第1章 1.1 第2课时 集合的表示-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

第2课时　集合的表示 知识点一 用列举法表示集合 1．用列举法表示集合{(x，y)|(x＋1)2＋|y－1|＝0，x，y∈R}为________． 答案　{(－1,1)} 解析　因为(x＋1)2≥0，|y－1|≥0，所以(x＋1)2＝0且|y－1|＝0，故有x＝－1且y＝1，因此答案为{(－1，1)}． 2．已知集合A＝{x|x<5且x∈N＋}，B＝{(a，b)|a＋b2＝1，b∈A}，试用列举法表示集合B＝________. 答案　{(0,1)，(－3,2)，(－8,3)，(－15,4)} 解析　∵x∈N＋，且x<5，∴x＝1,2,3,4， ∴A＝{1,2,3,4}．又a＋b2＝1，且b∈A， ∴当b＝1时，a＝0；当b＝2时，a＝－3； 当b＝3时，a＝－8；当b＝4时，a＝－15. ∴B＝{(0,1)，(－3,2)，(－8,3)，(－15,4)}. 知识点二 用描述法表示集合 3．集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是(　　) A．{x|x是不大于9的非负奇数} B．{x|x≤9，x∈N} C．{x|1≤x≤9，x∈N} D．{x|0≤x≤9，x∈Z} 答案　A 解析　集合{1,3,5,7,9}表示不小于1，不大于9的奇数构成的集合，符合该特点的只有A. 4．将集合“正奇数的全体”用描述法表示正确的是(　　) A．{x|x＝2n＋1，n∈N＋} B．{x|x＝2n－1，n∈N＋} C．{x|x＝2n－1，n∈Z} D．{x|x＝2n＋1，n∈Z} 答案　B 解析　A项中没有1；C，D两项表示奇数集．故选B. 知识点三 集合的分类 5．下列各组对象能否构成集合？若能，请指出它们是有限集还是无限集． (1)非负奇数； (2)小于18的既是正奇数又是素数的数； (3)在平面直角坐标系中所有第三象限的点； (4)在实数范围内方程(x2－1)(x2＋2x＋1)＝0的所有解； (5)在实数范围内方程组的解． 解　(1)能构成集合，是无限集． (2)小于18的素数是2,3,5,7,11,13,17.只有2是偶数，其余的都是正奇数，所以能构成集合，是有限集． (3)第三象限的点的横坐标和纵坐标都小于0，能构成集合，是无限集． (4)能构成集合，注意集合中元素的互异性，集合中的元素是－1,1，是有限集． (5)由x2－x＋1＝0的判别式Δ＝－3＜0，方程无实根，由此可知方程组无解，能构成集合，是空集，故是有限集． 6．用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集． (1)由方程x2＋x－2＝0的根组成的集合； (2)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合． 解　(1)因为方程x2＋x－2＝0的两根为x1＝－2，x2＝1， 所以用列举法表示由方程x2＋x－2＝0的根组成的集合为{－2,1}，是有限集． (2)用描述法表示该集合为M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}，或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}，是有限集. 知识点四 区间的表示 7.使有意义的所有实数x取值的集合为________．(用区间表示) 答案　[－3，＋∞) 解析　为使有意义，需满足x＋3≥0，即x≥－3，故所求集合可表示为[－3，＋∞). 知识点五 集合表示法的应用 8.设∈，则集合中所有元素之积为________． 答案　 解析　∵∈，∴－a－＝0，∴a＝－，当a＝－时，方程x2－x－a＝0的判别式Δ＝2－4×＝>0，∴集合的所有元素的积为方程的两根之积，等于. 9．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}．若集合A是空集，则实数a的取值范围是________． 答案　{a|a>1} 解析　当a＝0时，由2x＋1＝0得A＝，不符合题意；当a≠0时，则Δ＝22－4a<0，即a>1.所以实数a的取值范围是{a|a>1}. 易错点 忽略元素形式而出错 10.给出下列说法： ①集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{－1，0,1}； ②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}； ③方程组的解集为{x＝1，y＝2}． 其中正确的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 [易错分析]　①易忽略代表元素x∈N，导致判断错误；②出错是对常用数集的符号理解不到位；③出错是对“方程组的解为有序实数对”这一点认识不到位． 答案　D 正解　由x3＝x，即x(x－1)(x＋1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1，因为－1∉N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0,1}，故①不正确；集合表示中的符号“{　}”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或R，故②不正确；方程组的解是有序实数对，其解集应为，故③不正确． 