第6章 3.1 从频数到频率 3.2 频率分布直方图-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

§3　用样本估计总体的分布 3．1　从频数到频率 3．2　频率分布直方图 知识点一　频率的概念 1.已知样本7,8,10,14,9,7,12,11,10,8,13,10,8,11,10,9,12,9,13,11.那么这组样本数据落在8.5～11.5内的频率是(　　) A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.65 答案　B 解析　频率表示频数与总数的比值，在本题中数据落在8.5～11.5内的频数为10，样本数据总数为20，所以这组样本数据落在8.5～11.5内的频率是＝0.5.故选B． 知识点二　频率分布直方图的概念 2.[多选]对于频率分布直方图，下列说法正确的是(　　) A．小矩形的面积表示相应各组的频率 B．小矩形的面积表示该组个体在样本中出现的频数 C．小矩形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比 D．小矩形的高表示该组个体在样本中出现的频数与组距的比 答案　AC 解析　由于在频率分布直方图中各小矩形的面积表示相应各组的频率，因此，小矩形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比． 3．样本的频率分布与相应的总体分布的关系是(　　) A．样本的频率分布与相应的总体分布是同样的分布 B．样本的频率分布与相应的总体分布是互不相关的两种分布 C．样本的频率分布将随着样本容量的增大更加接近相应的总体分布 D．样本容量增大到某一定值时，样本的频率分布就变成了相应的总体分布 答案　C 解析　样本容量越大，样本的频率分布越接近相应的总体分布． 知识点三　频率分布直方图、频率折线图的绘制 4.某市2022年4月1日到4月30日对空气污染指数的监测数据如下： 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. (1)作出频率分布表； (2)画出频率分布直方图及频率折线图； (3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻度污染；在151～200之间时，为中度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量作出一个简短评价． 解　(1)频率分布表如下： 污染指数分组 频数 频率 [41,51) 2 [51,61) 1 [61,71) 4 [71,81) 6 [81,91) 10 [91,101) 5 [101,111] 2 (2)频率分布直方图及频率折线图如图所示． (3)答对下述两条中的一条即可： ①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的；有26天处于良的水平，占当月天数的.所以处于优或良的天数为28，占当月天数的.说明该市空气质量基本良好． ②轻度污染有2天，占当月天数的；污染指数在80以上100以下的接近轻度污染的天数为15，加上处于轻度污染的天数2，占当月天数的，超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善. 知识点四　频率分布直方图的计算 5.某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(　　) A．90 B．75 C．60 D．45 答案　A 解析　产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，则＝0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×(0.100＋0.150＋0.125)×2＝90. 知识点五　用频率分布表及频率分布直方图估计总体分布 6.下表给出了在某校500名10岁学生中，用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm)． 身高分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) 人数 5 8 10 22 33 身高分组 [142,146) [146,150) [150,154) [154,158] 人数 20 11 6 5 (1)列出样本频率分布表(频率精确到0.01)； (2)画出频率分布直方图； (3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比． 解　(1)样本频率分布表如下： 身高分组 频数 频率 [122,126) 5 0.04 [126,130) 8 0.07 [130,134) 10 0.08 [134,138) 22 0.18 [138,142) 33 0.28 [142,146) 20 0.17 [146,150) 11 0.09 [150,154) 6 0.05 [154,158] 5 0.04 合计 120 1 (2)频率分布直方图如下： (3)由样本频率分布表可知，身高小于134 cm的学生出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%. 易错点　误将频率分布直方图的纵坐标当作频率 7.中小学生的视力状况受到社会的广泛关注．某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取400名学生，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示，从左至右第一组与第五组的频率之比为5∶6，则该市6万名高一学生中视力在[3.95,4.25)范围内的学生约有多少人？ [易错分析]　由于将频率分布直方图的纵坐标误认为是频率而致误． 正解　由题图可知，第五组的频率为 0．5×0.3＝0.15， 所以第一组的频率为0.15×＝0.125. 所以该市6万名高一学生中视力在 [3.95,4.25)范围内的学生约有 60000×0.125＝7500(人)． 一、选择题 1．已知样本：10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,12.那么频率为0.3的范围是(　　) A．5.5～7.5 B．7.5～9.5 C．9.5～11.5 D．11.5～13.5 答案　B 解析　样本容量为20.样本数据在5.5～7.5范围内的有2个，频率为0.1；在7.5～9.5范围内的有6个，频率为0.3；在9.5～11.5范围内的有7个，频率为0.35；在11.5～13.5范围内的有5个，频率为0.25. 2．