抢分秘籍 导数及其应用（九大题型）-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（新高考通用）

导数及其应用 目录 【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】 切线问题 【题型二】 极值与极值点 【题型三】 含参讨论单调性 【题型四】 恒成立求参 【题型五】 能成立求参 【题型六】 零点问题 【题型七】 隐零点问题 【题型八】 构造函数求参 【题型九】 多变量问题 【误区点拨】 易错点1：①除法求导要注意分子是相减，分母带平方； ②复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即． 易错点2：使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，还需要对这些点左右两侧导函数的符号进行判断 ：导数在新结构试卷中的考察重点偏向于小题，原属于导数的压轴题有所改变，但导数在高考中的考察依然属于重点，题型很多，结合的内容也偏多，比如常出现的比较大小和恒成立问题等都结合着构造函数的思想. ：在处理含对数的等式、不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，从而避免了多次求导. 这种让对数“孤军奋战”的变形过程，俗称之为“对数单身狗”. 【题型一】 切线问题 【例1】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的切点坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切点的坐标. 【详解】（1）因为，求导得，故， 因此，曲线在点处的切线方程为，即. （2）设切点坐标为，则曲线在点处的切线的斜率为， 故所求切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得， 整理可得，即，解得或， 故所求切点的坐标为或. 【例2】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 【答案】2 【分析】设出两切点和点，求导，利用导数几何意义得到，表达出上点处的切线方程，代入点坐标，得到方程，联立得到，，求出. 【详解】设上点处的切线和在点处的切线相同， ，， 故，故， 上点处的切线方程为， 显然在切线上，故， 即，即， 解得， 故. 故答案为：2 【变式1】已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】求，利用导数的几何意义可求的值. 【详解】由题意得，函数的定义域为，且， ∴， ∵曲线在点处的切线与直线垂直， ∴，即，故. 故选：D. 【变式2】过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】先求出导函数，再设切点，根据导函数得出切线斜率再应用两点求斜率计算求参进而得出切线即可. 【详解】设切点，因为曲线，所以， 所以，所以， 所以或， 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 所以切线有3条. 故选：C. 【变式3】过定点作曲线的切线，恰有2条，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】设出切点，根据点斜式求解直线方程，构造函数，利用导数求解单调性，结合函数图象即可求解. 【详解】由，得，切点为，则切线的斜率为， 所以切线方程为， 因为，所以， 因为点在切线上， 所以，得， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以在处取得极小值， 当时，，当时，， 由题意可得直线与函数的图象有两个交点， 所以，解得，所以实数a的取值范围为， 【题型二】 极值与极值点 【例1】设三次函数的导函数为，函数图象的一部分如图所示，则下列说法正确的个数为（   ） ①函数有极大值 ②函数有极小值 ③函数有极大值 ④函数有极小值 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】结合图象先判断的正负性，即可得出的增减性，进而得出极值. 【详解】由题图知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则， 则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值是，极小值是，①④正确， 故选：B 【例2】已知函数在处取得极值. (1)求的值； (2)当时，求曲线在处的切线方程； (3)当时，求曲线的极值. 【答案】(1) (2) (3)极大值为，极小值为-2. 【分析】（1）利用导函数的零点结合极值点的定义计算验证即可； （2）利用导数的几何意义计算即可； （3）利用导数研究函数的单调性，结合极值的概念列表计算即可. 【详解】（1）， 由题意知，所以，即 当时，， 故在单调递增，单调递减， 故在处取得极值. 故； （2）由（1）可知. 当时，， 所以， 所以在处的切线方程为，即； （3）由（1）（2）可知，， 令，得或 1 + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 故极大值为， 极小值为. 【变式1】已知函数若，则函数的极小值点是 ；若函数在上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为 ． 【答案】 1 【分析】①时，直接求导得到导函数，判断导函数零点左右的正负即可得到极值点；②若函数在上存在唯一的极值点，则只有一个零点在内，结合为的对称轴可以更具体地得到，解不等式组即可得出答案. 【详解】①时，，的定义域为， ，令，得或， 当时，；当时，， 故函数的极大值点为，极小值点为， ②，对称轴为， 若函数在上存在唯一的极值点，则只有一个零点在内， 因为的对称轴为，所以， 即且，解得， 所以实数的取值范围为， 故答案为：1；. 