微专题系列第18章平行四边形微专题四特殊平行四边形间的关系综合应用2024-2025学年人教版八年级数学下册

2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第18章 平行四边形 微专题四 特殊平行四边形间的关系综合应用（解析版）知识点归纳 矩形 ： 性质 ：四个角都是直角，对角线相等且互相平分。 判定方法 ：（1）有三个角是直角；（2）是平行四边形且有一个角是直角；（3）是平行四边形且两条对角线相等。 菱形 ： 性质 ：四条边都相等，对角线互相垂直且平分。 判定方法 ：（1）四条边都相等；（2）是平行四边形且有一组邻边相等；（3）是平行四边形且两条对角线互相垂直。 正方形 ： 性质 ：四个角都是直角，四条边都相等，对角线相等且互相垂直平分。 判定方法 ：（1）是矩形且有一组邻边相等。 （2）是菱形且有一个直角。 类型归纳 1. 平行四边与矩形、菱形的综合应用 【例1-1】．如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求点C到的距离． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴ 设点C到的距离为h， ∵ ∴ ∴ 答：点C到的距离为． 【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；矩形的判定 【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行得到为平行四边形，然后利用得到结论即可； （2）根据勾股定理求出EF长，再利用据三角形面积公式解答即可． 【例1-2】．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE． （1）求证：四边形ACEF是平行四边形； （2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数． 【答案】（1）证明：如图，∵∠ACB=90°，E是BA的中点，∴CE=AE=BE，∵AF=AE，∴AF=CE，在△BEC中，∵BE=CE且D是BC的中点， ∴ED是等腰△BEC底边上的中线， ∴ED也是等腰△BEC的顶角平分线， ∴∠1=∠2，∵AF=AE，∴∠F=∠3，∵∠1=∠3，∴∠2=∠F， ∴CE∥AF， 又∵CE=AF， ∴四边形ACEF是平行四边形； （2）解：∵四边形ACEF是菱形，∴AC=CE，由（1）知，AE=CE，∴AC=CE=AE， ∴△AEC是等边三角形， ∴∠CAE=60°， 在Rt△ABC中，∠B=90°﹣∠CAE=90°﹣60°=30°． 【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】（1）由已知∠ACB=90°，E是BA的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半，得到ED是等腰△BEC的顶角平分线、底边上的中线，根据同位角相等两直线平行，得到CE∥AF，由CE=AF，得到四边形ACEF是平行四边形；（2）由四边形ACEF是菱形，根据菱形性质，得到四边相等，由（1）知，AE=CE，得到△AEC是等边三角形，得到∠CAE=60°，求出∠B的度数． 【变式1-1】．在▱中，过点作于点，点 在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求证：平分． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ． ，， 四边形是平行四边形． ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是平行四边形， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， ， ， ， 即平分． 【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定 【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等可证四边形是平行四边形，由DE⊥AB，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即证； （2）由平行线的性质可得，利用勾股定理求出BC=5，即得AD=B=DF=5，利用等边对等角可得，从而得出，根据角平分线的定义即得结论. 【变式1-2】．如图，四边形是平行四边形． （1）利用尺规作的角平分线交于点E（保留作图痕迹，请标明字母）； （2）在（1）的条件下，过点A作交于点O，交于点F，连接（无需尺规作图），求证：四边形为菱形． 【答案】（1）解：如下图， ∴线段即为所求， （2）证明：由作图知， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线 【解析】【分析】（1）作的角平分线 ①以为圆心，适当长为半径画弧，交于，于，②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于，③作射线，交于即可； （2）由平行四边形的性质证明，可得，结合作图可得，得到，根据等腰三角形的性质求得，同理求得，根据平行四边形的判定定理可证四边形是平行四边形，根据菱形的判定定可证四边形为菱形． （1）解：如图，线段即为所求， （2）证明：由作图知， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【变式1-3】．如图，四边形为平行四边形，以为边，在平行四边形外侧作菱形，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明：四边形为平行四边形， ，， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：过点作，交的延长线于， ， ， 四边形为平行四边形，四边形是菱形， ，， 在中，，， ， ， 在中，， ． 由知，四边形为平行四边形， ． 【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；直角三角形的性质 【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质可得，，再通过菱形的性质可得，，进而得到，，即可证得四边形为平行四边形. (2)作，利用等腰直角三角形的性质求得DG=EG=2，进而求得AG的长度，再通过勾股定理计算出AE的长度，由平行四边形的性质即可求得BF的长度. 【变式1-4】．如图， 在平行四边形 中， 对角线 相交于点 为直线 上的两个动点 (点 始终在平行四边形 的外面)， 连接 . （1） 求证： 四边形 为平行四边形； （2） 若 平分 ， 求四边形 的周长. 【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形， . ， ， ， 四边形 为平行四边形 （2）解：在平行四边形 中， ， 是 的垂直平分线， 是等边三角形， 【知识点】等边三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质 【解析】【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，得出OA=OC，OD=OB；又由，推出OE=OF，从而得出 四边形 为平行四边形 （2）由平行+角平分线模型推出AD=CD，从而得出 是 的垂直平分线，得出四边形为菱形，EA=EC，又因为得出 是等边三角形，故AE=AC=10，从而算出 四边形 的周长. 2. 