精品解析：上海市青浦区实验中学2024-2025学年九年级下学期3月考数学试题

2024学年第二学期青浦区实验中学数学阶段测试 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 如果，那么下列正确是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 且 3. 下列各运算中，正确的运算是（ ） A. B. C. D. 4. 数据，，，，，，，的中位数和众数分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 下列命题是真命题是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 6. 在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 7. 分解素因数：__________． 8. 因式分解：______． 9. 方程的解是_____． 10. 方程组的解是______． 11. 在去掉大小王的52张扑克牌中任意抽取一张牌，抽到“K”的概率是______． 12. 如果关于的一元二次方程（是常数）有两个相等的实数根，那么的值是______． 13. 已知直线经过点且不经过第三象限，那么关于的不等式的解集是______． 14. 某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如图所示的统计图．小红计算出与两组的频率差是，小明计算出组的频率为，结合统计图中的信息，可知这次共抽取了______名学生的一分钟跳绳测试成绩． 15. 如图，的两条中线、相交于点，设，，那么向量用向量、表示为______． 16. 如图，在中，与相交于点，，，将沿直线翻折后，点落在点处，那么的长为______． 17. 在中，，，，点、分别在边、上．如果为中点，且，那么的长度为__________． 18. 在中，，，，半径为4，点是上的动点，点在线段上，且，那么长的取值范围是______． 三、解答题：第19-22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，共78分． 19. 计算： 20. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来 21. 如图，在中，长度为的弦与直径交于点，已知，且． （1）求证：； （2）求半径长． 22. 小明家打算在购物平台上购买一台某品牌的电饭锅（图1），放置在家中的餐边柜上（图2）． （1）小明为了判断该电饭锅放置在餐边柜上是否合适，向客服询问，客服给出了如下数据：电饭锅的是一个圆柱形，高为20厘米，盖厚5厘米，圆盖的周长为厘米（图4），锅盖上点位置到完全打开后的点位置之间的距离为厘米（图5）．小明测量了餐边柜的尺寸（图3）．请你帮助小明判断该电饭锅是否可以全部放在餐边柜上并能够完全打开？ （2）该电饭锅的定价为230元，网络平台有“每满200减30”的优惠活动．小明对妈妈说：“我们只要付200元就能买下来了”；妈妈对小明说：“我们可以再选一条170元的牛仔裤，两样东西一起下单结算；然后马上将牛仔裤退货退款（按实付比例退款），这样更加便宜．”小明的妈妈实际付了多少钱？ 23. 已知：如图，在中，，垂足为点，，点为边上一点，且，连接并延长，交边于点． （1）求证：； （2）过点作的平行线交延长线于点，连接，如果，求的值． 24. 如图，已知抛物线经过点与点，且交轴于点． （1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标； （2）将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移个单位，得到新抛物线．若新抛物线的顶点为，连结，直线将分割成面积相等的两个三角形． ①求的值； ②在新的抛物线上寻找点，使，求点的坐标． 25. 如图，在中，点、在边、上，且，，，点为的中点，射线交边于点． （1）求证：． （2）如果，求的余弦值． （3）当是等腰三角形时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期青浦区实验中学数学阶段测试 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 如果，那么下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键； 根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案． 【详解】解：A、， ， 故本选项错误； B、， ； 故本选项错误； C、， ， 故本选项错误； D、， ， 故本选项正确； 故选：D 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的定义域；熟练掌握函数的定义域是解题的关键； 根据题意，要使函数有意义，求解即可． 【详解】解：根据题意，要使函数有意义， 需满足： 解得： 故选：B． 3. 下列各运算中，正确的运算是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方及幂的乘方，由，进行运算，即可求解；掌握积的乘方及幂的乘方公式是解题的关键． 【详解】解：A.，结论错误，故不符合题意； B.，结论正确，故符合题意； C.， 结论错误，故不符合题意； D.，结论错误，故不符合题意； 故选：B． 4. 数据，，，，，，，的中位数和众数分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义是解题的关键； 众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 【详解】解：数据中出现的次数最多，所以众数为， 将数据重新排列为，，，，，，，， 则中位数为； 故选：C 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可得出答案． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原说法错误，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法正确，符合题意； D、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题真假，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解此题的关键． 6. 在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D, ∵∠BAC=150, ∴∠DAB=30°, ∴BD==1, 即B到直线AC的距离等于⊙B的半径, ∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切, 故选B. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用, 过B作BD⊥AC交CA的延长线于D,求出BD和⊙B的半径比较即可,主要考查学生的推理能力. 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 7. 分解素因数：__________． 【答案】 【解析】 【分析】将先除以最小的素因数，所得的商再按此计算，直至所得商为素数，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 所以， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了分解素因数，掌握分解方法是解题的关键． 8. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行分解，即可求解；掌握因式分解的步骤及方法是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案：． 9. 方程的解是_____． 【答案】x＝﹣1． 【解析】 【分析】把方程两边平方后求解，注意检验． 【详解】把方程两边平方得x+2＝x2， 整理得（x﹣2）（x+1）＝0， 解得：x＝2或﹣1， 经检验，x＝﹣1是原方程的解． 故本题答案为：x＝﹣1． 【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根． 10. 方程组的解是______． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查了解二元二次方程，由①得③，将③代入②求出的值，即可求解；掌握解法是解题的关键． 【详解】 解：由①得： ③， 将③代入②得， ， 解得：，， 当时， ， 当时， ， 原方程组的解为或． 故答案为：或． 11. 在去掉大小王的52张扑克牌中任意抽取一张牌，抽到“K”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，用列举法列出结果，用概率计算公式，即可求解；能用列举法求简单概率是解题的关键． 【详解】解：任意抽取一张牌共有种结果，其中，抽到“K”有种结果， ， 故答案为：． 12. 如果关于的一元二次方程（是常数）有两个相等的实数根，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程与判别式的关系，熟练掌握判别式是解题的关键； 根据判别式与实数根关系即可求解； 【详解】解：有两个相等的实数根， ，，， 可得：， 则， 解得：； 故答案为：． 13. 已知直线经过点且不经过第三象限，那么关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象所经过的象限及解一元一次不等式，由已知条件得，代入不等式的，由一次函数的性质得，即可求解；能由一次函数的图象经过象限得出是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， 直线不经过第三象限， ， ， 故答案为：． 14. 某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如图所示的统计图．小红计算出与两组的频率差是，小明计算出组的频率为，结合统计图中的信息，可知这次共抽取了______名学生的一分钟跳绳测试成绩． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图及频率，由已知条件可得的频率为，由频数分布直方图得的频数是，即可求解；能从频数分布直方图获取正确信息，会利用频率进行求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 的频率为， 抽取的学生人数为（名）， 故答案为：． 15. 如图，的两条中线、相交于点，设，，那么向量用向量、表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，向量的和差，由三角形重心的性质得，由向量的和差得，即可求解；掌握三角形重心的性质，能由向量的和差表示出所求向量是解题的关键． 【详解】解：的两条中线、相交于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，与相交于点，，，将沿直线翻折后，点落在点处，那么的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等；由平行四边形的性质得，由折叠的性质得，由勾股定理即可求解；掌握平行四边形的性质，折叠的性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 四边形是平行四边形， ， 由翻折得： ， ， ， ， ； 故答案为：． 17. 在中，，，，点、分别在边、上．如果为中点，且，那么的长度为__________． 