【变式2】已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求函数的解析表达式； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）求导，由求得的值，得解； （2）利用导数判断单调性，求出极值. 【详解】（1）根据题意，，则， 解得， . （2）由（1）， 令，解得或， 令，解得， 所以当或时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得极大值，极大值为， 当时，取得极小值，极小值为. 【变式3】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】直接求导得，再设新函数，讨论和的情况，求出函数的极值点，则由题转化为，解出即可. 【详解】因为，，令， 函数有两个极值点，则在区间上有两个不等实数根， 又， 当时，，则函数在区间单调递增， 因此在区间上不可能有两个实数根，舍去， 当时，令，解得， 令，解得，此时函数在单调递增， 令，解得，此时函数在单调递减， 当时，函数取得极大值， 当趋近于0与趋近于时，，要使在区间上有两个实数根， 则，解得， 实数的取值范围是． 故答案为：. 【题型三】 含参讨论单调性 【例1】设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. 【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可； 【详解】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. 【例2】设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. 【变式1】已知函数． (1)当时，讨论的单调性； 【答案】(1)在上单调递减 【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解； （2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解； 法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解. 【详解】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. 【变式2】已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【题型四】 恒成立求参 【例1】已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】构造函数，研究其单调性，求的最大值即可. 【详解】，则在上恒成立， 令，则， 则得，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，故， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 【例2】已知函数. (1)若存在极小值，且极小值为，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，判断函数的单调性，结合极小值为求解； （2）将不等式分离参数，得，设，，利用导数求出最值即可. 【详解】（1），， 当时，，所以函数无极值， 当时，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，解得. （2）由，得，即，， 设，，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以，则， 所以的取值范围为. 【变式1】已知对于任意的，存在，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，则，令，利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的零点，进而求出的符号分别情况，即可求出函数的单调区间，进而求出，即可得解. 【详解】令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以又， 且当时，，当时，， 即， 且当时，，当时，， 所以存在唯一，使得，所以， 故当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 则， 令， 则， 当时，，当时，， 所以函数上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式2】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导，分别讨论，当以及当时，导函数的正负情况，从而得到函数的单调区间； （2）由（1）得，当时，，则要使不等式成立， 即需使不等式成立，令，利用导数分析函数的单调性，从而得到恒成立，故若要使，则，从而求得的值. 【详解】（1）因为，定义域为， 求得， 所以，当时，成立，此时在上单调递减； 当时， ，，在上单调递减； ，，在上单调递增． 综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）得，当时， ， 要使不等式成立，即需使不等式成立，即不等式成立， 令，，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立， 若，则, 所以. 【题型五】 能成立求参 【例1】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知，使得成立，则，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】函数的定义域是，则． 若存在单调递减区间，即，使得成立，则． 令，则， 令，解得，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减，故，故． 故答案为：. 【例2】已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）结合导数分析函数的单调性，进而求解极值； （2）求导，分，，三种情况分析求解即可. 