菱形与矩形的综合应用 【例2-1】．如图，菱形的对角线与交于点O，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若 ，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：，． 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形． （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， 为等边三角形，则 ， ， 四边形是矩形， ， 四边形的周长是． 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质 【解析】【分析】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握它们的性质和判定定理是解答的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得到，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即证； （2）由菱形的性质及可得∠ABC=60°，可证为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，从而求出，，然后根据矩形的周长公式求解即可． （1）证明：，． 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形． （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， 为等边三角形，则 ，则 ， 四边形是矩形， ， 四边形的周长是． 【例2-2】．如图，在矩形中，点E在BC边上，且，过点A作交CB的延长线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形 （2）解：四边形是矩形， ， 由（1）已证：四边形是菱形， ， 设， ， ， 在中，，即， 解得， 即的长为 【知识点】菱形的性质；菱形的判定；矩形的性质 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，先证明是平行四边形，然后根据一组邻边相等得到菱形即可； （2）利用矩形的性质得到，菱形的性质得到，设，再在中根据勾股定理求出x值即可． （1）证明：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． （2）解：四边形是矩形， ， 由（1）已证：四边形是菱形， ， 设， ， ， 在中，，即， 解得， 即的长为． 【变式2-1】．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD． （1）求证：四边形AODE是矩形； （2）若AB=，∠BCD=120°，连接CE，求CE的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=90°， 又∵DE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AODE是平行四边形， ∴四边形AODE是矩形． （2）解：∵∠BCD=120°，四边形ABCD是菱形， ∴∠BAD=∠BCD=120°，∠CAB=∠CAD=60°，AB=BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=2，OB=OD=AE=3， 在Rt△AEC中，EC=． 【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定 【解析】【分析】（1）先证明四边形AODE是平行四边形，再结合∠AOD=90°，可得四边形AODE是矩形； （2）先证明△ABC是等边三角形，再利用勾股定理求出EC的长即可。 【变式2-2】．．如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵点是的中点，∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形 （2）解：∵四边形是矩形，，∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为． 【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定 【解析】【分析】（1）先证四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得出，，，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求得，根据菱形的面积公式进行求解即可． （1）证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为． 【变式2-3】．如图，矩形中，点E为边上任意一点，连结，点F为线段的中点，过点F作，与、分别相交于点M、N，连结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，当时，求的长． 【答案】（1）证明：矩形中，， ∴，， ∵点F为的中点， ∴， 在△EFM和△CFM中 ∴（AAS）， ∴， ∵EM∥CN， ∴四边形为平行四边形， ∵于点F， ∴四边形为菱形； （2）解：由（1）知：四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解得：， 答：的长为5． 【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质 【解析】【分析】（1）根据已知证明，证得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证； （2）由（1）知：四边形是菱形，则EM=CM，设，在Rt△BMC中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解． 3. 平行四边形与正方形综合应用 【例3-1】．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AF=BD，连结BF． （1）求证：BD=CD； （2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论； （3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD为正方形？（写出条件即可，不要求证明） 【答案】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠ECD． ∵E是AD的中点， ∴DE=AE， 在△AEF与△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=DC， ∵AF=BD， ∴BD=CD； （2）答：四边形AFBD为矩形； 解：∵AF=BD，AF∥BD， ∴四边形AFBD为平行四边形， ∵AB=AC，BD=DC， ∴AD⊥BC， ∴∠BDA=90°， ∴四边形AFBD为矩形； （3）AB=AC，且∠BAC=90°； ∵AB=AC，且∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°， ∵AD⊥BC， ∴∠BAD=45°， ∴AD=DB， ∴四边形AFBD为正方形． 