6.3.2频率分布直方图 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦频率分布直方图的概念、绘制方法及应用，通过复习频数与频率的定义及区别，以“用频率反映总体分布的其他表现形式”设问衔接，搭建从数字表达过渡到图形表达的学习支架，梳理前后知识脉络。 资料以启发式和类比教学为特色，结合居民消费额调查、头盖骨宽度数据处理等实例，引导学生自主绘制直方图和折线图，培养直观想象和数据分析素养。通过例题解析初二男生身高数据，强化数学运算能力，既帮助学生提升数据整理与分析能力，也为教师提供完整教学流程和实践案例，便于高效开展教学。

课题 6.3.2 频率分布直方图 学科 数学 教材 北师大版（2019）必修第一册 章节 第六章第三部分第二节 课程类型 新授 课时安排 1课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 教学目标及教学重点、难点： 1.在表示样本数据的过程中,通过实例学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图,并体会它们各自的特点.【重点】 2.能通过频率分布表或频率分布直方图对数据做出总体统计．【难点】 教材分析 本节课是高中数学北师大版（2019）选择性必修一的6.3.2频率分布直方图，主要介绍了频率分布直方图的概念、绘制方法及其在数据分析中的应用。通过实例分析，学生将理解频率分布直方图在统计学中的重要性，并掌握其绘制方法，培养数据分析能力。 核心素养 1. 数学运算：能够根据频率分布直方图进行相关计算； 2. 数学抽象:频率分布直方图和频率折线图的定义； 3. 直观想象:通过绘制频率分布直方图和频率折线图，培养直观想象素养; 4. 数据分析:通过频率分布表或频率分布直方图对数据做出总体统计，培养数据分析素养. 教学方法和手段 。 1. 教学方法 (1) 启发式教学：通过提出问题或设置情境，引导学生自主思考并探索频率分布直方图和频率折线图的含义。这种方法可以激发学生的学习兴趣和主动性，培养他们的思维能力。 (2) 类比教学：将频率分布直方图和频率折线图进行类比，帮助学生理解它们之间的联系和区别。 2. 教学手段 (1) 多媒体教学：利用PPT等多媒体资源，展示频率分布直方图的绘图过程。 (2) 互动教学：鼓励学生提问、讨论和分享自己的见解。教师可以设置一些小组的活动，让学生在互动中能够根据频率分布直方图进行相关计算。 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 复习导入 教师提问：请同学们回忆一下，上节课我们学习了哪些内容？ 1.频数与频率的定义： 频数是指一种情况中出现的数量； 频率表示频数与总数的比值,能更好地反映样本和总体的相应特征. 2.频数与频率的区别与联系： 频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频数． 在实际问题中，如果总体容量比较小，频数也可以较客观地反映总体分布； 当总体容量较大时，频率就更能客观地反映总体分布． 思考：上节课学习频率时我们多用数字来进行表达，那么用频率反映总体分布时还有其他的表现形式吗？ 明确研究问题的基本步骤及本节课的学习任务. 知识精讲 知识点1：频率分布直方图 知识点2：频率折线图 例题典析 为了解本市居民的生活成本，同学甲利用假期对所在社区进行“家庭数”和“家庭每月日常消费额”的调查.他把调查得到的消费额按大小进行分组，并计算出每组数据在整个数据中占的百分比一频率,结果如下表： 消费额分组/元 频率 [1 000,1 500) 0.1 [1 500,2 000) 0.2 [2 000,2 500) 0.4 [2 500,3 000) 0.2 [3 000,3 500] 0.1 【问题】你能将上表中的数据用图的形式表现出来吗？ 【问题】小矩形的宽和高代表什么？ 【答案】宽代表该组的组距. 高代表频率与组距之比 【追问】小矩形的面积代表什么？ 【答案】该组频率. 教师讲解： 图中每个小矩形的底边长是该组的组距,每个小矩形的高是该组的频率与组距的比,从而每个小矩形的面积等于该组的频率,即每个小矩形的面积=.我们把这样的图叫作频率分布直方图.不难发现,频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小. 