精品解析：江苏省苏州市昆山周市高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

昆山市周市高级中学2024-2025学年第二学期第一次学情检测 数学学科 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法种数是（ ） A. 30种 B. 11种 C. 15种 D. 35种 2. 已知函数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 两名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（ ）种． A. 6 B. 12 C. 60 D. 120 4. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 函数，的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 无最小值 6. 甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲､乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ） A. 240 B. 192 C. 96 D. 48 7. 已知函数在区间上单调递减，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若存在实数，对任意，成立，则称是在区间上的“倍函数”．已知函数和，若是在的“倍函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9. 如图是函数的导函数的图象，则下列说法中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 函数在处取得最小值 C. 函数在处切线的斜率小于零 D. 函数在区间上单调递增 10. 一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，下列说法正确的是（ ） A. 从中取3个球，则不同的取法种数是； B. 从中取2个球，则颜色不同的取法种数是10； C. 从中取3个球，则颜色不同的取法种数是； D. 从中取3个球，则颜色相同的种数是． 11. 2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B相邻，则有48种不同站法 B. 若C与D不相邻，则有24种不同站法 C. 若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法 D. 若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 将3张相同的消费券分给9个人，每人至多分到1张，则不同的分法共有_______种． 13. 已知函数f(x)＝lnx－ax存在最大值0，则a＝________. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为_________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）解不等式：． （2）求证：． 16. 为了某次航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）中选择4人作为航天员参加该次任务． （1）若参加此次航天任务的航天员要求有男性也有女性，共有多少种选法？（结果用数字作答） （2）若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 17. 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克. （1）求函数的解析式； （2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大. 18. 已知函数 （1）若函数在处取得极小值，求实数a，b的值； （2）求的单调区间； （3）已知，且函数的极大值是1，讨论函数的零点个数． 19. 已知函数. （1）若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值； （2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆山市周市高级中学2024-2025学年第二学期第一次学情检测 数学学科 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法种数是（ ） A. 30种 B. 11种 C. 15种 D. 35种 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，从6名同学中选出正、副组长各1名是个排列问题，可得答案. 【详解】由题意可得不同的选法种数是种. 故选：A. 2. 已知函数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的导数即可得到结论. 【详解】由得， 所以， 解得. 故选：B 3. 两名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（ ）种． A. 6 B. 12 C. 60 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】优先考虑特殊位置，先排辅导老师，再排学生即可. 【详解】由题意，2名教师分别站在两侧，则， 再排学生，，则不同的站法共有种. 故选：B 4. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设知处的切线斜率为2，应用导数几何意义列方程求点的横坐标则P点可求. 【详解】由题直线的斜率为，故曲线在处的切线斜率为2，而， 所以，则，即，故点的坐标为或. 故选：C. 5. 函数，的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 无最小值 【答案】A 【解析】 【分析】求导，根据单调性即可求最值. 【详解】因为，， 所以，， 当，，在上单调递增； 当，，在上单调递减， 又，，， 所以在上的最小值为. 故选：A 6. 甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲､乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ） A. 240 B. 192 C. 96 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人. 【详解】丙在正中间（4号位）； 甲､乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况， 考虑到甲､乙的顺序有种情况； 剩下的4个位置其余4人坐有种情况； 故不同的坐法的种数为. 故选：B. 7. 已知函数在区间上单调递减，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，对任意的，，由参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的值域，即可得出实数的最小值. 【详解】由得， 因为函数在区间上单调递减，则对任意的，， 可得， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增，当时，， 即，所以，，故的最小值为. 故选：B. 8. 若存在实数，对任意，成立，则称是在区间上的“倍函数”．已知函数和，若是在的“倍函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“倍函数”定义可知，在上恒成立，构造函数并求出其在上的最小值即可得出的取值范围是. 【详解】根据题意可得， 存在实数，对于任意，恒成立， 即在上恒成立， 设，则； 当，恒成立，所以在单调递减， 即，即即可. 所以的取值范围是. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9. 如图是函数的导函数的图象，则下列说法中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 函数在处取得最小值 C. 函数在处切线的斜率小于零 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】由图得到导数正负情况，再根据导数与单调性关系、极值点和最值定义以及导数几何意义即可得解. 【详解】由图可得当时，； 当时，，当且仅当时. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，函数在区间上单调递增，故AD正确， 函数在处不能取最小值，函数在处切线的斜率大于零，故BC错误. 故选：AD. 10. 一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，下列说法正确的是（ ） A. 从中取3个球，则不同的取法种数是； B. 从中取2个球，则颜色不同的取法种数是10； C. 从中取3个球，则颜色不同的取法种数是； D. 从中取3个球，则颜色相同的种数是． 