第1章 4.1 一元二次函数-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4．1　一元二次函数 知识点一 一元二次函数的图象变换 1．将抛物线y＝－3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是(　　) A．y＝－3(x－1)2－2 B．y＝－3(x－1)2＋2 C．y＝－3(x＋1)2－2 D．y＝－3(x＋1)2＋2 答案　C 解析　将抛物线y＝－3x2向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为y＝－3(x＋1)2，再向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为y＝－3(x＋1)2－2.故选C. 2．将抛物线y＝－x2＋2x－1向右平移一个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是(　　) A．y＝－x2＋2 B．y＝－x2＋4x－2 C．y＝－x2－2 D．y＝－x2＋4x－6 答案　B 解析　将抛物线y＝－(x－1)2向右平移一个单位长度所得抛物线的解析式为y＝－(x－1－1)2，再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式为y＝－(x－1－1)2＋2，即y＝－(x－2)2＋2，即y＝－x2＋4x－2.故选B. 知识点二 求一元二次函数的解析式 3．已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为(1，－3)，则抛物线对应的函数解析式为(　　) A．y＝x2－2x＋2 B．y＝x2－2x－2 C．y＝－x2－2x＋1 D．y＝x2－2x＋1 答案　B 解析　因为抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为(1，－3)，所以y＝(x－1)2－3，即y＝x2－2x－2.故选B. 4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c同时满足下列条件：图象的对称轴是直线x＝1，最值是15，图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15－a，则b的值是(　　) A．4或－30 B．－30 C．4 D．6或－20 答案　C 解析　解法一：由题可设抛物线与x轴的交点为(1－t,0)，(1＋t，0)，其中t＞0，则(1－t)2＋(1＋t)2＝15－a，可得t＝，由顶点为(1,15)，可设解析式为y＝a(x－1)2＋15，将代入解析式，得a＝－2或a＝15(不符合题意，舍去)，∴y＝－2(x－1)2＋15＝－2x2＋4x＋13，∴b＝4.故选C. 解法二：∵对称轴是直线x＝1，最值是15，∴可设y＝a(x－1)2＋15，∴y＝ax2－2ax＋15＋a，设方程ax2－2ax＋15＋a＝0的两个根是x1，x2，则x1＋x2＝－＝2，x1x2＝，∵二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15－a，则x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝15－a，∴22－＝15－a，即a2－13a－30＝0，∴a＝15(不符合题意，舍去)或a＝－2，∴y＝－2(x－1)2＋15＝－2x2＋4x＋13，∴b＝4.故选C. 知识点三 一元二次函数的图象与性质 5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，给出下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是(　　) A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 答案　C 解析　∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，∴b＝－2a＜0，∴ab＜0，①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2－4ac＞0，即b2＞4ac，②正确；∵x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0，而c＜0，∴a＋b＋2c＜0，③正确；∵x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，又b＝－2a，∴a＋2a＋c＞0，即3a＋c＞0，④错误．故选C. 6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A(1，2)，B(3,2)，C(5,7)．若点M(－2，y1)，N(－1，y2)，K(8，y3)也在二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上，则下列结论正确的是(　　) A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 答案　B 解析　把A(1,2)，B(3,2)，C(5,7)代入y＝ax2＋bx＋c得解得 ∴函数解析式为y＝x2－x＋＝(x－2)2＋.∴当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小．根据对称性，K(8，y3)的对称点是(－4，y3)，∴y2＜y1＜y3.故选B. 7．当a－1≤x≤a时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．0或3 答案　D 解析　当y＝1时，有x2－2x＋1＝1，解得x1＝0，x2＝2，∵当a－1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a－1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0.故选D. 8．已知二次函数y＝x2＋kx＋k－1，在区间[2，＋∞)上的函数值y随自变量x的增大而增大，则实数k的取值范围是________． 答案　[－4，＋∞) 解析　二次函数y＝x2＋kx＋k－1的对称轴为直线x＝－，所以－≤2，得k≥－4. 9．二次函数y＝ax2－2atx＋c(a≠0)的图象经过A(－4，y1)，B(－2，y2)，C(1，y3)，D(3，y4)四点． (1)求二次函数图象的对称轴(用含t的代数式表示)； (2)已知t＝－1，若y2y3<0，判断y1y4的正负，并说明理由． 解　(1)∵二次函数y＝ax2－2atx＋c(a≠0)， ∴二次函数图象的对称轴为直线x＝－＝t. (2)∵t＝－1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－1， 当抛物线开口向上时， ∵3－(－1)>－1－(－4)>1－(－1)>－1－(－2)， ∴y4>y1>y3>y2， 若y2y3<0，则y4>y1>y3>0>y2， ∴y1y4>0， 当抛物线开口向下时， ∵3－(－1)>－1－(－4)>1－(－1)>－1－(－2)， ∴y2>y3>y1>y4， 若y2y3<0，则y2>0>y3>y1>y4， ∴y1y4>0， 综上，y1y4>0. 易错点 没有考虑对称轴是否在所给区间内致误 10．已知当x∈[－2,1]时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值3，求实数m的值． [易错分析]　该题容易忽略x的范围，直接由m2＋1＝3解得m＝－或m＝. 正解　二次函数图象的对称轴为直线x＝m， ①当m＜－2时，x＝－2时二次函数有最大值，此时－(－2－m)2＋m2＋1＝3，解得m＝－，与m＜－2矛盾，故m不存在； ②当－2≤m≤1时，x＝m时二次函数有最大值，此时m2＋1＝3，解得m＝－或m＝(舍去)； ③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时－(1－m)2＋m2＋1＝3，解得m＝. 综上所述，实数m的值为或－. 一、选择题 1．一个二次函数图象的顶点坐标是(2,4)，且过另一点(0，－4)，则这个二次函数的解析式为(　　) A．y＝－2(x＋2)2＋4 B．y＝－2(x－2)2＋4 C．y＝2(x＋2)2－4 D．y＝2(x－2)2－4 答案　B 解析　设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋4，把(0，－4)代入得a(－2)2＋4＝－4，解得a＝－2，所以二次函数的解析式为y＝－2(x－2)2＋4.故选B. 2．抛物线y＝(x＋1)2＋1上有点A(x1，y1)、点B(x2，y2)，且x1＜x2＜－1，则y1与y2的大小关系是(　　) A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定 答案　B 解析　∵抛物线y＝(x＋1)2＋1的开口向上，对称轴为直线x＝－1，而x1＜x2＜－1，∴y1＞y2.故选B. 3．对于二次函数y＝ax2＋(1－2a)x(a＞0)，下列说法错误的是(　　) A．当a＝时，该二次函数图象的对称轴为y轴 B．当a＞时，该二次函数图象的对称轴在y轴的右侧 C．该二次函数图象的对称轴可为直线x＝1 D．当x＞2时，y随x的增大而增大 答案　C 解析　该抛物线的对称轴为直线x＝－＝1－.对于A，当a＝时，x＝0，即二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，故正确；对于B，当a＞时，x＝1－＞0，此时对称轴在y轴的右侧，故正确；对于C，由于a＞0，故对称轴不可能是直线x＝1，故错误；对于D，由于1－＜1，故对称轴在直线x＝1的左侧，∵a＞0，∴抛物线的开口向上，∴x＞2时，y随x的增大而增大，故正确．故选C. 4．已知二次函数y＝x2－bx＋c，点A(1，y1)与点B(1＋t，y2)都在该函数的图象上，且t是正整数，若满足y1>y2的点B有且只有3个，则b的取值范围是(　　) A．4<b≤5 B．5<b≤6 C．4≤b<5 D．5≤b<6 答案　B 解析　由解析式得二次函数的图象开口向上且对称轴为直线x＝.∵t是正整数，满足y1＞y2的点B有且只有3个，∴取t＝3，即此时B(4，y2)．设图象上与A(1，y1)函数值相同的点的坐标为(x0，y3)，有4＜x0≤5，而＝，∴x0＝b－1，即4＜b－1≤5，∴5＜b≤6.故选B. 5．[多选]已知函数y＝x2－2mx＋1，x∈[1,2]，则下列结论有可能正确的是(　　) A．函数y无最大值 B．当x＝m时，函数y取最小值 C．函数y既有最大值又有最小值 D．当x＝1时，函数y取最大值；当x＝2时，函数y取最小值 答案　BCD 解析　由题意知二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝m，∴无法判断对称轴位置，但区间端点值可取，∴在区间[1,2]上一定存在最值，故A错误，C正确；在区间[1,2]上，如果对称轴在该区间上，则在对称轴处取最小值，即x＝m时，y取最小值，故B正确；若对称轴在区间[1,2]右侧，即m≥2时，函数在区间[1,2]上y随x的增大而减小，∴当x＝1时，函数y取最大值；当x＝2时，函数y取最小值，故D正确．故选BCD. 二、填空题 6．将抛物线y＝3x2－6x＋4先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是________． 答案　(4,3) 解析　∵y＝3x2－6x＋4＝3(x－1)2＋1，∴抛物线y＝3x2－6x＋4的顶点坐标为(1,1)，∴把点(1,1)先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点的坐标为(4,3)，即新抛物线的顶点坐标为(4,3)． 7．关于二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2有以下说法： ①它们的图象都是开口向上；②它们图象的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0,0)；③当x＞0时，它们的函数值y都是随x的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的． 其中正确的说法有________个． 答案　2 解析　∵a＝3>0，∴它们的图象都是开口向上，故①正确；∵y＝3x2＋1图象的对称轴是y轴，顶点坐标是(0,1)，y＝3(x－1)2图象的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1,0)，故②错误；∵二次函数y＝3x2＋1，当x>0时，y随着x的增大而增大；二次函数y＝3(x－1)2，当0<x<1时，y随着x的增大而减小，当x>1时，y随着x的增大而增大，故③错误；∵a＝3，∴它们的开口的大小是一样的，故④正确．综上所述，正确的有①④，共2个． 8．下列关于函数y＝x2－4x＋6的四个命题： ①当x＝0时，y有最小值6； ②m为任意实数，x＝2－m时的函数值大于x＝2＋m时的函数值； ③若函数图象过点(a，m0)和(b，m0＋1)，其中a＞0，b＞2，则a＜b； ④若m＞2，且m是整数，当m≤x≤m＋1时，y的整数值有(2m－2)个． 其中真命题有________个． 答案　2 解析　①∵y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，∴当x＝2时，y有最小值2，错误；②当m＝0时，x＝2－m时的函数值等于x＝2＋m时的函数值，错误；③若函数图象过点(a，m0)和(b，m0＋1)，m0＋1>m0，函数图象的对称轴为直线x＝2，∴当x>2时，y随x的增大而增大，∴当0<a<2，b>2时，a＜b；当a≥2，b>2时，a＜b成立，正确；④当x＝m＋1时，y＝(m＋1)2－4(m＋1)＋6，当x＝m时，y＝m2－4m＋6，(m＋1)2－4(m＋1)＋6－(m2－4m＋6)＝2m－3，∵m>2，且m是整数，∴2m－3是正整数，∴y的整数值有(2m－2)个，故正确． 三、解答题 9．已知二次函数y＝－x2－x＋. (1)用配方法把这个二次函数的解析式化为y＝a(x＋m)2＋k的形式； (2)写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)将二次函数y＝－x2的图象如何平移能得到二次函数y＝－x2－x＋的图象？请写出平移方法． 解　(1)y＝－x2－x＋＝－(x＋1)2＋4， 即y＝－(x＋1)2＋4. (2)因为a＝－<0，所以该抛物线的开口方向向下，由y＝－(x＋1)2＋4知，抛物线的顶点坐标是(－1,4)，对称轴为直线x＝－1. (3)∵y＝－(x＋1)2＋4，∴将y＝－x2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可． 10. 如图，二次函数y＝－x2＋(k－1)x＋3的图象与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB. (1)求该二次函数的解析式； (2)若点C是二次函数图象上的一个动点，且位于第二象限，设△ABC的面积为S，试求出S的最大值． 解　(1)∵二次函数的解析式为y＝－x2＋(k－1)x＋3， ∴当x＝0时，y＝3，即点B的坐标为(0,3)， ∵OA＝OB，∴OA＝3， 即点A的坐标为(－3,0)． 把点A的坐标代入y＝－x2＋(k－1)x＋3，得－(－3)2＋(－3)(k－1)＋3＝0，解得k＝－1， ∴该二次函数的解析式为y＝－x2－2x＋3. (2)过点C作CD⊥x轴于点D，交AB于点E， 过点B作BF⊥CD于点F，如图， 设直线AB的解析式为y＝kx＋b， 把点A(－3,0)，B(0,3)代入y＝kx＋b，得 解得 ∴直线AB的解析式为y＝x＋3， 设点E的坐标为(x，x＋3)， 则点C的坐标为(x，－x2－2x＋3)， ∴CD＝－x2－2x＋3，ED＝x＋3， ∴CE＝(－x2－2x＋3)－(x＋3)＝－x2－3x. ∵OA＝3，∴AD＋BF＝3. ∴S＝S△ACE＋S△BCE＝CE·(AD＋BF)＝×3＝－x2－x＝－2＋， ∵－3＜－＜0，∴当x＝－时， S有最大值，为. 学科网（北京）股份有限公司 $$