专题29 有关中点的常见辅助线的做法-2024-2025学年八年级数学下重难点专题突破及提优测试卷（人教版）

专题29 有关中点的常见辅助线的做法（解析版） 类型一 构造中位线 方法指导： 情形1：当三角形中出现两个及以上的中点时，考虑连接两个中点构造中位线。 如图，D、E分别为AB、AC的中点。 结论：DE∥BC，DE＝BC 情形2：当三角形中出现中点时，考虑过中点作另一边的平行线构造中位线。 如图，D为AB的中点。 结论：AC＝CE，DE＝BC 情形3：当四边形中出现两个边上的中点时，考虑连接对角线，取对角线中点构造中位线。当四边形中出现两个对角线上的中点时，考虑取边的中点，再构造中位线。 取BD中点M， 连接EM、FM 【典例1】（2025•崂山区开学）如图，四边形ABCD中，R是CD中点，E、F分别是AP、RP的中点，当动点P在CB上从C向B移动时，下列结论成立的是（　　） A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关 【思路引领】连接AR，由题意可知EF是△APR的中位线，且AR的长是定值，从而得出结论． 【完整解答】解：如图，连接AR， ∵四边形ABCD中，R是CD中点，E、F分别是AP、RP的中点， ∴EF是△APR的中位线， ∴EF， 由题意可知，线段AR的长度是定值， ∴线段EF的长度是定值， ∴线段EF的长不变， 故选：C． 【总结提升】本题考查了三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理是解题的关键． 【典例2】（2025•碑林区二模）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【思路引领】延长BD交AC于H，证明△ADB≌△ADH，根据全等三角形的性质得到AH＝AB＝4，BD＝DH，根据三角形中位线定理计算即可． 【完整解答】解：延长BD交AC于H， 在△ADB和△ADH中 ， ∴△ADB≌△ADH（ASA） ∴AH＝AB＝4，BD＝DH， ∴HC＝AC﹣AH＝6﹣4＝2， ∵BD＝DH，BM＝MC， ∴DM是△BCH的中位线， ∴， 故选：D． 【总结提升】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【典例3】（2024秋•蓬莱区期末）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝2，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，E，F分别是AD，BC边的中点，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】设BD的中点为M，连接EM，FM，证明ME是△ABD的中位线，NF为△BCD的中位线，则MEAB，ME∥AB，NFCD，NF∥CD，进而得∠EMD＝∠ABD，∠DMF+∠BDC＝180°，再根据∠ABD＝30°，∠BDC＝120°得∠EMD＝30°，∠DMF＝60°，则∠EMF＝∠EMD+∠DMF＝90°，然后在Rt△MEF中，由勾股定理可求出EF的长． 【完整解答】解：设BD的中点为M，连接EM，FM，如图所示： ∵点E，F分别是AD，BC边的中点， ∴ME是△ABD的中位线，NF为△BCD的中位线， ∴MEAB，ME∥AB，MFCD，MF∥CD， ∵AB＝2，CD＝2， ∴ME，MF， ∵ME∥AB，MF∥CD， ∴∠EMD＝∠ABD，∠DMF+∠BDC＝180°， 又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°， ∴∠EMD＝30°，∠DMF＝60°， ∴∠EMF＝∠EMD+∠DMF＝90°， 在Rt△MEF中，由勾股定理得：EF2√2． 故选：A． 【总结提升】此题主要考查了是三角形的中位线定理，正确的添加辅助线，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（2024秋•桓台县期末）如图，在△ABC中，BA＝BC＝5，AC＝6，点D，点E分别是BC，AB边上的动点，连结DE，点F，点M分别是CD，DE的中点，则FM的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 【思路引领】连接CE，过点B作BH⊥AC于H，根据三角形中位线定理得到MFCE，根据等腰三角形的性质求出AH，根据勾股定理求出BH，再根据三角形面积公式、垂线段最短解答即可． 【完整解答】解：如图，连接CE，过点B作BH⊥AC于H， ∵点F，点M分别是CD，DE的中点， ∴MF是△DEC的中位线， ∴MFCE， ∵BA＝BC，BH⊥AC， ∴AH＝HCAC＝3， ∴BH4， 当CE⊥AB时，CE最小，此时AC•BHAB•CE， ∴6×45×CE， 解得：CE， ∴FM的最小值为， 故选：A． 【总结提升】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 2．