第1章 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 知识点一 全称量词命题的否定 1.写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)1,2,3,4,5中的每一个数都是偶数； (3)每一个四边形的四个顶点共圆； (4)∀x∈R，x2＋1≥0. 解　(1)“任何一个平行四边形的对边都平行”的否定是“存在一个平行四边形，它的对边不都平行”． (2)“1,2,3,4,5中的每一个数都是偶数”的否定是“1,2,3,4,5中至少有一个数不是偶数”． (3)“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形，它的四个顶点不共圆”． (4)“∀x∈R，x2＋1≥0”的否定是“∃x∈R，x2＋1<0”． 2．写出下列全称量词命题p的否定，并判断p的否定的真假． (1)p：∀x＞0，>0； (2)p：所有矩形的两条对角线相等； (3)p：不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实数根． 解　(1)命题的否定：∃x＞0，≤0.假命题． (2)命题的否定：有的矩形的两条对角线不相等．假命题． (3)命题的否定：存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实数根．真命题. 知识点二 存在量词命题的否定 3.写出下列存在量词命题的否定： (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x，y∈Z，使得 x＋y＝3. 解　(1)“有些实数的绝对值是正数”的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”． (2)“某些平行四边形是菱形”的否定是“每一个平行四边形都不是菱形”． (3)“∃x，y∈Z，使得x＋y＝3”的否定是“∀x，y∈Z，x＋y≠3”． 4．写出下列存在量词命题p的否定，并判断它们的真假． (1)p：∃x>1，x2－2x－3＝0； (2)p：有些自然数是奇数； (3)p：有些平行四边形不是矩形． 解　(1)命题的否定：∀x＞1，x2－2x－3≠0.假命题． (2)命题的否定：所有的自然数都不是奇数．假命题． (3)命题的否定：所有的平行四边形都是矩形．假命题. 知识点三 命题的否定的应用 5.若“∀x∈R，|x|＋2≥m”是假命题，则实数m的取值范围是________． 答案　(2，＋∞) 解析　因为命题“∀x∈R，|x|＋2≥m”是假命题，所以该命题的否定“∃x∈R，|x|＋2<m”是真命题．因为|x|＋2≥2，所以m>2.所以实数m的取值范围是(2，＋∞)． 6．已知命题“∃x>1，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围． 解　因为命题“∃x>1，使得2x＋a<3”是假命题，所以其否定“∀x>1,2x＋a≥3”是真命题，所以a≥3－2x. 当x>1时，3－2x<1，所以a≥1. 所以实数a的取值范围是[1，＋∞)． 7．已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围． 解　因为“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，所以“∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根，所以a＝0或即a＝0或a≤1且a≠0，所以a≤1.所以实数a的取值范围是{a|a≤1}． 易错点 对命题的否定没有理解透彻而致误 8.命题“菱形的对角线相等”的否定是________． [易错分析]　该题容易将量词丢掉，错写为“菱形的对角线不相等”． 答案　有些菱形的对角线不相等 正解　原命题可表述为“所有的菱形的对角线相等”，则其否定是“有些菱形的对角线不相等”． 9．命题“∃x∈R，x2－x＋2<0”的否定是________． [易错分析]　该题容易用错定义，误写成“不存在x∈R，x2－x＋2≥0”或“∀xR，x2－x＋2≥0”． 答案　∀x∈R，x2－x＋2≥0 正解　命题“∃x∈R，x2－x＋2<0”的否定是改量词，否结论，故答案为“∀x∈R，x2－x＋2≥0”． 一、选择题 1．命题“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定是(　　) A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根 D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根 答案　C 解析　命题是存在量词命题，其否定为全称量词命题，即为对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根． 2．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　) A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0 D．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0 答案　C 解析　因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0. 3．命题“∃x∈(0，＋∞)，＝x－2”的否定是(　　) A．∀x∈(0，＋∞)，≠x－2 B．∀x(0，＋∞)，≠x－2 C．∃x∈(0，＋∞)，≠x－2 D．∃x(0，＋∞)，≠x－2 答案　A 解析　原命题的否定是“∀x∈(0，＋∞)，≠x－2”．故选A. 4．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．则命题p：∀x∈A,2x∈B的否定是(　　) A．∀x∈A,2xB B．∀xA,2xB C．∃xA,2x∈B D．∃x∈A,2xB 答案　D 解析　命题∀x∈A,2x∈B是一个全称量词命题，命题的否定应为∃x∈A,2xB.故选D. 5．[多选]命题p：∀x∈[0,1]，2x＋b≤0是假命题，则实数b的值可能是(　　) A．－ B．－ C．5 D．－ 答案　BCD 解析　命题p：∀x∈[0,1]，2x＋b≤0是假命题，所以它的否定：∃x∈[0,1]，2x＋b＞0是真命题，所以2＋b>0，解得b>－2，所以实数b的值可能是－，5，－.故选BCD. 二、填空题 6．命题“所有的长方形都是四边形”的否定是________． 答案　有些长方形不是四边形 解析　命题“所有的长方形都是四边形”的否定应为“有些长方形不是四边形”． 7．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________________． 答案　所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0 解析　把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”，得命题的否定为“所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”． 8．若命题“∃x∈[0,3]，使得x2－3x＋a＜0成立”是假命题，则实数a的取值范围是________． 答案　 解析　若命题“∃x∈[0,3]，使得x2－3x＋a＜0成立”是假命题，则有“∀x∈[0,3]，使得x2－3x＋a≥0成立”是真命题．即a≥－x2＋3x,0≤x≤3.设y＝－x2＋3x，则原命题等价于a≥ymax,0≤x≤3，当且仅当x＝时，y＝－x2＋3x有最大值，故a≥. 三、解答题 9．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假． (1)∃x∈N，x2－9＝0； (2)∀x∈R，x3>x2. 解　(1)命题“∃x∈N，x2－9＝0”的否定为“∀x∈N，x2－9≠0”． 当x＝3时，x2－9＝0，故所得命题为假命题． (2)命题“∀x∈R，x3>x2”的否定为“∃x∈R，x3≤x2”． 对命题：∀x∈R，x3>x2，当x＝－1时，－1<1，即该命题为假命题，所以命题的否定为真命题． 10．已知a∈R，命题p：“∀x∈[0,1]，|x|－a≥0”，命题q：“∃x∈R，使－x2＋2x－a＝0”．若命题p和命题q均为假命题，求实数a的取值范围． 解　因为命题p为全称量词命题，所以其否定为“∃x∈[0,1]，使|x|－a＜0”，这个命题为真命题． 所以a＞|x|，且x∈[0,1]，所以a＞0. 因为命题q为存在量词命题，所以其否定为“∀x∈R，－x2＋2x－a≠0”，这个命题为真命题． 所以Δ＝22－4×(－1)×(－a)＜0，解得a>1. 综上，实数a的取值范围为(1，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$