专题10 相交线与平行线之“铅笔模型” 2024-2025学年人教版数学七年级下册

相交线与平行线 专题10 相交线与平行线之“铅笔模型” 一、“铅笔”模型 像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。 模型结论：∠B+∠E+∠D=360° 二、模型证明 如图，若AB//CD，求证：∠B+∠E+∠D=360° 证明一：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作）， ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。 又∵∠BED=∠1+∠2， ∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。 证明二：如图，连接BD， ∵ AB//CD ∴ ∠ABD+∠BDC=180° 在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180° ∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360° ∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360° ∴ ∠ABE+∠E+∠CDE=360° （2）反之，如图，若∠B+∠D+∠BED=360°，直线AB与CD有什么位置关系？请证明 【解析】如图，过点作EF∥AB得证EF∥CD则 【总结】 ①辅助线：过拐点作平行线 ②若，则 ③若，则 二、“异形铅笔”模型 如图，两直线平行，则 【解析】如图，过作，过作，过作，过作得证 【总结】 ①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②【个拐点】 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 例题1．如图所示，，，，试求的度数． 例题2. 阅读下面内容，并解答问题． 已知：如图1， ，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点． (1)求证：； (2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题． ①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　． ②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　． 例题3.已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系； （3）如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值． 例题4．阅读下面材料，完成（1)～（3）题． 数学课上，老师出示了这样—道题： 如图1，已知点分别在上，．求的度数． 同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法： 小明：“如图2，通过作平行线，发现，由已知可以求出的度数．” 小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．” 小华：∵如图4，也能求出的度数．” (1) 请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______； (2) 请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°； 老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．” 请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题： (3) 如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论． 【巩固练习】 一、选择题 1．如图，已知，，，则的度数是（    ） A．80° B．120° C．100° D．140° 2．如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（   ） A．180° B．360° C．540° D．720° 3．如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（   ） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α 4．如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（    ） A． B． C． D． 5．如图，直线，，则（     ） A．150° B．180° C．210° D．240° 6．如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（    ）. A．30° B．40° C．50° D．65° 7．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为(　　) A．55° B．60° C．65° D．70° 8．如图，两直线、平行，则（    ）． A． B． C． D． 9．如图，已知，若按图中规律继续划分下去，则等于（       ） A． B． C． D． 10．如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（       ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝___． 12．如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是______． 13．观察下列图形：已知在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律：_________度． 14．探索：微微和为锦在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C数量关系． 发现：在图1中，微微和为锦都发现∠P与∠A，∠C的数量关系为______； 应用：在图2中，∠A＝125°，∠C＝135°，则∠P＝_____． 在图3中，若∠A＝35°，∠C＝75°，则∠P＝_____． 15．如图①：MA1∥NA2，图②：MA1∥NA3，图③：MA1∥NA4，图④：MA1∥NA5，……， 则第8个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A8＝_____． 16．如图，已知AB∥CD，∠A＝36°，∠C＝120°，则∠F﹣∠E的大小是_____°． 17．如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°则∠2的度数为 ___． 18．如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝___． 三、解答题 19．（1）问题发现 如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现：，请你写出证明过程； （2）拓展探究 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：． （3）解决问题 如图③，，，，则________．