（多选）（2020秋•乳山市期末）如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD，BC的中点，AB＝4，DC＝2．对于MN的长，给出了四种猜测： ①MN＝4；②MN＝3；③MN＝2；④MN＝1． 猜测错误的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【思路引领】连接BD，取BD的中点G，连接MG、NG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2MG，DC＝2NG，再根据三角形的任意两边之和大于第三边得出MN（AB+DC），即可得出结果． 【完整解答】解：如图，连接BD，取BD的中点G，连接MG、NG， ∵点M，N分别是AD、BC的中点， ∴MG是△ABD的中位线，NG是△BCD的中位线， ∴AB＝2MG，DC＝2NG， ∴AB+DC＝2（MG+NG）， 由三角形的三边关系，MG+NG＞MN， ∴AB+DC＞2MN， ∴MN（AB+DC）， ∴MN＜3． 又∵MN＞MG+NG， ∴MN（AB﹣DC）， ∴MN＞1． ∴1＜MN＜3． 观察选项，选项A、B、D符合题意． 故选：ABD． 【总结提升】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的三边关系；根据不等关系考虑作辅助线，构造成以MN为一边的三角形是解题的关键． 3．（2024秋•洪雅县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长（　　） A． B．3 C．3 D． 【思路引领】取AB的中点F，连接NF、MF，根据直角三角形的性质得到∠CAB+∠CBA＝90°，根据三角形中位线定理分别求出MF、NF，以及∠MFN＝90°，根据勾股定理计算，得到答案． 【完整解答】解：取AB的中点F，连接NF、MF， △ABC中，∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AM＝MD，AF＝FB， ∴MF是△ABD的中位线， ∴MFBD＝3，MF∥BC， ∴∠AFM＝∠CBA， 同理，NFAE＝2，NF∥CC， ∴∠BFN＝∠CAB， ∴∠AFM+∠BFN＝∠CAB+∠CBA＝90°， ∴∠MFN＝90°， ∴MN， 故选：D． 【总结提升】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 类型二 构造直角三角形斜边中线或等腰三角形的底边中线 方法指导： 情形1：遇到直角三角形斜边中点的时候，考虑作斜边上的中线。 如图，在RT△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点。 结论：CD＝ 情形2：遇到等腰三角形底边中点的时候，利用“三线合一”解题。 如图，D为等腰△ABC中，，D为底边BC的中点。 结论：AD⊥BC，AD平分∠BAC 【典例4】（2024秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点． （1）求证：DE⊥CF； （2）求证：∠B＝2∠BCF． 【思路引领】（1）连接DF，根据直角三角形的性质得到DFAB＝BF，进而证明DC＝DF，根据等腰三角形的三线合一证明结论； （2）根据三角形的外角性质得到∠FDB＝2∠DFC，根据等腰三角形的性质证明结论． 【完整解答】证明：（1）连接DF， ∵AD是边BC上的高， ∴∠ADB＝90°， ∵点F是AB的中点， ∴DFAB＝BF， ∵DC＝BF， ∴DC＝DF， ∵点E是CF的中点． ∴DE⊥CF； （2）∵DC＝DF， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC， ∵DF＝BF， ∴∠FDB＝∠B， ∴∠B＝2∠BCF． 【总结提升】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【典例5】（2024秋•海淀区期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF． （1）求证：△DGF是等腰三角形； （2）连接EG，若EG＝2，∠DGC＝60°，求DG的长． 【思路引领】（1）根据平行线的性质和已知条件得出∠GDF＝∠DFC即可； （2）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；得到DE＝FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直；由平行线的性质得到∠ADG＝∠DGC，根据∠GDF＝∠ADF，∠GDF＝30°，利用直角三角形性质得到结论． 【完整解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC， ∵∠GDF＝∠ADF， ∴∠GDF＝∠DFC， ∴△DFG是等腰三角形； （2）连接EG，如图： ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠BFE， ∵E为AB的中点， ∴AE＝BE， 在△ADE和△BFE中， ， ∴△ADE≌△BFE（AAS）， ∴DE＝EF， ∴E是DF的中点， 由（1）可知，△DFG为等腰三角形， ∴GE⊥DF， ∵AD∥BC，∠DGC＝60°， ∴∠ADG＝∠DGC＝60°， ∵∠GDF＝∠ADF， ∴∠GDF＝30°， 在Rt△GED中， DG＝2EG＝2×2＝4． 