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值. （2）由，， 则， 当时，，此时，函数在上单调递增， 则，即； 当时，， 则时，；时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，与矛盾，不符合题意； 当时，，此时，函数在上单调递减， 则，即恒成立，符合题意. 综上所述，的取值范围为． 【变式1】已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导函数得出函数的单调性得出函数值范围计算即可求参. 【详解】因为函数，若存在实数，使得成立， 当时，存在，所以； 当时，不成立； 当时，存在，所以成立， 令，， 当单调递增； 当单调递减； 所以时，，，，所以； 综上得：或. 故选：D. 【点睛】方法点睛：解题的方法是分类讨论三种情况结合函数值域及导函数求参单调性计算求解即可. 【变式2】已知函数. (1)当在处的切线是时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)减区间，增区间，极小值，无极大值. (2) 【分析】（1）根据切线求得，利用导数求得的单调区间与极值. （2）由不等式分离参数，然后利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】（1）， 若在处的切线是， 则， 则， 所以在区间上单调递减； 在区间上单调递增， 所以在处取得极小值，无极大值. （2）依题意，①在上有解， ①可化为， 设， ， 由（1）知，当且仅当时函数值为， 所以在区间单调递减； 在区间单调递增； 所以， 所以的取值范围是. 【题型六】 零点问题 【例1】已知函数 (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出函数的大致图像并求出方程的解的个数． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值； (2)当时，有个解；当或时，有个解；当时，有个解. 【分析】（1）直接对于求导，判断单调性，进而求解极值；（2）由（1）的单调性与极值，最值，画出函数图像，利用数形结合求出的解的个数. 【详解】（1）由题意可知，的定义域为， 则， 令，则， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增. 所以故; （2）由（1）可知作出函数图像， 由图，当时，方程的解个数为个； 当或时，方程的解个数为个； 当时，方程的解个数为个. 【例2】函数有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，将问题转化成与有三个交点，再利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而可得出的图象，数形结合，即可求解. 【详解】因为，易知，所以0不是零点， 令，即，得到，令，， 则， 易知恒成立，由，得到， 当时，，时，，时，， 所以在单调递增，单调递减，单调递增， 又易知，当，且时，，时，， 当时，时，，且， 当时，时，，所以的图象如图所示， 由题知与有三个交点，所以， 故选：A. 【变式1】若函数，当时，函数有极值，关于x的方程有三个不等实根，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据当时，函数有极值，求得的解析式，利用导数法，作出函数的图象求解. 【详解】由题意可知，， ∴，解得经检验，，符合题意. 故所求函数的解析式为. 则.令，得或， 当x变化时，，的变化情况如表， x 2 + 0 - 0 + ↗ ↘ ↗ ∴当时，有极大值；当时，有极小值. 则函数的图象如图所示： 由图象知：要使关于的方程有三个不等实根， 则k应满足. 即实数k的取值范围是. 故答案为： 【变式2】已知函数 ． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可； （2）由（1）知，要使函数有两个零点，则，则，进而可得出答案. 【详解】（1）， 当时，， 所以函数在单调减区间为， 当时，令，则，令，则， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为， 综上所述，当时，在单调减区间为，没有增区间； 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）由（1）知，要使函数有两个零点，则， 当时，， 又当时，，当时，， 因为函数有两个零点， 所以， 令， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 又因为， 所以不等式的解集为， 所以实数的取值范围为. 【变式3】已知函数． (1)若，求在上的值域； (2)若，求在上的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析； 【分析】（1）多次求导后，可判断在上单调递增，据此可得值域； （2）时，多次求导后，可得在上单调递增，在上单调递减，其中，然后由零点存在性定理可得答案. 【详解】（1）时，，此时， 令，. 则，则在上单调递增， 则，故在上单调递增， 则； （2）由题，令，. 则，，， 时，，根据正弦函数性质知在上的零点个数为0； 时，所以， 故在上单调递减. 又，则，使. 则， 故在上单调递增，在上单调递减. 又注意到，，结合在上单调递增， 则时，，，又， 结合在上单调递减.则存在，使. 综上，当时，在上的零点个数为0， 当时，在上的零点个数为1. 【题型七】 隐零点问题 【例1】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求证：函数的图象在x轴上方. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2)证明见解析. 【分析】(1)求，根据正负即可求y的单调区间； (2)求，根据零点的范围求出g(x)的最小值，证明其最小值大于零即可. 