第1章 1.1 第1课时 集合的概念-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

第一章 预备知识 §1　集合 1．1　集合的概念与表示 第1课时　集合的概念 知识点一 集合的概念 1．下列对象能组成集合的是(　　) A．中央电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车 C．上海市所有的中学生 D．香港的高楼 答案　C 解析　对于A，“著名”无明确标准；对于B，“快”的标准不确定；对于D，“高”的标准不确定，因而A，B，D均不能组成集合．对于C，上海市的中学生是确定的，能组成集合． 2．夏末秋初，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象中能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由． (1)你所在班级中的全体同学； (2)班级中比较高的同学； (3)班级中身高超过178 cm的同学； (4)班级中比较胖的同学； (5)班级中体重超过75 kg的同学； (6)学习成绩比较好的同学． 解　(1)因为“班级中的全体同学”是确定的，所以可以构成一个集合． (2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (3)因为“身高超过178 cm”是确定的，所以可以构成一个集合． (4)因为“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (5)因为“体重超过75 kg”是确定的，所以可以构成一个集合． (6)因为“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合. 知识点二 元素与集合的关系 3．给出下列关系式：∈R，0.3∈Q，0N，0∈N＋，∈N＋，－πZ.其中正确的有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 答案　A 解析　正确的有∈R,0.3∈Q，－πZ. 4．已知集合A中的元素x满足2x＋a＞0，a∈R，若1A，2∈A，则(　　) A．a＞－4 B．a≤－2 C．－4＜a＜－2 D．－4＜a≤－2 答案　D 解析　∵1A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.又2∈A，∴2×2＋a＞0，a＞－4，∴－4＜a≤－2. 5．[多选]下列结论中正确的是(　　) A．若a∈N，则N B．若a∈Z，则a2∈Z C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则∈R 答案　BCD 解析　若a＝1∈N，则＝1∈N，故A错误，B，C，D显然正确. 知识点三 集合中元素的特性及其应用 6．由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有元素的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　当a＝0时，四个数都是0，组成的集合只有一个数0；当a≠0时，＝|a|＝所以组成的集合中有两个元素．故选B. 7．集合A中的两个元素为2＋x，x2，若1∈A，则x＝(　　) A．－1 B．1 C．－1或1 D．0 答案　B 解析　因为1∈A，所以x＋2＝1或x2＝1，利用元素的互异性，可得x＝1. 易错点 忽视集合中元素的互异性致误 8．方程x2－(a＋1)x＋a＝0的所有实数根组成的集合中含有几个元素？ [易错分析]　本题产生错误的原因是没有注意到字母a的取值带有不确定性而得到错误答案两个元素．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性． 正解　x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为x1＝1，x2＝a. 若a＝1，则方程的所有实数根组成的集合中只含有一个元素1；若a≠1，则方程的所有实数根组成的集合中含有两个元素1，a. 一、选择题 1．下列各组对象中不能构成集合的是(　　) A．正三角形的全体 B．所有的无理数 C．高一数学第一章的所有难题 D．不等式2x＋3>1的解 答案　C 解析　因为A，B，D三项可以确定其元素，而C中难题的标准无法确定，故选C. 2．“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中元素的个数是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　C 解析　根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中元素的个数是7. 3．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　) A．0∈M B．－1∈M C．3M D．1∈M 答案　B 解析　当a，b全为正数时，原式为3；当a，b全为负数时，原式为－1；当a，b一正一负时，原式为－1.故选B. 4．下列说法中，正确的个数是(　　) ①集合N＋中最小的数是1；②若－aN＋，则a∈N＋；③若a∈N＋，b∈N＋，则a＋b的最小值是2；④x2＋4＝4x的所有实数解组成的集合中含有2个元素． A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　N＋是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－aN＋，aN＋，故②错误；若a∈N＋，则a的最小值是1，同理，b∈N＋， b的最小值也是1，所以当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由方程x2＋4＝4x有两个相等的实数根及集合中元素的互异性，知④错误． 5．[多选]已知集合A中的元素为2，a2＋1，a2－4a，集合B中的元素为0，a2－a－2，且5∈A，则实数a的值可以为(　　) A．2 B．－2 C．5 D．－1 答案　BC 解析　因为集合A中的元素为2，a2＋1，a2－4a，集合B中的元素为0，a2－a－2，且5∈A，则a2＋1＝5或a2－4a＝5.当a2＋1＝5时，解得a＝2或－2.当a＝2时，集合A中的元素为2,5，－4，集合B中的元素为0,0，与集合元素的互异性矛盾，故a≠2；当a＝－2时，集合A中的元素为2,5,12，集合B中的元素为0,4，故a＝－2成立；当a2－4a＝5时，解得a＝5或－1.当a＝5时，集合A中的元素为2,26,5，集合B中的元素为0,18，故a＝5成立；当a＝－1时，集合A中的元素为2,2,5，与集合元素的互异性矛盾，故a≠－1.综上，实数a的值为－2或5.故选BC. 二、填空题 6．若以方程ax2＋2x＋1＝0的根为元素的集合含有一个元素，则a＝________. 答案　0或1 解析　若a＝0，则方程为2x＋1＝0，方程只有一个根；若a≠0，则方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实根，故Δ＝4－4a＝0，所以a＝1.综上，a＝0或1. 7．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________． 答案　0,1,2 解析　由题意知3－x是6的正约数，当3－x＝1时，x＝2；当3－x＝2时，x＝1；当3－x＝3时，x＝0；当3－x＝6时，x＝－3；而x∈N，所以x＝0,1,2，即集合A中的元素为0,1,2. 8．已知集合M中有两个元素x,2－x，若－1∉M，则下列说法一定错误的是________．(填序号) ①2∈M；②1∈M；③x≠3. 答案　② 解析　依题意得解得x≠－1，x≠1且x≠3，当x＝2或2－x＝2，即x＝2或x＝0时，M中的元素为0,2，故①可能正确；当x＝1或2－x＝1，即x＝1时，M中的两元素为1,1，不满足集合中元素的互异性，故②不正确，③显然正确． 三、解答题 9．已知集合A由0,1，x三个元素组成，且x2∈A，求实数x的值． 解　因为x2∈A， 所以x2＝0或x2＝1或x2＝x. 若x2＝0，则x＝0，此时集合A中三个元素为0,1,0，不符合集合中元素的互异性，舍去． 若x2＝1，则x＝±1. 当x＝1时，集合A中三个元素为0,1,1，不符合集合中元素的互异性，舍去； 当x＝－1时，集合A中三个元素分别为0,1，－1，符合题意． 若x2＝x，则x＝0或x＝1，由以上可知，x＝0和x＝1都不符合题意． 综上所述，x＝－1. 10．已知数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)，如果a＝2，试求出集合A中的所有元素． 解　根据题意，由2∈A可知，＝－1∈A；由－1∈A可知，＝∈A；由∈A可知，＝2∈A. 故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，，2. 学科网（北京）股份有限公司 $$