【总结提升】此题考查了以及等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 【变式训练】 1．（2024秋•扬州期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）若∠EDF＝60°，DE＝2，求BC的长． 【思路引领】（1）连接EF，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，即可证明结论； （2）证明△DEF是等边三角形即可求得结论． 【完整解答】（1）证明：连接EF， 由条件可知∠BDC＝∠CEB＝90°， ∴△BCD，△BCE为直角三角形， ∵F是BC的中点， ∴， ∴△DEF是等腰三角形； （2）解：∵， 且∠EDF＝60°， ∴△EDF为等边三角形， ∴BC＝2DE＝4． 【总结提升】本题主要考查等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，及直角三角形斜边上的中线的性质的综合运用．灵活运用直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键． 2．（2024秋•靖江市期末）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD． 【思路引领】连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM＝DMAC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【完整解答】证明：如图，连接BM、DM， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点， ∴BM＝DMAC， ∵点N是BD的中点， ∴MN⊥BD． 【总结提升】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键． 3．（2024•北京模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE． （1）求证：CG＝EG． （2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积． 【思路引领】（1）连接DE，根据直角三角形的性质得到DEAB＝AE，根据等腰三角形的性质证明结论； （2）作EF⊥BC于F，根据题意求出BD，根据等腰三角形的性质求出DF，根据勾股定理求出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【完整解答】（1）证明：连接DE， 在Rt△ADB中，点E是AB的中点， ∴DEAB＝AE， ∵CD＝AE， ∴DE＝DC，又DG⊥CE， ∴CG＝EG． （2）解：作EF⊥BC于F， ∵BC＝13，CD＝5， ∴BD＝13﹣5＝8， ∵DE＝BE，EF⊥BC， ∴DF＝BF＝4， ∴EF3， ∴△EDC的面积CD×EF5×3＝7.5． 【总结提升】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键． 4．（2024秋•分宜县期末）如图，在△ABC中，AE⊥BC，垂足为点E，点D为BC边中点，AF⊥AB交BC边于点F，∠C＝2∠B，若DE＝4，CF＝2，求CE的长． 【思路引领】取BF的中点G，连接AG，则BG＝FG，由直角三角形斜边上的中线性质得出AGBF＝BG＝FG，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠AGC＝∠C，得出AG＝AC，得出GE＝CE，BD＝CD，设EF＝x，则GE＝CE＝EF+CF＝x+2，BD＝CD＝DE+EF+CF＝x+6，DG＝GE﹣DE＝x﹣2，得出BG＝FG＝GE+EF＝2x+2，由BD＝CD得出方程，解方程得出EF＝3，即可得出结果． 【完整解答】解：取BF的中点G，连接AG，如图所示： 则BG＝FG， ∵AF⊥AB， ∴∠BAF＝90°， ∴AGBF＝BG＝FG， ∴∠B＝∠GAB， ∵∠AGC＝∠B+∠GAB＝2∠B，∠C＝2∠B， ∴∠AGC＝∠C， ∴AG＝AC， ∵AE⊥BC， ∴GE＝CE， ∵点D为BC边中点， ∴BD＝CD， 设EF＝x，则GE＝CE＝EF+CF＝x+2，BD＝CD＝DE+EF+CF＝x+6，DG＝GE﹣DE＝x﹣2， ∴BG＝FG＝GE+EF＝2x+2， ∵BD＝CD， ∴2x+2+x﹣2＝x+6， 解得：x＝3， ∴EF＝3， ∴CE＝EF+CF＝5． 【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，通过作辅助线证明AG＝AC是解题的关键． 