【答案】5或1.4 【解析】 【分析】根据已知比例式先求出DE的长，再分两种情况：①E为BC的中点，可直接得出AE的长；②点E在靠近点A的位置，过点D作DF⊥AC于点F，证明△ADF∽△ACB，得出，从而可得出DF的长，再分别根据勾股定理得出AF，EF的长，从而可得出结果． 【详解】解：∵在中，根据勾股定理得，AC=， 又D是AB的中点，∴AD=AB=4， ∵， ∴，∴DE=3． 分以下两种情况： ①当点E在如图①所示的位置时，即点E为AC的中点时，DE=BC=3， 故此时AE=AC=5； ②点E在如图②所示的位置时，DE=3，过点D作DF⊥AC于点F， ∵∠AFD=∠B=90°，∠A=∠A， ∴△ADF∽△ACB， ∴，即，∴DF=2.4． ∴在Rt△ADF中，AF=， 在Rt△DEF中，EF=， ∴AE=AF-EF=1.4． 综上所述，AE的长为5或1.4． 故答案为：5或1.4． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，中位线的性质以及勾股定理等知识，掌握基本性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 18. 在中，，，，的半径为4，点是上的动点，点在线段上，且，那么长的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设交于，连接、，由勾股定理及相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，过作交于，当、、三点共线时，在线段上时，取得最大值，相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得， 由勾股定理得，即可求解；当、、三点共线时，在线段上时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：交于，连接、， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆， 如图，过作交于， 当、、三点共线时，在线段上时，取得最大值， ， ， ， ， 解得：，， ， ， ， 的最大值为； 如图， 当、、三点共线时，在线段上时，取得最小值， ， 的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，圆的定义，圆外一点到圆上一点距离最值问题；掌握相似三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解，并能由圆的定义找出动点的运动轨迹及取得最值的条件是解题的关键． 三、解答题：第19-22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，共78分． 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先进行负指数幂、分数指数幂、分母有理化运算，同时利用平方差公式进行二次根式乘法运算，最后进行加减运算，即可求解；能熟练进行分母有理化及分数指数幂运算是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来 【答案】，解集在数轴上表示见详解 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示解集；分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，解集在数轴上表示出来，即可求解；掌握不等式组的解法，并会在数轴上的表示解集是解题的关键． 【详解】 解：由①得 ， 由②得 ， 原不等式组的解集为； 解集在数轴上表示： 21. 如图，在中，长度为的弦与直径交于点，已知，且． （1）求证：； （2）求的半径长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 分析】本题考查了线段垂直平分线定理，垂径定理，勾股定理等； （1）连接、，由线段垂直平分线定理得是的垂直平分线，即可得证； （2）设半径为，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解； 掌握线段垂直平分线定理，能熟练利用垂径定理，勾股定理进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 证明：连接、， ， ， 是的垂直平分线， ； 【小问2详解】 解：设半径为， ，， ， ， ， ， 解得：， 故的半径长为． 22. 小明家打算在购物平台上购买一台某品牌的电饭锅（图1），放置在家中的餐边柜上（图2）． （1）小明为了判断该电饭锅放置在餐边柜上是否合适，向客服询问，客服给出了如下数据：电饭锅的是一个圆柱形，高为20厘米，盖厚5厘米，圆盖的周长为厘米（图4），锅盖上点位置到完全打开后的点位置之间的距离为厘米（图5）．小明测量了餐边柜的尺寸（图3）．请你帮助小明判断该电饭锅是否可以全部放在餐边柜上并能够完全打开？ （2）该电饭锅的定价为230元，网络平台有“每满200减30”的优惠活动．小明对妈妈说：“我们只要付200元就能买下来了”；妈妈对小明说：“我们可以再选一条170元的牛仔裤，两样东西一起下单结算；然后马上将牛仔裤退货退款（按实付比例退款），这样更加便宜．”小明的妈妈实际付了多少钱？ 【答案】（1）可以 （2）元 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算是应用及解直角三角形的应用；理解题意，并能熟练利用解直角三角形进行求解是解题的关键． （1）连接，过作交于，过作交于，由等腰三角形的性质得，由勾股定理得，由三角形的面积求出的长，即可求解； （2）得出算式，即可求解； 【小问1详解】 解：如图，连接，过作交于，过作交于点， ，，， ， 圆盖的周长为厘米， ， 解得：， ， ， ， 解得：， ， 故该电饭锅可以全部放在餐边柜上并能够完全打开； 【小问2详解】 解：由题意得（元）， 答：小明的妈妈实际付了元． 23. 