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意由组合数公式及分步乘法原理计算可得. 【详解】根据题意，一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球，共个球， 从中取个球，则有种取法，A选项正确； 从中取2个球，则颜色不同的取法种数是，B选项正确； 从中取3个球，则颜色不同的取法种数是，C选项错误； 从中取3个球，则颜色相同的种数是，D选项正确. 故选：ABD． 11. 2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B相邻，则有48种不同站法 B. 若C与D不相邻，则有24种不同站法 C. 若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法 D. 若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用捆绑法求A与B相邻的排法数，判断选项A；利用插空法求C与D不相邻的排法数，判断选项B；根据倍缩法求B在E的左边的排法数，判断选项C；优先考虑的位置，结合排列知识和两大计数原理求A不在最左边，D不在最中间的排法，判断选项D. 【详解】若A与B相邻，则有种不同站法，A正确； 若C与D不相邻，则有种不同站法，B错误； 若B在E的左边（可以不相邻），则有种不同站法，C正确； 若A不在最左边，D不在最中间， 当A排在最中间时，满足条件的排法有种， 当A不排在最中间时，满足条件的排法有种， 故共有种不同排法，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 将3张相同的消费券分给9个人，每人至多分到1张，则不同的分法共有_______种． 【答案】84 【解析】 【分析】依题意可得9人中有3人各得1张消费券，利用组合数公式计算可得. 【详解】依题意可得9人中有3人各得1张消费券，则不同的分法共有种． 故答案为：84. 13. 已知函数f(x)＝lnx－ax存在最大值0，则a＝________. 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的导函数，利用导函数正负确定函数的单调性，然后分类讨论，根据单调性确定出函数在 处取得最值，构造出关于a的方程，求出a的值. 【详解】 当a≤0时，恒成立，即函数f(x)单调递增，不存在最大值； 当a＞0时，令，解得 当时，f′(x)＞0，函数f′(x)单调递增； 当 时，f′(x)＜0，函数f′(x)单调递减. 即： 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了利用函数单调性求解函数中参数值的问题，属于简单题，其中分类讨论思想是解题的关键，注意分类标准的确定. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意构造，进而在上是增函数，根据奇偶函数的定义判断的奇偶性，原不等式等价于，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】令， 则， 由当时，，所以， 即在上是增函数， 由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以， 所以是偶函数，在递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或． 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）解不等式：． （2）求证：． 【答案】（1）； （2）根据组合数性质有：， 所以左边右边，等式得证. 【解析】 【分析】（1）根据排列数公式化简不等式，解不等式即可求解； （2）根据组合数公式证明即可. 【详解】（1）因为，所以，， 由，得：， 化简得：，令，解得，， 所以不等式的解集为， 又因为，所以或， 所以不等式：的解集为. （2）略 16. 为了某次航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）中选择4人作为航天员参加该次任务． （1）若参加此次航天任务的航天员要求有男性也有女性，共有多少种选法？（结果用数字作答） （2）若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）航天员要求有男性也有女性，先根据人数分类，再结合组合数公式用分步计数原理求解； （2）先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组，然后分配到A，B，C实验室即可. 【小问1详解】 由题意，分成3种情况讨论： 有1名女性，3名男性，共有种选法， 有2名女性，2名男性，共有种选法， 有3名女性，1名男性，共有种选法， 所以共有种选法， 即参加此次航天任务有男性也有女性的选法，共有68种选法； 【小问2详解】 由题意，先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组，然后分配到A，B，C实验室， 共有种方法. 所以每个实验室至少一名航天员，共有2520种选派方式. 17. 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克. （1）求函数的解析式； （2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大. 【答案】（1）；（2）当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大. 【解析】 【详解】分析：（1）根据题意已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，然后根据利润计算式得出具体表达式，然后根据导数求最值思维求解即可. 详解： （1）有题意可知，当时，，即， 解得， 所以. （2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则 ， ， 令，得或（舍去）， 所以当时，为增函数； 当时，为减函数， 故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点， 即时函数取得最大值. 所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大. 点睛：考查函数的表示，导函数最值的应用，正确理解题意，写出具体表达式，然后借助导数分析思维求解是解题关键，做此类题要有耐心，认真审题，读懂题意，属于中档题. 18. 已知函数 （1）若函数在处取得极小值，求实数a，b的值； （2）求的单调区间； （3）已知，且函数的极大值是1，讨论函数的零点个数． 【答案】（1）； （2） 当时，在上单调递增； 当，的单调递增区间为，；单调递减区间为； 当，的单调递增区间为，；单调递减区间为. （3） 时，有1个零点； 时，有2个零点； 时，有3个零点. 【解析】 【分析】（1）求导，由题意可知，解得a，b，并验证即可； （2）求导，分，，三种情况讨论即可； （3）由（2）可求出函数的极值，通过讨论极值即可判断零点个数. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为函数在处取得极小值， 所以，解得， 此时， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时，取到极小值，符合题意. 所以. 【小问2详解】 ， 令，则或， 当时，，所以在上单调递增； 当，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为； 当，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为. 【小问3详解】 由（2）可知，当，的单调递增区间为，；单调递减区间为， 当时，函数取到极大值，即， 所以， 当时，函数取到极小值，即， 当即时，有1个零点； 当即时，有2个零点； 当即时，有3个零点. 19. 已知函数. （1）若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值； （2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）极小值为，极大值为 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据导数的几何意义，列式求参数，再利用导数判断函数的单调性，即可求解函数的极值； （2）首先不等式变形为，再构造函数，由函数的单调性，转化为函数单调递减求参数的取值范围. 【小问1详解】 由题意得函数的定义域为，， 则，解得：， ∴， 令，解得：或， 当或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则当时，函数取得极小值，极小值为， 当时，函数取得极大值，极大值为. 【小问2详解】 由得， 不等式可变形为， 即，因为，且， 所以函数在上单调递减， 令，， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则， 因为当时，，所以函数在上单调递减， 所以，所以， 即实数m的取值范围为. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $