第2章 2.1 函数概念-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

§2　函数 2．1　函数概念 知识点一 函数概念 1．函数符号y＝f(x)表示(　　) A．y等于f与x的乘积 B．f(x)一定是一个式子 C．y是x的函数 D．对于不同的x，y也不同 答案　C 解析　符号y＝f(x)，即“y是x的函数”的数学表示，它仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，可以是图象、表格，也可以是文字叙述，故A，B错误；当y＝x2时，x＝1或x＝－1时，y＝1，故D错误． 2．判断下列对应关系是不是从A到B的函数： (1)A＝B＝N＋，f：x→y＝|x－3|； (2)A＝{三角形}，B＝{圆}，f：三角形的内切圆； (3)A＝R，B＝{1}，f：x→y＝1. 解　(1)取x＝3∈A，则|x－3|＝0∉B，即A中的元素3在B中没有元素与之对应，故(1)不是从A到B的函数． (2)因为A，B都不是数集，所以(2)不是从A到B的函数． (3)A中的每一个数都与B中的数1对应，所以(3)是从A到B的函数. 知识点二 同一个函数的判断 3．下列各组函数为同一个函数的是(　　) A．y＝x＋1与y＝ B．y＝x2＋1与s＝t2＋1 C．y＝2x与y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2与y＝x2 答案　B 解析　对于A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；对于B，虽然变量不同，但定义域与对应关系相同，是同一个函数；对于C，因为定义域不同，所以不是同一个函数；对于D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数．故选B. 知识点三 函数的定义域 4．函数y＝的定义域是(　　) A．{x|x≥－1} B．{x|－1≤x<0} C．{x|x>－1} D．{x|－1<x<0} 答案　C 解析　要使函数有意义，需使x＋1>0，即x>－1，故选C. 5．已知函数f(x)的定义域为[－1,1]，则函数f(2x－1)的定义域为________． 答案　[0,1] 解析　∵f(x)的定义域为[－1,1]，∴－1≤2x－1≤1，∴0≤x≤1.∴函数f(2x－1)的定义域为[0,1]. 知识点四 函数值问题 6．已知函数f(x)＝. (1)求f(2)；(2)求f(f(1))． 解　(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝. (2)f(1)＝＝，f(f(1))＝f＝＝. 7．已知函数f(x)＝. (1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值； (2)求证：f(x)＋f是定值． 解　(1)∵f(x)＝， ∴f(2)＋f＝＋＝1. f(3)＋f＝＋＝1. (2)证明：f(x)＋f＝＋ ＝＋＝＝1. 知识点五 函数的值域 8．求下列函数的值域： (1)y＝－1；(2)y＝； (3)y＝；(4)y＝x＋； (5)y＝x2－4x＋6(1≤x＜5)． 解　(1)(观察法)∵≥0，∴－1≥－1. ∴y＝－1的值域为[－1，＋∞)． (2)(分离常数法)y＝＝ ＝＝－. ∵≠0，∴y≠. ∴函数的值域为. (3)(分离常数法)∵y＝ ＝＝(x≠1)， 而y＝＝＝－(x≠1)， 由≠0，得y≠，又x≠1，∴y≠－. ∴函数的值域为. (4)(换元法)设u＝，则x＝(u≥0)，∴y＝＋u＝(u≥0)．由u≥0知(u＋1)2≥1，∴y≥. ∴函数y＝x＋ 的值域为. (5)(配方法)配方，得y＝(x－2)2＋2.因为x∈[1,5)，所以函数图象如图所示，函数的值域为[2,11)． 易错点　　对函数定义域理解不透彻致误 9．若函数y＝f(x)的定义域是[0,4]，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A．[0,8] B．[0,1)∪(1,8] C．[0,1)∪(1,2] D．[0,2] [易错分析]　抽象函数中，由于对定义域理解不当而发生错误．求抽象函数或复合函数定义域需注意：①函数f(x)的定义域是指x的取值范围；②函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的取值范围． 答案　C 正解　因为y＝f(x)的定义域是[0,4]，所以0≤2x≤4，即0≤x≤2.由于x－1≠0，所以x≠1.故选C. 10．求函数f(x)＝－的定义域． [易错分析]　本题容易出现先化简函数的解析式而使定义域发生变化的错误． 正解　要使f(x)有意义，需满足解得x≤2且x≠－1， 所以函数f(x)的定义域为{x|x≤2且x≠－1}． 一、选择题 1．给出下列对应： ①M＝R，N＝N＋，对应关系f：“对集合M中的元素，取绝对值与N中的元素对应”； ②M＝{1，－1,2，－2}，N＝{1,4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈M，y∈N； ③M＝{三角形}，N＝{x|x>0}，对应关系f：“对M中的三角形求面积与N中元素对应”． 其中，是集合M到集合N上的函数的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 答案　A 解析　①M中有的元素在N中无对应元素，如M中的元素0；③M中的元素不是实数，即M不是数集；只有②满足函数的定义．故选A. 2．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1,2) D．[1，＋∞) 答案　A 解析　由题意知，要使函数有意义，需满足即x≥1且x≠2. 3．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，＋∞) B． C． D． 答案　C 解析　①当m＝0时，分母为4x＋3，此时定义域不为R，故m＝0不符合题意．②当m≠0时，由题意，得解得m>.由①②知，实数m的取值范围是. 4．函数y＝－x2＋1，－1≤x<2的值域是(　　) A．(－3,0] B．(－3,1] C．[0,1] D．[1,5) 答案　B 解析　由y＝－x2＋1，x∈[－1,2)，可知当x＝2时，ymin＝－4＋1＝－3；当x＝0时，ymax＝1.∵x≠2，∴函数的值域为(－3，1]，故选B. 5．[多选]下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．y＝|x|－1与y＝x－1 B．y＝与y＝x＋3 C．y＝()2与y＝x＋2(x≥－2) D．y＝x0与y＝1(x≠0) 答案　CD 解析　对于A，y＝|x|－1＝与y＝x－1对应关系不相同，∴y＝|x|－1与y＝x－1不表示同一个函数，故A错误；对于B，y＝的定义域是{x|x≠3}，y＝x＋3的定义域是R，∴y＝与y＝x＋3不表示同一个函数，故B错误；对于C，y＝()2＝x＋2(x≥－2)与y＝x＋2(x≥－2)对应关系相同，定义域相同，表示同一个函数，故C正确；对于D，y＝x0＝1(x≠0)与y＝1(x≠0)对应关系相同，定义域相同，表示同一个函数，故D正确．故选CD. 二、填空题 6．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________． 答案　{－1,1,3,5,7} 解析　∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x－3＝－1，1,3,5,7.∴函数f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}． 7．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正常数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是________． 答案　1 解析　f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，f(f(－1))＝a·(a－1)2－1＝－1.∴a·(a－1)2＝0，∴a＝1或a＝0(舍去)． 8．若函数f(x2＋1)的定义域为[－2,1)，则函数f(x)的定义域为________． 答案　[1,5] 解析　∵f(x2＋1)的定义域为[－2,1)，∴f(x2＋1)中，－2≤x<1,0≤x2≤4,1≤x2＋1≤5，∴f(x)中，1≤x≤5，因此f(x)的定义域为[1,5]． 三、解答题 9．已知函数f(x)＝＋的定义域为集合A，B＝{x|x<a}． (1)求集合A； (2)若A⊆B，求a的取值范围； (3)若全集U＝{x|x≤4}，a＝－1，求∁UA及A∩(∁UB)． 解　(1)若使和有意义，需满足解得－2＜x≤3，所以集合A＝{x|－2<x≤3}． (2)因为A＝{x|－2<x≤3}，B＝{x|x<a}且A⊆B，所以a>3. (3)因为U＝{x|x≤4}，A＝{x|－2<x≤3}， 所以∁UA＝(－∞，－2]∪(3,4]． 因为a＝－1，所以B＝{x|x<－1}， 所以∁UB＝[－1,4]，所以A∩(∁UB)＝[－1,3]． 10．已知f(x)＝， (1)求f(x)的定义域； (2)求证：f＝－f(x)； (3)若f(a)＝2，求a. 解　(1)若使函数f(x)＝有意义，需满足1－x2≠0即x≠±1.所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≠±1}． (2)证明：∵f＝＝＝. －f(x)＝－＝. ∴f＝－f(x)． (3)∵f(a)＝2， ∴＝2. ∴3a2＝1，∴a＝±. 学科网（北京）股份有限公司 $$