【详解】（1）， 令则. 当时，，∴函数在上单调递增； 当时，，∴函数在上单调递减. 即的单调递增区间是，单调递减区间是； （2）， ，易知单调递增， 又，， ∴在上存在一个， 使得：，即：，且， 当，有单调递减； 当，有单调递增. ∴， ∴， ∴函数的图象在x轴上方. 【点睛】本题考查隐零点，关键是判断单调，且，，由此得出在(1，2)之间存在零点，据此求出g(x)的最小值，证明此最小值大于零即可. 【例2】已知函数． (1)若曲线在处的切线经过点，求实数a的值； (2)若对任意，都有（e为自然对数的底），求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】 (1) ，所以，，    所以曲线在点处的切线方程为， 因为切线经过点，所以 解得． (2) 设，则，    设，则， 因为在上递增， 所以当时，，当时， 所以在上递减，在上递增， 所以，    令，则 所以在递减， 因为， 所以，所以． 【点睛】 关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，解题的关键是构造函数，利用导数求得，再利用函数的单调性结合可证得结论，考查数学转化思想，属于较难题 【变式1】已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在区间有唯一零点，证明：. 【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析. 【详解】试题分析：（Ⅰ）求导得， 分， ，，三种情况讨论可得单调区间. （Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即且 所以，且，消去得，构造函数，证明单调且零点存在且唯一即可. 试题解析：（Ⅰ），， 令，， 若，即，则， 当时，，单调递增， 若，即，则，仅当时，等号成立， 当时，，单调递增. 若，即，则有两个零点，， 由，得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上所述， 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减. （Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即时，符合要求. 此时，就是函数在区间的唯一零点. 所以，从而有， 又因为，所以， 令，则， 设，则， 再由（1）知：，，单调递减， 又因为，， 所以，即 点晴：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法. 【变式2】已知函数． （1）证明：在区间内存在唯一的零点； （2）若对于任意的，都有，求整数的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3． 【分析】（1）先利用导数证明在上单调递增，再结合零点存在定理，得证； （2）参变分离得，令，原问题转化为求在上的最小值，结合（1）中结论和隐零点的思维，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 当时，， ∴在上单调递增， ∵，， ∴在区间内存在唯一的零点． （2）解：∵，且， ∴， 令，则，， 由（1）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点， 设该零点为，则， 故当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， ∴， ∴， 故整数的最大值为3． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，以及不等式问题，考查转化与划归思想，逻辑推理能力和运算能力，属于较难题． 【题型八】 构造函数求参 【例1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用对数单调性得出，再构造函数，求出导函数得出函数单调性判断即可判断. 【详解】因为． 构造函数，则， 当时，单调递增， 所以， 所以． 故． 故选：A. 【例2】已知实数满足且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】首先通过对数运算法则对已知等式进行变形，构造函数，利用导数判断其单调性，再根据函数值相等及单调性得到与的关系，进而得到关于的表达式，构造新函数，通过求导判断其单调性来求解最小值. 【详解】，即， 设，则上式表明， 求导得，当时，在上单调递增， 由于 ，令， ，当时，单调递减；当时，单调递增， . 故答案为：. 【例3】已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 几种导数的常见构造： 对于 ，构造 若遇到，构造 对于，构造 对于，构造 对于或，构造 对于，构造 对于，构造 【答案】D 【分析】构造函数，结合题意利用导数计算可得该函数单调性，即可将不等式转化为，从而得到，即可得解. 【详解】令，则， 则当时，，即在上单调递减， 由，则，又， 即不等式等价于， 即，即有，解得. 故选：D. 【变式1】已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】构造函数，应用导函数得出单调性，再结合偶函数性质得出，最后计算求解. 【详解】设，则． 由当时，，得，即，故在区间上单调递增． 又，所以，即． 因为为上的偶函数，所以， 即，计算得，所以， 解得或． 故答案为：. 【变式2】已知恒成立，则正数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将原不等式同构为，即，令，分析单调性可得，令利用导数求出最值得解. 【详解】由，可得． 令，易知在上单调递增， 由，可得， 故，即. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即， 故正数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（多选）定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由构造函数，判断的单调性，结合选项和函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】构造函数，则， 因为，所以，故是增函数. 由得，， 即，故A正确； 由得，， 即，故B正确； 由得，， 即，故C错误； 由得，， 即，即，故D正确. 故选：ABD． 【题型九】 多变量问题 【例1】已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分类讨论函数的单调性. （2）由函数有两个极值点，确定a的范围，代入函数值，构造函数，利用函数单调性求解. 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为，且，， 令， 当，即时，恒成立，则，所以在上是单调递减； 当，即时，函数有两个零点：，， 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x - 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 综上，当时，在内单调递增， 在和上单调递减； 当时，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，有两个极值点，， 则，是方程的两个根，由韦达定理，得，， 所以， ， 令，，则， 当时，，则在区间上单调递减， 从而， 故 【例2】已知函数． (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）函数有两个零点转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数研究函数单调性与最值，数形结合即可求的取值范围； （2）由（1）知，不妨设，要证，即证，只需证，结合单调递增只需证，再根据单调性可得答案. 【详解】（1），则， 令，得， 若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点． 设，则． 当时，单调递减，当时，单调递增， 因此．当时，，当时，， 作出函数的大致图象与直线，如图所示，要使二者有两个不同交点， 则，故的取值范围为． （2）因为是函数的两个极值点，所以． 由（1）知，不妨设， 要证，即证， 只需证，显然． 由（1）知当时，单调递增，所以只需证， 而，所以即证． 设， 则， 当时，单调递减，所以当时，， 所以当时，，原不等式得证． 【点睛】方法点睛：解答函数零点个数问题常见思路：1，转化为方程的根的个数求解；2，转化为函数图象的交点个数求解. 【变式1】已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)求的单调区间； (2)设且，请判断与的大小，并证明. 【答案】(1)单调递减区间为和；单调递增区间为 (2)，证明见解析 【分析】（1）求出导函数，利用导数法求得的单调区间即可． （2）构造函数，利用多次求导的方法判断出的单调区间，从而判断出两者的大小关系． 【详解】（1）的定义域为，，， 令得，令得且， 即在区间和上，单调递减， 在区间上，单调递增， 所以的增区间为，减区间为，． （2），证明如下： 令，则定义域为，， 令，则， 则当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 则，所以在，上单调递增， 因为且，所以或， 所以恒成立，即，所以. 【变式2】已知函数． (1)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (2)记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据极值点的定义求，并利用函数的导数，判断函数的单调性，求函数的极值，结合函数有3个零点求参数的取值范围； （2）首先根据函数的的单调性去绝对值，再变形不等式，转化为函数在递减；在递增，再利用函数的导数和单调性的关系，转化为参变分离，求最值问题，即可求解. 【详解】（1）函数在处有极值， 可得，解得，经检验，满足题意， 所以 当时，在单调递减； 当或时，在上单调递增， 可得在处取得极小值，且为0，在处取得极大值，且为， 方程有3个不同的实根，等价为， 即有的取值范围是. （2）在递减，可得时，， ，即为， 即 即为 即对任意且时恒成立. 所以在递减；在递增. 当在恒成立时，可得，即在恒成立， 在上单调递增，即，则. 当在恒成立时，可得，即在恒成立， ，当时等号成立，则，则. 综上可得的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是第2问，变形不等式，转化为两个函数的单调性问题，结合导数，即可求解. 【变式3】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，； (3)如果，且，证明：． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减为； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由导数知识可得的单调区间； （2）由题可得，然后研究单调性，可完成证明； （3）方法1，由导数知识可得大致图象，据此可得，然后通过研究函数，可得对恒成立，最后由题意，结合，可完成证明；方法2，要证，即证，然后通过研究可完成证明；方法3，令，要证，即证：，然后通过研究可完成证明. 【详解】（1）. 。 则的单调递增区间为，单调递减为； （2）因的图象与的图象关于直线对称， 则. 构造函数， 则. 因，则， 则在上单调递增，则， 即当时，； （3）法一：，易得在上单调递增，在上单调递减，时，，，时，， 函数在处取得极大值，且，如图所示． 由，不妨设，则必有， 构造函数， 则， 所以在上单调递增，， 也即对恒成立．由，得， 所以，即， 又因为，且在上单调递减，所以， 即 法二：欲证，即证，由法一知， 故， 又因为在上单调递减，故只需证， 又因为， 故也即证，构造函数， 则等价于证明对恒成立． 