 答｜题｜技｜巧 在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．直线与圆有公共点，连半径，证垂直； 若图中有90°角时，常用的方法有 （1）利用等角代换证明：通过互余的两个角之间的等量代换得证； （2）利用平行线性质证明：如果有与要证的切线垂直的直线，则证明 半径与这条直线平行即可； （3）利用三角形全等或相似证明：通过证明切线所在的三角形与含90°角的三角形全等或相似； 若图中无90°角时； 用等腰三角形的性质证明：通过圆心与切点的连线为所在等腰三角形的中线或角平分线，根据“三线合一”的性质得证. （2022·江苏宿迁·二模）如图：四边形内接于，为的直径，点平分，过点的直线分别交、的延长线于点、，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：连接、， ∵点平分弧， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵. ∴， ∴ ∴， ∴， ∴为的切线； （2）∵在中，，， 又∵， ∴； 设，，则由勾股定理得：， ∵在中，，则， 又∵在中，，， ∴，即∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角，弧，勾股定理，三角函数等，能够根据实际情况添加辅助线是解决本题的关键． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，四边形，，点是边上一点，且平分，作的外接圆，点在上． (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据切线的判定定理证明结论． （2）过点作的垂线，垂足于点，根据勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：过点作的垂线，垂足于点，如图： ， 则四边形为矩形， 的半径为，， ， ， 由勾股定理得，， ， ； 5．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，是的直径，点A在上，点C在的延长线上，，平分交于点D，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直径对的圆周角是直角，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到．根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到．求得．连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ． ． ， ． ∵， ． ． ． 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ． ． ∴． ． ． 如图，连接， 平分， ． ． ． 是的直径， ． ． ． 6．（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，，E是的中点，连接并延长到点F，使．连接交于点D，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键． （1）连接，由已知可得，根据证明，根据全等三角形的对应角相等可得，继而可证明直线是的切线； （2）由（1）的全等可知，利用勾股定理求出的长，然后由，即可求出． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径，， ∴， ∵是的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴直线是的切线； （2）解：∵，由（1）得：， ， ， ， 即， ∴． 模型03 切线的有关证明问题（作垂直证半径） 考｜向｜预｜测 切线的有关计算与证明是中考考查的高频考点问题，难度中等，主要考查的题型为解答题，分值在10分左右，常考查的方向有切线的判定、利用切线的性质进行角和线段的计算、证明线段或角之间的关系、求一个角的三角函数值，常用的知识点有全等三角形的性质与证明、等腰三角形、相似三角形的性质与证明、锐角三角函数。 答｜题｜技｜巧 在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”，直线与圆不确定有无公共点时，作垂线，证相等. 常用的方法是自圆心向这条直线作垂线，通过角平分线的性质，三角形全等等方法证明垂线段等于半径. （23-24九年级·全国·假期作业）如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）过点作于点，先由∠AOD=∠BAD推得∠ABD=∠OAD，再由∠BCO=∠D=90°及∠BOC=∠AOD推得∠OBC=∠OAD=∠ABD，最后证△BOC≌△BOE可得∠OEB=∠BCO=90°，最后根据切线的定义即可证明： （2）先证明∠EOA=∠ABC，在Rt△ABC中解三角形可得AC=24、A8=26，然后由切线长定理知BE=BC=10，进一步求得BO；再证明，最后相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】解：（1）过点作于点， 于点， ， ，， ， ， 又为的切线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是的切线； （2），， ， ，， ， 则， 由（1）知， ， ， ， ，， ，， ， ，即， ． 【点睛】本题主要考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用，掌握切线的判定、切线长定理、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 7．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质求出，的长，勾股定理求出，连接，过O作于点H，利用面积法求出，勾股定理求出，即可根据等腰三角形的性质求出的长． 【详解】（1）证明：连接，过点O作于点P， ∵与相切于点D． ∴， ∵是等腰直角三角形，，点O为的中点， ∴， ∴，即是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，，， ∴，， ∵点O为的中点， ∴， ∵ ∴， 在中， 连接，过O作于点H， ∴， ∴ ∵， ∴．    【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键． 8．（2024·广西梧州·二模）如图，是的角平分线，，以点为圆心，为半径画圆，过点作的垂线，交的延长线于点D (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识： （1）过点作垂足为点，根据角平分线性质定理可得从而可知为的切线（作垂直证相等）； （2）根据勾股定理得设的半径为，得由切线长定理得 在中由勾股定理求得再证明列出比例式即可求出． 【详解】（1）证明：过点作垂足为点，如图， ∴ 由作图知，是的切线，且 ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∴是的切线； （2）解：在中， ∵ ∴ ∵是的切线，是的切线， ∴ ∴ 设的半径为，则 ∴ 在中， ∴， 解得， 在中， ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 9．