一、选择题 1．方程组的解组成的集合是(　　) A．{2,1} B．(2,1) C．{(2,1)} D．{－1,2} 答案　C 解析　先求出方程组的解再写成集合的形式．注意集合的元素是有序实数对(2,1)．故选C. 2．下列集合是有限集的是(　　) A．{x|x是能被3整除的数} B．{x∈R|0<x<2} C．{(x，y)|2x＋y＝5，x∈N，y∈N} D．{x|x是面积为1的菱形} 答案　C 解析　对于C，该集合可表示为{(0,5)，(1,3)，(2,1)}，为有限集，易知选项A，B，D中的集合都为无限集．故选C. 3．给出下列集合： ①{0}；②{∅}；③{x|3m<x<m}；④{x|a＋2<x<a}；⑤{x|x2＋1＝0，x∈R}． 其中一定是空集的是(　　) A．①② B．②⑤ C．④⑤ D．③④⑤ 答案　C 解析　①和②是常见的空集的错误表示方法；对于③，不要误认为3m>m而断定{x|3m<x<m}是空集，当m<0时，显然3m<m成立；对于④，不论a为何值，总有a＋2>a，故④是空集；对于⑤，在实数范围内找不到平方等于－1的数，故⑤是空集． 4．已知集合P＝{1,2}，Q＝{z|z＝x＋y，x，y∈P}，则集合Q为(　　) A．{1,2,3} B．{2,3,4} C．{3,4,5} D．{2,3} 答案　B 解析　∵1＋1＝2,1＋2＝3,2＋1＝3,2＋2＝4，又集合中的元素具有互异性，∴Q＝{2,3,4}．故选B. 5．[多选]下列各组中M，P表示不同集合的是(　　) A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)} B．M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)} C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R} D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R} 答案　ABD 解析　对于A，集合M的元素为3，－1，集合P的元素为点(3，－1)，故A符合题意；对于B，集合M的元素为点(3,1)，集合P的元素为点(1,3)，故B符合题意；对于C，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}＝{x|x≥1}，所以M，P为同一集合，故C不符合题意；对于D，集合M的代表元素为y，集合P的代表元素为点(x，y)，故D符合题意．故选ABD. 二、填空题 6．若(2a,3a－1]为一确定的区间，则a的取值范围为________． 答案　(1，＋∞) 解析　由题意，得3a－1＞2a，∴a＞1. 7．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－5x－a＝0}中所有元素之和为________． 答案　5 解析　由－5∈{x|x2－ax－5＝0}，得25＋5a－5＝0，∴a＝－4，则集合{x|x2－5x－a＝0}＝{x|x2－5x＋4＝0}＝{x|(x－1)(x－4)＝0}＝{1,4}，∴集合中所有元素之和为1＋4＝5. 8．集合A＝{m|m＋1≥5，m∈R}，B＝{y|y＝x2＋2x＋5，x∈R}，则A，B________(填“是”或“不是”)同一集合． 答案　是 解析　A＝{m|m≥4，m∈R}，即A中元素为大于或等于4的所有实数；B＝{y|y＝(x＋1)2＋4}，因为y＝(x＋1)2＋4≥4，所以B中元素也为大于或等于4的所有实数，故A，B是同一集合． 三、解答题 9．用适当的方式表示下列集合，并判断是有限集，还是无限集． (1)方程x2(x＋1)＝0的解组成的集合； (2)平面直角坐标系中，不在第一、三象限内的点组成的集合； (3)自然数的平方组成的集合． 解　(1)由x2(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝0，所以该集合可表示为{－1,0}．故该集合为有限集． (2)平面直角坐标系中，不在第一、三象限内的点组成的集合可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．故该集合为无限集． (3)自然数的平方组成的集合用列举法可表示为{0,12,22,32，…}，用描述法可表示为{x|x＝n2，n∈N}．故该集合为无限集． 10．设集合M＝{x|x＝a＋b，a，b∈Z}． (1)判断1，，与集合M的关系； (2)若x1，x2∈M，求证：x1＋x2∈M. 解　(1)因为1＝1＋0×，所以1∈M； 因为＝0＋1×，所以∈M； 因为312＝961,322＝1024， 所以1011不是正整数的平方， 因为＝×， 所以M. (2)证明：因为x1，x2∈M，M＝{x|x＝a＋b，a，b∈Z}，所以设x1＝a1＋b1，a1，b1∈Z，x2＝a2＋b2，a2，b2∈Z， 所以x1＋x2＝a1＋b1＋a2＋b2 ＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)， 因为(a1＋a2)∈Z，(b1＋b2)∈Z， 所以(a1＋a2)＋(b1＋b2)∈M， 即x1＋x2∈M. 学科网（北京）股份有限公司 $$