由，则在上单调递增， 所以，即已证明对恒成立， 故原不等式成立． 法三：由，得，化简得， 不妨设，由法一知，．令，则， 代入，得，反解出，则， 故要证：，即证：， 又因为，等价于证明：， 构造函数，则， 令. 故在上单调递增，， 从而也在上单调递增，，即证成立， 也即原不等式成立． 目标希望是这样的：由； 在处理含指数的等式、不等式时，通常要将指数型函数与其它函数（乘或除）结合起来，这样再对新函数求导时，就避免了多次求导. 俗称之为“指数找朋友”或“指数常下沉”. 例1、知函数且. (1)当时，判断的单调性； (2)若恒成立，求的值. 【答案】(1)在区间上单调递增，在区间上单调递减 (2). 【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可出函数的单调区间； （2）当时，由，得，从而可求出，不合题意，当时，对函数求导后求出函数的单调区间，从而可求得，所以只要，转化为，然后构造函数，利用导数可求得，从而可求得的值. 【详解】（1）当时，， 则. 令，得. 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）若，令，则， 所以在上单调递增，所以，所以， 所以由，得， 所以， 从而不恒成立，此时不符合题意. 若. 当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以是的极小值点，也是的最小值点， 即. 若恒成立，则， 即①. 令， 则. 当时，； 当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以是的极小值点，也是 的最小值点，即， 即（当且仅当时，等号成立）②. 由①②，得， 当且仅当时，. 综上，的值为. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立的问题，第（2）问解题的关键是当时，利用导数求出函数的最小值，将问题转化为恒成立，再构造函数利用导数求其最值，考查分类思想和转化思想，属于较难题. 变式1、已知函数 (1)若，求的单调区间. (2)若对，恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求导，根据导函数的符号判断原函数的单调区间； （2）分析可知原题意等价于对，恒成立，构建，利用导数判断的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解. 【详解】（1）若，则的定义域为， 且， 令，解得；令，解得； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为，则， 所以原题意等价于对，恒成立， 构建， 则， 令，则对恒成立， 可知在内单调递增，且， 可知在内存在唯一零点， 当时，，即； 当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 且，可得， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 变式2、已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数与函数单调性间的关系，对求导，得，对分类讨论，即可求出结果； （2）先探求恒成立的必要条件，从而得到，再证明时，在上恒成立，即可解决问题. 【详解】（1）因为，易知其定义域为，， 当时，在上恒成立， 当时，由，得到， 所以，当时，，时，， 综上所述，当时，的单调增区间为，无减区间， 当时，的单调增区间为，减区间. （2）令， 由于恒成立，且，又在区间上连续， 所以是的一个极大值点，又， 所以，得到， 下证明时，在上恒成立， 由（1）知，时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，又恒成立，所以， 综上所述，. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于根据条件得到是的一个极大值点，从而得恒成立的一个必要条件，再证明时，在上恒成立，即可解决问题. 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数及其应用 目录 【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】 切线问题 【题型二】 极值与极值点 【题型三】 含参讨论单调性 【题型四】 恒成立求参 【题型五】 能成立求参 【题型六】 零点问题 【题型七】 隐零点问题 【题型八】 构造函数求参 【题型九】 多变量问题 【误区点拨】 易错点1：①除法求导要注意分子是相减，分母带平方； ②复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即． 易错点2：使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，还需要对这些点左右两侧导函数的符号进行判断 ：导数在新结构试卷中的考察重点偏向于小题，原属于导数的压轴题有所改变，但导数在高考中的考察依然属于重点，题型很多，结合的内容也偏多，比如常出现的比较大小和恒成立问题等都结合着构造函数的思想. ：在处理含对数的等式、不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，从而避免了多次求导. 这种让对数“孤军奋战”的变形过程，俗称之为“对数单身狗”. 【题型一】 切线问题 【例1】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的切点坐标. 【例2】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 【变式1】已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式2】过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式3】过定点作曲线的切线，恰有2条，求实数的取值范围. 