（2024·上海·模拟预测）如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）如图，连接，过点作于，证明，得到，即可求证； （）连接，并反向延长交于，连接，可得，得到，，进而得为等腰直角三角形，得到，设的半径为，则，，可得，即得，得到，即可得，得到，，再由可得，得到，最后利用勾股定理得到，进而利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）证明：如图，连接，过点作于， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：连接，并反向延长交于，连接， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设的半径为，则，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 模型04 有关切线的性质的计算与证明 考｜向｜预｜测 有关切线的计算与证明是中考考查的热点问题，难度中等，主要考查的题型为解答题，分值在10分左右，常考查的方向有利用切线的性质进行角和线段的计算、证明线段或角之间的关系、求一个角的三角函数值，常用的知识点有全等三角形的性质与证明、等腰三角形、相似三角形的性质与证明、锐角三角函数。 答｜题｜技｜巧 解决与切线有关的线段问题时，常需构造直角三角形（切线垂直 于过切点的半径或直径所对的圆周角为直角)，利用勾股定理或锐角三角函数求解，有时也会根据圆中相等的角得到相似三角形，根据相似三角形对应边成比例建立等式来解决； (2)解决与切线有关的角度问题时，往住与圆周角、圆心角有关，求解过程中有时需要作出合适的辅助线，构造与所求角有关的圆心角或直角三角形进行求解，特别注意一些特殊角，如直径所对的圆周角等于90°、和圆的半径相等的弦所对的圆心角等于60°，切线与过切 点的半径或直径所构成的角等于90°， （2025·山东济南·一模）如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质定理得到，根据平行线的判定定理得到，得到，得到，即可得到结论； （2）证明，求出，证明，求出． 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （2）解：， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 10．（24-25九年级下·浙江·期末）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查相似三角形，圆的切线，勾股定理，三角形的外角等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，圆的切线定理，勾股定理的应用，三角形的外角和的应用，进行解答，即可． （1）根据题意，可得，根据三角形的外角和，即可； （2）根据相似三角形的判定和性质，可得，，利用勾股定理求出，可得，求出，再根据，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（2025·安徽·模拟预测）如图，是⨀O的直径，P是⨀O外一点，连接交⨀O于点C，，分别切⨀O于点B，D，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质得出，，得出，则可得出结论； （2）由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）（1）证明：连接， ∵，分别切⨀O于点B，D， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵切⊙O于点D， ∴， ∴， ∵， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 12．（2025·山西朔州·一模）如图，是的直径，直线l与相切于点C，连接，于E，的延长线交直线l于点D． (1)试判断和的大小关系，并说明理由； (2)若的半径为2，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，做出正确辅助线，熟练利用角度的转换得到是解题的关键． （1）连接，利用切线的性质可得，再根据角度的转换即可得到； （2）根据勾股定理求得的长，再利用垂径定理得到，解直角三角形即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接， 直线l与相切于点C， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是直径， ， 根据勾股定理可得， ， ， ， ， 即， ． 模型05 切线长定理的有关计算与证明 考｜向｜预｜测 切线长定理是圆的考点之一，通常以选择、填空的形式出现，也可以以解答题的形式进行考查，分值在3-8分左右，常见的考向有利用切线长定理求线段、周长问题，证明垂直关系，与弧长和扇形结合求弧长和面积 答｜题｜技｜巧 切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． （24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，是的切线，切点为A、B，，点D，C分别是上的点，平分的半径是6，设． (1)求证：是的切线； (2)求y关于x的函数解析式； (3)梯形的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）过点O作于点E，则．依据切线的性质可知，接下来证明，依据全等三角形的性质可知，可证得结论； （2）过点D作于点F，则．由切线长定理可得：，则，在中依据勾股定理可得到y与x的函数关系式； （3）设，由（2）可知，由梯形面积公式可得，再求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点O作于点E，则． ∵与相切于点A， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点D作于点F， ∵是的切线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由切线长定理得：， ∵， ∴， 在中，，即， 化简得； （3）解：∵梯形是直角梯形，则， 设，由（2）可知， ∴， 化简得， 解得或， ∴长为或． 【点睛】本题主要考查的是切线的性质和判定，切线长定理，梯形的面积，解答本题主要应用了切线的性质和判定定理、全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 13．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，为圆O直径，，与圆O相切于点E，于点F，交于点G，若． (1)求的长度． (2)求的长度． (3)求的长度． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）根据切线的判定定理得到都是圆O的切线，根据切线长定理分别求出，进而求出结果即可； （2）证明，根据相似三角形的性质求出结果即可； （3）证明，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 本题考查的是切线长定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用切线长定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为圆O直径，， ∴都是圆O的切线， ∵与圆O相切于点E， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得： ； （3）解：过点D作于H， 则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得： ． 14．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，P是外的一点，是的两条切线，A、B是切点，交于点F，延长交于点C，交的延长交于点Q，连结． (1)求证：； (2)设D为的中点，交于点E，若的半径为3，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1 ）连接，由等腰三角形三线合一与直径所对的圆周角是直角得同位角相等． （2 ）在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，因此，，又由中位线定理得， ，因此设，则，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的两条切线，A、B是切点， ∴，且平分， ∴． ∵是直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：连结，如图， ∵∵是的两条切线，A、B是切点， ∴． 在中，， ∴． 由，得． 在中，， ∴， 由，得， 解得， ∴． ∵， ∴． 又∵D为的中点， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形判定与性质，三角形中位线的判定与性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线构造三角形相似． 15．（24-25九年级上·北京顺义·期末）如图，点为外一点，过点作的切线和，切点分别是点和点，连接，直线与交于点和点，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长的性质可证，得到，由等腰三角形的定义即可求解； （2）连接，可得，由全等三角形的性质可得，则，可得，根据同弧所对圆周角相等可得，则有，设，则，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：，是的切线， ， ∴平分， ． 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：连接， 是的直径， ， ， ． ， 又， ， ，平分， ， ， ， 设，则，有， 即， 解得：（负根舍去），即． 【点睛】本题主要考查切线的性质，切线长的性质，直径对的圆周角是直角，等腰三角形的判定和性质，三角函数的计算，勾股定理等知识的综合运用，掌握切线及切线长的性质，三角函数的计算方法是解题的关键． 模型06 切线的作图及计算问题 考｜向｜预｜测 切线的有关作图问题，是中考考点之一，考查的频率不是很高，考向主要是作出圆的切线、根据条件作图圆，然后利用切线的性质进行有关的计算与证明，如果在试题中出现，分值在3-7分左右。 答｜题｜技｜巧 解答切线的有关作图问题主要是掌握切线的性质和判定方法、常见的基本作图，如做一条等于已知线段、作一个角等于已知角、作一个角的角平分线、作线段的垂直平分线等. （24-25九年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形中，连接对角线． (1)根据下列要求作出．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ①圆心在边上； ②与边相切； (2)在（1）的条件下，连接交于点，若，猜想线段和的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析． 【分析】本题主要考查尺规作图（作角平分线），矩形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）作的平分线，交于点，以为圆心，为半径作圆即可； （2）连接．交于点，证明得，再证明即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作． ； （2）解：． 证明：如图，连接． 由（1），可知． ． 又 ． ． ． 又， ， ． 16．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作的内切圆，并分别标出和、、相切的切点；（要求：保留作图痕迹，不写做法，不需证明） (2)连接、，四边形是正方形吗？为什么？ (3)若，，求的半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 (3)2 【分析】（1）首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心O，然后过点O作边的垂线交于点F，确定半径，继而可求得的 内切圆； （2）连接，根据切线的性质得到，求得，得到四边形 是矩形，根据角平分线的性质得到，求得，得到四边形是正方形； （3）根据正方形的性质得到，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可 得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，为所求： （2）解：四边形是正方形，理由如下： 连接， ∵是的内切圆， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是的内切圆， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴（负值舍去）， 即的半径r的长为2． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了三角形的内切圆与内心，作图一复杂作图,勾股定理，切线的性质，正方形的判定，关键是掌握 三角形的内心是三角形角平分线的交点． 17．（24-25九年级下·福建漳州·阶段练习）如图，在中，，，． (1)已知点在边上，求作，使过点且与相切．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，切线长定理，直角三角形中勾股定理，掌握切线长定理和切线的性质是关键． （1）作的角平分线，交于点O，以O为圆心，为半径画圆即可； （2）设的半径为r，与相切于点D，连接，先利用切线长定理求出，然后利用勾股定理即可求得半径． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的圆； （2）解：设的半径为r，与相切于点D，连接，如图， ∴， ∵， ∴为的切线， ∴， ∵，，． ∴； ∴， 在中，， 解得， 即的半径为． 18．