（直接写出结论，不用写计算过程） 20．已知直线，点、分别在直线、上，点在直线和之间． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，点在直线上，且，求证：； （3）如图3，平分，平分，且．若，直接写出的度数． 21．如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 22．课堂上老师呈现一个问题： 已知：如图，，与点，交于点，当时，求的度数． 下面提供三种思路： 思路一：过点作（如图（1）； 思路二：过点作，交于点； 思路三：过点作，交于点． 解答下列问题： （1）根据思路一（图（1），可求得的度数为 　　； （2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线； （3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求的度数的解答过程． 23．直线，点在和之间任一点，射线经过点． （1）如图1，若，，，求的度数； （2）如图2，若，，若，求的度数（用含式子表示）． （3）如图3，若的角平分线与的角平分线交于点，试找出和的数量关系并说明理由． 24．李想是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一块含有的直角三角板摆放在一组平行线上展开探究．已知直线，直角三角板中，，，点为直线上一定点．将直角三角板绕点转动，当点在直线上时，点也恰好在直线上． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，若点在直线上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点．在直角三角板绕点转动的过程中，的度数是否保持不变？若不变，求出的度数；否则，请说明理由； （3）如图3，直角三角板绕点转动，若点在直线，之间（不含，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得，若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 例题1．如图所示，，，，试求的度数． 【分析】过点作，从而利用平行线的性质可得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后再利用平行线的性质可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：过点作， ， ， ， ， ， 的度数为． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 例题2．阅读下面内容，并解答问题． 已知：如图1， ，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点． (1)求证：； (2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题． ①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　． ②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　． 【答案】(1)见解析 (2)①；②结论： 【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可； （2）①利用基本结论求解即可； ②利用基本结论，，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过作， ， ， ， , ， 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：①如图2中，由题意，， 平分，平分， ， ， 故答案为：； ②结论：． 理由：如图3中，由题意，，， 平分，平分， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 例题3．已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系； （3）如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值． 【分析】（1）过点作，根据已知条件证明，然后根据平行线的性质证明，，通过等量代换即可； （2）先根据已知条件证明，，，然后利用四边形的内角和是进行代换即可； （3）分三种情况进行解答，①，②，③，求出旋转的角度就能算出答案． 【解答】解：（1）如图所示：过点作， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图所示： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）如图所示： 分三种情况： ①如图1所示：当旋转到时，， ， ， ，，， ， ，， ， ， 平分，绕点旋转的速度每秒， ，绕点旋转的速度为每秒， 秒； ②如图2所示：当旋转到时，， ， ， ， ， ，，， ， 平分， ， ， 秒； ③如图3所示：当旋转到时，， ， ①已证，平分， ， 秒； 当射线与的一边互相平行时，的值为10或26或34秒． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是正确的识别图形，熟练掌握平行线的性质． 例题4．阅读下面材料，完成（1)～（3）题． 数学课上，老师出示了这样—道题： 如图1，已知点分别在上，．求的度数． 同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法： 小明：“如图2，通过作平行线，发现，由已知可以求出的度数．” 小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．” 小华：∵如图4，也能求出的度数．” (2) 请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______； (2) 请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°； 老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．” 请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题： (4) 如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论． 【答案】（1）过点作；（2）30；（3）． 【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可； （2）过点作，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，进而可得答案； （3）设，过点作，根据平行线的性质可得，，进而根据角的和差关系即可得答案． 解：（1）由图中虚线可知PQ//AC， ∴小明同学辅助线的做法为过点作， 故答案为：过点作 （2）如图2，过点作， ∵AB//CD， ∴PQ//AB//CD， ∴∠1=∠3，∠2=∠4， ∵EP⊥FP， ∴∠EPF=∠3+∠4=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∵∠1=60°， ∴∠2=30°， 故答案为：30 （3）如图，设，过点作， ∵ ，即． 