某班学生在一次数学考试中各分数段以及人数的成绩分布为：[0,80)，2人；[80,90)，6人；[90,100)，4人；[100,110)，8人；[110,120)，12人；[120,130)，5人；[130,140)，6人；[140,150]，2人．那么分数在[100,130)中的频数以及频率分别为(　　) A．25,0.56 B．20,0.56 C．25,0.50 D．13,0.29 答案　A 解析　由[100,130)中的人数为8＋12＋5＝25，得频数为25，频率为≈0.56. 3．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，为制定阶梯电价提供数据，发现其月用电量都在50到350度之间，制作频率分布直方图(如图所示)的工作人员粗心大意，位置t处未标明数据，则t＝(　　) A．0.0041 B．0.0042 C．0.0043 D．0.0044 答案　D 解析　由题意得50×(0.006＋t＋0.0036＋0.0024×2＋0.0012)＝1，故t＝0.0044.故选D． 4．在样本的频率分布直方图中，一共有n(n∈Z，n≥4)个小矩形，第4个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积和的，且样本容量为100，则第4组的频数是(　　) A．30 B．25 C．20 D．15 答案　A 解析　设第4个小矩形对应的频率为x，则其余(n－1)个小矩形对应的频率和为1－x，∴x＝(1－x)，解得x＝0.3，∴第4组的频数是100×0.3＝30.故选A． 5．[多选]容量为100的样本，其数据分布在[2,18]内，将样本数据分为4组：[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18]，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A．样本数据分布在[6,10)内的频率为0.32 B．样本数据分布在[10,14)内的频数为40 C．样本数据分布在[2,10)内的频数为40 D．估计总体数据大约有10%分布在[10,14)内 答案　ABC 解析　样本数据分布在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，样本数据分布在[10,14)内的频数为100×0.1×4＝40，样本数据分布在[2,10)内的频数为100×(0.02＋0.08)×4＝40，估计总体数据分布在[10,14)内的比例为0.1×4＝0.4＝40%.故选ABC． 二、填空题 6．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________． 答案　9 解析　由频率分布直方图可知，平均气温低于22.5 ℃的频率为1×(0.12＋0.10)＝0.22，不低于25.5 ℃的频率为1×0.18＝0.18，故样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为×0.18＝9. 7．为了帮助班上的两名贫困生解决经济困难，班上的20名同学捐出了自己的零花钱，他们的捐款数(单位：元)如下：19,20,25,30,24,23,25,29,27,27,28,　28,26,27,21,30,20,19,22,20.班主任老师准备将这组数据制成频率分布直方图，以表彰他们的爱心，制图时先计算最大值与最小值的差是________，若取组距为2，则应分成________组；若第一组的起点定为18.5，则在[26.5,28.5)内的频数为________． 答案　11　6　5 解析　由题意知，极差为30－19＝11.由于组距为2，＝5.5不是整数，所以取6组．捐款数落在[26.5,28.5)内的有27,27,28,28,27，共5个，因此频数为5. 8．某市共有5000名高三学生参加联考，为了了解这些学生对数学知识的掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表： 成绩分组 频数 频率 [80,90) ① ② [90,100) 0.050 [100,110) 0.200 [110,120) 36 0.300 [120,130) 0.275 [130,140) 12 ③ [140,150] 0.050 合计 ④ 根据上面的频率分布表，可知①处的数值为________，②处的数值为________． 答案　3　0.025 解析　设样本容量为n，由位于[110,120)的频数为36，频率为0.300，得＝0.300，解得n＝120，所以[130,140)的频率为＝0.1，②处的数值为1－0.050－0.200－0.300－0.275－0.1－0.050＝0.025；①处的数值为0.025×120＝3. 三、解答题 9．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]． (1)求图中a的值； (2)若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数x与数学成绩在相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数． 成绩分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5 解　(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005. (2)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20. 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×＝20,30×＝40,20×＝25. 故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10. 10．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中a的值； (2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由． 解　(1)由频率分布直方图知，月均用水量在 [0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30. (2)由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000. (3)因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，所以2.5≤x<3.由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准． 学科网（北京）股份有限公司 $$