（2023·河南洛阳·二模）如图，在中，，以中点为圆心，长为半径作，交于点，交于点． (1)①请用无刻度的直尺和圆规过点作的切线，连接并延长交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） ②证明：． (2)若，求的长． 【答案】(1)①图见解析；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据过直线上点作已知直线的垂线的方法作图即可； ②连接，由直径所对圆周角为直角得到，根据等腰三角形的性质得到，由切线的性质得到，，由此即可求解； （2）连接，可得，，由为中点，为中点，得到，可证∽，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：①所作图形如图所示， ②证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴，即． （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为中点， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握尺规作垂线的方法，圆的切线的性质，直径所对圆周角为直角，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用等知识，数形结合分析是解题的关键． 模型07 内切圆与外接圆的综合应用 考｜向｜预｜测 圆的内切圆和外接圆问题，是中考的考向之一，通常考查内切圆和外接圆的性质，常与角平分线、线段的垂直平分线、相似三角形、三角函数等内容结合在一起. 答｜题｜技｜巧 解决内切圆和外接圆问题，主要是掌握并区别其性质。三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，它到三角形三个顶点的距离相等 （2025九年级下·全国·专题练习）如图，点I是的内心，的延长线与的外接圆交于点D，与交于点E，延长、相交于点F，的平分线交于点G．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）根据三角形内心的性质得，再利用圆内接四边形的性质得，则，从而得到，则可判断； （2 ）根据三角形内心的性质得，然后证明，即可得到； （3 ）证明，利用相似比得到，则，然后计算即可． 【详解】（1）证明：如图，    ∵点I是的内心， ∴， ∵平分， ∴， ∵四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵点I是的内心， ∴， ∵，即， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及平行线的判定、内接四边形的性质，熟练掌握三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个角是解题的关键． 19．（2025九年级下·浙江·专题练习）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）连接，过点作于，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由，，推出，得到，根据勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】（1）证明： 为的直径， ， 点是的内心， ，， ， ，， ， ； （2）解：连接，过点作于，如图所示： 为的直径，的半径是，， ，是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 20．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证； （2）连接，证出即可得证； （3）连接，，，证出即可得证． 【详解】（1）证明：点I是的内心， 平分， ， ， ， ． （2）证明：如图，连接， 点I是的内心， 平分，平分， ， 又， ， ，， ， ． （3）证明：如图，连接，，， ， ． ， ∴点D是的外心． 【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键. 一、解答题 1．（2024·西藏·中考真题）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据圆周角定理得出，证明，根据平行线的性质得出，得出，即可证明结论； （2）根据，得出，解直角三角形得出，证明，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰三角形的性质，余角的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 2．（2023·四川资阳·中考真题）如图，已知的圆心O在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结． (1)若，求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径长为3 【分析】（1）连接，则，所以，由切线的性质得，则，而，所以，即可推导出，进而证明是的切线； （2）由，得，由是的直径，得，由，，得，而，即可证明，得，则，于是得，求得，则的半径长为3． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵的圆心O在上，且与边相切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的半径长为3． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、切线的判定与性质、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质等知识．综合运用以上知识是解题的关键． 3．（2024·内蒙古·中考真题）如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若． ①求的长； ②求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②． 【分析】（）连接，则，可得，由可得，进而由等腰三角形的性质可得，得到，即可求证； （）①证明得到，据此即可求解；②由①可得，进而得，，利用勾股定理得，再证明，得到，即可得，求出即可求解． 【详解】（1）证明：连接，则， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：①∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质和判定，余角性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．    (1)求证：是的切线； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：是直径，是弦，且， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 5．