【点拨】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 巩固练习参考答案 1．C 【分析】过E作直线MN//AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠1，进而可求出∠2，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN//CD，根据平行线性质从而求出∠C． 解：过E作直线MN//AB，如下图所示， ∵MN//AB， ∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°， ∵， ∴ ∵MN//AB，AB//CD， ∴MN//CD， ∴∠C+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°， 故选：C． 【点拨】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键． 2．C 解：作EM∥AB，FN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD． ∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°， ∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°． 故选：C． 3．B 【分析】作CF//ED，利用平行线的性质求得β与α，再判断β与α的数量关系即可． 解：如图，作CF//ED，   ∵AB//ED， ∴∠A+∠E=180°= α ， ∵ED//CF， ∴∠D+∠DCF=180°， ∵AB//ED，ED//CF， ∴AB//CF， ∴∠B+∠BCF=180°， ∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180° 即 ∠B+∠C+∠D =360°= β ， ∴ β＝2α ． 故选B． 【点拨】本题考查了平行线的性质，熟悉运用平行线的性质是解题的关键． 4．C 【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，然后通过平行线的性质求解即可． 解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图，      ∵AB∥EF∥CD， ∴∠γ+∠FED=180°， ∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β， ∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°， ∴∠α+∠β+∠γ=360°， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 5．C 【分析】根据题意作直线l平行于直线l1和l2，再根据平行线的性质求解即可. 解：作直线l平行于直线l1和l2． ， ． ， ． 故选C． 【点拨】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等是解题关键． 6．B 【分析】由题意过点B作直线，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案． 解：如图，过点B作直线， ∵直线m//n，， ∴， ∴∠2+∠3=180°， ∵∠2=130°， ∴∠3=50°， ∵∠B=90°， ∴∠4=90°-50°=40°， ∵， ∴∠1=∠4=40°． 故选：B． 【点拨】本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键． 7．C 【分析】首先过点A作AB∥l1，由l1∥l2，即可得AB∥l1∥l2，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠4与∠5的度数，又由平角的定义，即可求得∠3的度数． 解： 过点A作AB∥l1， ∵l1∥l2， ∴AB∥l1∥l2， ∴∠1+∠4=180,∠2+∠5=180， ∵∠1=105,∠2=140 ， ∴∠4=75,∠5=40， ∵∠4+∠5+∠3=180， ∴∠3=65. 故选：C. 【点拨】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质. 8．D 解：分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB 观察图形可知，图中有5组同旁内角， 则 故选D 【点拨】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键 9．C 【分析】 根据第1个图形∠1+∠2=180°，第2个图形∠1+∠2+∠3=2×180°，第，3个图形∠1+∠2+∠3+∠4=3×180°…，进而得出答案． 【详解】 （1）∵AB∥CD， ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）； （2）过点E作一条直线EF平行于AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）过点E、F作EM、FN平行于AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥FN∥CD， ∴∠1+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠4=180°； ∴∠1+∠2+3+∠4=540°； （4）中，根据上述规律，显然作（n-1）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n-1）． 故选：C． 【名师点拨】 此题主要考查了平行线的性质，正确得出图中变化规律是解题关键． 10．C 【分析】 过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案． 【详解】 过C作CD∥AB，过M作MN∥EF， ∵AB∥EF， ∴AB∥CD∥MN∥EF， ∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=， ∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-， ∴=∠BCD+∠DCM=， 故选：C． 【名师点拨】 本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 二、填空题 11．如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝___． 【答案】 【详解】 解：过点O作， ∵直线a向下平移得到直线b， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【名师点拨】 本题考查了平移的性质，平行线的性质，过拐点作已知直线的平行线是解题的关键． 12．如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是______． 【答案】540° 【详解】 解：如图，根据题意可知：AB∥EF， 分别过点C，D作AB的平行线CG，DH， 所以AB∥CG∥DH∥EF， 则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°， ∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°， ∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°． 故答案为：540°． 【名师点拨】 考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小． 13．观察下列图形：已知在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律：_________度． 【答案】（n+1）×180 【分析】 分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°于是得到∠1+∠2=180°，∠1+∠P1+∠2=2×180，∠1+∠P1+∠P2+∠2=3×180°，∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2=4×180°，根据规律得到结果∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn=（n+1）×180°． 【详解】 解：如图，分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G， ∵AB∥CD， ∴AB∥P1E∥P2F∥P3G． 由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180° ∴（1）∠1+∠2=180°， （2）∠1+∠P1+∠2=2×180， （3）∠1+∠P1+∠P2+∠2=3×180°， （4）∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2=4×180°， ∴∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn=（n+1）×180°． 故答案为：（n+1）×180． 【名师点拨】 本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键． 14．探索：微微和为锦在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C数量关系． 发现：在图1中，微微和为锦都发现∠P与∠A，∠C的数量关系为______； 应用：在图2中，∠A＝125°，∠C＝135°，则∠P＝_____． 在图3中，若∠A＝35°，∠C＝75°，则∠P＝_____． 【答案】     ∠APC＝∠A+∠C     100°     40° 【详解】 解：发现：过点作， 所以， ，． ， ， ， 即， 故答案为：； 应用：在图2中，过点作， 所以， ，． ， ， ， 即， ，， ， 故答案为：； 在图3中， ，， ， ， ， 故答案为：． 【名师点拨】 本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是能正确作出辅助线． 15．如图①：MA1∥NA2，图②：MA1∥NA3，图③：MA1∥NA4，图④：MA1∥NA5，……， 则第8个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A8＝_____． 【答案】1260°##1260度 【详解】 解：∵MA1与NAn平行， ∴在图①可得∠A1+∠A2＝180°， 在②中可过A2作A2B∥MA1，如图． ∵MA1∥NA3， ∴A2B∥NA3， ∴∠MA1A2+∠BA2A1＝∠BA2A3+∠NA3A2＝180°， ∴∠A1+∠A2+∠A3＝360°， 同理可得∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°， ∵∠A1+∠A2＝180°＝1×180°， ∠A1+∠A2+∠A3＝360°＝2×180°， ∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°＝3×180°， ∴∠A1+∠A2+∠A3++…+∠A8＝7×180°＝1260°． 故答案为：1260°． 【名师点拨】 本题主要考查平行线的性质，添加平行线，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键． 16．如图，已知AB∥CD，∠A＝36°，∠C＝120°，则∠F﹣∠E的大小是_____°． 【答案】 【详解】 解：如图，过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EG∥FH∥CD， ∴∠A＝∠1＝36°，∠2＝∠3，∠4＝180°﹣∠C＝180°﹣120°＝60° ∴∠EFC﹣∠AEF＝∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝∠4﹣∠1＝60°﹣36°＝24°． 故答案为：24． 【名师点拨】 本题考查了平行线的性质，平行公理，作辅助线构造内错角是解题的关键． 17．如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°则∠2的度数为 ___． 【答案】150°##150度 【分析】延长AB交l2于E，根据平行线的判定可得AB∥CD，根据平行线的性质先求得∠3的度数，再根据平行线的性质求得∠2的度数． 【详解】解：延长AB交l2于E， ∵∠α=∠β， ∴AB∥CD， ∴∠2+∠3=180° ∵l1∥l2， ∴∠3=∠1=30°， ∴∠2=180°-∠3=150°． 故答案为：150°． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键． 18．如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝___． 【答案】 【分析】过点O作，利用平移的性质得到，可得判断，根据平行线的性质得，，可得到，从而得出的度数． 【详解】解：过点O作， ∵直线a向下平移得到直线b， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，过拐点作已知直线的平行线是解题的关键． 三、解答题 19．（1）问题发现 如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现：，请你写出证明过程； （2）拓展探究 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：． （3）解决问题 如图③，，，，则________．（直接写出结论，不用写计算过程） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】 （1）根据平行判定得到，利用平行线的性质得，，得到，即可求证出答案； （2）类比（1），过点E作EF∥AB，然后根据平行线的判定和性质即可求证出答案； （3）类比，过点作，根据平行判定得到，再根据平行的性质得：，，根据角与角的关系求得：，则可求出答案． 【详解】 （1）证明：如图①，过点作， ∵（已知），（辅助线的作法）. ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）. ∵， ∴， ∴（等量代换） 即. （2）证明：如图②，过点作， ∵（已知），（辅助线的作法）. ∴（平行于同一直线的两直线平行）. ∴，， ∴， ∴. （3）解：如图③，过点作， ∵（已知），（辅助线的作法）， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【名师点拨】 本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，灵活运用平行判断以及平行线的性质找到角与角之间的关系． 