【知识点】正方形的性质 【解析】【分析】（1）证明△AEF≌△DEC可得AF=DC，再根据条件AF=BD可利用等量代换可得BD=CD； （2）首先判定四边形AFBD为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，进而可得四边形AFBD为矩形； （3）当AB=AC，且∠BAC=90°时，四边形AFBD为正方形，首先证明∠ABC=45°，∠BAD=45°，可得AD=BD，进而可得四边形AFBD为正方形． 【变式3-1】．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG． （1）求证：AF=BF； （2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形． 【答案】证明：（1）∵AD=CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC．即得DE是线段AC的垂直平分线．∴AF=CF．∴∠FAC=∠ACB．在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．∴∠B=∠BAF．∴AF=BF．（2）∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．在△AEG和△CEF中，∴△AEG≌△CEF（AAS）．∴AG=CF．又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．即得点F是边BC的中点．又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．∴四边形AFCG是正方形． 【知识点】正方形的性质 【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，再根据等角的余角相等可得∠B=∠BAF，所以AF=BF． （2）由AAS可证△AEG≌△CEF，所以AG=CF．由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形，进而证得四边形AFCG是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形． 【变式3-2】．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE． （1）求证：CE=AD； （2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由． 【答案】证明：（1）∵DE⊥BC， ∴∠DFB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠DFB， ∴AC∥DE， ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴CE=AD； （2）解：四边形BECD是菱形， 理由是：∵D为AB中点， ∴AD=BD， ∵CE=AD， ∴BD=CE， ∵BD∥CE， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵∠ACB=90°，D为AB中点， ∴CD=BD， ∴▱四边形BECD是菱形； （3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是： 解：∵∠ACB=90°，∠A=45°， ∴∠ABC=∠A=45°， ∴AC=BC， ∵D为BA中点， ∴CD⊥AB， ∴∠CDB=90°， ∵四边形BECD是菱形， ∴菱形BECD是正方形， 即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形． 【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定 【解析】【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可； 　　　　（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可； 　　　　（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可． 【变式3-3】．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE． （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由． 【答案】证明：（1）∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴平行四边形AEBD是矩形； （2）当∠BAC=90°时， 理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD=BD=CD， ∵由（1）得四边形AEBD是矩形， ∴矩形AEBD是正方形． 【知识点】矩形的判定；正方形的判定 【解析】【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案； （2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可． 4. 矩形与正方形综合应用 【例4-1】．四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）如图，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【答案】（1）证明：如图，作于，于， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 矩形是正方形； （2）解：四边形是正方形，， ，，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ≌， ； （3）解：当与的夹角为时， 如图， ，， ， ， ； 当与的夹角为时， 如图 ， 点，点，点，点四点共圆， ， 综上所述：或． 【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA 【解析】【分析】(1)作EP、EQ分别垂直于CD、BC，可证明≌，即可证明EDEG为正方形； (2)结合正方形的性质得AE的长，由≌，可得CG的长； (3)讨论DE和AD，DE和DC所成夹角为30°时，求出EFC的度数. 【变式4-1】．如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的平分线于点． （1）线段与的位置关系是　 　； （2）探究：线段与的数量关系，并加以证明； （3）如图，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由； （4）在的前提下，直接写出满足什么条件时，四边形是正方形． 【答案】（1） （2）解：结论：． 理由如下为的平分线，为的平分线， ，， ， ，， ， ，， ． （3）解：运动到中点时，四边形是矩形． 理由如下： 为中点， ， 由（2）得：， 四边形平行四边形，且， 四边形为矩形， 当点运动到中点时，四边形为矩形． （4）解：当时，矩形是正方形． 理由如下：，， ， ， 矩形是正方形． 