【题型二】 极值与极值点 【例1】设三次函数的导函数为，函数图象的一部分如图所示，则下列说法正确的个数为（   ） ①函数有极大值 ②函数有极小值 ③函数有极大值 ④函数有极小值 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】已知函数在处取得极值. (1)求的值； (2)当时，求曲线在处的切线方程； (3)当时，求曲线的极值. 【变式1】已知函数若，则函数的极小值点是 ；若函数在上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为 ． 【变式2】已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求函数的解析表达式； (2)求函数的极值. 【变式3】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 【题型三】 含参讨论单调性 【例1】设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. 【例2】设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； 【变式1】已知函数． (1)当时，讨论的单调性； 【变式2】已知函数． (1)讨论的单调性； 【题型四】 恒成立求参 【例1】已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【例2】已知函数. (1)若存在极小值，且极小值为，求； (2)若，求的取值范围. 【变式1】已知对于任意的，存在，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【变式2】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求实数的值． 【题型五】 能成立求参 【例1】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 【例2】已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 【变式1】已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数. (1)当在处的切线是时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围. 【题型六】 零点问题 【例1】已知函数 (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出函数的大致图像并求出方程的解的个数． 【例2】函数有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若函数，当时，函数有极值，关于x的方程有三个不等实根，则实数k的取值范围是 . 【变式2】已知函数 ． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【变式3】已知函数． (1)若，求在上的值域； (2)若，求在上的零点个数． 【题型七】 隐零点问题 【例1】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求证：函数的图象在x轴上方. 【例2】已知函数． (1)若曲线在处的切线经过点，求实数a的值； (2)若对任意，都有（e为自然对数的底），求证：． 【变式1】已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在区间有唯一零点，证明：. 【变式2】已知函数． （1）证明：在区间内存在唯一的零点； （2）若对于任意的，都有，求整数的最大值． 【题型八】 构造函数求参 【例1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【例2】已知实数满足且，则的最小值为 . 【例3】已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 几种导数的常见构造： 对于 ，构造 若遇到，构造 对于，构造 对于，构造 对于或，构造 对于，构造 对于，构造 【变式1】已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是 ． 【变式2】已知恒成立，则正数的取值范围为 ． 【变式3】（多选）定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型九】 多变量问题 【例1】已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 【例2】已知函数． (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 【变式1】已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)求的单调区间； (2)设且，请判断与的大小，并证明. 【变式2】已知函数． (1)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (2)记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围． 【变式3】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，； (3)如果，且，证明：． 目标希望是这样的：由； 在处理含指数的等式、不等式时，通常要将指数型函数与其它函数（乘或除）结合起来，这样再对新函数求导时，就避免了多次求导. 俗称之为“指数找朋友”或“指数常下沉”. 例1、知函数且. (1)当时，判断的单调性； (2)若恒成立，求的值. 变式1、已知函数 (1)若，求的单调区间. (2)若对，恒成立，求实数的取值范围 变式2、已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求. 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$