抢分秘籍 数列通项公式（六大题型）-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（新高考通用）

数列通项公式 目录 【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】定义法求通项公式 【题型二】 累加法求数列通项公式 【题型三】 累乘法求数列通项公式 【题型四】法求通项公式 【题型五】构造法求数列通项公式 【题型六】寻找递推关系式求数列 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点：数列的首项不满足取值规律。 ：1.等差等比数列及求和在高考中主要考查基本量的基本运算，是常规求和方法发的基本应用。包括：错位相减求和，奇偶性求和，列项求和等。 2.情景化与新定义是高考的一个新的考点，一般采用学过的知识去解决新定义问题，因加以重视，是高考的一个方向，并且作为压轴题的可能性比较大，难度大。 3.知识的综合是未来高考的一个重要方向，主要是数列与统计概率相结合，数列作为一个工具与解析几何，函数结合等，属于中等难度。 ：复习等差、等比数列的基础知识点，以及常见题型的归纳总结，累加，累乘数列求通项的基方法。 【题型一】定义法求通项公式 【例1】已知数列满足：，，则等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】已知数列为等比数列，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】首项为3的等差数列满足，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【变式3】已知等比数列的公比为，若，，则 ． 【题型二】 累加法求数列通项公式 【例1】在数列中，，求数列的通项公式. 【例2】在数列中，，求的通项公式． 1、适用于：…………这是广义的等差数列 2、若 则；……，， 两边分别相加得： 【变式1】已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知数列的首项为14，且，则的最小值为 . 【变式3】已知数列满足，且，则 . 【题型三】 累乘法求数列通项公式 【例1】已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 【例2】在数列中，，（），则（   ） A． B． C． D． 1、适用于：…………这是广义的等比数列 2、若， 则，，……，，， 两边分别相乘得： 【变式1】数列中，满足，，则 ． 【变式2】已知数列中，，则 . 【变式3】在数列中，首项，时，，则数列的前项和为 . 【题型四】法求通项公式 【例1】已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 ． 【例2】设数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 1、利用求通项时，要注意检验时的情况。 已知求的三个步骤： （1）先利用求出. （2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式． （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式， 如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分与两段来写． 2、已知数列的前n项和的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个： （1） 将和转化为项,即利用将和转化为项. （2）可将条件看作是数列的递推公式，先求出，然后题目即转化为已知数列的前n项和，求数列通项公式． 【变式1】已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知数列的前项和满足，若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知数列的前项和为，，，则（   ） A．数列是等比数列 B． C． D．数列的前项和为 【题型五】构造法求数列通项公式 【例1】已知数列中，，，则 ． 【例2】（多选）已知数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 1、形如型 ①若时，数列为等差数列； ②若时，数列为等比数列； ③若，时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。 （1）待定系数法：设，得， 与题设比较系数得：，所以 所以有： 因此数列构成以为首项，以为公比的等比数列。 （2）逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把换成 有，两式相减有：，从而化为公比为的等比数列，进而求得通项公式， 再利用累加法即可求得通项公式。我们可以看到此方法比较复杂。 2、形如（其中是常数，且） ①若时，即：累加即可。 ②若时，即：求通项方法有以下三种方法： （1）两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列，即：， 令，则，然后累加法求通项。 （2）两边除以.目的是把所求数列构造成等比数列，即：， 令，则可化为，然后待定系数法求通项即可。 （3）待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设，通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项。 注意：应用待定系数法时，要求，否则待定系数法会失效。 3、形如（其中，是常数，且） （1）逐项相减法（阶差法） （2）待定系数法：通过配凑可转化为 解题基本步骤： ①确定 ②设等比数列，公比为 ③列出关系式，即 ④比较系数求， ⑤解得数列的通项公式，并得出数列的通项公式。 【变式1】已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【变式2】已知数列的前项和为，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知数列的前项和为，若，且，则 ． 