【问题】观察上面的频率分布直方图，你能说说其优势吗？ 师生活动： （1）学生观察频率分布直方图发现，能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差别; （2）教师适当引导，当考虑数据落在若干个组内的频率之和时,可以用相应矩形面积之和来表示. 我们该如何根据样本数据画出频率分布直方图呢? 1895 年,在英国伦敦有 106 块男性头盖骨被挖掘出经考证，这些头盖骨的主人死于 1665 年一1666 年的大瘟疫人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度,数据如下(单位 : mm): 【问题】请你估计在 1665年一1666年英国男性头盖骨宽度的分布情况. 【答案】首先将数据排序(可以借助Excel 软件)得到宽度的最值是158 mm,最小值是121mm. 为了更深入地挖掘数据蕴含的信息，得到总体分布信息，我们按照如下步骤处理数据. (1) 计算极差：158-121=37 mm，这说明样本观测数据的变化范围是37 mm. (2) 确定组距与组数:合适的组距和组数对发现数据分布规律有重要意义.组数过少会将很多分布的信息丢失;组数过多则可能会出现很多空档,无法反映实际的分布.当数据在120个以内时，通常按照数据的多少分成 5 组~12 组. 在实际操作中，一般要求各组的组距相等.分组时,可以先确定组距，也可以先确定组数.若取所有的组距为5 mm,则 = =7.4,即可以将数据分为 8 组,这说明这个组距是比较合适的. (3) 分组:由于组距为5mm,8个组距的总长度超过极差,因此可以使第一组的左端点略小于数据中的最小值,最后一组的右端点略大于数据中的最大值.所以本例中的 106 个数据可按如下方式分为8组: [120,125),[125,130),…,[155,160] (4) 列表：统计出各组信息，见下表： 宽度分组/mm 频数 频率 频率组距 [120,125) 1 0.009 0.0018 [125,130) 1 0.009 0.0018 [130,135) 6 0.057 0.0114 [135,140) 22 0.208 0.0416 [140,145) 46 0.434 0.0868 [145,150) 25 0.236 0.0472 [150,155) 4 0.038 0.0076 [155,1607 1 0.009 0.0018 (5) 画频率分布直方图，根据频率分布表画频率分布直方图 教师讲解： 当样本容量较大时,样本中落在每个区间内的个体的频率会稳定于总体在相应区间内取值的比例.因此,我们就可以用样本的频率分布直方图来估计总体在相应区间内取值的比例，也就得到了总体的分布情况. 通常,在频率分布直方图中,按照分组原则,再在左边和右边各加一个区间.从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线,我们称之为频率折线图，有时也用它来估计总体的分布情况. 【问题】你能将上述问题中的频率分布直方图用频率折线图表示出来吗？ 【问题】为什么需要用频率分布直方图对原始数据进行整理？ 【答案】因为通过抽样获得的原始数据多而且杂乱，无法直接从中理解它们的含义，并提取信息，也不便于我们用它来传递信息.正因为如此我们才用频率分布直方图来整理数据. 【问题】样本容量的大小与估计总体的分布有什么关系? 【答案】一般地,样本容量越大,用样本的频率分布去估计总体的分布就越精确. 【问题】随着样本容量的增大,区间数与区间的长度会发生怎样的变化？相应的频率折线图会怎样? 【答案】随着样本容量的增大,所划分的区间数可以随之增多,而每个区间的长度则会相应随之减小,相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线. 例题1、考察某校初二年级男生的身高，随机抽取40名初二男生，实测身高数据(单位：cm)如下： 171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 160 168 174 165 168 174 159 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161 (1) 作出频率分布表； (2) 画出频率分布直方图和频率折线图． 【师生活动】 学生自主思考，根据已知数据作出频率分布表，再画出频率分布直方图和频率折线图，教师出示正确答案。 【解析】 (1) 最低身高151，最高身高180，它们的极差为180－151＝29.确定组距为3，组数为10，列表下图所示： 身高分组 频数 频率 频率组距 [150.5，153.5) 1 0.025 0.0083 [153.5，156.5) 1 0.025 0.0083 [156.5，159.5) 4 0.1 0.0333 [159.5，162.5) 5 0.125 0.0417 [162.5，165.5) 8 0.2 0.0667 [165.5，168.5) 11 0.275 0.0917 [168.5，171.5) 6 0.15 0.05 [171.5，174.5) 2 0.05 0.0167 [174.5，177.5) 1 0.025 0.0083 [177.5，180.5] 1 0.025 0.0083 (2) 频率分布直方图和频率折线图如图所示． 例题2、某高校调查了名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据直方图，这名学生中每周的自习时间不少于小时的人数是（    ） A．56 B．60 C．120 D．140 【师生活动】 学生分析频率分布直方图的数据，再进行计算，教师出示解题过程。 【解析】由频率分布直方图知， 自习时间不少于小时的有. 例题3、某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在的人数为10，则（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 【师生活动】 学生分析频率分布直方图的数据，再进行计算得出结果，教师出示解题过程。 【解析】由图可知，，解得，则成绩在的频率为，由，得. 引导学生培养转化思想，并明确频率分布直方图和频率折线图的含义。鼓励学生多练习，并通过错例，引导学生发现并关注运算问题，养成严谨的学习习惯，提升数学运算、数学抽象的数学学科素养。 通过例题讲解，让学生理解怎样解决问题，提高学生解决问题的能力。 课堂检测 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 学会运用频率分布表中的数据，能够根据频率分布表绘制频率分布直方图和频率折线图并进行相关计算，提高解题能力。 课堂小结 回顾本节课知识点，总结概括 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计 6.3.2 频率分布直方图 一、情景导入 二、知识精讲 1.频率分布直方图和频率折线图的定义 2. 3.频率分布直方图的应用 三、课堂小结 四、课堂检测 教学设计反思 高中数学中教授统计学的内容是非常重要的，因为统计学是现代社会中不可或缺的一部分，而直方图作为统计学中常用的可视化工具之一，在教学中也扮演着重要的角色。以下是关于高中数学统计中频率分布直方图教学的一些反思和建议： 概念讲解清晰明了：在教学中，应该首先确保学生对频率分布和直方图的概念有清晰的理解。通过实际例子和生活中的场景来解释，帮助学生建立直观的认识。 引导学生掌握绘制直方图的步骤：直方图的绘制涉及到数据的分组和表示，老师应该引导学生掌握绘制直方图的步骤，包括数据分组、选择适当的组距和组数等。 注重实践操作：理论知识的学习需要结合实际操作，老师可以设计一些实际的数据统计案例，让学生动手绘制直方图，加深他们的理解。 注重直方图的解读：不仅要教会学生如何绘制直方图，还要重点教导他们如何解读直方图，理解直方图所反映的数据分布规律，以及如何从中获取有用的信息。 与实际生活结合：让学生了解直方图在实际生活中的应用，比如商业数据的分析、社会调查的结果展示等，可以增加学生对直方图重要性的认识。 激发学生的兴趣：通过丰富多彩的教学方法、生动有趣的案例和互动环节，激发学生学习的兴趣和积极性，让他们乐于参与到统计学习中来。 及时反馈和纠错：教学过程中要注重及时给予学生反馈，纠正他们在绘制直方图过程中的错误，帮助他们及时调整并改进。 总的来说，高中数学统计中频率分布直方图的教学应该注重培养学生的数据分析能力和解决问题的能力，让他们在学习统计学的过程中，不仅能够掌握基本的理论知识，还能够将所学知识应用到实际生活中去。这样的教学方式可以更好地激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。 学科网（北京）股份有限公司 $