【知识点】等腰三角形的判定；矩形的判定；正方形的判定；角平分线的概念 【解析】【解答】（1），理由如下： ∵CE平分∠ACB ∴ 同理： ∴ ∴CE⊥CF 【分析】 （1）先根据角平分线定义得出：，，再根据，得出CE⊥CF （2）先根据角平分线定义得出：，，再根据，得出： ，，再根据等量代换，得出：，，从而得出：OE=OC=OF （3）当运动到中点时，又因为，可得：四边形平行四边形，又因为，因此四边形为矩形 （4）当时，因为，所以AC⊥EF，矩形是正方形. 【变式4-2】． 如图，在矩形ABCD中，的平分线交BC于点E，于点于点与EF交于点O. （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）若，求DG的长. 【答案】（1）证明：∵矩形， 四边形ABEF是矩形， 平分， 四边形ABEF是正方形；.. （2）解：平分， 四边形ABCD是矩形， 又 由（1）可知四边形ABEF是正方形 【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】(1)先根据矩形的性质和判定证出四边形ABEF是矩形，再根据角平分线的性质证出EF=EB，最后根据邻边相等的矩形是正方形证出即可. (2)先根据全等三角形的判定AAS证出进而得到DG=BE得出即可. 【变式4-3】．如图，点E是正方形对角线上一点，过点E分别作、，垂足分别为F、G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若正方形的周长是40，当时，求证：四边形是正方形． 【答案】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴． ∵， ∴． 又∵∠B=90°， ∴四边形是矩形； （2）证明：∵正方形的周长是， ∴． ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形 ， ∴四边形是正方形． 【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定；正方形的判定 【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质得到，进而根据垂直得到，从而结合题意根据矩形的判定即可求解； （2）先根据正方形的周长即可求出AB，进而即可得到BF，再根据正方形的性质得到，从而结合等腰直角三角形的判定与性质即可得到，再根据正方形的判定结合题意即可求解。 5.菱形与正方形综合应用 【例5-1】．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD=∠DBC． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE=OF． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥ BC，∠BAD=2∠DAC，∠ABC=2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC= 180°． ∵∠CAD=∠DBC，∴∠BAD=∠ABC，∴2∠BAD=180°，∴∠BAD=90° ，∴四边形ABCD是正方形． （2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC= BD，CO=AC，DO=BD，∴∠COB= ∠ DOC= 90° ，CO=DO． ∵DH∠ CE ，垂足为H，∴∠DHE=90°，∠EDH+∠DEH= 90°． ∵∠ECO+∠DEH=90°，∴∠ECO=∠EDH． 在△ECO和△FDO中 ∴△ECO≌△FDO( ASA) ，∴OE=OF． 【知识点】余角、补角及其性质；菱形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA 【解析】【分析】(1)利用菱形的性质可得∠BAD=2∠DAC，∠ABC=2∠DBC，根据∠CAD=∠DBC即可证得∠BAD=∠ABC=90° ，进而证得四边形ABCD是正方形． (2)先利用正方形的性质得到CO=DO，∠COB= ∠ DOC= 90° ，再通过余角的性质证得∠ECO=∠EDH，然后通过ASA判定△ECO≌△FDO得到OE=OF． 【变式5-1】．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA．求证：四边形AECF是正方形． 【答案】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA = OC，OB=OD． ∵BE=DF，∴OE=OF．∴四边形AECF是菱形． ∵OE=OA=OF．∴OE=OF=OA=OC，即EF=AC，∴菱形AECF是正方形． 【知识点】菱形的判定与性质；正方形的判定 【解析】【分析】先利用菱形的性质得到AC⊥BD，OA = OC，OE=OF，进而证得四边形AECF是菱形，再根据EF=AC证得菱形AECF是正方形． 【变式5-2】．问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 【答案】解：（1）证明：如图1， ∵四边形是矩形， ． ． ∵DE⊥AF， ∴∠ADG+∠GAD=90°． ． ∵AF=DE， ∴△ABF≌△DAE， ∴AB=AD， ∴矩形是正方形． （2）结论：是等腰三角形． 理由如下： ， ∴△ABH≌△DAE， ∴AH=DE， ∵DE=AF， ∴AH=AF， ∴是等腰三角形． 类比迁移： 如图2，延长到点，使得，连接． ∵四边形是菱形， ∴AD//BC，AB=AD， ∴∠ABH=∠BAD． ∵BH=AE， ∴△ABH≌△DAE． ． ∵DE=AF， ∴AH=AF， ∵∠AHB=60°， ∴△AHF是等边三角形， ， ． 【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定 【解析】【分析】 问题解决： （1）先利用“AAS”证出△ABF≌△DAE，再利用全等三角形的性质可得AB=AD，从而可证出矩形是正方形； （2）先证出△ABH≌△DAE，利用全等三角形的性质可得AH=DE，再利用等量代换可得AH=AF，即可证出是等腰三角形； 类比迁移：延长到点，使得，连接，先证出△AHF是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得AH=HF，最后利用线段和差及等量代换可得． 【变式5-3】．如图①，的顶点P是正方形两条对角线的交点，，将绕点P旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合） （1）如图①，当时，之间满足的数量关系是　 　； （2）如图②，将图①中的正方形改为的菱形，M是中点，其他条件不变，当时，求证：． （3）在（2）的条件下，若旋转过程中的边与线段延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，之间满足的数量关系． 【答案】（1） （2）证明：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴ （3）解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∴， ∴； 【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠APD=90°，∠PAD=∠PDF=45°，PA=PD， ∵∠QPN=α=90°， ∴∠APE=∠DPF=90°-∠DPE， ∴△PAE≌△PDF(ASA)， ∴DF=AE， ∴DE+DF=AD， 故答案为：DE+DF=AD． 