20．已知直线，点、分别在直线、上，点在直线和之间． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，点在直线上，且，求证：； （3）如图3，平分，平分，且．若，直接写出的度数． 【分析】（1）过点作，然后根据平行线的性质可得即可得证． （2）由得出，结合即可得证． （3）由平行线的性质得到，再由角平分线的定义及平行线的性质得出，最后根据三角形的内角和即可求解． 【解答】（1）证明：过点作，如图： ， ，， ， ． （2）证明：． ， ， ， ，， ． （3）解：． ， ， ， ， 平分，平分， ，， 又， ， ， ， ． ． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及三角形的内角和定理是解题关键． 21．如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180° 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案； （2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案； （3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案； （4）由（2）（3）类比可得答案． 【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：180°； （2）如图2，过点E作AB的平行线EF， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线， 类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°， 故答案为：540°； （4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°， 故答案为：（n-1）×180°． 【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 22．课堂上老师呈现一个问题： 已知：如图，，与点，交于点，当时，求的度数． 下面提供三种思路： 思路一：过点作（如图（1）； 思路二：过点作，交于点； 思路三：过点作，交于点． 解答下列问题： （1）根据思路一（图（1），可求得的度数为 　　； （2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线； （3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求的度数的解答过程． 【分析】（1）过作，根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到的度数； （2）由图可得，思路二辅助线的做法为过作；思路三辅助线的做法为过作； （3）若选择思路二，过作，根据平行线的性质，可得的度数，再根据的度数以及平行线的性质，即可得到的度数；若选择思路三，过作，先根据平行线的性质，得到的度数，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到的度数． 【解答】解：（1）如图（1），过作， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； （2）由图可得，思路二辅助线的做法为过作；思路三辅助线的做法为过作； （3）若选择思路二，理由如下： 如图（2），过作， ，， ， ， ， 又， ， ， ； 若选择思路三，理由如下： 如图（3），过作， ，， ， ， ， 又， ， ， ． 【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并正确作出辅助线是解题关键． 23．直线，点在和之间任一点，射线经过点． （1）如图1，若，，，求的度数； （2）如图2，若，，若，求的度数（用含式子表示）． （3）如图3，若的角平分线与的角平分线交于点，试找出和的数量关系并说明理由． 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质可得，再根据已知可得，，然后利用平行线的性质可得，最后进行计算即可解答； （2）过点作，根据平行线的铅笔模型可得，然后根据平行线的性质可得，再结合已知可得，最后进行计算即可解答； （3）延长交直线于点，设，，根据角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质和三角形外角的性质可得，然后利用（2）的结论可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点作， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 的度数为； （2）过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数为； （3）， 理由：延长交直线于点， 设，， 平分，平分， ，， ， ， ， 由（2）得：， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 24．李想是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一块含有的直角三角板摆放在一组平行线上展开探究．已知直线，直角三角板中，，，点为直线上一定点．将直角三角板绕点转动，当点在直线上时，点也恰好在直线上． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，若点在直线上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点．在直角三角板绕点转动的过程中，的度数是否保持不变？若不变，求出的度数；否则，请说明理由； （3）如图3，直角三角板绕点转动，若点在直线，之间（不含，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得，若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等，求得，然后求得． （2）过点作的平行线，利用平行线的性质、角平分线的定义，得出始终为的一半，即，从而得出的度数始终不变． （3）根据四边形的内角和及平行线的性质得出关于和的关系式，根据题意得出的范围，在范围内找到和都是正整数的所有可能的情况． 【解答】解：（1）， ， ． （2） 的度数保持不变．理由如下： 过点作， ， ， ，，， 平分，平分， ， ， ， ， ， ． 的度数保持不变，始终是． （3）存在．理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， 由此得出，， 点在直线，之间（不含，上），点在下方， ，即，，是正整数， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，不是正整数，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 综上所得，，，或，，或，． 【点评】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质、角平分线的定义、四边形的内角和得出关于和的关系式，根据题意得出的范围，在范围内找到和的所有可能的情况．其中作平行线、分类讨论是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$