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接，由角平分线可得，又由可得，即得，由得，进而可得，即得，即可求证； （）是的直径可得，又由（）知，由，，进而可得，再根据，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解； 本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，三角函数，掌握圆的有关定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵，，， ∴ ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即的直径为． 6．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角和对顶角相等可推出，，结合和三角形内角和，从而推出，得证； （2）由（1）可知，可证，推出，再由勾股定理可得，利用点为线段的中点，可得，从而得到，从而得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， 是的切线； （2）解：如（1）图，， 又，， ， ， 的半径为6，， ， ，即， 又点为线段的中点， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 7．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分； (2)如果，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分； （2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵直线与相切于点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分； （2）解：设的半径为r，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键． 8．（2024·天津·中考真题）已知中，为的弦，直线与相切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后利用三角形的内角和得到，然后利用平行线的性质结合圆周角定理解题即可； （2）连接，求出，再在中运用三角函数解题即可． 【详解】（1）为的弦， ．得． 中，， 又， ． 直线与相切于点为的直径， ．即． 又， ． 在中，． ， ． （2）如图，连接． ∵ 直线 与 相切于点 ， ∴ ∵ ∴． ，得． 在中，由， 得． ． 在中，， ． 9．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，是的外接圆，点E是的内心，AE的延长线交BC于点F，交于点D，连接BD，BE． （1）求证：； （2）若，，求DB的长． 【答案】（1）证明过程见详解; （2）DB=6. 【分析】（1）根据三角形的内心得到∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，根据圆周角定理推论得到∠DBC=∠CAD，结合三角形的外角性质，进而根据“等角对等边”证明结论； （2）通过证明△DBF∽△DAB，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵E是△ABC的内心， ∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD， 根据圆周角定理推论，可知∠DBC=∠CAD， ∴∠DBC=∠BAE， ∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE， ∴∠DBE=∠DEB， ∴DE=DB； （2）由（1）知∠DAB=∠CAD，∠DBF=∠CAD, ∴∠DBF=∠DAB. ∵∠D=∠D， ∴△DBF∽△DAB. ∴, ∵DE=DB， ∴, ∵，， ∴, ∴. 【点睛】本题主要考查了三角形的内心，圆周角定理推论，相似的判定与性质，涉及了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角定理.关键是正确理解三角形的内心定义． 10．（2023·山东滨州·中考真题）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：； (4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）过点F作，垂足分别为，则，进而表示出两个三角形的面积，即可求解； （2）过点A作于点，表示出两三角形的面积，即可求解； （3）连接，证明得出，证明，得出，即可，恒等式变形即可求解； （4）连接，证明，得出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点F作，垂足分别为， ∵点是的内心， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图所示，过点A作于点，    ∵， ∴， 由（1）可得， ∴； （3）证明：连接，    ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， （4）解：如图所示，连接，    ∵点是的内心， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内心的定义，同弧所对的圆周角相等，角平分线的性质与定义，相似三角形的性质与判定，三角形的外角性质，三角形的面积公式等知识，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 11．（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 【答案】(1)；；1 (2)见解析 【分析】（1）根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案； （2）证明，推出，，，求得，，根据，列式求得，根据切线的判定定理，即可得到是的切线． 【详解】（1）解：连接，设半径为， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴，，； 在四边形中，， 四边形为矩形， 又因为， 四边形为正方形． 则，则，， 在中，由勾股定理得， ∴，即， 解得， 故答案为：；；1； （2）证明：连接，，，作于点， 设半径为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴是的切线． 【点睛】本题考查切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，三角形的内切圆及勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 12．（2023·山东·中考真题）如图，已知是的直径，，切于点，过点作交于点，若．    (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，是上一点，在上取一点，使，连接．请问：三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据，是半径，可得是的切线，根据是的切线，由切线长定理可得，进而根据，得出，，根据得出，根据垂径定理的推论得出，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质，得出，即可证明； （2）延长至使得，连接，，根据圆内接四边形对角互补得出，证明 ，结合已知条件证明，进而证明 ，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，是半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 延长至使得，连接，，如图所示    ∵ ∴， ∵， ∴ ， ∴， 由（1）可得， 又是直径，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴ ， ∴，     ∴． 即． 【点睛】本题考查了切线的判定，切线长定理，垂径定理的推论，全等三角形的性质与判定，根据特殊角的三角函数值求角度，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 一、解答题 1．（2025·四川成都·一模）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角和对顶角相等可推出，，结合和三角形内角和，从而推出，得证； （2）由（1）可知，可证，推出，再由勾股定理可得，利用点为线段的中点，可得，从而得到，从而得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， 是的切线； （2）解：是的切线 ， ，， ， ， 的半径为6，， ， ，即， 又点为线段的中点， ， ， ， ． 2．（2025·四川泸州·一模）如图，点在以为直径的 上，点在的延长线上，． (1)求证：是 的切线； (2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与相似三角形的判定与性质，勾股定理．正确证明是解决本题的关键． （1）连接，由圆周角定理求得，再利用等角的余角相等求得，据此即可证明是的切线； （2）先证明，设的半径为，得出，在中，利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接 ， ， ， ， 而是的直径， ， ， ， 是的切线， （2），， ， ， 设的半径为， ， 在 中， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 即 ， 经检验是所列方程的解， ． 3．（2025·浙江金华·一模）如图，在ABC中，，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用等腰三角形的性质得到，进而得到，可得，然后根据切线的判定定理可得结论； （）先根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质得到，进而利用三角形的外角性质求得, 进而得，即得，然后解直角三角形求得即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又为的半径， ∴与相切； （2）解：∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，平行线的判定与性质，三角形的外角性质，解直角三角形等知识，能够熟练运用相关知识求解是解题的关键． 4．（2025·四川泸州·一模）如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点，过点作分别交、的延长线于点、． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)连接，交于点，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）连接，由知：，由平分知：，据此可得，继而知，根据利用圆的切线的判定定理即可得证； （2）利用圆周角定理，垂直的定义得到，利用角平分线的定义和相似三角形的判定定理解答即可； （3）作于点，连接，利用垂径定理和矩形的判定与性质得到，，，设，则，利用勾股定理求得值，则可求，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 为圆的半径， 是的切线； （2）证明：连接，如图， 为直径， ， ， ， ， ， 即； （3）解：作于点，连接，如图， 则， ， 四边形是矩形， ，，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ． ，， ， ． ， ． 【点睛】本题考查圆的综合题和切线的判定与性质，圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定于点性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质、矩形的判定与性质、垂径定理等知识点，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 5．（2025·陕西西安·一模）如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，因为，所以，由AD是的直径，得，推导出，即可证明是的切线； （2）因为的半径为5，所以，，由，，得，则，由勾股定理求得，再证明，得，则，且，于是得，求得． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ， ， 是的直径， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：的半径为5， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ，且， ， 解得：， 的长为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．（24-25九年级下·河北廊坊·开学考试）如图1，在矩形中，点在对角线上，以的长为半径的与，分别交于点，，且． (1)求证：； (2)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (3)如图2，若点落在线段的垂直平分线上，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)直线与相切，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查的是圆的综合应用，主要考查矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的切线判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）证明，结合，即可得到结论； （2）连接，证明，，，由得到，得到，即可得到结论； （3）连接，证明，得到，，求出，则，利用含直角三角形得到，即可求出答案． 【详解】（1）证明：矩形， ， ， ； （2）解：直线与相切，理由如下： 连接， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，即， 为半径， 直线与相切； （3）解：连接， 点落在线段的垂直平分线上， ， ， 由（1）得， 在中，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． 7．