类型三 倍长中线构造全等三角形 方法指导： 情形1：遇到三角形的中线时，考虑倍长中线构造全等三角形。 如图，AD是△ABC的中线。 情形2： 遇到三角形一边的中点时，考虑倍长类中线构造全等三角形。 如图，D是BC的中点。 【典例6】（2024秋•莱州市期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． [阅读理解]小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE．根据　SAS　，可以判定△ADB≌△EDC，得出AB＝EC．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ACE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围　2＜AD＜8　． [模型构建] 当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线”法． [类比应用] （2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，AB＝6，AD＝4，AC＝10，则DC2＝　52　． [拓展提升] （3）如图3，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF． 【思路引领】（1）延长AD至E，使DE＝AD，由SAS证明△ADB≌△EDC，得出AB＝EC＝10，在△ACE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围； （2）根据（1）的方法可证△ADB≌△EDC，得到CE＝AB＝6，ED＝AD＝4，利用勾股定理的逆定理可得∠CED＝90°，则∠BAD＝90°，根据勾股定理即可求得答案； （3）延长FD至点H，使DH＝DF，连接BH、EH，证明△BDH≌△CDF（SAS），得出BH＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EH＝EF，在△BHE中，由三角形的三边关系得出BE+BH＞EH即可得出结论． 【完整解答】（1）解：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵∠ADB＝∠EDC， ∴△ADB≌△EDC（SAS）， ∴AB＝EC＝10， 在△ACE中，10﹣6＜AE＜10+6， ∴4＜2AD＜16， ∴2＜AD＜8； 故答案为：SAS，2＜AD＜8； （2）如图2，延长AD到点E，使DE＝AD， 根据（1）的方法可证△ADB≌△EDC（SAS）， ∴CE＝AB＝6，∠BAD＝∠CED，ED＝AD＝4， ∴AE＝8， ∵AC＝10， ∴AE2+CE2＝82+62＝102＝AC2， ∴∠CED＝90°， ∴∠BAD＝90°， ∴DC2＝BD2＝AB2+AD2＝62+42＝52． 故答案为：52； （3）证明：如图3所示：延长FD至点H，使DH＝DF，连接BH、EH， 在△BDH和△CDF中， ， ∴△BDH≌△CDF（SAS）， ∴BH＝CF， ∵DE⊥DF，DH＝DF， ∴EH＝EF， 在△BHE中，由三角形的三边关系得：BE+BH＞EH， ∴BE+CF＞EF． 【总结提升】本题是三角形的综合问题，考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（2023春•砀山县期末）如图，在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝13，AC＝5，AD＝6，则： （1）∠DAC的度数为 　90°　； （2）△ABC的面积是 　30　． 【思路引领】延长AD至点E，使ED＝AD，连接BD，证明△ACD≌△EBD（SAS），得BE＝5，AE＝12，再由勾股定理的逆定理证△ABE为直角三角形，且∠AEB＝90°，即可得出结论； （2）求出△ADC的面积，即可解决问题． 【完整解答】解：（1）如图，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE， ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD， 在△ACD和△EBD中， ， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴AC＝BE，∠DAC＝∠DEB， ∴S△ABE＝S△ABC， ∵AC＝5，AD＝6， ∴BE＝5，AE＝12， ∵AB＝13， ∴AB2＝BE2+AE2， ∴△ABE为直角三角形，且∠AEB＝90°， ∴∠DAC＝90°， 故答案为：90°； （2）由（1）可知，∠DAC＝90°， ∴S△ADCAD•AC6×5＝15， ∵D为BC的中点， ∴S△ABC＝2S△ADC＝2×15＝30， 故答案为：30． 【总结提升】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理，证明三角形全等是解题的关键． 2．