第2章 3 第1课时 函数的单调性和最值-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

§3　函数的单调性和最值 第1课时　函数的单调性和最值 知识点一 函数单调性的定义　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为(　　) A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定 答案　D 解析　由函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定．故选D. 2．已知函数f(x)的定义域为A，如果对于属于定义域内某个区间I上的任意两个不同的自变量x1，x2，都有＞0，则(　　) A．f(x)在这个区间上为增函数 B．f(x)在这个区间上为减函数 C．f(x)在这个区间上的单调性不确定 D．f(x)在这个区间上为常函数 答案　A 解析　①当x1＞x2时，x1－x2＞0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在区间I上是增函数；②当x1＜x2时，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在区间I上是增函数．综合①②可知，f(x)在区间I上是增函数．故选A. 知识点二 函数的单调性和最值 3．已知函数f(x)＝－x2，则(　　) A．f(x)在(－∞，0)上是减函数 B．f(x)是减函数 C．f(x)是增函数 D．f(x)在(－∞，0)上是增函数 答案　D 解析　由函数f(x)＝－x2的图象可知，f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，故选D. 4．[多选]关于函数f(x)＝的结论，正确的是(　　) A．定义域是[－1,6] B．单调递减区间是[0,6] C．值域是(0，＋∞) D．单调递增区间是 答案　AD 解析　由题意知－x2＋5x＋6≥0，所以(x－6)·(x＋1)≤0，所以－1≤x≤6.函数y＝－x2＋5x＋6图象的对称轴是直线x＝，开口向下，在区间[－1,6]上，所以f(x)的单调递增区间是，单调递减区间为，易知函数f(x)的值域为.故选AD. 5．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．f(－2)，0 B．0,2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2 答案　C 解析　因为函数图象最低点的纵坐标为最小值，最高点的纵坐标为最大值．所以由图可知，最小值为f(－2)，最大值为f(1)＝2. 6．已知函数f(x)＝ (1)画出f(x)的图象； (2)写出f(x)的单调递增区间． 解　(1)函数f(x)＝的图象如下： (2)f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． 7．已知f(x)＝ (1)画出这个函数的图象； (2)写出函数f(x)的单调区间； (3)写出函数f(x)的最大值和最小值． 解　(1)∵f(x)＝ 作出其图象如下： (2)函数f(x)的单调递增区间为[－2,0]，[1,3]；单调递减区间为[－3，－2]，[0,1]，[3,6]． (3)函数f(x)的最大值为f(3)＝4，最小值为f(6)＝－5. 8．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，求f(x)在[－5，5]上的最大值和最小值． 解　f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2，x∈[－5，5]，图象的对称轴为直线x＝－a. ①当－a＜－5，即a＞5时，函数f(x)在[－5,5]上单调递增，如图①. f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a， f(x)min＝f(－5)＝(－5)2＋2a×(－5)＋2＝27－10a. ②当－5≤－a＜0，即0＜a≤5时，如图②. f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a， f(x)min＝f(－a)＝2－a2. ③当0≤－a≤5，即－5≤a≤0时，如图③. f(x)max＝f(－5)＝(－5)2＋2a×(－5)＋2＝27－10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2. ④当－a＞5，即a＜－5时，如图④. f(x)max＝f(－5)＝(－5)2＋2a×(－5)＋2＝27－10a， f(x)min＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a. 综上可知，f(x)max＝ f(x)min＝ 9．二次函数f(x)＝x2－4x＋1，当x∈[m－1，m＋1]时，求f(x)的最小值g(m)． 解　二次函数f(x)＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝2. ①当m＋1＜2，即m＜1时，f(x)在[m－1，m＋1]上单调递减，∴g(m)＝f(m＋1)＝m2－2m－2. ②当m－1≤2≤m＋1，即1≤m≤3时，g(m)＝f(2)＝－3. ③当m－1＞2，即m＞3时，f(x)在[m－1，m＋1]上为增函数，∴g(m)＝f(m－1)＝m2－6m＋6. 综上可知，g(m)＝ 易错点 忽视函数的定义域限制 10.求函数f(x)＝ 的单调递增区间． [易错分析]　本题易出现忽视函数的定义域而使单调区间发生变化的错误． 正解　由－x2＋2x＋3≥0，得－1≤x≤3， 所以函数f(x)的定义域为[－1,3]． 函数f(x)＝可看作由y＝，t＝－x2＋2x＋3复合而成的． 因为y＝单调递增， 所以要求函数f(x)＝的单调递增区间， 只需求t＝－x2＋2x＋3的单调递增区间即可． 易知t＝－x2＋2x＋3在[－1,3]上的单调递增区间为[－1,1]， 所以函数f(x)＝的单调递增区间为[－1,1]． 一、选择题 1．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上(　　) A．必是增函数 B．必是减函数 C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性 答案　D 解析　例如y＝－在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递增，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性． 2．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是(　　) A．>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D．>0 答案　C 解析　函数f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B，D中结论都正确．由于x1，x2大小不确定，故选项C中结论不正确．故选C. 3．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1 答案　C 解析　函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．对于任意的实数x，已知函数f(x)＝ 则f(x)的最大值是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　C 解析　因为f(x)＝函数图象如下所示： 由函数图象可知，当x＝1时，函数取得最大值f(x)max＝f(1)＝1.故选C. 5．[多选]若f(x)＝x＋1(x∈[1,9])，g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)，那么(　　) A．g(x)有最小值6 B．g(x)有最小值12 C．g(x)有最大值26 D．g(x)有最大值182 答案　AC 解析　因为f(x)＝x＋1(x∈[1,9])，g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)，所以解得1≤x≤3，即函数g(x)的定义域为[1,3]，所以g(x)＝(x＋1)2＋x2＋1＝2x2＋2x＋2＝22＋，所以g(x)＝22＋在[1,3]上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝6，g(x)max＝g(3)＝26.故选AC. 二、填空题 6. 如图是定义在闭区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象可知y＝f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________． 答案　[－2,1)，[3,5]　[－5，－2)，[1,3)(开区间，闭区间，半开半闭区间均正确) 解析　由单调性的几何意义知，函数y＝f(x)的单调递增区间是[－2，1)，[3,5]，单调递减区间是[－5，－2)，[1,3)． 7．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是________函数． 答案　减 解析　y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b<0，y＝ax2＋bx＝a2－，对称轴为直线x＝－<0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数． 8．记min{a，b}＝若f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________． 答案　6 解析　由题意，知f(x)＝作出函数f(x)的图象如图所示．易知f(x)max＝f(4)＝6. 三、解答题 9．求函数y＝－x(x－a)在x∈[－1，a]上的最大值． 解　设f(x)＝y＝－x(x－a)＝－x2＋ax，则函数图象的对称轴为直线x＝. ①当≤－1，即a≤－2时，与a＞－1矛盾，舍去； ②当－1＜<a，即a＞0时，ymax＝f＝； ③当≥a，且a＞－1，即－1＜a≤0时，ymax＝f(a)＝0. 综上所述，ymax＝ 10．已知函数f(x)＝|x2－1|＋m|x＋1|＋a有最小值f(2)＝－4. (1)作出函数y＝f(x)的图象； (2)写出函数f(1－2x)的单调递增区间． 解　(1)当x>1时，f(x)＝x2＋mx＋a＋m－1， 又函数f(x)＝|x2－1|＋m|x＋1|＋a有最小值f(2)＝－4， 故－＝2，即m＝－4. 则f(x)＝x2－4x＋a－5， 则f(2)＝4－8＋a－5＝－4，故a＝5. 则f(x)＝|x2－1|－4|x＋1|＋5， 则f(x)＝ 其函数图象如图所示． (2)由(1)可得函数y＝f(x)在区间(－∞，－2]，[－1,2]上单调递减，在区间[－2，－1]，[2，＋∞)上单调递增． 又y＝1－2x为减函数． 故当1－2x∈(－∞，－2]∪[－1,2]时， 函数f(1－2x)的单调递增区间为，. 学科网（北京）股份有限公司 $$