第1章 1.2 集合的基本关系-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

1．2　集合的基本关系 知识点一 子集、真子集问题 1.下列四个命题： ①空集没有子集； ②空集是任何一个集合的真子集； ③∅⊆{0}； ④任何一个集合必有两个或两个以上的子集． 其中正确命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集是集合{0}的子集，故③正确．故正确命题的个数为1. 2．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为(　　) A．3 B．6 C．7 D．8 答案　B 解析　由题意A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6，8,12}，所以集合B的非空真子集的个数为23－2＝6. 3．[多选]下列集合中，只有一个子集的是(　　) A．{x|x＋3＝3} B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R} C．{x|x2<0} D．{x|x2－x＋1＝0} 答案　CD 解析　对于A，集合有1个元素0，故有2个子集；对于B，集合有1个元素(0,0)，故有2个子集；对于C，集合为空集，故有1个子集即空集；对于D，集合为空集，故有1个子集即空集．故选CD. 知识点二 集合间的关系 4.指出下列各组的两个集合之间的关系： (1)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝4n，n∈Z}； (2)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}； (3)P＝{x|x2－x＝0}，Q＝. 解　(1)∵P是偶数集，Q是4的倍数集， ∴QP. (2)∵n∈Z，∴n－1∈Z，∴Q表示偶数集， 又P也表示偶数集，∴P＝Q. (3)P＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．在Q中，当n为奇数时，x＝＝0；当n为偶数时，x＝＝1，∴Q＝{0,1}，∴P＝Q. 5．已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M. 解　①当M中含有2个元素时，M为{1,2}； ②当M中含有3个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2，5}； ③当M中含有4个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； ④当M中含有5个元素时，M为{1,2,3,4,5}． 故满足条件的集合M为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． 知识点三 由集合间的关系求参数的值或取值范围 6.设集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，且BA，求实数a，b的值． 解　因为B≠∅，且BA，A＝{－1,2}， 所以B＝{－1}或B＝{2}． 又B＝{x|x2－2ax＋b＝0}， 所以当B＝{－1}时，有 解得 当B＝{2}时，有解得 综上可知，或 7．已知集合M＝{x|－2≤x≤5}，N＝{x|m－6≤x≤2m－1}． (1)若M＝N，求实数m的取值范围； (2)若M⊆N，求实数m的取值范围． 解　(1)若M＝N，则方程组无解，即不存在实数m使得M＝N.所以实数m的取值范围为∅. (2)若M⊆N，则解得3≤m≤4. 所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}. 易错点 遗忘空集致误 8.已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，则实数a的值为________． [易错分析]　由集合B⊆A及B的含义求a时，易忽略B＝∅时的情况，也就丢了a的可能解． 答案　0或或－2 正解　由A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，得 当B⊆A时，B＝∅或B＝{－1}或B＝{3}． 当B＝∅时，得a＝0； 当B＝{－1}时，得a＝－2； 当B＝{3}时，得a＝. 综上可知，a＝0或a＝－2或a＝. 一、选择题 1．下列各式中，正确的是(　　) A．2∈{x|x≤3} B．2{x|x≤3} C．2⊆{x|x≤3} D．{2}{x|x≤3} 答案　B 解析　2表示一个元素，{x|x≤3}表示一个集合，但2不在集合中，故2{x|x≤3}，A，C不正确，又集合{2}{x|x≤3}，故D不正确．故选B. 2．下列表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2－x＝0}的关系的Venn图中，正确的是(　　) 答案　B 解析　由N＝{0,1}，知NM.故选B. 3．集合M＝，N＝，则(　　) A．M＝N B．MN C．MN D．M与N没有相同元素 答案　C 解析　∵＋＝(2k＋1)，＋＝(k＋2)，当k∈Z时，2k＋1是奇数，k＋2是整数，又奇数都是整数，但整数不都是奇数，∴MN. 4．定义集合A*B＝{x|x∈A，且xB}，若A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,5}，则A*B的子集个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　A*B中的元素有1,7，∴A*B的子集个数为22＝4.故选D. 5．[多选]已知集合M＝{x|x2＝4}，N为自然数集，则下列结论正确的是(　　) A．2∈M B．M＝{－2,2} C．∅⊆M D．M⊆N 答案　ABC 解析　由已知可得集合M＝{2，－2}，故A，B正确；根据空集的性质可得C正确；因为集合N的元素为0和正整数，故D错误．故选ABC. 二、填空题 6．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是________． 答案　{(1,2)}，{(－3,4)} 解析　{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有∅，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}． 7．已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x≥m}，若A⊆B，则实数m的取值范围为________． 答案　(－∞，－2] 解析　由已知A⊆B，画数轴： 可得m≤－2. 8．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________． 答案　BA 解析　A中(x，y)，x∈R，y∈R，所以A表示直线y＝x上所有点构成的集合．B中的x≠0，所以B表示直线y＝x上所有点构成的集合，但除去原点．所以BA. 三、解答题 9．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x|2x2＋ax＋b＝0}，若B≠∅，且B⊆A，求实数a，b的值． 解　A＝{x|x2－1＝0}＝{1，－1}，由B⊆A，且B≠∅，得B＝{1}或{－1}或{1，－1}． 当B＝{1}时，方程2x2＋ax＋b＝0有两个相等实数根1，由根与系数的关系得a＝－4，b＝2； 当B＝{－1}时，方程2x2＋ax＋b＝0有两个相等实数根－1，由根与系数的关系得a＝4，b＝2； 当B＝{1，－1}时，方程2x2＋ax＋b＝0有两个不相等实根，分别为－1,1，由根与系数的关系得a＝0，b＝－2. 综上可知，或或 10．已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 解　当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3. 当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得或解得a<－4或2<a≤3. 综上，实数a的取值范围为{a|a＜－4，或a＞2}． 学科网（北京）股份有限公司 $$