第1章 3.2 第1课时 基本不等式-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

3.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 知识点一 利用基本不等式比较大小 1.下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C．≥ D．x2＋≥2 答案　D 解析　当a＜0时，则a＋≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错误；a＝4，b＝16，则＜，故C错误；由基本不等式可知D正确． 2．已知两个不相等的正数a，b，设P＝，Q＝，M＝，则有(　　) A．P＞Q＞M B．Q＞P＞M C．P＞M＞Q D．M＞P＞Q 答案　D 解析　由基本不等式得P＞Q，又M2－P2＝＞0，得M＞P，故M＞P＞Q.故选D. 3．已知正数x，y满足xy＝36，则x＋y与12的大小关系是________． 答案　x＋y≥12 解析　由x，y为正数，得x＋y≥2＝12，当且仅当x＝y＝6时，等号成立． 4．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，试找出a＋b，a2＋b2,2，2ab中的最大者． 解　∵0<a<1,0<b<1，且a≠b，∴a＋b>2，a2＋b2>2ab，∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0<a<1，0<b<1，∴a(a－1)<0，b(b－1)<0，∴a2＋b2－(a＋b)<0，即a2＋b2<a＋b.∴a＋b最大. 知识点二 利用基本不等式证明不等式 5．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：＋＋＞a＋b＋c. 证明　∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴＋≥2 ＝2c，＋≥2 ＝2a，＋≥2 ＝2b. 又a，b，c不全相等，故上述等号不能同时成立． ∴＋＋＞a＋b＋c. 6．(1)已知a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥a＋b＋c； (2)已知a>0，b>0，求证：a＋b＋1≥ ＋＋. 证明　(1)∵a，b，c∈R＋，∴，，均大于0， 又＋b≥2＝2a， ＋c≥2＝2b， ＋a≥2＝2c， 三式相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． ∴＋＋≥a＋b＋c. (2)∵a>0，b>0，∴a＋b≥2， a＋1≥2，b＋1≥2， ∴2(a＋b＋1)≥2＋2＋2， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立． ∴a＋b＋1≥＋＋. 7．已知a，b，c∈R，求证：＋＋≥(a＋b＋c)． 证明　∵2ab≤a2＋b2，∴≤，即2≤， ∴≤ ， ∴≥(a＋b)(a，b∈R，等号在a＝b≥0时成立)． 同理，≥(b＋c)(等号在b＝c≥0时成立)． ≥(a＋c)(等号在a＝c≥0时成立)． 三式相加得＋＋ ≥(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c) ＝(a＋b＋c)(等号在a＝b＝c≥0时成立). 易错点 忽视基本不等式适用条件 8．判断下列结论是否正确，并说明理由： (1)若a＞0，则a2＋1＞a； (2)若a＞0，b＞0，则≥4； (3)若a＞0，b＞0，则(a＋b)≥4； (4)若a∈R，且a≠0，则＋a≥6. [易错分析]　易忽略基本不等式成立的前提是为非负数而误认为(4)也正确． 正解　(1)因为a>0，所以a2＋1≥2＝2a>a，故正确． (2)因为a＞0，所以a＋≥2， 因为b＞0，所以b＋≥2， 所以当a＞0，b＞0时，≥4，故正确． (3)因为(a＋b)＝2＋＋， 又因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2， 所以(a＋b)≥4，故正确． (4)因为a∈R，且a≠0，不符合基本不等式的条件，故＋a≥6是错误的． 一、选择题 1．下列不等式一定成立的是(　　) A．≥ B．≤－ C．x＋≥2 D．x2＋≥2 答案　D 解析　当a，b，x都为负数时，A，C不正确．当a，b为正数时，B不正确．又x2＋≥2 ＝2，当且仅当x2＝1，即x＝±1时取等号．故选D. 2．若a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a－b＞－ B．＜ C．> D．＞ 答案　C 解析　当a＝2，b＝时，a－b＝，－＝，不满足a－b＞－，A错误；当c＝0时，＝＝0，不满足＜，B错误；当a＝2，b＝1时，＝，＝2，不满足＞，D错误；若a＞b＞0，则a＋b>2，即a＋b>，整理可得>，C正确．故选C. 3．设a，b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5＞a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋＞2.上述三个式子恒成立的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案　B 解析　a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)2(a＋b)＞0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；＋＞2或＋＜－2.故选B. 4．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(　　) A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 答案　A 解析　因为a＋b＝cd＝4，所以由基本不等式得a＋b≥2，故ab≤4.又因为cd≤，所以c＋d≥4，所以ab≤c＋d，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时，等号成立．故选A. 5．[多选]设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A．ab的最大值为 B．＋的最小值为4 C．＋的最大值为 D．a2＋b2的最小值为 答案　BD 解析　因为正实数a，b满足a＋b＝1，由基本不等式得，ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时取等号，A错误；＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，B正确；(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，当且仅当a＝b＝时取等号，所以＋≤ ，C错误；因为2≤，当且仅当a＝b＝时取等号，所以a2＋b2≥，D正确．故选BD. 二、填空题 6．已知a>3，则＋的最小值为________． 答案　1 解析　∵a>3，∴a－3>0， ∴＋≥2 ＝1， 当且仅当＝，即a＝11时取等号． 7．若a＞b＞c，则与的大小关系是________． 答案　≥ 解析　因为a＞b＞c， 所以＝≥， 当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，等号成立． 8．设a，b＞0，a＋b＝5，则 ＋的最大值为________． 答案　3 解析　(＋)2＝a＋b＋4＋2·≤9＋a＋1＋b＋3＝9＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＋1＝b＋3且a＋b＝5，即a＝，b＝时等号成立，所以＋≤3. 三、解答题 9．已知x>0，y>0，z>0，求证：·≥8. 证明　因为x>0，y>0，z>0， 所以＋≥>0，当且仅当y＝z时等号成立， ＋≥>0，当且仅当x＝z时等号成立， ＋≥>0，当且仅当x＝y时等号成立，所以 ≥＝8， 当且仅当x＝y＝z时等号成立． 10．(1)已知m，n>0，且m＋n＝16，求mn的最大值； (2)已知x>3，求y＝x＋的最小值． 解　(1)∵m，n>0且m＋n＝16， ∴由基本不等式可得mn≤2＝2＝64， 当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64. ∴mn的最大值为32. (2)∵x>3，∴x－3>0，>0， 于是y＝x＋＝x－3＋＋3 ≥2 ＋3＝7， 当且仅当x－3＝，即x＝5时，y取到最小值7. 学科网（北京）股份有限公司 $$