已知：如图，在中，，垂足为点，，点为边上一点，且，连接并延长，交边于点． （1）求证：； （2）过点作的平行线交延长线于点，连接，如果，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）证明，得到，，利用余角的性质得到，即可证明； （2）根据题意证明四边形ADCG为矩形，设，，，则，则，证明，列出比例式，得出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 在中，， 即； 【小问2详解】 解：如图所示， ∵， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形为矩形． ∴ 设，，则， ∴， ∵ ∴ ∴即 解得： ∴ 24. 如图，已知抛物线经过点与点，且交轴于点． （1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标； （2）将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移个单位，得到新抛物线．若新抛物线的顶点为，连结，直线将分割成面积相等的两个三角形． ①求的值； ②在新的抛物线上寻找点，使，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）将点与点代入解析式，即可求解； （2）由抛物线平移得，抛物线得顶点为， ①交于，过作交轴于，由相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性质得，可求，由待定系数法得直线的解析式为，即可求解； ②（ⅰ）当在直线的右侧时，当时，，待定系数法得直线的解析式为，同理可求直线的解析式为，联立直线的解析式与抛物线的解析式，即可求解； （ⅱ）当在直线的左侧时，方法一：作关于的对称点，作射线交于，联结、，设，由勾股定理得，，，，联立可求，同理可求直线的解析式为，联立直线的解析式与抛物线的解析式，即可求解； 方法二：抛物线与轴交于，联结，可求，由等腰直角三角形的性质得 ，由可判定（），由全等三角形的性质得，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， ， 顶点为， 故该抛物线的表达式，顶点坐标； 【小问2详解】 解：将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移个单位， ， 抛物线得顶点为， ①如图，设交于，过作交轴于， 直线将分割成面积相等的两个三角形． ， ， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， ， 解得：， 故的值为； ② ， （ⅰ）当在直线的右侧时， 当时，， 同理可求：直线的解析式为， 可设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，（舍去）， ； （ⅱ）当在直线的左侧时， 方法一：作关于的对称点，作射线交于，联结、， 设， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：，（舍去）， ； 方法二：抛物线与轴交于，联结， 当时， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， 满足条件； 综上所述：点的坐标或． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数图象的平移，勾股定理，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质等；掌握二次函数图象的平移，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用待定系数法，勾股定理进行求解，并能根据动点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 25. 如图，在中，点、在边、上，且，，，点为的中点，射线交边于点． （1）求证：． （2）如果，求的余弦值． （3）当是等腰三角形时，求线段的长． 【答案】（1）见详解 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由菱形的判定方法得四边形是菱形，由菱形的性质及直角三角形的特征即可得证； （2）交于，由可判定，由全等三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得， 同理可证，由勾股定理得，，即可求解； （3）①当时，②当时，取的中点，连接，由勾股定理得，，由三角形的中位线及相似三角形的性质得，可求，即可求解；③当时，设，由勾股定理得，，即可求解． 【小问1详解】 证明：取中点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ； 【小问2详解】 解：交于， ∵四边形是菱形， ，，， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ，， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 故的余弦值为； 【小问3详解】 解：①当时，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴重合，重合， 又∵点为的中点， ∴不重合， ∴不成立， ②当时，取的中点，连接， ， ， ， ， 是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； ③当时， 设， ，， 由②得， ， ， ， 解得：，（舍去）， ； 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角形中位线定理，直角三角形的特征，三角函数，勾股定理等；掌握全等三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角形中位线定理，并能熟练利用三角函数，勾股定理进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $