第1章 2.2 第1课时 全称量词命题与存在量词命题-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

2.2　全称量词与存在量词 第1课时　全称量词命题与存在量词命题 知识点一 全称量词命题与全称量词 1．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为(　　) A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立 B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立 C．对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy成立 D．存在x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy成立 答案　A 解析　命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立． 2．判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)所有的全等三角形都是相似三角形； (2)一切分数都是有理数； (3)每一个偶数都能被2整除； (4)∀x∈R，x2＋2>0. 解　(1)“所有的全等三角形都是相似三角形”是全称量词命题，“所有”是全称量词． (2)“一切分数都是有理数”是全称量词命题，“一切”是全称量词． (3)“每一个偶数都能被2整除”是全称量词命题，“每一个”是全称量词． (4)“∀x∈R，x2＋2>0”是全称量词命题，“∀”是全称量词. 知识点二 存在量词命题与存在量词 3．下列命题不是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3成立 B．对有些x∈R，使得x2>3成立 C．任选一个x∈R，都有x2>3成立 D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立 答案　C 解析　C项是全称量词命题，故符合题意． 4．判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词： (1)存在一个偶数是素数； (2)有一个集合没有真子集； (3)有些平行四边形不是菱形； (4)∃x∈R，x2＋x－2>0. 解　(1)“存在一个偶数是素数”是存在量词命题，“存在”是存在量词． (2)“有一个集合没有真子集”是存在量词命题，“有一个”是存在量词． (3)“有些平行四边形不是菱形”是存在量词命题，“有些”是存在量词． (4)“∃x∈R，x2＋x－2>0”是存在量词命题，“∃”是存在量词． 知识点三 全称量词命题与存在量词命题真假的判断 5．试判断下列全称量词命题的真假： (1)∀x∈R，x2＋2＞0； (2)对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0； (3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示． 解　(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0，所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题． (2)因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以该命题是假命题． (3)如边长为1的正方形，其对角线的长度为，不是正有理数，所以该命题是假命题． 6．判断下列存在量词命题的真假： (1)∃x∈Z，x3＜1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)∃x∈Q，x2＝3； (4)∃x，y为正实数，x2＋y2＝0. 解　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1，所以“∃x∈Z，x3＜1”是真命题． (2)真命题，如梯形． (3)由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以“∃x∈Q，x2＝3”为假命题． (4)因为x＞0，y＞0，所以x2＋y2＞0，所以“∃x，y为正实数，x2＋y2＝0”为假命题． 知识点四 全称量词命题与存在量词命题的应用 7. 已知集合A＝{x|－3≤x≤6}，B＝{x|m＋3≤x≤2m＋4}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 解　(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，又B≠∅，所以 解得－1≤m≤1. 即m的取值范围是{m|－1≤m≤1}． (2)由q为真，则A∩B≠∅， 又因为B≠∅，所以 解得－1≤m≤3，所以m的取值范围是{m|－1≤m≤3}. 易错点 忽略全称量词可以省略而致误 8.判断“矩形是平行四边形”是否是全称量词命题？如果是，指出其中的全称量词；如果不是，说明理由． [易错分析]　该题容易在“矩形是平行四边形”中没发现全称量词，误认为不是全称量词命题． 正解　“矩形是平行四边形”是全称量词命题，只是省略了全称量词“所有”． 一、选择题 1．下列命题中全称量词命题的个数是(　　) ①任意一个自然数都是正整数；②有的平行四边形对角线相等；③三角形的内角和是180°. A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　①③是全称量词命题，②是存在量词命题． 2．下列命题中，不是全称量词命题的是(　　) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．每一个小数都是有理数 D．一定存在没有最大值的二次函数 答案　D 解析　D项是存在量词命题，A，B，C三项都是全称量词命题． 3．下列命题中存在量词命题的个数是(　　) ①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有x2∈R. A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有一个存在量词命题． 4．以下四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使＞2 答案　B 解析　A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A不是真命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C不是真命题；D中对于任意一个负数x，都有＜0，所以D不是真命题． 5．[多选]设非空集合P，Q满足P∩Q＝Q，且P≠Q，则下列说法正确的是(　　) A．∀x∈Q，有x∈P B．∃x∈P，使得xQ C．∃xQ，使得x∈P D．∀xQ，有xP 答案　ABC 解析　由于P∩Q＝Q，且P≠Q，故Q是P的真子集，所以集合Q中的元素都是集合P中的元素，故A正确；但是不属于Q的元素，有的属于P，有的不属于P，故C正确，D错误；对于B，由于P≠Q，故P中有的元素集合Q中是没有的，故B正确．故选ABC. 二、填空题 6．给出以下命题： ①∀x∈R，有x4>x2；②存在锐角α使得sinα＝cosα；③∃a∈R，使得x2＋2x＋a>0. 其中真命题的个数为________． 答案　2 解析　①中，当x＝0时，x4＝x2，故不是真命题；②中，当α＝45°时，sinα＝cosα成立，故为真命题；③中，由于函数y＝x2＋2x＋a的图象开口向上，一定存在a∈R，使x2＋2x＋a>0，故为真命题． 7．给出下列四个命题： ①无理数的平方是有理数；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④对任意实数x,2x＋1是奇数． 其中全称量词命题是________．(填序号) 答案　①②④ 解析　①②省略了量词“所有”，④含有量词“任意”． 8．若“∀x∈R，(a－2)x＋1>0”是真命题，则实数a的取值集合是________． 答案　{2} 解析　“∀x∈R，(a－2)x＋1>0”是真命题，等价于(a－2)x＋1>0的解集为R，所以a－2＝0，所以a＝2. 三、解答题 9．判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，若是，指出其中的量词： (1)过直线外一点，存在另一条直线与其平行； (2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解； (3)存在有理数x，使得＝2. 解　(1)“过直线外一点，存在另一条直线与其平行”是存在量词命题，“存在”是存在量词． (2)“对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解”是全称量词命题，“所有”是全称量词． (3)“存在有理数x，使得＝2”是存在量词命题，“存在”是存在量词． 10．已知命题p：∀x∈[2,3]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0.若命题p和命题q都是真命题，求实数a的取值范围． 解　∵∀x∈[2,3]，x2－a≥0，即a≤x2， 当x∈[2,3]时恒成立，∴a≤4. ∵∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0， 即方程x2＋2x＋2－a＝0有实根， ∴Δ＝4－4×1×(2－a)≥0，解得a≥1. ∵命题p和命题q都是真命题， ∴实数a的取值范围是[1,4]． 学科网（北京）股份有限公司 $$