（2024秋•张店区期末）如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＞BC＞5，E，F分别是边AC，BC上的点，且AE＝BF＝5，连接EF．分别取EF，AB的中点M，N，并连接MN，则MN的长为（　　） A． B．2 C． D．3 【思路引领】连接FN并延长，使ND＝NF，连接AD，ED，证明△AND≌△BNF（SAS），得出AD＝BF，∠DAN＝∠FBN，证明△ADE为等边三角形，得出DE＝AD＝5，根据中位线性质得出． 【完整解答】解：连接FN并延长，使ND＝NF，连接AD，ED，如图所示： ∵N为AB的中点， ∴AN＝BN， ∵∠AND＝∠BNF， 在△AND和△BNF中， ， ∴△AND≌△BNF（SAS）， ∴AD＝BF，∠DAN＝∠FBN， ∴AD∥BC， ∴∠DAC+∠C＝180°， ∵∠C＝120°， ∴∠DAC＝60°， ∵AD＝BF，AE＝BF＝5， ∴AE＝AD， ∴△ADE为等边三角形， ∴DE＝AD＝5， ∵M为EF的中点，ND＝NF， ∴． 故选：C． 【总结提升】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，中位线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质 3．如图，在△ABC中，点E是AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，则CD的长为 　2　． 【思路引领】延长DE至H，使EH＝DE，连接AH，证明△BED≌△AEH，根据全等三角形的性质得到AH＝BD，∠D＝∠H，证明∠CFD＝∠D，根据等腰三角形的判断定理得到CD＝CF＝2． 【完整解答】解：延长DE至H，使EH＝DE，连接AH， ∵AF＝BD，BD＝3，AC＝5， ∴CF＝AC﹣AF＝5﹣3＝2， 在△BED和△AEH中， ， ∴△BED≌△AEH（SAS）， ∴AH＝BD，∠D＝∠H， ∵AF＝BD， ∴AH＝AF， ∴∠AFH＝∠H， ∴∠CFD＝∠D， ∴CD＝CF＝2， 故答案为：2． 【总结提升】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判断定理是解题的关键． 类型四 平行＋中点，构造8字全等形 【典例7】（2023春•海门市期末）如图，已知：正方形ABCD，E为CD的中点，F为AD边上一点，且不与点A、点D重合，∠BFE＝∠FBC，求证：BC+DF＝2EF． （提示：正方形四条边相等，四个角都是直角） 【思路引领】延长FE交BC的延长线于H，先证△DEF和△CEH全等得DF＝CH，EF＝EH，进而得HF＝2EF，BH＝BC+DF，然后根据∠BFE＝∠FBC得BH＝HF，据此可得出结论． 【完整解答】证明：延长FE交BC的延长线于H， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD∥BC，∠D＝90°， ∴∠D＝∠ECH＝90°，∠DFE＝∠H， ∵点E为CD的中点， ∴DE＝CE， 在△DEF和△CEH中， ∠D＝∠ECH＝90°，∠DFE＝∠H，DE＝CE， ∴△DEF≌△CEH（AAS）， ∴DF＝CH，EF＝EH， ∴HF＝EF+EH＝2EF，BH＝BC+CH＝BC+DF， ∵∠BFE＝∠FBC， ∴BH＝HF， ∴BC+DF＝2EF． 【总结提升】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质；解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等，有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． 【变式训练】 1．（2024秋•金牛区月考）已知正方形ABCD与正方形CEFG．M是AF的中点，连接DM、EM． （1）如图①，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM、EM的位置关系与数量关系，并证明． （2）如图②，点E在DC的延长线上，点G在BC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论． （3）将图①中的正方形CEFG绕点C旋转，使D、E、F三点在一条直线上．若AB＝13，CE＝5，求MF的长． 【思路引领】（1）延长EM交AD于K，由EF∥CG∥AD，M是AF中点，可证△AMK≌△FME，有AK＝EF＝EC，KM＝EM，可得AD﹣AK＝CD﹣CE，即DK＝DE，故△KDE是等腰直角三角形，即知DM＝EM，DM⊥EM； （2）延长EM，DA交于T，证明△AMT≌△FME，得AT＝EF＝EC，TM＝EM，可得DT＝DE，△TDE是等腰直角三角形，从而DM＝EM，DM⊥EM； （3）连接DE，过M作MR⊥DE于R，延长EM至H，使MH＝ME，连接AH，DH，分两种情况：当F在DC右侧时，由△AMH≌△FME（SAS），得AH＝EF＝EC，∠MAH＝∠MFE，可证∠DAH＝∠DCE，得△DAH≌△DCE（SAS），有DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，可得DM⊥EH，DM＝MH＝EM，在Rt△CDE中，DE12，即得MRDE＝6＝DR＝RE，在Rt△RMF中，MF；当F在DC左侧时，MF． 