【题型六】寻找递推关系式求数列 【例1】三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（    ） A．6种 B．10种 C．11种 D．12种 【例2】（多选）某学校足球社团进行传球训练，甲､乙､丙三名成员为一组，训练内容是从某人开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人.现假定每次传球都能被接到，开始传球的人为第一次触球者，记第次触球者是甲的概率为.已知甲为本次训练的第一次触球者，即，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边（如第1次运动，机器人可以运动到，，或）．若机器人走出斜方格阵视为“失败”，反之视为“成功”，则运动2025次后机器人“成功”的概率为 ． 【变式2】如图，在多面体的顶点处有一质点S，质点S每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点S的初始位置在点A处，记质点S移动n次后仍在平面ABCD上的概率为，则 ； ．    易错点一：忽视首项需要检验 ①当时，a1若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示. 例1．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 ． 变式1．已知数列的前项和为，，则 . 变式2．已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且S1+S2+…+Sn=3n+5，则数列{an}的通项公式 . 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列通项公式 目录 【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】定义法求通项公式 【题型二】 累加法求数列通项公式 【题型三】 累乘法求数列通项公式 【题型四】法求通项公式 【题型五】构造法求数列通项公式 【题型六】寻找递推关系式求数列 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点：数列的首项不满足取值规律。 ：1.等差等比数列及求和在高考中主要考查基本量的基本运算，是常规求和方法发的基本应用。包括：错位相减求和，奇偶性求和，列项求和等。 2.情景化与新定义是高考的一个新的考点，一般采用学过的知识去解决新定义问题，因加以重视，是高考的一个方向，并且作为压轴题的可能性比较大，难度大。 3.知识的综合是未来高考的一个重要方向，主要是数列与统计概率相结合，数列作为一个工具与解析几何，函数结合等，属于中等难度。 ：复习等差、等比数列的基础知识点，以及常见题型的归纳总结，累加，累乘数列求通项的基方法。 【题型一】定义法求通项公式 【例1】已知数列满足：，，则等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由已知可得数列是公差为2的等差数列，再由等差数列的通项公式即可求得. 【详解】因为，所以数列是公差为2的等差数列， 又，所以. 故选：D. 【例2】已知数列为等比数列，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比中项即可求解. 【详解】根据，a，可得：，； 解得，故. 故选：B. 【变式1】首项为3的等差数列满足，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据等差数列得到关于公差的方程，解得. 【详解】设等差数列的公差为，由题意可得，，所以，解得． 故选：B. 【变式2】在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义进行判断即可. 【详解】当数列为等差数列时，不一定有成立； “”成立也不一定推出“数列为等差数列”； “”是“数列为等差数列”的既不充分也不必要条件； 故选：D 【变式3】已知等比数列的公比为，若，，则 ． 【答案】 【分析】利用等比数列通项公式，列方程组求公比. 【详解】等比数列的公比为，，， 则，解得. 故答案为：. 【题型二】 累加法求数列通项公式 【例1】在数列中，，求数列的通项公式. 【答案】 【分析】结合数列递推公式，利用累加法和裂项相消法即可求得数列通项公式. 【详解】由题意，得， ． 又符合 所以数列的通项公式为. 【例2】在数列中，，求的通项公式． 【答案】. 【分析】由递推关系，用累加法可求得通项，解题时注意检验首项是否符合通项公式． 【详解】当时，； 当时，，，…，将这个等式累加， 得，故， 因为也满足， 所以． 1、适用于：…………这是广义的等差数列 2、若 则；……，， 两边分别相加得： 【变式1】已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n项和公式求出通项公式. 【详解】当时，，即，而， 所以 ，满足上式， 所以所求通项公式为. 故选：C 【变式2】已知数列的首项为14，且，则的最小值为 . 【答案】10 【分析】利用累加法求通项公式，并注意检验首项，然后用基本不等式求最小值，并考虑取等号条件即可. 【详解】当时，由，得，，…，， 将以上各式左右分别相加， 得， 所以， 又满足上式，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为10. 故答案为：10. 【变式3】已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】由题意结合累加法求出即可求解. 【详解】由题得 ， 当时，符合题意， 所以， 故答案为：. 【题型三】 累乘法求数列通项公式 【例1】已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先，利用递推求出的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果. 【详解】由， 当时， ， 显然，对于时也成立， 所以， 则的前6项和为. 故选：C. 【例2】在数列中，，（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合递推关系，利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求结论. 【详解】因为（，）， 所以当，时，， 则，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即，所以（，）， 又，所以， 所以. 故选：A. 1、适用于：…………这是广义的等比数列 2、若， 则，，……，，， 两边分别相乘得： 【变式1】数列中，满足，，则 ． 【答案】/ 【分析】先利用“累乘法”求数列的通项公式，再利用“裂项求和法”求和. 【详解】因为，所以. 所以，，，…，（）. 各式相乘，可得：， 显然满足上式，则， 所以数列的前项和为， 所以. 故答案为：. 【变式2】已知数列中，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 【变式3】在数列中，首项，时，，则数列的前项和为 . 【答案】/ 【分析】利用累乘法可求出数列的通项公式，再利用裂项求和法可求得数列的前项和. 【详解】在数列中，首项，时，， 即当时，， 所以，，，，， 上述等式全部相乘得，则， 也满足，故对任意的，， 所以，， 所以数列的前和为. 故答案为：. 【题型四】法求通项公式 【例1】已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由的关系作差即可求解； 【详解】由， 可得：， 两式相减可得：， 当时，，不满足上式， 所以， 故答案为： 【例2】设数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，求出的值，当且时，由可得，两式作差推导出为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出的通项公式，进而可得出的表达式，逐项判断即可. 【详解】因为数列的前项和为，且， 当时，则，解得， 当且时，由可得， 上述两式作差可得，整理可得， 等式两边同时除以可得， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以，所以， 对于AB选项，，，则，A错B对； ， 对于CD选项，，， 所以，，CD都错. 故选：B. 1、利用求通项时，要注意检验时的情况。 已知求的三个步骤： （1）先利用求出. （2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式． （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式， 如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分与两段来写． 2、已知数列的前n项和的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个： （1） 将和转化为项,即利用将和转化为项. （2）可将条件看作是数列的递推公式，先求出，然后题目即转化为已知数列的前n项和，求数列通项公式． 【变式1】已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与的关系可得，进而可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，求通项公式后代入不等式整理可得恒成立，再根据作差法分析的单调性求得最大值即可. 【详解】由，令，解得， 当时，由得，即， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以， 由，即恒成立， 令，则，而，所以， 即数列单调递减，故，所以，所以的最小值为. 故选：C 【变式2】已知数列的前项和满足，若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用累加法，即可求解. 【详解】因为，当时，， 两式相减得到，即， 又，得到，所以数列是以，的等比数列， 所以，则， 当时，， 所以，又时，满足， 故选：A. 【变式3】（多选）已知数列的前项和为，，，则（   ） A．数列是等比数列 B． C． D．数列的前项和为 【答案】ACD 【分析】A选项，变形得到，故是公比为2的等比数列；C选项，结合A，利用等比数列求通项公式得到C正确；B选项，在C基础上，利用求出通项公式；D选项，先得到为公比为的等比数列，利用求和公式得到答案. 【详解】A选项，， 其中，所以是公比为2的等比数列，A正确； C选项，由A知，，所以，C正确； B选项，当时，， 当时，， 显然满足，故，B错误； D选项，，故， 即为公比为的等比数列，且， 所以的前项和为，D正确. 故选：ACD 【题型五】构造法求数列通项公式 【例1】已知数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】由递推公式构造，通过等比数列通项公式即可求解； 【详解】由， 可得：， 所以是首项为，公比为3的等比数列， 所以， 所以， 故答案为： 【例2】（多选）已知数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项公式，再逐项判断即可. 【详解】数列中，，，则，， 整理得，而，因此数列是首项、公比均为的等比数列，B正确； ，解得， 对于A，，A错误； 对于C，，则，C正确； 对于D， ，D正确. 故选：BCD 1、形如型 ①若时，数列为等差数列； ②若时，数列为等比数列； ③若，时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。 （1）待定系数法：设，得， 与题设比较系数得：，所以 所以有： 因此数列构成以为首项，以为公比的等比数列。 （2）逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把换成 有，两式相减有：，从而化为公比为的等比数列，进而求得通项公式， 再利用累加法即可求得通项公式。我们可以看到此方法比较复杂。 2、形如（其中是常数，且） ①若时，即：累加即可。 ②若时，即：求通项方法有以下三种方法： （1）两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列，即：， 令，则，然后累加法求通项。 （2）两边除以.目的是把所求数列构造成等比数列，即：， 令，则可化为，然后待定系数法求通项即可。 （3）待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设，通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项。 