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，是的外接圆，连接并延长交于点．点是的内心，连接并延长交于点，过点作直线，延长交于点，连接，过点作的平行线交于点．已知． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的半径； (3)求证：． 【答案】(1)证明过程见详解； (2)3 (3)证明过程见详解． 【分析】（1）连接并延长交于，连接，根据直径所对的圆周角是直角得，即，进而得，即可证明直线是的切线； （2）连接，根据三角形外角的性质及角和和差关系证明，进而得，再根据勾股定理即可求解； （3）由两角相等两三角形相似证明，得，进而可得，由，证明四边形是平行四边形，得，，即可得 ． 【详解】（1）证明：连接并延长交于，连接， 是的直径， ，即， ，， ， 即， ， 直线是的切线； （2）解：连接， 是的直径， ， 点是的内心， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 即的半径为3； （3）证明：， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定以及用勾股定理解直角三角形，等腰三角形的判定，三角形内心的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 8．（2025·湖北黄石·一模）如图，内接于，为直径，作交于点E，且．    (1)求证：直线是的切线． (2)如果，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，然后推导，即可解题； （2）先根据正弦得到，即可求出，然后根据解题即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴为的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，等腰三角形的性质，解直角三角形，掌握切线的判定和性质是解题的关键． 9．（24-25九年级上·北京东城·期末）如图，在中，，以边为直径作交于点D，连接并延长交的延长线于点E，点P为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，圆周角定理，得到，斜边上的中线得到，进而得到，等边对等角，得到，根据等角的余角，推出，即可； （2）证明是等边三角形，进而推出，得到，勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， 由（1）知，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，等边三角形的判定性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 10．（2025·陕西西安·一模）如图，，是的切线，，为切点，延长，与，延长线交于点，点． (1)求证：； (2)过点作交于点．若，．求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，圆的切线长定理，圆的切线的性质，等腰直角三角形的判定与三边关系，二次根式，熟练掌握这些性质、判定与定理是解题的关键． （1）由圆的切线长定理得，结合切线的性质，和，即可判定，即可得； （2）判定是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形三边关系得出，由，得出，则可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的切线，，为切点， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（2024·湖南长沙·模拟预测）在中，为的直径，为过C点的切线． (1)如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求的大小； (2)如图②，过点作的切线交于点，求证：； (3)如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆周角定理，切线性质，三角函数的定义； （1）由三角形内角和角的计算问题； （2）连接，则，根据切线长定理得到，则，得到，即可求解； （3）根据，设，，则，再依据，求出，，再求出，即可计算，，最后求值即可． 【详解】（1）由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）连接， ∵为的直径， ∴， ∵为过C点的切线，过点作的切线交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）连接， 由（1）（2）可得，，， ∴， ∴设，，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 12．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，内接于，的平分线交于点，过作分别交，的延长线于点，．    (1)求证：是的切线； (2)已知，，点为的内心，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了切线的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握． （1）连接，根据角平分线的定义得到，根据垂径定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）连接，，根据角平分线定义得到，，推出，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，   的平分线交于点， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2）解：连接，， 点为的内心， 平分，平分， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， （负值舍去）， 的长为． 13．（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明： (1)所在的直线经过点I； (2)点D是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，可证明，得，则平分，再由点I是的内心，证明平分，所以与在同一条直线上，即可证明所在的直线经过点I； （2）连接，推导出，则，再证明，则，再推导出，则，由，，证明，则，所以，即可证明点D是的中点． 【详解】（1）证明：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分， ∵点I是的内心， ∴平分， ∴与在同一条直线上， ∴所在的直线经过点I． （2）证明：连接，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点D是的中点． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、圆的内接三角形的定义、三角形的内心的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$