【完整解答】解：（1）DM＝EM，DM⊥EM，理由如下： 延长EM交AD于K，如图①： ∵四边形ABCD与CEFG是正方形， ∴EF∥CG∥AD，EF＝EC，AD＝CD，∠ADC＝90°， ∴∠MAK＝∠MFE，∠MKA＝∠MEF， ∵M是AF中点， ∴AM＝FM， ∴△AMK≌△FME（AAS）， ∴AK＝EF＝EC，KM＝EM， ∵AD＝CD， ∴AD﹣AK＝CD﹣CE， 即DK＝DE， ∵∠KDE＝90°， ∴△KDE是等腰直角三角形， ∵KM＝EM， ∴DM＝EM，DM⊥EM； （2）点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论仍然成立，证明如下： 延长EM，DA交于T，如图②： ∵EF∥CG∥AD， ∴∠MAT＝∠MFE，∠MTA＝∠MEF， ∵M是AF中点， ∴AM＝FM， ∴△AMT≌△FME（AAS）， ∴AT＝EF＝EC，TM＝EM， ∵AD＝CD， ∴AD+AT＝CD+CE， 即DT＝DE， ∵∠TDE＝90°， ∴△TDE是等腰直角三角形， ∵TM＝EM， ∴DM＝EM，DM⊥EM； （3）连接DE，过M作MR⊥DE于R，延长EM至H，使MH＝ME，连接AH，DH， 当F在DC右侧时，如图③： ∵MH＝ME，∠AMH＝∠EMF，AM＝FM， ∴△AMH≌△FME（SAS）， ∴AH＝EF＝EC，∠MAH＝∠MFE， ∴AH∥DF， ∴∠DAH+∠ADE＝180°， ∴∠DAH+∠CDE＝90°， ∵∠DCE+∠CDE＝90°， ∴∠DAH＝∠DCE， ∵DA＝DC， ∴△DAH≌△DCE（SAS）， ∴DH＝DE，∠ADH＝∠CDE， ∴∠HDE＝∠ADC＝90°， ∵ME＝MH， ∴DM⊥EH，DM＝MH＝EM， 在Rt△CDE中，DE12， ∵DM＝ME，DM⊥ME，MR⊥DE， ∴MRDE＝6＝DR＝RE， ∴FR＝EF+RE＝11， 在Rt△RMF中，MF； 当F在DC左侧时，如图④： 同法可得DE＝12，MR＝6＝DR＝ER， ∴FR＝ER﹣EF＝6﹣5＝1， 在Rt△MRF中，MF， 综上所述，MF的长为或， 故答案为：或． 【总结提升】本题是四边形的综合题，考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质及应用等，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题29 有关中点的常见辅助线的做法（原卷版） 类型一 构造中位线 方法指导： 情形1：当三角形中出现两个及以上的中点时，考虑连接两个中点构造中位线。 如图，D、E分别为AB、AC的中点。 结论：DE∥BC，DE＝BC 情形2：当三角形中出现中点时，考虑过中点作另一边的平行线构造中位线。 如图，D为AB的中点。 结论：AC＝CE，DE＝BC 情形3：当四边形中出现两个边上的中点时，考虑连接对角线，取对角线中点构造中位线。当四边形中出现两个对角线上的中点时，考虑取边的中点，再构造中位线。 取BD中点M， 连接EM、FM 【典例1】（2025•崂山区开学）如图，四边形ABCD中，R是CD中点，E、F分别是AP、RP的中点，当动点P在CB上从C向B移动时，下列结论成立的是（　　） A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关 【典例2】（2025•碑林区二模）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【典例3】（2024秋•蓬莱区期末）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝2，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，E，F分别是AD，BC边的中点，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024秋•桓台县期末）如图，在△ABC中，BA＝BC＝5，AC＝6，点D，点E分别是BC，AB边上的动点，连结DE，点F，点M分别是CD，DE的中点，则FM的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 2．（多选）（2020秋•乳山市期末）如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD，BC的中点，AB＝4，DC＝2．对于MN的长，给出了四种猜测： ①MN＝4；②MN＝3；③MN＝2；④MN＝1． 猜测错误的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 3．（2024秋•洪雅县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长（　　） A． B．3 C．3 D． 类型二 构造直角三角形斜边中线或等腰三角形的底边中线 方法指导： 情形1：遇到直角三角形斜边中点的时候，考虑作斜边上的中线。 如图，在RT△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点。 结论：CD＝ 情形2：遇到等腰三角形底边中点的时候，利用“三线合一”解题。 如图，D为等腰△ABC中，，D为底边BC的中点。 结论：AD⊥BC，AD平分∠BAC 【典例4】（2024秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点． （1）求证：DE⊥CF； （2）求证：∠B＝2∠BCF． 【典例5】（2024秋•海淀区期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF． （1）求证：△DGF是等腰三角形； （2）连接EG，若EG＝2，∠DGC＝60°，求DG的长． 【变式训练】 1．（2024秋•扬州期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）若∠EDF＝60°，DE＝2，求BC的长． 2．（2024秋•靖江市期末）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD． 3．（2024•北京模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE． （1）求证：CG＝EG． （2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积． 4．（2024秋•分宜县期末）如图，在△ABC中，AE⊥BC，垂足为点E，点D为BC边中点，AF⊥AB交BC边于点F，∠C＝2∠B，若DE＝4，CF＝2，求CE的长． 类型三 倍长中线构造全等三角形 方法指导： 情形1：遇到三角形的中线时，考虑倍长中线构造全等三角形。 如图，AD是△ABC的中线。 情形2： 遇到三角形一边的中点时，考虑倍长类中线构造全等三角形。 如图，D是BC的中点。 【典例6】（2024秋•莱州市期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． [阅读理解]小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE．根据　 　，可以判定△ADB≌△EDC，得出AB＝EC．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ACE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围 　． [模型构建] 当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线”法． [类比应用] （2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，AB＝6，AD＝4，AC＝10，则DC2＝　 ． [拓展提升] （3）如图3，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF． 【变式训练】 1．（2023春•砀山县期末）如图，在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝13，AC＝5，AD＝6，则： （1）∠DAC的度数为 　 　；（2）△ABC的面积是 　 　． 2．（2024秋•张店区期末）如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＞BC＞5，E，F分别是边AC，BC上的点，且AE＝BF＝5，连接EF．分别取EF，AB的中点M，N，并连接MN，则MN的长为（　　） A． B．2 C． D．3 3．如图，在△ABC中，点E是AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，则CD的长为 　 　． 类型四 平行＋中点，构造8字全等形 【典例7】（2023春•海门市期末）如图，已知：正方形ABCD，E为CD的中点，F为AD边上一点，且不与点A、点D重合，∠BFE＝∠FBC，求证：BC+DF＝2EF． 【变式训练】 1．（2024秋•金牛区月考）已知正方形ABCD与正方形CEFG．M是AF的中点，连接DM、EM． （1）如图①，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM、EM的位置关系与数量关系并证明． （2）如图②，点E在DC的延长线上，点G在BC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论． （3）将图①中的正方形CEFG绕点C旋转，使D、E、F三点在一条直线上．若AB＝13，CE＝5，求MF的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$