【分析】（1）根据题意证明△PAE≌△PDF(ASA)，根据全等三角形的性质结合图形即可证明； （2）证明是等边三角形，进而可得，根据ASA，即可得证； （3）证明可得，即可得证 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第18章 平行四边形 微专题四 特殊平行四边形间的关系综合应用知识点归纳 矩形 ： 性质 ：四个角都是直角，对角线相等且互相平分。 判定方法 ：（1）有三个角是直角；（2）是平行四边形且有一个角是直角；（3）是平行四边形且两条对角线相等。 菱形 ： 性质 ：四条边都相等，对角线互相垂直且平分。 判定方法 ：（1）四条边都相等；（2）是平行四边形且有一组邻边相等；（3）是平行四边形且两条对角线互相垂直。 正方形 ： 性质 ：四个角都是直角，四条边都相等，对角线相等且互相垂直平分。 判定方法 ：（1）是矩形且有一组邻边相等。 （2）是菱形且有一个直角。 类型归纳 1. 平行四边与矩形、菱形的综合应用 【例1-1】．如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求点C到的距离． 【例1-2】．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE． （1）求证：四边形ACEF是平行四边形； （2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数． 【变式1-1】．在▱中，过点作于点，点 在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求证：平分． 【变式1-2】．如图，四边形是平行四边形． （1）利用尺规作的角平分线交于点E（保留作图痕迹，请标明字母）； （2）在（1）的条件下，过点A作交于点O，交于点F，连接（无需尺规作图），求证：四边形为菱形． 【变式1-3】．如图，四边形为平行四边形，以为边，在平行四边形外侧作菱形，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当时，求的长． 【变式1-4】．如图， 在平行四边形 中， 对角线 相交于点 为直线 上的两个动点 (点 始终在平行四边形 的外面)， 连接 . （1） 求证： 四边形 为平行四边形； （2） 若 平分 ， 求四边形 的周长. 2. 菱形与矩形的综合应用 【例2-1】．如图，菱形的对角线与交于点O，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若 ，求四边形的周长． 【例2-2】．如图，在矩形中，点E在BC边上，且，过点A作交CB的延长线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【变式2-1】．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD． （1）求证：四边形AODE是矩形； （2）若AB=，∠BCD=120°，连接CE，求CE的长． 【变式2-2】．．如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【变式2-3】．如图，矩形中，点E为边上任意一点，连结，点F为线段的中点，过点F作，与、分别相交于点M、N，连结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，当时，求的长． 3. 平行四边形与正方形综合应用 【例3-1】．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AF=BD，连结BF． （1）求证：BD=CD； （2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论； （3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD为正方形？（写出条件即可，不要求证明） 【变式3-1】．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG． （1）求证：AF=BF； （2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形． 【变式3-2】．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE． （1）求证：CE=AD； （2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由． 【变式3-3】．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE． （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由． 4. 矩形与正方形综合应用 【例4-1】．四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）如图，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【变式4-1】．如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的平分线于点． （1）线段与的位置关系是　 　； （2）探究：线段与的数量关系，并加以证明； （3）如图，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由； （4）在的前提下，直接写出满足什么条件时，四边形是正方形． 【变式4-2】． 如图，在矩形ABCD中，的平分线交BC于点E，于点于点与EF交于点O. （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）若，求DG的长. 【变式4-3】．如图，点E是正方形对角线上一点，过点E分别作、，垂足分别为F、G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若正方形的周长是40，当时，求证：四边形是正方形． 5.菱形与正方形综合应用 【例5-1】．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD=∠DBC． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE=OF． 【变式5-1】．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA．求证：四边形AECF是正方形． 【变式5-2】．问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 【变式5-3】．如图①，的顶点P是正方形两条对角线的交点，，将绕点P旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合） （1）如图①，当时，之间满足的数量关系是　 　； （2）如图②，将图①中的正方形改为的菱形，M是中点，其他条件不变，当时，求证：． （3）在（2）的条件下，若旋转过程中的边与线段延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，之间满足的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$