注意：应用待定系数法时，要求，否则待定系数法会失效。 3、形如（其中，是常数，且） （1）逐项相减法（阶差法） （2）待定系数法：通过配凑可转化为 解题基本步骤： ①确定 ②设等比数列，公比为 ③列出关系式，即 ④比较系数求， ⑤解得数列的通项公式，并得出数列的通项公式。 【变式1】已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由得，构造等比数列即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 【变式2】已知数列的前项和为，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意构造得，由等比数列定义和通项公式可得，从而得解. 【详解】因为， 所以，所以， 而，故， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C 【变式3】已知数列的前项和为，若，且，则 ． 【答案】 【分析】构造数列，证明该数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式求的通项公式. 【详解】由， 即，因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即，所以． 故答案为： 【题型六】寻找递推关系式求数列 【例1】三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（    ） A．6种 B．10种 C．11种 D．12种 【答案】B 【分析】设在第次传球后有种情况球在丙手中，结合题意可推出，即可求得答案. 【详解】设在第次传球后有种情况球在丙手中，即经过n次传球后球又被传回给丙， 在前n次传球中，每次传球都有2种可能，故在前n次传球中共有种传球方法， 故在第n次传球后，球不在丙手中的情况有（种），即球在甲或乙手中， 只有在这些情况时，在第n+1次传球后，球才会被传回给丙， 即，由题意可得，则， ， 故选：B 【例2】（多选）某学校足球社团进行传球训练，甲､乙､丙三名成员为一组，训练内容是从某人开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人.现假定每次传球都能被接到，开始传球的人为第一次触球者，记第次触球者是甲的概率为.已知甲为本次训练的第一次触球者，即，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】与能直接进行求解；项分析出要想第次触球者是甲，则第次触球的不能是甲，且第次触球的人，有的概率将球传给甲，从而求出递推公式；项在项的基础上求出通项公式，计算出，比较出，从而判断求解. 【详解】：甲传球给乙或丙，故，故正确； ：乙或丙传球给其他两个人，故，故错误； 、：由题意得：要想第次触球者是甲，则第次触球的不能是甲， 且第次触球的人，有的概率将球传给甲， 故，则，故C正确； 因为，设， 解得：，所以 因为，所以是以为首项，公比是的等比数列， 故，所以， 故，则， 故，故正确. 故选：． 【点睛】概率与数列结合的题目，要能分析出递推关系，通过递推关系求出通项公式，这是解题的关键. 【变式1】在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边（如第1次运动，机器人可以运动到，，或）．若机器人走出斜方格阵视为“失败”，反之视为“成功”，则运动2025次后机器人“成功”的概率为 ． 【答案】 【分析】设2025次后机器人在处的概率为，在①处的概率为，在②处的概率为，在③处的概率为，则由题意可得，，，，进而求得结论. 【详解】如图，斜方格具有对称性，因而若机器人运动过程不走出斜方格阵，只需考虑机器人位于斜方格阵中的①、②、③处位置即可，设2025次后机器人在处的概率为，在①处的概率为，在②处的概率为，在③处的概率为． 则，，，． 将，，代入到中，得， 又由题意得，，则， 所以，则，，， 所以概率． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题涉及概率和数列知识，关键是分析运动次数与所在位置的的情况找规律，推导出一般概率表达式，再利用全概率公式，求出运动2025次后机器人“成功”的概率即可. 【变式2】如图，在多面体的顶点处有一质点S，质点S每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点S的初始位置在点A处，记质点S移动n次后仍在平面ABCD上的概率为，则 ； ．    【答案】 【分析】先求出，再由题意归纳出的递推式子，进而构造数列，进而求和. 【详解】质点S点A处时，移动一次可以到四个位置的其中一个， 其中两个位置在平面ABCD上，因此, 因为当质点在时，移动一次一定在平面ABCD上， 所以当质点移动第二次时，质点仍在平面ABCD上的概率， 因此， 即， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，公比的等比数列， 所以. 故答案为： 易错点一：忽视首项需要检验 ①当时，a1若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示. 例1．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由的关系作差即可求解； 【详解】由， 可得：， 两式相减可得：， 当时，，不满足上式， 所以， 故答案为： 变式1．已知数列的前项和为，，则 . 【答案】 【分析】利用前项和与通项公式的关系求解通项公式即可. 【详解】当时，， 当时，， 此时，不符，故. 故答案为： 变式2．已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且S1+S2+…+Sn=3n+5，则数列{an}的通项公式 . 【答案】 【分析】由于所给递推关系是，可先利用作差法求出，再利用一次作差法求的通项公式. 【详解】∵①， ∴当时，，即，； 当时，，即，将代入并整理得，． 当时，②， 由①－②得，，∴， 因此，当时，， 当时，，∴在时不成立， 故. 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$